2018年高三数学二轮专题复习课件：函数与方程

由于 2e2������0 − 所以 f(x0)=
������
������
������ 0
=0,
2 2 ������ 2 ������
2������ 0
+2ax0+aln ≥2a+aln .
������
故当 a>0 时,f(x)≥2a+aln .
解题心得研究函数零点或方程根的情况,可以通过导数研究函数 的单调性、最大值、最小值、变化趋势等,并借助函数的大致图象 判断函数零点或方程根的情况.
4
3
4
(2)当x∈(1,+∞)时,g(x)=-ln x<0,从而h(x)=min{f(x),g(x)}≤g(x)<0, 故h(x)在(1,+∞)无零点.
当 x=1 时,若 a≥- ,
则 f(1)=a+ ≥0,h(1)=min{f(1),g(1)}=g(1)=0,故 x=1 是 h(x)的零点 ; 若 a<- ,则 f(1)<0,h(1)=min{ f(1),g(1)}=f(1)<0,故 x=1 不是 h(x)的零 点.
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(2)
������ '(������ 0 ) e ������ 0
=
2 3
2 即������0 -x0= (t-1)2,
2
������ '(������ 0 ) 2 ������0 -x0, ������ 0 e 2 3
= (t-1)2,
3
2
令 g(x)=x -x- (t-1)2,则问题转化为当 1<t<4 时 , 求方程 g(x)=x -x- (t-1)2= 0 在 [-2,t ]上的解的个数 .

解析 答案
热点三
利用导数求函数的极值、最值
1.若在x0附近左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若
在x0附近左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则f(x0)为函数f(x)的极小值.
2.设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在[a，b]上必有
f′(x0)(x－x0).
2.求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的不同.
例1
ax2 (1)(2017 届山西临汾一中等五校联考)已知曲线 f(x)＝ 在点(1， f(1)) x＋1
处切线的斜率为 1，则实数 a 的值为 3 A.2
解析
3 B.－2
3 C.－4
√
4 D.3
2axx＋1－ax2 对函数求导，可得 f′(x)＝ ， 2 x＋1
(1)(2017· 天津)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x的图象在点
1 (1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为____.
1 解析 ∵f′(x)＝a－ ，∴f′(1)＝a－1. x
又∵f(1)＝a，∴切线l的斜率为a－1，且过点(，a)， ∴切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1). 令x＝0，得y＝1，故l在y轴上的截距为1.
例2 (2017· 全国Ⅱ)设函数f(x)＝(1－x2)ex.
(1)讨论f(x)的单调性； 解 f′(x)＝(1－2x－x2)ex.
令 f′(x)＝0，得 x＝－1－ 2或 x＝－1＋ 2. 当 x∈(－∞，－1－ 2)时，f′(x)＜0； 当 x∈(－1－ 2，－1＋ 2)时，f′(x)＞0； 当 x∈(－1＋ 2，＋∞)时，f′(x)＜0.

(2)已知函数 f(x)＝xlnx－ax2－x(a∈R)． ①如果不等式 f(x)<－x 恒成立，求实数 a 的取值范围； 1 ②求证：ln(2×3×…×2 015) <2 015. 1 008
1－lnx lnx [自主解答] (1)因为 f(x)＝ ， 所以 f′(x)＝ 2 .令 f′(x) x x ＝0，解得 x＝e，当 x>e 时，f′(x)<0，f(x)为减函数，当 0<x<e a＋b 时，f′(x)>0，f(x)为增函数．又 b>a>3>e，所以 ab>b> 2 > ab a＋b >a>e，所以 f(a)>f( ab)>f >f(b)>f(ab)，故选 D. 2
(
热点考向二 导数在不等式中的应用 lnx [典例 2] (1)若 b>a>3，f(x)＝ ，则下列结论中正确的是 x ) a＋b A．f(a)<f( ab)<f 2 a＋b B．f( ab)<f 2 <f(b) a＋b C．f( ab)<f <f(a) 2 a＋b D．f(b)<f 2 <f( ab)
1 1 解析：因为 f′(x)＝ － ，所以当 x∈(3，＋∞)时，f′(x)>0， 3 x 1 f(x) 单调递增；当 x∈(0,3) 时，f′(x)<0，f(x) 单调递减，而 0<e 1 1 1 e <1<e<3，又 fe＝3e＋1>0，f(1)＝3>0，f(e)＝3－1<0，所以 f(x) 1 在区间e ，1上无零点，在区间(1，e)上有零点． 答案：D

核心知识
考点精题
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对点训练1设函数f(x)定义在(0,+∞)上,f(1)=0,导函数 1 f'(x)= ������ ,g(x)=f(x)+f'(x). (1)求g(x)的单调区间和最小值;
(2)讨论 g(x)与 g
1 ������
的大小关系;
1 ������
(3)是否存在x0>0,使得|g(x)-g(x0)|< 对任意x>0成立?若存在,求 出x0的取ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ范围;若不存在,请说明理由.
难点突破 |f(x1)-f(x2)|≤e-1⇔|f(x1)-f(x2)|max≤e-1⇔|f(x)max-f(x)min|
������(������) ≤ 0, e������ -������ ≤ e-1, ������(1)-������(0) ≤ e-1, ≤e-1⇔ ⇔ -������ ⇔ ⇒g(t) ������ (������ ) ≤ 0 ������(-1)-������(0) ≤ e-1 e + ������ ≤ e-1, ������(������) ≤ 0, 的单调性 ⇒ 的 m 范围 . ������(-������) ≤ 0
得 h'(x)=-
������ (������ +2)2
e ������ (������ +1)2
,根据导数的正负讨论单调性求得最值,相比作差法
构造函数分类讨论的方法,达到了事半功倍的效果.
核心知识
考点精题
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核心知识
考点精题
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故当x≥-2时,F(x)≥0, 即f(x)≤kg(x)恒成立. ②若k=e2,则F'(x)=2e2(x+2)(ex-e-2). 从而当x>-2时,F'(x)>0, 即F(x)在(-2,+∞)单调递增. 而F(-2)=0,故当x≥-2时,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立. ③若k>e2,则F(-2)=-2ke-2+2=-2e-2(k-e2)<0. 从而当x≥-2时,f(x)≤kg(x)不可能恒成立. 综上,k的取值范围是[1,e2]. 解题心得用导数解决满足函数不等式条件的参数范围问题,一般 都需要构造函数,然后对构造的函数求导,一般导函数中都含有参 数,通过对参数讨论确定导函数的正负,由导函数的正负确定构造 函数的单调性,再由单调性确定是否满足函数不等式,由此求出参 数范围.