高中数学必修五第三章测试题知识分享

一、选择题1．已知()22log 31ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()0,4B ．[)0,4C ．()0,2D ．[)0,22．已知实数,x y 满足条件202035x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A ．0B ．3C ．4D ．53．已知关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[1,2]上有解，则实数a 的取值范围为（ ） A ．2a ≤B ．2a ≥C ．52a ≥D ．52a ≤4．若正数x ，y 满足35x y xy += ，则43x y + 的最小值为（ ） A ．275B ．245C ．5D ．65．已知0,0a b >>,,a b 的等比中项是1，且1m b a =+，1n a b=+，则m n +的最小值是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．66．已知变量,x y 满足不等式组22003x y x y y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则2z x y =-的最大值为（ ）A ．3-B ．23-C ．1D ．27．已知正数a ，b 满足2a b +=，则2238a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为( ) A ．36B ．42C ．49D ．608．已知直线l 的方程为2x +3y ＝5，点P （a ，b ）在l 上位于第一象限内的点，则124123a b +++的最小值为（ ） ABCD9．已知实数x ,y 满足210210x y x x y -+≥⎧⎪<⎨⎪+-≥⎩,则221z x y =--的取值范围是( )A ．5,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．5,53⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．5,53⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．5,53⎡⎫-⎪⎢⎣⎭10．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．1a <1bB ．a 2>b 2C ．21a c +>21b c + D ．a |c |>b |c |11．设,,a b c ∈R ，且a b >，则（ ） A ．ac bc >B ．11a b< C ．22a b > D ．33a b >12．已知不等式230ax bx a --≥的解集是[]4,1-，则b a 的值为（ ） A ．-64B ．-36C ．36D ．64二、填空题13．若0x >，0y >，若()()144x y --=则x y +的最小值为_________. 14．已知正实数a 、b 满足21a b +=，则11a b a b+--的最小值为____________. 15．已知实数x ，y 满足约束条件010x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪⎩，则23x y z +=的最大值__________.16．若关于x 的不等式250ax x b -+< 的解集为{|23}x x << ，则+a b 的值是__________．17．若x ，y 满足约束条件0202x y x y y -≤⎧⎪-≥⎨⎪⎩，则32z x y =+的最大值是_________.18．若关于x 的不等式()0f x <和()0g x <的解集分别为(),a b 和11,b a ⎛⎫⎪⎝⎭,则称这两个不等式为“对偶不等式”.若不等式()2220x x θ-+<和不等式()224sin 210x x θ++<为“对偶不等式”,且,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则θ=______.19．已知ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，DF tDE =，AF x AB y AC =+，则xy 的最大值为________.20．若对定义域内任意x ，都有()()f x a f x +>（a 为正常数），则称函数()f x 为“a 距”增函数．若()3144f x x x =-+，x ∈R 是“a 距”增函数，则a 的取值范围是________．三、解答题21．（1）若0x >，0y >，1x y +=，求证：114x y+≥.（2）已知实数0a >，0b >，且1ab =，若不等式()a bx y m x y+⋅+>（），对任意的正实数,x y 恒成立，求实数m 的取值范围．22．已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且2()()2f x g x x x +=+-. （1）求()f x 和()g x 的解析式；（2）设2()33h x mx mx =+-（其中m R ∈），解不等式()()h x g x <.23．已知函数2()12af x x x =-+ （1）若()0f x ≥，在R 上恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若[]1,2,()2x f x ∃∈≥成立，求实数a 的取值范围. 24．已知函数2()3f x x x m =++. （1）当m =-4时，解不等式()0f x ≤； （2）若m >0，()0f x ＜的解集为(b ，a )，求14a b+的最大値. 25．已知a R ∈，若关于x 的不等式2(1)460a x x 的解集是(3,1)-．(1)求a 的值；(2)若关于x 的不等式230ax bx ++≥在[0,2]上恒成立，求实数b 的取值范围. 26．已知定义域在()0,∞+上的函数()f x 满足对于任意的(),0,x y ∈+∞，都有()()()f xy f x f y =+，当且仅当1x >时，()0f x <成立.（1）设(),0,x y ∈+∞，求证()()y f f y f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭； （2）设()12,0,x x ∈+∞，若()()12f x f x <，试比较x 1与x 2的大小； （3）若13a -<<，解关于x 的不等式()2110f x a x a ⎡⎤-+++>⎣⎦.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由对数函数的单调性可得210ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立，讨论0a =和0a ≠求解. 【详解】()22log 31ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立，即232ax ax ++>，即210ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立， 当0a =时，10>恒成立，满足题意，当0a ≠时，则240a a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得04a <<， 综上，a 的取值范围为[)0,4. 故选：B. 【点睛】本题考查一元二次不等式的恒成立问题，解题的关键是得出210ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立. 2．C解析：C 【分析】画出满足条件的目标区域，将目标函数化为斜截式2y x z =-+，由直线方程可知，要使z 最大，则直线2y x z =-+的截距要最大，结合可行域可知当直线2y x z =-+过点A 时截距最大，因此，解出A 点坐标，代入目标函数，即可得到最大值. 【详解】画出满足约束条件202035x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩的目标区域，如图所示:由2z x y =+,得2y x z =-+，要使z 最大，则直线2y x z =-+的截距要最大，由图可知,当直线2y x z =-+过点A 时截距最大， 联立20350x y x y -=⎧⎨+-=⎩,解得(1,2)A ，所以2z x y =+的最大值为：1224⨯+=， 故选:：C.方法点睛：求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”： （1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.3．D解析：D 【分析】由题意得分离参数将不等式等价于不等式1a x x ≤+在区间[1,2]上有解，设()1f x x x =+，由函数()1f x x x=+在[1,2]上单调递增，可求得实数a 的取值范围.【详解】由题意得：关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[1,2]上有解，等价于不等式1a x x≤+在区间[1,2]上有解，设()1f x x x =+，则函数()1f x x x =+在[1,2]上单调递增，所以()()(152)2f f f x ≤=≤，所以实数a 的取值范围为52a ≤， 故选：D. 【点睛】方法点睛：对于不等式有解的问题，常常有以下情况：()m f x >有解⇔()min m f x >，()m f x <有解⇔()max m f x <. 4．A解析：A 【解析】正数x ，y 满足35x y xy +=,则13155y x+=，()13492743433355555x y x y x y y x y x ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭故答案为A.点睛：这个题目考查的是含有两个变量的表达式的最值的求法，解决这类问题一般有以下几种方法，其一，不等式的应用，这个题目用的是均值不等式，注意要满足一正二定三相等；其二，二元化一元，减少变量的个数；其三可以应用线线性规划的知识来解决，而线性规划多用于含不等式的题目中．5．B【分析】由等比中项定义得1ab = ，再由基本不等式求最值． 【详解】,a b 的等比中项是1，∴1ab =，∴m ＋n=1b a++1a b +=a b a b ab +++ =2()a b + ≥ 44ab = .当且仅当1a b == 时，等号成立．故选B ． 【点睛】利用基本不等式求最值问题，要看是否满足一正、二定、三相等．6．B解析：B 【分析】画出不等式组表示的区域，将目标函数2z x y =-转化为22x zy =-，表示斜率为12截距为2z-平行直线系，当截距最小时，z 取最大值，由图即可求解. 【详解】解：画出不等式组表示的区域，如图中阴影部分所示：故将目标函数2z x y =-转化为22x z y =-， 表示斜率为12截距为2z -平行直线系， 所以当截距最小时，z 取最大值，由图可知，使得直线22x zy =-经过可行域且截距最小时的解为22,33C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，此时242333max z =-=-. 故选：B 【点睛】本题考查了线性规划的应用，注意将目标函数化成斜截式，从而由截距的最值确定目标函数的最值.7．C解析：C 【分析】由已知可得2294(3)(8)(4)(9)37b a b aa b a b a b++=++=++，然后结合基本不等式即可求解．【详解】解：因为正数a ，b 满足2a b +=，所以22949(3)(8)(4)(9)3737249b a b a a b a b a b a b++=++=+++=， 当且仅当65a =，45b =时取等号． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础题．8．C解析：C 【分析】由题意可得2a +3b ＝5，a ，b ＞0，可得4a ＝10﹣6b ，（3b ＜5），将所求式子化为b 的关系式，由基本不等式可得所求最小值． 【详解】直线l 的方程为2x +3y ＝5，点P （a ，b ）在l 上位于第一象限内的点， 可得2a +3b ＝5，a ，b ＞0，可得4a ＝10﹣6b ，（3b ＜5）， 则1216412311696a b b b+=+++-+ 120=[（11﹣6b ）+（9+6b ）]（1611696b b +-+）120=（7()61169611696b b b b -+++-+）≥，当且仅当()61169611696b b b b -+=-+时，即b 156-=，a 54=，上式取得最小值， 故选：C ．本题考查基本不等式的运用：求最值，考查变形能力和化简运算能力，属于中档题．9．D解析：D 【分析】画出可行域，根据目标函数的截距，利用数形结合，即可求出z 的取值范围. 【详解】 作出可行域如下：由221z x y =--得12zy x +=-， 平移直线12zy x +=-， 由平移可知当直线12zy x +=-，经过点C 时， 直线12zy x +=-的截距最小，此时z 取得最大值， 由210x x y =⎧⎨+-=⎩，解得21x y =⎧⎨=-⎩，即(2,1)C -，此时2214215z x y =--=+-=， 可知当直线12zy x +=-，经过点A 时， 直线12zy y x +==-的截距最大，此时z 取得最小值， 由21010x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，得1323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即1(3A ，2)3代入221z x y =--得125221333z =⨯-⨯-=-，故5[3z ∈-，5)故选：D ．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，属于中档题．10．C解析：C 【分析】首先利用特值法排除A 、B 两项，利用不等式的性质可确定C 项是正确的，再举出反例判断D 项是错误的，从而得到答案. 【详解】当a ＝1，b ＝－2时，满足a >b ，但11a b>，a 2<b 2，排除A 、B ； 因为211c +>0，a >b ⇒2211a b c c >++，故C 是正确的；当c ＝0时，a |c |>b |c |不成立，排除D ， 故选：C. 【点睛】该题考查的是有关不等式的问题，涉及到的知识点有利用不等式的性质比较式子的大小，利用特值法排除不正确的选项，坚持做到小题小做的思想，属于简单题目.11．D解析：D 【分析】结合不等式的性质、特殊值判断出错误选项，利用差比较法证明正确选项成立. 【详解】A 选项，当0c ≤ 时，由a b >不能得到ac bc >，故不正确；B 选项，当0a >，0b <（如1a =，2b =-）时，由a b >不能得到11a b<，故不正确； C 选项，由()()22a b a b a b -=+-及a b >可知当0a b +<时（如2a =-，3b =-或2a =，3b =-）均不能得到22a b >，故不正确；D 选项，()()()233222324b a b a b a ab b a b a b ⎡⎤⎛⎫-=-++=-⋅++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，因为,a b 不同时为0，所以223024b a b ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，所以可由a b >知330a b ->，即33a b >，故正确.故选：D 【点睛】本小题主要考查不等式的性质以及差比较法，属于中档题.12．D【分析】先由不等式230ax bx a --≥的解集是[]4,1-求出a 、b ，再求b a 【详解】∵不等式230ax bx a --≥的解集是[]4,1-，∴23y ax bx a =--图像开口向下，即a <0,且23=0ax bx a --的两根为-4和1.∴12312034a b x x a a x x a ⎧⎪<⎪⎪+==-⎨⎪⎪-==-⎪⎩，解得：=26a b -⎧⎨=⎩∴()6=2=64b a -故选：D 【点睛】不等式的解集是用不等式对应的方程的根表示出来的.二、填空题13．【分析】先整理已知条件得则再利用基本不等式求解即可【详解】由得又得则当且仅当即时取等号故答案为：9【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件：（1）一正二定三相等一正就是各项解析：【分析】先整理已知条件得411y x +=，则()41y x x y x y +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再利用基本不等式求解即可. 【详解】由()()144x y --=， 得40xy x y --=， 又0x >，0y >，得411y x+=， 则()455941x y x y x y y x x y +⎛⎫+=+=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4x yy x=即3,6x y ==时取等号. 故答案为：9. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.14．【分析】将所求代数式变形为将所求代数式与相乘展开后利用基本不等式可求得的最小值【详解】已知正实数满足则当且仅当时即当时等号成立因此的最小值为故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其12【分析】将所求代数式变形为1121121a ba b b b+=+----，将所求代数式与()1b b+-⎡⎤⎣⎦相乘，展开后利用基本不等式可求得11a ba b+--的最小值.【详解】已知正实数a、b满足21a b+=，则1211112112121a b b ba b b b b b--++=+=+-----()111111122112222b bb bb b b b-⎛⎫=+-+-=+-≥=⎡⎤ ⎪⎣⎦--⎝⎭.当且仅当1b-=时，即当1b=时，等号成立，因此，11a ba b+--12.12.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.15．【分析】先作出不等式组对应的可行域再通过数形结合求出的最大值即得解【详解】由题得不等式组对应的可行域是如图所示的阴影三角形区域设它表示斜率为纵截距为的直线系要求的最大值即求的最大值当直线经过点时直线解析：9【分析】先作出不等式组对应的可行域，再通过数形结合求出2x y +的最大值即得解. 【详解】由题得不等式组对应的可行域是如图所示的阴影三角形区域，设12,22m m x y y x =+∴=-+，它表示斜率为12-，纵截距为2m的直线系， 要求23x y z +=的最大值即求m 的最大值.当直线122m y x =-+经过点(0,1)A 时，直线的纵截距2m最大，m 最大. 此时max 022m =+=， 所以23x y z +=的最大值为239=. 故答案为：9 【点睛】方法点睛：线性规划问题一般用图解法，其步骤如下： （1）根据题意，设出变量,x y ； （2）列出线性约束条件；（3）确定线性目标函数(,)z f x y =；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）； （5）利用线性目标函数作平行直线系()(y f x z =为参数）；（6）观察图形，找到直线()(y f x z =为参数）在可行域上使z 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案。

一、选择题1．若正数x ，y 满足21y x+=，则2x y +的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．82．已知()22log 31ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()0,4B ．[)0,4C ．()0,2D ．[)0,23．己知x ，y 满足()2403300220x y x y a x ay -+≥⎧⎪--≤>⎨⎪+-≥⎩，且22z x y =+，若z 的最大值是其最小值的654倍，则a 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．已知0x >，0y >，21x y +=，若不等式2212m m x y+>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．4m ≥或2m ≤- B ．2m ≥或4m ≤- C ．24m -<< D ．42m -<<5．若正数a ，b 满足111a b +=，则41611a b +--的最小值为（ ） A ．16B ．25C ．36D ．496．若,x y 满足条件11x y x y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =-+的最大值为（ ）A ．1B ．12-C ．2D ．-57．已知正项等比数列{}n a 中979a a =，若存在两项m a 、n a ，使2127m n a a a =，则116m n+的最小值为（ ） A ．5 B ．215C ．516D ．6548．设,x y 满足约束条件0{4312x y xx y ≥≥+≤，且231x y z x ++=+，则z 的取值范围是（ ） A ．[]1,5B ．2,6C ．[]2,10D ．[]3,119．不等式ax 2+bx+2＞0的解集是，则a+b 的值是（ ） A ．10B ．﹣10C ．14D ．﹣1410．已知集合{}24120A x x x =--≤，{}440B x x =->，则AB =（ ）A ．{}12x x <≤B ．{}2x x ≥-C ．{}16x x <≤D ．{}6x x ≥-11．设函数2()1f x mx mx =--，若对于任意的x ∈{x |1 ≤ x ≤ 3}，()4f x m <-+恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．m ≤0 B ．0≤m <57C ．m <0或0<m <57D ．m <5712．如果0a b >>，0t >，设b M a =，b t N a t+=+，那么（ ） A ．M N < B ．M N >C ．MND ．M 与N 的大小关系和t 有关二、填空题13．若正实数x 、y 、z ，满足3z x y +=，4z y x +=，则x y x y z++-的最小值为_______.14．若x ，y 满足约束条件210,10,2,x y x y x +-≥⎧-+≥≤⎪⎨⎪⎩则3z x y =-的最小值为______．15．已知实数,x y 满足102801x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则3yx +的最大值为_______．16．实数,x y 满足2025040x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩,则24z x y =+-的最大值是___.17．已知正数a ，b 满足(1)(1)1a b --=，则4a b +的最小值等于________.18．已知变量,x y 满足约束条件04010x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，若目标函数(0)z ax by a b =+>>的最小值为1，则28a b+的最小值为__________．19．已知0m >，0n >，且111223m n +=++，则2m n+的最小值为________. 20．当x ，y 满足270101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪⎩时，|2|x y a -≤恒成立，则实数a 的取值范围是________．三、解答题21．在“基本不等式”应用探究课中，甲和乙探讨了下面两个问题： （1）已知正数x 、y 满足21x y +=，求12x y+的最小值. 甲给出的解法是：由2122x y xy +=≥，得22xy ≤，则1222228x y xy xy+≥=≥，所以12x y +的最小值为8. 而乙却说这是错的.请你指出其中的问题，并给出正确解法； （2）结合上述问题（1）的结构形式，试求函数()1310122f x x x x ⎛⎫=+<< ⎪-⎝⎭的最小值. 22．设矩形ABCD 的周长为20，其中AB AD >，如图所示，把它沿对角线AC 对折后，AB 交DC 于点P .设AD x =，DP y =.（1）将y 表示成x 的函数，并求定义域； （2）求ADP △面积的最大值.23．用铁皮做一个体积为350cm ，高为2cm 的长方体无盖铁盒，这个铁盒底面的长与宽各为多少cm 时，用料最省？24．设函数()()()2230f x ax b x a =+-+≠．（1）若不等式()0f x >的解集()1,1-，求a ，b 的值； （2）若()12f =，①0a >，0b >，求14a b+的最小值； ②若()1f x >在R 上恒成立，求实数a 的取值范围．25．已知实数x ，y 满足不等式组204030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，求目标函数23z x y =-的最值及相应的最优解．26．设函数2()(1)f x x m x m =-++． （1）若2m =，求不等式()0f x <的解集； （2）求不等式()0f x <的解集；（3）若对于[1,2]x ∈，()4f x m >-恒成立，求m 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】 由21y x +=，对2x y +乘以21y x+=，构造均值不等式求最值 .【详解】22242248x y x xy y x y xy ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当421xy xy y x⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即412x y =⎧⎪⎨=⎪⎩时，等号成立，∴min28x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.故选：D 【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正、二定、三相等” (1) “一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．如果等号成立的条件满足不了，说明函数在对应区间单调，可以利用单调性求最值或值域．2．B解析：B 【分析】由对数函数的单调性可得210ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立，讨论0a =和0a ≠求解. 【详解】()22log 31ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立，即232ax ax ++>，即210ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立， 当0a =时，10>恒成立，满足题意，当0a ≠时，则240a a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得04a <<， 综上，a 的取值范围为[)0,4. 故选：B. 【点睛】本题考查一元二次不等式的恒成立问题，解题的关键是得出210ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立. 3．A解析：A 【分析】作出不等式组表示的图象，22z x y =+可看作可行域内的点到原点距离的平方，由图可观察出最远的点和最近的点，分别求出距离做比值列出等式可得答案. 【详解】根据不等式组作出图象，则阴影部分即为可行域，由240330x y x y -+=⎧⎨--=⎩解得23x y =⎧⎨=⎩，即(2,3)A ， 220x ay +-≥恒过(1,0)且0a >，因为22z x y =+， z 的几何意义是可行域内的点到原点距离的平方， 由图点(2,3)A 到原点的距离的平方最大，22max 2313z =+=，z 的最小值为原点到直线BC 的距离的平方，2min244z a ⎛⎫==+， 根据题意可得maxmin21365444z z a ==+，整理得245a +=，解得1a =或1a =-（舍去）. 故选：A. 【点睛】本题考查简单的线性规划问题，关键点是作出可行域，利用z 的几何意义确定点，考查了数形结合思想，属于基础题.4．D解析：D 【分析】先根据已知结合基本不等式得218x y+≥，再解不等式228m m +<即可得答案.【详解】解：由于0x >，0y >，21x y +=， 所以()212142448y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当4y x x y =，即122x y ==时等号成立， 由于不等式2212m m x y+>+成立， 故228m m +<，解得：42m -<<. 故实数m 的取值范围是：42m -<<. 故选：D. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，一元二次不等式的解法，考查运算能力，是中档题.5．A解析：A 【分析】由111a b +=得：(1,1)1a b a b a =>>-，代入41611a b +--化简，利用基本不等式可求函数最小值.由111a b +=得：(1,1)1a b a b a =>>-，代入41611a b +--得到： 4164164416(1)216(1)161111111a a a ab a a a a +=+=+-≥⋅-=------- 当且仅当：4=16(1)1a a --即32a =时取等号.故选：A 【点睛】本题考查了均值不等式在求最值问题中的应用，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.6．A解析：A 【解析】作出不等式组11x yx y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩表示的平面区域，如图，得到如图的ABC 及其内部，其中()()111,1,2,1,,22A B C ⎛⎫---⎪⎝⎭，设2z x y =-+，将直线:2l z x y =-+进行平移，当l 经过点A 时，目标函数z 达到最大值，∴()=211=1Z -⨯--最大值，故选A.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.7．A解析：A 【分析】根据条件可先求出数列的公比，再根据2127m n a a a =可得出5m n +=，利用基本不等式即可求出116m n+的最小值.正项等比数列中，2979a q a ==，所以3q =. 因为11222111127m n m n m n a a a q a q a qa --+-=⋅==，所以5m n +=. 因为1161116116116()()(17)(17)5555n m n mm n m n m n m n m n+=++=++≥⋅+=， 当且仅当16n mm n=，即4n m =时取等号，因为m 、n *N ∈，所以1m =，4n =， 所以116m n +的最小值为5. 故选：A. 【点睛】本题考查等比数列的基本量的计算，考查利用基本不等式求最值，属于基础题.8．D解析：D 【分析】试题分析：作出不等式组0{4312x y xx y ≥≥+≤表示的平面区域，如下图阴影部分所示，目标函数()()12123112111x y x y y z x x x ++++++===+⨯+++表示可行域内的点到()1,1--的连线的斜率，其斜率的最小值为min 1,k =最大值为 ()()max 41501k --==--，所以z 的取值范围是[]3,11，故选D.考点：简单的线性规划.【方法点晴】本题主要考查了简单的线性规划，属于中档题.线性规划问题首先要作出准确、清晰的可行域，这是正确解题的前提，其次是找准目标函数的几何意义，常见的有“截距型”、“距离型”和“斜率型”，本题中通过吧目标函数231x y z x ++=+变形可知其表示可行域内的点到点 ()1,1--连线斜率的2倍在加上 1，这样问题就转化为求可行域内的点与定点连线的斜率的范围问题，通过数形结合就容易解答了.9．D解析：D 【解析】试题分析：不等式ax 2+bx+2＞0的解集是，说明方程ax 2+bx+2=0的解为，把解代入方程求出a 、b 即可． 解：不等式ax 2+bx+2＞0的解集是即方程ax 2+bx+2=0的解为故则a=﹣12，b=﹣2．考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系．10．C解析：C 【分析】根据不等式的解法，求得集合{}26A x x =-≤≤，{}1B x x =>，结合集合交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合{}{}2412026A x x x x x =--≤=-≤≤，{}{}4401B x x x x =->=>，根据集合交集的概念与运算，可得{}16A B x x ⋂=<≤. 故选：C. 【点睛】本题考查集合的交集的概念及运算，其中解答中正确求解集合,A B ，结合集合的交集的概念及运算求解是解答的关键，着重考查运算求解能力，属于基础题.11．D解析：D 【分析】将()4f x m <-+恒成立转化为g (x ) = mx 2－mx ＋m －5 < 0恒成立，分类讨论m 并利用一元二次不等式的解法，求m 的范围【详解】若对于任意的x ∈{x |1 ≤ x ≤ 3}，()4f x m <-+恒成立 即可知：mx 2－mx ＋m －5 < 0在x ∈{x |1 ≤ x ≤ 3}上恒成立 令g (x )＝mx 2－mx ＋m －5，对称轴为12x = 当m ＝0时，－5 < 0恒成立当m < 0时，有g (x )开口向下且在[1,3]上单调递减∴在[1,3]上max ()(1)50g x g m ==-<，得m < 5，故有m < 0 当m >0时，有g (x ) 开口向上且在[1,3]上单调递增 ∴在[1,3]上max ()(3)750g x g m ==-<，得507m << 综上，实数m 的取值范围为57m < 故选：D 【点睛】本题考查了一元二次不等式的应用，将不等式恒成立等价转化为一元二次不等式在某一区间内恒成立问题，结合一元二次不等式解法，应用分类讨论的思想求参数范围12．A解析：A 【分析】对M 与N 作差，根据差值的正负即可比较大小. 【详解】()()()()()b a t a b t t b a b b t M N a a t a a t a a t +-+-+-=-==+++，因为0a b >>，所以0b a -<， 又0t >，所以0a t +>，所以()()0t b a a a t -<+，即0M N -<，所以M N <.故选：A 【点睛】本题主要考查作差法比较大小，考查学生的化简分析能力，属于常规题型.二、填空题13．【分析】由已知条件得出由得出可得出利用基本不等式可求得所求代数式的最小值【详解】已知实数均为正实数且可得所以可得令则所以当且仅当时等号成立因此的最小值为故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最解析：13- 【分析】由已知条件得出43y x =，2443z x x =-，由0z >得出03x <<，可得出71143x y x y t z t ++-=+-，利用基本不等式可求得所求代数式的最小值. 【详解】已知实数x 、y 、z 均为正实数，且3z x y +=，4z y x+=，可得34z y xy x xy =-=-，43y x ∴=，所以，2443z x x =-， ()2717134343343x x y x y x x z x x x +∴+-=-=---， ()24443033z x x x x =-=->，可得03x <<，令()30,3t x =-∈，则3x t =-， 所以，()()717171311143343433x y x y x t t z x t t ++-=-=--=+-≥=--.当且仅当2t =时，等号成立， 因此，x y x y z ++-的最小值为13-.故答案为：13-. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.14．【分析】由约束条件作出可行域化目标函数为直线方程的斜截式数形结合得到最优解把最优解的坐标代入目标函数得答案【详解】解：由约束条件作出可行域如图化目标函数为由图可知当直线过时直线在轴上的截距最大有最小 解析：1-【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】解：由约束条件210102x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪⎩作出可行域如图，化目标函数3z x y =-为3y x z =-，由图可知，当直线3y x z =-过(0,1)A 时， 直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值为1-．故答案为：1-．【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．15．【分析】根据约束条件画出可行域目标函数可以看成是可行域内的点和的连线的斜率从而找到最大值时的最优解得到最大值【详解】根据约束条件可以画出可行域如下图阴影部分所示目标函数可以看成是可行域内的点和的连线 解析：78【分析】根据约束条件，画出可行域，目标函数可以看成是可行域内的点(),x y 和()3,0-的连线的斜率，从而找到最大值时的最优解，得到最大值.【详解】根据约束条件102801x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩可以画出可行域，如下图阴影部分所示， 目标函数3y x +可以看成是可行域内的点(),x y 和()3,0-的连线的斜率， 因此可得，当在点A 时，斜率最大 联立2801x y x +-=⎧⎨=⎩，得172x y =⎧⎪⎨=⎪⎩即71,2 A⎛⎫⎪⎝⎭所以此时斜率为()7072138-=--，故答案为78.【点睛】本题考查简单线性规划问题，求目标函数为分式的形式，关键是要对分式形式的转化，属于中档题.16．21【分析】画出满足的可行域当目标函数经过点时取得最大值求解即可【详解】画出满足的可行域由解得点则目标函数经过点时取得最大值为【点睛】本题考查的是线性规划问题解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化解析：21【分析】画出,x y满足的可行域，当目标函数24z x y=+-经过点()7,9B时，z取得最大值，求解即可．【详解】画出,x y满足的可行域，由20250x yx y-+=⎧⎨--=⎩解得点()7,9B，则目标函数24z x y=+-经过点()7,9B时，z取得最大值为718421+-=.【点睛】本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想．需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得．17．9【分析】将已知等式变形为然后利用乘1法将进行变形利用基本不等式即可求得【详解】因为所以即又ab 为正数所以当且仅当时等号成立故的最小值等于故答案为：9【点睛】本题考查利用基本不等式求最值关键是将已知 解析：9【分析】 将已知等式变形为111a b +=，然后利用“乘1法”将4a b +进行变形，利用基本不等式即可求得.【详解】因为(1)(1)1a b --=，所以0ab a b --=，即111a b +=. 又a ，b 为正数，所以11444(4)14529b a b a a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+⋅=⎪⎝⎭， 当且仅当3a =，32b =时，等号成立. 故4a b +的最小值等于9.故答案为：9【点睛】 本题考查利用基本不等式求最值，关键是将已知条件适当变形，得到111a b+=，以便利用“乘1法”，利用基本不等式求4a b +的最小值.利用基本不等式求最值要注意“正、定、等”的原则.18．【解析】分析：画出不等式组表示的平面区域因为直线的斜率为由可得因为直线的斜率为-1所以当直线过点时取得最小值1可得利用基本不等式可得详解：画出不等式组表示的平面区域为及其内部如图由可得点当直线过点时 解析：【解析】分析：画出不等式组表示的平面区域，因为直线(0)z ax by a b =+>>的斜率为a k b =-，由0a b >>可得10a k b-<=-<，因为直线40x y +-=的斜率为-1，所以当直线z ax by =+过点(1,1)B 时，取得最小值1．可得1a b +=．282828()()10b a a b a b a b a b+=++=++，利用基本不等式可得2828281010218b a b a a b a b a b +=++≥+⨯=． 详解：画出不等式组表示的平面区域为ABC ∆及其内部，如图．由100y x y -=⎧⎨-=⎩ 可得点(1,1)B ． 当直线z ax by =+过点(1,1)B 时，取得最小值1．所以1a b +=．所以28282828()()101018b a b a a b a b a b a b a b +=++=++≥+⨯=． 当且仅当2810,0b a a b a b a b ⎧=⎪⎪+=⎨⎪>>⎪⎩即12,33a b ==时，上式取“=”号． 所以28a b+的最小值为18. 点睛：⑴ 线性规划问题应先画出平面区域，求(0)z ax by a b =+>>的最值时，当0b >时，直线z ax by =+越向上平移，z 取值越大；当0b <时，直线z ax by =+越向上平移，z 取值越小；⑵ 用基本不等式求最值时，和定积最大，积定和最小．若,a b m m +=为常数，则111111()()(2)b a a b a b m a b m a b+=++=++，然后利用基本不等式求最值即可．19．【分析】先换元令则；再采用乘1法求出的最小值即可得解【详解】解：令则且而当且仅当即时等号成立的最小值为故答案为：【点睛】本题考查利用基本不等式求最值采用换元法和乘1法是解题的关键考查学生的转化思想分解析：3+【分析】先换元，令2s m =+，2t n =+，则1113s t +=，226m n s t +=+-；再采用“乘1法”，求出2s t +的最小值即可得解．【详解】解：令2s m =+，2t n =+，则2s >，2t >，且1113s t +=， 2(2)2(2)26m n s t s t ∴+=-+-=+-， 而112223(2)()3(12)3(32)3(322)st s t s t s t s t t s t s+=++=+++⨯+=+，当且仅当2s t t s=，即s =时，等号成立． 2s t ∴+的最小值为3(3+，2263(322)63m n s t ∴+=+-+-=+故答案为：3+【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，采用换元法和“乘1法”是解题的关键，考查学生的转化思想、分析能力和运算能力，属于中档题．20．【分析】先根据条件作出可行域然后求出的取值范围由恒成立即即可得出答案【详解】由满足作出可行域如图设则表示直线在轴上的截距的相反数则由得当直线过点时有最大值4当直线过点时有最小值所以所以故答案为：【点解析：)4，⎡+∞⎣ 【分析】先根据条件作出可行域，然后求出2z x y =-的取值范围，由|2|x y a -≤恒成立，即max |2|x y a -≤，即可得出答案.【详解】由x ，y 满足270101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪⎩，作出可行域，如图.设2z x y =-，则2y x z =-，z 表示直线2y x z =-在y 轴上的截距的相反数.则()()1,0,1,3A C ,由27010x y x y +-=⎧⎨--=⎩，得()3,2B . 当直线2y x z =-过点()3,2B时，z 有最大值4， 当直线2y x z =-过点()1,3C 时，z 有最小值-1.所以|2|4x y -≤，所以4a ≤故答案为：[)4+∞，. 【点睛】本题考查简单的线性规划问题和恒成立求参数的问题，属于中档题.三、解答题21．（1）答案见解析；（2）最小值为526+.【分析】（1）本题可通过两次基本不等式取等号的情况不能同时成立判断出甲的解法错误，然后将12x y+转化为2214y x x y +++，通过基本不等式即可求出最值； （2）本题首先可令x m =、12x n -=，将题意转化为“已知21m n +=，求min 13m n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭”，然后将13+m n 转化为65n m m n++，通过基本不等式即可求出最值. 【详解】（1）甲的解法错误，原因是：使用了两次基本不等式，两次基本不等式取等号的情况不能同时成立. 正确解法：()1212222145249y x x y x y x y x y⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当13x y ==时等号成立. （2）令x m =，12x n -=，则0m >，0n >，即可将“求函数()1312f x x x=+-最小值”转化为“已知21m n +=，求min 13m n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭”， 因为()13136255n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭m =等号成立，所以当x =时，函数()1312f x x x =+-取最小值，最小值为5+. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足“一正二定三相等”：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.22．（1）501010y x =--，(0,5)x ∈；（2）75-【分析】（1）由题意得10AB CD x ==-，则10CP x y =--，根据ADP Rt CBP ≌，可得DP BP y ==，所以222+(10)y x x y =--，化简整理，即可求得y 与x 的关系，根据AB AD >，即可求得x 的范围，即可得答案；（2）由（1）可得501010y x=--，(0,5)x ∈，则ADP △的面积12505(10)75210S xy x x ==-++-，根据x 的范围，结合基本不等式，即可求得答案. 【详解】（1）由题意得：10AB CD x ==-，则10CP x y =--，因为在Rt ADP 和Rt CBP 中，,APD CPB AD BC ∠==，所以ADP Rt CBP ≌，即DP BP y ==，所以在Rt CBP 中，222+(10)y x x y =--，所以2222+10020202y x x y x y xy =++--+， 化简可得501010y x=--，因为AB AD >，所以100x x ->>，解得05x <<， 所以501010y x=--，(0,5)x ∈； （2）由（1）可得501010y x =--，(0,5)x ∈， 所以ADP △面积115025250(10)55(10)7522101010x S xy x x x x x x ==⋅-=-=-++---， 因为(0,5)x ∈，所以100x -<，所以2502505(10)[5(10)]1010x x x x -+=--+≤-=---当且仅当2505(10)10x x-=-，即10x =-时等号成立，此时面积250[5(10)]757510S x x =--++≤--即ADP △面积最大值为75-【点睛】解题的关键是根据条件，表示出各个边长，根据三角形全等，结合勾股定理，进行求解，易错点为：利用基本不等式求解时，需满足“①正”，“②定”，“③相等”，注意检验取等条件是否成立，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题.23．铁盒底面的长与宽均为5cm 时，用料最省.【分析】法一：因为体积为350cm 高为2cm ，所以底面积是定值25，设长为xcm ，则宽为25x ，列出表面积结合基本不等式即可；法二：列出表面积后，利用求导函数的方法求最值.【详解】解法1：设铁盒底面的长为xcm ，宽为25x ，则.. 表面积251002544425S x x x x=++⨯=++..2565≥=.. 当且仅当25x x=，即5x =时，表面积有最小值65. 所以这个铁盒底面的长与宽均为5cm 时，用料最省.答：这个铁盒底面的长与宽均为5cm 时，用料最省.解法2：设铁盒底面的长为xcm ，宽为25x，表面积为2ycm ，则.()2510025444250y x x x x x=++⨯=++> 22210041004x y x x-'=-=.. 令2241000x y x-'==得，5x =. 当()0,5x ∈时，0y '<，函数224100x y x -'=为减函数； 当()5,+∈∞x 时，0y '>，函数224100x y x-'=为增函数； 所以当5x =时，y 有最小值65.答：这个铁盒底面的长与宽均为5cm 时，用料最省.24．（1）32a b =-⎧⎨=⎩；（2）①9；②33a -<+． 【分析】（1）由已知可得，()2230ax b x +-+=的两根是1-，1，然后可求出答案； （2）由条件可得1a b +=，①用基本不等式可求出14a b +的最小值，②()()22231220ax b x ax b x +-+>⇒+-+>在R 上恒成立，然后可得00a >⎧⎨∆<⎩，结合1a b +=可求出实数a 的取值范围．【详解】（1）由已知可得，()2230ax b x +-+=的两根是1-，1 所以()21103111b a a-⎧-=-+=⎪⎪⎨⎪=-⨯=-⎪⎩，解得32a b =-⎧⎨=⎩． （2）①()12321f a b a b =+-+=⇒+=()14144559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭， 当4b a a b=时等号成立， 因为1a b +=，0a >，0b >，解得13a =，23b =时等号成立， 此时14a b +的最小值是9．②()()22231220ax b x ax b x +-+>⇒+-+>在R 上恒成立， ∴()202800a b a >⎧⇒--<⎨∆<⎩， 又因为1a b +=代入上式可得()22180610a a a a +-<⇒-+< 解得：322322a -<<+．【点睛】本题考查的是一元二次不等式和一元二次方程的关系、利用基本不等式求最值和一元二次不等式的恒成立问题，考查了学生对基本知识的掌握情况，属于典型题.25．在35x y =⎧⎨=⎩时，取得最小值min 9z =-，在31x y =⎧⎨=⎩时，取得最大值max 3z =． 【分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移直线可得最优解．【详解】作出可行域，如图ABC 内部（含边界），由2=030x y x -+⎧⎨-=⎩得()3A ，5，由+4=030x y x -⎧⎨-=⎩得()31B ，，由2=0+40x y x y -+⎧⎨-=⎩得()13C ，， 作直线:230l x y -=，向上平移直线l ，z 减小，当l 过点()3A ，5时，z 取得最小值23359⨯-⨯=-；向下平移直线l ，z 增大，当l 过点()31B ，时，z 取得最大值23313⨯-⨯=；所以目标函数23z x y =-在35x y =⎧⎨=⎩时，取得最小值min 9z =-，在31x y =⎧⎨=⎩时，取得最大值max 3z =．【点睛】本题考查简单的线性规划问题，解题方法是作出可行域，作出线性目标函数对应的直线，平移直线求得最优解，如果目标函数不是线性的，则可根据其几何意义求解，如直线的斜率、两点间的距离等，属于中档题．26．（1）(1,2)；（2）答案见解析；（3）(,3)-∞．【分析】（1）当2m =时，2()32f x x x =-+，则不等式()0f x <即为 2320x x -+<，利用一元二次不等式的解法求解.（2）()0f x <即为2(1)0x m x m -++<，转化为()(1)0x m x --<，再分 1m <，1m =和1m 三种情况讨论求解.（3）将[1,2]x ∈时，2(1)40x m x -++>恒成立，转化为[1,2]x ∈时，41m x x <+-恒成立． 利用基本不等式求得41x x+-的最小值即可. 【详解】（1）当2m =时，2()32f x x x =-+，所以不等式()0f x <即为： 2320x x -+<，即 ()()120x x --<解得12x <<，所以不等式()0f x <的解集是(1,2).（2）∵()0f x <，∴2(1)0x m x m -++<，∴()(1)0x m x --<当1m <时，不等式()0f x <的解集为(,1)m当1m =时，原不等式为2(10)x -<，该不等式的解集为∅；当1m 时，不等式()0f x <的解集为(1,)m ．（3）由题意，当[1,2]x ∈时，2(1)40x m x -++>恒成立， 即[1,2]x ∈时，41m x x <+-恒成立．由基本不等式得4113x x +-≥=，当且仅当2[1,2]x =∈时，等号成立， 所以，3m <， 所以实数m 的取值范围是(,3)-∞．【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法和不等式恒成立问题以及基本不等式的应用，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.。

一、选择题1．若实数x ，y 满足约束条件220103x y x y x y +-≥⎧⎪--≥⎨⎪+≤⎩，则()222x y +-的最小值为（ ） A ．12 B ．45 C ．92 D ．4192．已知()22log 31ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()0,4 B ．[)0,4 C ．()0,2 D ．[)0,2 3．已知()()22log 1log 24a b -++=，则+a b 的最小值为（ ）A ．8B ．7C ．6D ．34．已知正实数a ，b 满足231a b +=，则12a b +的最小值为（ ） A ．15 B．8+C ．16 D．8+5．设x ，y 满足约束条件4100,20,0,0,x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩则23z x y =-的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．5D ．6-6．设x ，y 满足约束条件22032600,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为12，则22a b +的最小值为（ ）A ．254B ．499C ．14425D ．225497．设,x y 满足约束条件0{4312x y x x y ≥≥+≤，且231x y z x ++=+，则z 的取值范围是（ ） A ．[]1,5 B ．2,6 C ．[]2,10D ．[]3,11 8．已知函数()32f x x ax bx c =+++，且()()()01233f f f <-=-=-≤，则( ) A ．c 3≤B ．3c 6<≤C ．6c 9<≤D ．c 9> 9．已知点（x ，y ）在直线x +2y =4上移动，则24x y +的最小值是（ ）A．B．C ．6 D ．8 10．已知0,0x y >>，且21x y +=，则xy 的最大值是（ ）A ．14B ．4C ．18D ．811．设变量,x y 、满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．912．如果0a b >>，0t >，设b M a =，b t N a t +=+，那么（ ） A ．M N <B ．M N >C ．M ND ．M 与N 的大小关系和t 有关二、填空题13．已知正数a ，b 满足30a b ab +-+=，则ab 的最小值是________．14．若,0x y >满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是___________.15．设,x y 满足约束条件20240280x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则z y x =-的最小值是__________．16．已知关于x 的一元二次不等式220bx x a -->的解集为{}(,,)xx c a b c R ≠∈∣，则228(0)a b b c b c+++≠+的最小值是___________． 17．已知实数x ，y 满足x y 10x y 20x 0-+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则z x 2y =-的最大值为______．18．已知0,0a b >>，若313m a b a b+≥+恒成立，则m 的取值范围是_____． 19．已知,x y 满足约束条件22022x y x y y +-≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则目标函数z x y =-的最大值为_____.20．当x ，y 满足270101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪⎩时，|2|x y a -≤恒成立，则实数a 的取值范围是________．三、解答题21．设函数2()(2)3(0)f x ax b x a =+-+≠．（1）若不等式()0f x >的解集为(1,3)-，求,a b 的值；（2）若(1)2,0,0f a b =>>，求19a b+的最小值．22．用铁皮做一个体积为350cm ，高为2cm 的长方体无盖铁盒，这个铁盒底面的长与宽各为多少cm 时，用料最省？23．已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且2()()2f x g x x x +=+-.（1）求()f x 和()g x 的解析式；（2）设2()33h x mx mx =+-（其中m R ∈），解不等式()()h x g x <.24．已知函数()f x = （1）若()f x 的定义域为2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，求实数a 的值； （2）若()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围.25．已知a ＞0，b ＞0，a +b ＝3．（1）求11+2+a b的最小值； （2）证明：92+a b b a ab26．已知关于x 的一元二次不等式()22600kx x k k -+<≠.（1）若不等式的解集是{|3x x <-或}2x >-，求k 的值；（2）若不等式的解集是R ，求k 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】作出可行域，利用()222x y +-的几何意义：表示可行域内点(,)x y 与定点(0,2)的距离的平方．可求得最小值．【详解】作出可行域，如图ABC 内部（含边界）， ()222x y +-表示可行域内点(,)P x y 与定点(0,2)M 的距离的平方，由图可知min 2PM ==，（点M 到直线BC 的距离）∴()222x y +-的最小值是2922⎛= ⎝⎭．故选：C ．【点睛】思路点睛：本题考查求简单的线性规划的非线性目标函数的最值．作出可行域是解题的基础．对非线性目标函数，常常利用其几何意义求解，主要有两种类型：（1）22()()x a y b -+-，两点间的距离公式；（2）y b x a--：两点连线斜率， 2．B解析：B【分析】由对数函数的单调性可得210ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立，讨论0a =和0a ≠求解.【详解】()22log 31ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立，即232ax ax ++>，即210ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立，当0a =时，10>恒成立，满足题意，当0a ≠时，则2040a a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得04a <<， 综上，a 的取值范围为[)0,4.故选：B.【点睛】本题考查一元二次不等式的恒成立问题，解题的关键是得出210ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立.3．B解析：B【分析】由对数运算可得出()()1216a b -+=，利用基本不等式可求得+a b 的最小值.【详解】因为()()22log 1log 24a b -++=，即()()2log 124a b -+=⎡⎤⎣⎦，所以，()()1216a b -+=且有10a ->，20b +>，由基本不等式可得()()128a b -++≥=，所以，7a b +≥， 所以(1)(2)16a b -+=，且10a ->，20b +>，当且仅当124a b -=+=时等号成立.因此，+a b 的最小值为7.故选：B.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.4．D解析：D 【分析】妙用“1”的代换，利用()121223a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭拼凑基本不等式，求和式的最小值即可. 【详解】正实数a ，b 满足231a b +=，则()121223888348a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+=+=+ ⎪⎝⎭仅当34b a b a =，即a b ==时等号成立，故12a b +的最小值为8+ 故选：D.【点睛】思路点睛：利用基本不等式求最值时，需注意取等号条件是否成立.（1）积定，利用x y +≥，求和的最小值；（2）和定，利用()24x y xy +≤，求积的最大值； （3）已知和式（倒数和）或为定值时，妙用“1”拼凑基本不等式求最值.5．C解析：C【分析】作出不等式对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数的最大值即可．【详解】画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，由23z x y =-得到233z y x =-， 平移直线233z y x =-，当过A 时直线截距最小，z 最大， 由04100y x y =⎧⎨--=⎩ 得到5(,0)2A ， 所以23z x y =-的最大值为max 523052z =⨯-⨯=， 故选C ．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．6．C解析：C【分析】根据z 的最大值求得,a b 的关系式，结合点到直线的距离公式，求得22a b +的最小值.【详解】由2203260x y x y -+=⎧⎨--=⎩解得43x y =⎧⎨=⎩. 画出可行域如下图所示，由于0,0a b >>，所以目标函数()0,0z ax by a b =+>>在点()4,3取得最大值4312a b +=.22a b +的最小值等价于原点到直线43120x y +-=的距离的平方，原点到直线43120x y +-=的距离为221212534-=+， 所以22a b +的最小值为212144525⎛⎫= ⎪⎝⎭. 故选：C【点睛】本小题主要考查根据线性规划的最值求参数，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 7．D解析：D【分析】试题分析：作出不等式组0{4312x y x x y ≥≥+≤表示的平面区域，如下图阴影部分所示，目标函数()()12123112111x y x y y z x x x ++++++===+⨯+++表示可行域内的点到()1,1--的连线的斜率，其斜率的最小值为min 1,k =最大值为 ()()max 41501k --==--，所以z 的取值范围是[]3,11，故选D.考点：简单的线性规划.【方法点晴】本题主要考查了简单的线性规划，属于中档题.线性规划问题首先要作出准确、清晰的可行域，这是正确解题的前提，其次是找准目标函数的几何意义，常见的有“截距型”、“距离型”和“斜率型”，本题中通过吧目标函数231x y z x ++=+变形可知其表示可行域内的点到点 ()1,1--连线斜率的2倍在加上 1，这样问题就转化为求可行域内的点与定点连线的斜率的范围问题，通过数形结合就容易解答了.8．C解析：C【分析】由()()()123f f f -=-=-可求得a b ，的值，代回不等关系得出c 的取值范围【详解】由()()()123f f f -=-=-可得184********a b c a b c a b c a b c -+-+=-+-+⎧⎨-+-+=-+-+⎩解得611a b =⎧⎨=⎩则()32611f x x x x c =+++ 所以()16f c -=-，()013f <-≤所以0c 63-≤＜，解得6c 9≤＜，故选C .【点睛】本题主要考查了函数的性质，运用待定系数法求出参量的值，然后结合题意求出取值范围，较为基础．9．D解析：D【分析】 运用基本不等式2422422x y x y +≥=【详解】因为20,40x y >>，所以224228x y x y ++≥===，（当且仅当24x y =时取“=”）．故答案为D.【点睛】利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：①各项都是正数； ②和（或积）为定值； ③等号取得的条件．10．C解析：C【分析】根据基本不等式求解即可得到所求最大值．【详解】由题意得，221121112222228x y xy xy +⎛⎫⎛⎫=⨯≤⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当11,42x y ==时等号成立，所以xy 的最大值是18． 故选C ．【点睛】 运用基本不等式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如222a b ab+≥逆用就是222a b ab +；,0)2a b a b +≥>逆用就是2(,0)2a b ab a b +⎛⎫> ⎪⎝⎭等．当应用不等式的条件不满足时，要注意运用“添、拆项”等技巧进行适当的变形，使之满足使用不等式的条件，解题时要特别注意等号成立的条件． 11．D解析：D【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩的可行域，如图，画出可行域ABC ∆，(2,0)A ，(1,1)B ，(3,3)C ，平移直线2z x y =+，由图可知，直线2z x y =+经过(3,3)C 时目标函数2z x y =+有最大值，2z x y =+的最大值为9.故选D.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.12．A解析：A【分析】对M 与N 作差，根据差值的正负即可比较大小.【详解】()()()()()b a t a b t t b a b b t M N a a t a a t a a t +-+-+-=-==+++，因为0a b >>，所以0b a -<， 又0t >，所以0a t +>，所以()()0t b a a a t -<+，即0M N -<，所以M N <. 故选：A【点睛】本题主要考查作差法比较大小，考查学生的化简分析能力，属于常规题型.二、填空题13．9【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解【详解】为正实数当且仅当时取等号即解得：或（舍去）当且仅当时取等号即的最小值是9故答案为：9【点睛】关键点点睛：本题主要考查了利用基本不等式求最值解题的关键解析：9 【分析】由已知结合基本不等式a b +≥，即可直接求解． 【详解】30a b ab +-+=，3a b ab ∴+=-,a b 为正实数，a b ∴+≥a b =时取等号，3ab ∴-≥30ab ∴-≥，即)310≥3≥1≤-（舍去），9ab ∴≥，当且仅当3a b ==时取等号，即ab 的最小值是9．故答案为：9 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了利用基本不等式求最值，解题的关键是利用基本不等式将已的一元二次不等式，进而解不等式得解，考查学生的转化思想与运算能力，属于基础题．14．【分析】化简得到结合基本不等式即可求解【详解】由满足可得则当且仅当时即时等号成立所以的最小值是故答案为：【点睛】通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤：（1）根据已知条件或其变形确定定值（常 解析：5【分析】化简35x y xy +=，得到315x y +=，134(34)()531x y x y x y⋅+++=，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由,0x y >满足35x y xy +=，可得315x y+=， 则311134(34)()(13123)55y x x y x y y x yx +=⋅++=++⨯11(13(1312)555≥⋅+=+=，当且仅当123y x x y =时，即21x y ==时等号成立，所以34x y +的最小值是5. 故答案为：5.【点睛】通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤： （1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）； （2）把确定的定值（常数）变形为1；（3）把“1”的表达式与所求的最值的表达式相乘或相除，进而构造或积为定值的形式； （4）利用基本不等式求最值.15．【分析】作出不等式组对应的平面区域利用目标函数的几何意义结合数形结合进行求解即可【详解】由得作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分平移直线由图象可知当直线经过点时直线的截距最小此时也最小由解得即代 解析：4-【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可． 【详解】由z y x =-得y =x+z ，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分):ABC平移直线y =x+z 由图象可知当直线y =x+z 经过点B 时，直线y =x+z 的截距最小，此时z 也最小，由240280x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得40x y =⎧⎨=⎩，即(4,0)B ．代入目标函数z y x =-，得044z =-=-． 所以z y x =-的最小值是4-. 故答案为：4- 【点睛】方法点睛：线性规划问题解题步骤如下： （1）根据题意，设出变量,x y ；（2）列出线性约束条件；（3）确定线性目标函数(,)z f x y =；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）； （5）利用线性目标函数作平行直线系()(y f x z =为参数)；（6）观察图形，找到直线()(y f x z =为参数)在可行域上使z 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案.16．【分析】根据一元二次不等式的解集求得的关系再根据均值不等式求得最小值【详解】因为的解集为得得又所以所以由均值不等式得所以当时取等号故的最小值是故答案为：【点睛】用均值不等式解最值问题是本题的解题关键点 解析：【分析】根据一元二次不等式的解集求得,,a b c 的关系，再根据均值不等式求得最小值. 【详解】因为220bx x a -->的解集为{}(,,)xx c a b c R ≠∈∣，得0b >，440ab ∆=+=，得1ab =-，又1c b=，所以a c =-，所以0b c +>，由均值不等式得2b c +≥=， 所以()()22222228688b c bc b c a b c b b c b c b c b c+-+++++++===++++ ()6b cb c =++≥+，当b c +=228a b b c+++的最小值是故答案为：【点睛】用均值不等式解最值问题是本题的解题关键点.17．-2【详解】根据题意得到如图可行域是封闭的三角形顶点是(01)()（02）目标函数可得到当目标函数过点A(01)有最大值-2故得到答案为：-2点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内解析：-2 【详解】根据题意得到如图可行域 是封闭的三角形，顶点是(0,1) (13,22)（0，2）目标函数2z x y =-，1,22zy x =-可得到当目标函数过点A(0，1)，有最大值-2， 故得到答案为：-2.点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（y bx a++型）和距离型（()()22x a y b +++型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．18．【分析】先将问题转化为恒成立再结合基本不等式求解即可得答案【详解】解：根据题意若恒成立等价于恒成立由于当且仅当即时等号成立所以故答案为：【点睛】本题考查利用基本不等式解决恒成立问题是基础题 解析：(],12-∞【分析】 先将问题转化为()313a b m a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭恒成立，再结合基本不等式求解即可得答案. 【详解】解：根据题意，0,0a b >>，若313m a b a b +≥+恒成立等价于()313a b m a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭恒成立，由于0,0a b >>，()3199933366212b a a a b b a b a b a b a b a b ⎛⎫++=+++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当9b aa b=，即3a b =时等号成立. 所以12m ≤故答案为：(],12-∞ 【点睛】本题考查利用基本不等式解决恒成立问题，是基础题.19．【分析】画出可行域和目标函数根据目标函数的几何意义得到答案【详解】如图所示：画出可行域和目标函数则则表示直线在轴的截距的相反数根据图像知当直线过点时即时有最大值为故答案为：【点睛】本题考查了线性规划 解析：2【分析】画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义得到答案. 【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，z x y =-，则y x z =-，则z 表示直线在y 轴的截距的相反数，根据图像知当直线过点()2,0时，即2x =，0y =时，z 有最大值为2. 故答案为：2.【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.20．【分析】先根据条件作出可行域然后求出的取值范围由恒成立即即可得出答案【详解】由满足作出可行域如图设则表示直线在轴上的截距的相反数则由得当直线过点时有最大值4当直线过点时有最小值所以所以故答案为：【点解析：)4，⎡+∞⎣ 【分析】先根据条件作出可行域，然后求出2z x y =-的取值范围，由|2|x y a -≤恒成立，即max |2|x y a -≤，即可得出答案.【详解】由x ，y 满足270101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪⎩，作出可行域，如图.设2z x y =-，则2y x z =-，z 表示直线2y x z =-在y 轴上的截距的相反数.则()()1,0,1,3A C ,由27010x y x y +-=⎧⎨--=⎩，得()3,2B .当直线2y x z =-过点()3,2B 时，z 有最大值4，当直线2y x z =-过点()1,3C时，z 有最小值-1.所以|2|4x y -≤，所以4a ≤故答案为：[)4+∞，. 【点睛】本题考查简单的线性规划问题和恒成立求参数的问题，属于中档题.三、解答题21．（1）14a b =-⎧⎨=⎩；（2）16．【分析】（1）由不等式()0f x >的解集(1,3)-．1-，3是方程()0f x =的两根，由根与系数的关系可求a ，b 值；（2）由()12f =，得到1a b +=，将所求变形为1(9)()a ba b ++展开，利用基本不等式求最小值． 【详解】解：（1）∵()2230ax b x +-+>的解集为()1,3-，1,3∴-是()2230ax b x +-+=的两根，21313413b a a b a -⎧-+=-⎪=-⎧⎪∴⇒⎨⎨=⎩⎪-⨯=⎪⎩．（2）由于()12f =，0a >，0b >， 则可知232a b +-+=， 得1a b +=，所以199()()101016b a a b a b a b ++=++≥+=， 当且仅当9b aa b=且1a b +=， 即1434a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时成立，所以19a b +的最小值为16. 【点睛】易错点睛：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值. 22．铁盒底面的长与宽均为5cm 时，用料最省. 【分析】法一：因为体积为350cm 高为2cm ，所以底面积是定值25，设长为xcm ，则宽为25x，列出表面积结合基本不等式即可；法二：列出表面积后，利用求导函数的方法求最值. 【详解】解法1：设铁盒底面的长为xcm ，宽为25x，则.. 表面积251002544425S x x x x=++⨯=++..2565≥=.. 当且仅当25x x=，即5x =时，表面积有最小值65. 所以这个铁盒底面的长与宽均为5cm 时，用料最省. 答：这个铁盒底面的长与宽均为5cm 时，用料最省. 解法2：设铁盒底面的长为xcm ，宽为25x，表面积为2ycm ，则. ()2510025444250y x x x x x=++⨯=++>22210041004x y x x -'=-=.. 令2241000x y x-'==得，5x =. 当()0,5x ∈时，0y '<，函数224100x y x -'=为减函数； 当()5,+∈∞x 时，0y '>，函数224100x y x -'=为增函数；所以当5x =时，y 有最小值65.答：这个铁盒底面的长与宽均为5cm 时，用料最省. 23．(1)2()2f x x =-，()g x x =；(2)答案见解析. 【解析】试题分析：（1）根据函数奇偶性的性质利用方程组法即可求f （x ）和g （x ）的解析式；（2）()()h x g x < 即()23130mx m x +--<，讨论当0m =时，当0m ≠时，即()()130mx x -+<，对应方程的两个根为11x m =，23x =-，比较1m与-3的大小，进行讨论； 试题（1）由题意()()22f x g x x x -+-=--，即()()22f x g x x x -=--，又()()22f x g x x x +=+-联立得()22f x x =-，()g x x =.（2）由题意不等式即()23130mx m x +--<，当0m =时，即30x --<，解得3x >-；当0m ≠时，即()()130mx x -+<，对应方程的两个根为11x m=，23x =-， 故当0m >时，易知13m >-，不等式的解为13x m-<<； 当0m <时，若13m >-，即13m <-时，不等式的解为3x <-或1x m>； 若13m =-，即13m =-时，不等式的解为3x ≠-； 若13m <-，即13m >-时，不等式的解为1x m<或3x >-； 综上所述，当13m <-时，不等式的解为1|3x x x m 或⎧⎫-⎨⎬⎩⎭；当103m -≤<时，不等式的解集为1|3x x x m ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭或；当0m =时，不等式的解集为{}3x x -； 当0m >时，不等式的解集为1|3x x m ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. 点睛：本题主要考查根据奇偶性的定义利用方程组法求函数解析式及求含参的一元二次不等式解集；在讨论时从二次项系数等于0，不等于0入手，当不等于0时，往往先对式子进行因式分解得出对应二次方程的根，然后比较根的大小，讨论要不重不漏. 24．(1) 2a = (2) 7,19a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据题意定义域为2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，可知不等式()()221120a x a x ---+≥的解集为2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，根据一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系即可求解. （2）()f x 的定义域为R ，可知不等式()()221120a x a x ---+≥恒成立，然后讨论二次项系数，借助二次函数的性质即可求解. 【详解】解：（1）()f x 的定义域为2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，即()()221120a x a x ---+≥的解集为2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 故()()()()22210221*********a a a a a ⎧-<⎪⎪⎛⎫-⋅---+=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪---+=⎩，解得2a =；（2）()f x 的定义域为R ，即()()221120ax a x ---+≥恒成立，当210a -=时，1a =±，经检验只有1a =满足条件；当210a -≠时，()()222101810a a a ⎧->⎪⎨∆=---≤⎪⎩，解得7,19a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭， 综上，7,19a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查函数的定义域、一元二次不等式的解法、一元二次不等式与二次函数的关系，综合性比较强. 25．（1）45；（2）证明见解析【分析】 （1）由所给等式得()215a b ++=，再利用基本不等式即可求得最小值；（2）利用()2222a b a b ++≥即可逐步证明.【详解】（1）3a b +=，()215a b ++∴=，且200a b +>>，，∴()1111112++2225252b a a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭14255⎛≥+= ⎝，当且仅当2=2b a a b ++即1522a b ==，时等号成立， ∴11+2+a b 的最小值为45. （2）因为a ＞0，b ＞0，所以要证92+a bb aab，需证2292a b +≥，因为()222239222a b a b ++≥==， 所以92+a bb a ab ，当且仅当32a b ==时等号成立. 【点睛】本题考查条件等式求最值、基本不等式的应用，属于中档题.26．（1）25-；（2）6⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭，-. 【分析】（1）由不等式的解集为{}32x x x <->-或知0k <,且3-，2-是方程2260kx x k -+=的两根，代入可解.（2）不等式的解集为R ，知二次函数图像恒在x 轴下方，则利用0k <且24240k ∆=-<可解【详解】（1）∵不等式的解集为{}32x x x <->-或 ∴3-，2-是方程2260kx x k -+=的两根，且0k < ∴25k =-（2）∵不等式的解集为R ∴0k <且24240k ∆=-<∴k<-6∴k的取值范围是(-∞，【点睛】解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式∆与0的关系．(3)确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．。

第三章能力检测满分150分．考试时间120分钟．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设M＝2a(a－2)＋7，N＝(a－2)(a－3)，则有()A．M＞N B．M≥NN≤M．DC．M＜NA【答案】13??2222＋a＝＋6)＝a1＋＞N. 【解析】M－N＝(2a7)－4a＋－(aa－5a＋M＋＞0，∴??24) (2．下列结论成立的是，则a＞b ac A．若＞bc22b＞，则ab B．若a＞＋d，则C．若a＞b，c＜da＋c＞b＞b－cb D．若a＞，c＞d，则a－d【答案】D，，不成立；对于C b【解析】对于A，当c＜0时，不成立；对于B，取a＝－1，＝－2，，又＞－ca＞b，∴a－d＞b－c，∵＝＝取a2，b＝1，c0，d＝3，不成立；对于D c＞d，∴－d因此成立．故选D．26xx－－)的解集为(．3不等式＞01x－3} 1＜＜x或＜－|3} x A．{|x＜－2或x＞{B．xx23} ＜x＜1或1＜x＜2或＜x C．{|－2x＜1x＞3} －|x{．D【答案】C xx2{，＞1)(x＋【解析】原不等式可化为(x2)(－x－3)0则该不等式的解集为x|－＜＜1或．3}＞22) B0}xxx＝设集合年四川自贡模拟．4(2017)A{|－3＜，＝(＝B∩A4}|x{x＞，则2,3) －( 2,0)(．A－B．(2,3) (0,2)．C．D D【答案】．22B2}，则A∩x|x＞2或x＜x＜3}，B＝{x|x＜－＞4}＝{【解析】A＝{x|x＝－3x＜0}{x|0D.x＜3}．故选＝{x|2＜1??2，0∈对于一切xx≥＋ax＋10成立，则a的取值范围是() 5．若不等式??25??－∞，－．B 2]A．(－∞，－??25??，＋∞－)[2，＋∞D．C．??2【答案】C21x－－11????2，0，0∈≥对于一切x∈成立?【解析】x＋ax＋1≥0对于一切x成立?a ????22x111111????，0，0∈－x－对于一切－上是增函数，∴－x－≤－∵成立．y＝－x在区间2a≥????222xxx55 ．≥－.故选C＝－.∴a22p)，＋∞x)在(1(p 为常数且p>0)，若f()6．(2017年上海校级联考)已知函数f(x＝x＋1－x)的值为(上的最小值为4，则实数p99B．A．424．DC．2B【答案】p2＝p即x，当且仅当(x－1)＝1，【解析】由题意得x－1>0f(x)＝x－＋＋1≥＋2p11x－9.p＝1p＋＝4)fp＋1时取等号．∵(x)在(1，＋∞上的最小值为4，∴，解得242) (则实数0x －8x－4－a≥在1≤x≤4内有解，a的取值范围是的不等式7．若关于x2) －4．A(－∞，－4]，＋∞[．B 12]－∞，－(．D，＋∞．C[－12)【答案】A22x时，a44＝时，取最大值－，∴当≤－428x－x4)x4(1xx＝∵【解析】y2－8－≤≤在[1,4]a4－≥在内有解．吨；3A．8某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲种产品要用原料吨，原料2B乙两种产品的总量不B3原料吨．该工厂每天生产甲、吨，1原料生产每吨乙种产品要用A 吨．如果设每天甲种产品9原料不能超过B吨，10原料不能超过A吨且每天消耗的2少于的产量为x吨，乙种产品的产量为y吨，则在坐标系xOy中，满足上述条件的x，y的可行域用阴影部分表示正确的是()A B C D【答案】A，≥2x＋y??，≤103x＋y?故选A【解析】由题可知．，≤9＋2x3y?，0≥x?0.≥y9．(2016年广东佛山模拟)若a>b>0，c＜d＜0，则一定有()abba B．< ．A>dccdabab DC．．< >cddc B【答案】1111abab【解析】∵c＜d＜0，∴＜＜0，∴－＞－＞0.而a＞b＞0，∴－＞－＞0，∴＜.故选dcdcdcdc．B．10．下列函数中，最小值是4的函数是()4A．y＝x＋x4(0＜x＜x＋π) B．y＝sin x sinxx－＝e4e＋C．y D．y＝log x＋log81 x3【答案】C44【解析】当x＜0时，y＝x＋≤－4，排除A；∵0＜x＜π，∴0＜sin x≤1，y＝sin x＋xx sin4xxxxx－＝2时成立；若0＜x e＜1，则y＝elog＋4e≥4，等号在e x＝＞4，排除B；e即＞0，x3e ＜0，log81＜0，排除D．故选C．x2＋qx＋r＞0的解集是{x|α＜x＜β}(β＞α＞0)，那么另一个关于x11．关于x的不等式px2－qx＋p＞0的解集应该是(的不等式rx)1111??????＜＜x＜＜x A．x B．x??????αββα????1111??????＜－－＜－x＜－＜xx．x C．D??????αβαβ????【答案】D2＋qx＋r＞0的解集是{x|α＜x＜【解析】因为关于x的不等式pxβ}，所以α和β可看作qr2＋qx＋r＝0的两个根且p＜0，则α＋β＝－，α·β＝.因为0＜α方程px＜β，p＜0，所以r pprq11222＋(α＋β)x＋1＜0，解得－＜x＜－.故所以rxp－qx＋＞0，即x＋－x1＜0，即α·βx ＜0.αβpp选D．，≥0－2?x－y??x＋y???)的取值范围为(则x＋2y满足12．已知实数x，y?，4x≤1≤??A．[12，＋∞)B．[0,3] D．[3,12][0,12]C．【答案】C【解析】作出不等式组表示的平面区域如图，作直线l：x＋2y＝0，平移l可见当经过00可行域内的点A，B时，z＝x＋2y分别取得最大值与最小值，∴z＝12，z．C，故选0＝minmax) 分．将正确答案填在题中横线上5分，共20二、填空题(本大题共4个小题，每小题22________. ＝，则m的解集是(1，axm－6x＋a)＜0x13．若关于的不等式【答案】2222x∴不等式为2的一个根，∴a＝－6x＋a2.＝0是方程【解析】由题意知a＞0且1ax22.m＝x＜2.∴＋3x2＜0.∴1－6x＋4＜0，即x＜－，0x≥???，4＋3y≥xy.若直线所表示的平面区域为D14．(2016年湖南郴州二模)记不等式组??4y≤3x＋__________．有公共点，则a的?，≥0x??，y≥4x＋3－(1)过定点＝a(x 取值范围是(x＋1)与D＝a1??4，【答案】??2＋的平面区域如图所示．因为y【解析】满足约束条件??4≤3x＋y1.a＝，1)时，得到a(x＋1)过点A(1ax所以当y＝a(＋1)过点B(0,4)时，得到＝4；当y＝1,0)，214.≤有公共点，所以≤a1)a(x＋与平面区域D又因为直线y＝222b＋1a???2≠－x的最小值为则x＋2＋b＞0的解集为x已知二次不等式b且a＞，15．ax???aba－??．________22【答案】1???2－x≠x0的解集为＞＋2∵二次不等式且对应方程有两个＞，∴a0【解析】ax＋xb???a??2222＋?a－ba?＋b1b11??－－a.由根与系数的关系得－·＝＝(＝，即ab＝1，故相等的实根－??aaaabbaa－－22222，当且b??a－b)＋≥a2－＝，∴b)＋.∵a＞ba－b＞0.由基本不等式可得(aa－－ba－bb22b＋a2.时取等号，故的最小值为2－仅当ab＝2ba－，5≥2a－b???，a－b≤2满足不等式组，ba16．某校今年计划招聘女教师名，男教师b名，若a??<7.a______.设这所学校今年计划招聘教师最多x名，则＝x【答案】13＋b：＋b，如图所示，画出约束条件所表示的可行域，作直线l由题意得【解析】x＝a13.＋b＝x＝7时，取最大值，∴x＝a＝，再由a＝0，平移直线la，b∈N，可知当a6，b三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)22＝0k的两个实2kx＋1－分)设x，x是关于x的一元二次方程x－(17．本小题满分102122＋x的最小值．根，求x212. －kx，x＝1【解析】由题意，得x＋x＝2k22111222kΔ＝4≥k.≥0－4(1－k，∴)2222＋x＝(x＋x)－2x∴xx22121122) k2(1＝4k－－12－2≥6×－2＝6k＝1.222＋xx的最小值为1.∴212两个代数式值的大小，并说明理由；6) x＋＋5)(x7)与(＋x比较分本小题满分．18(12)(1)(220. ＜a－ax＋x56的不等式x解关于(2)．222＋12x＋36)＝－(x1＜0x＋6)，＝(x＋12x＋35)－(1)【解析】∵(x＋5)(x＋7)－(2.＋6)＜(xx＋5)(x＋7)∴(aa??????22－－xx－＜0，即a)(8x－a＋ax－a)＜0，∴(7x＋＜0. (2)∵56x ??????87aa2＜0，解得x∈＝，不等式化为x?.①当a＝0时，－78aa②当a＞0时，－＜，不等式的解集为78aa???＜x－＜. x???78??aa③当a＜0时，－＞，不等式的解集为78aa???＜x＜－.x???87??2＋(lg a＋2)x＋lg b满足f(－1)x19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝＝－2且对于任意x∈R，恒有f(x)≥2x成立．(1)求实数a，b的值；(2)解不等式f(x)＜x＋5.【解析】(1)由f(－1)＝－2知lg b－lg a＋1＝0，a所以＝10.b又f(x)≥2x恒成立，即f(x)－2x≥0恒成立，2＋x·lg a＋lg b则有x≥0恒成立，2－4lg b≤0，Δ故＝(lg a)22≤1)0. (lg b－－4lg b≤0，即＋所以(lg b1)故lg b＝1，即b＝10，a＝100.2＋4x＋1，f(x＝x)＜x＋5，)知(2)由(1)f(x2＋4x＋1＜即xx＋5，2＋3x－4＜0，解得－4＜所以xx＜1，因此不等式的解集为{x|－4＜x＜1}．辆，/万元1上年度生产摩托车的投入成本为某摩托车生产企业，)分12本小题满分(．20．出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y(万元)与投入成本增加的比例x的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？【解析】(1)依题意得y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1 000×(1＋0.6x)(0＜x＜1)，2＋20x＋200(0＜x＜1)．整理，得y＝－60x∴本年度年利润与投入成本增加的比例的关系式为2＋20x＋200(0＜x＜1)y＝－60x．(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，?，1 000>0?×?1.2－1y－??当且仅当?，<10<x?2?，x>060x＋20－?1?，0＜x即＜解得3?，<10<x?1∴为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x应满足0＜x＜.32＋bx－a＋2.已知函数f(x)＝ax(21．本小题满分12分)(1)若关于x的不等式f(x)＞0的解集是(－1,3)，求实数a，b的值；(2)若b＝2，a＞0，解关于x的不等式f(x)＞0.【解析】(1)∵不等式f(x)＞0的解集是(－1,3)，2＋bx－a＋2＝0的两根且∴－1,3是方程axa＜0.??，10，a＝－aa－b－＋2＝????解得∴??2.b0，＝3b－a＋2＝9a＋????2a－2??0.1)＞a，∵＞0，∴(x＋a＋2ax(＝b2时，fx)＝x＋2－a＋＝(x1)(ax－＋2)当(2)－x??a2a－－1}．x，解集为，即＝a＝1{x|≠1①若－a2a－＜＜，即1②若－＞0a1，解集为a ???2a－???. x??1＜x＞－或x?a????a－2③若－1＜，即a＞1，解集为a???a－2???. x??＞1或xx＜－?a????22．(本小题满分12分)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司该如何合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润，最大利润是多少元？【解析】设派用甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，获得的利润为z元，z＝450x＋350y.，8x≤0≤??，0≤y≤7?，x≤12＋y?满足关系式由题意，x，y，≥6y7210x??，N∈x，y作出相应的平面区域如图阴影部分所＋?，y≤192x＋示．z＝450x＋350y＝50(9x＋7y)，?，12＋y＝x??4 900. 有最大值350x＋y时，，，∴当得交点(7,5)x＝7y＝5450由?19y＝＋2x?元．4 900最大利润为获得的利润最大，辆，5乙型卡车辆，7该公司派用甲型卡车答：。