练 习 一1．求下列各复数的实部、虚部、模与幅角。
（1）i ii i 524321----； 解：i iii 524321---- =i 2582516+zk k Argz z z z ∈+====π221arctan 2558258Im 2516Re（2）3)231(i +解： 3)231(i +zk k Argz z z z e i i∈+===-=-==+=πππππ210Im 1Re 1][)3sin 3(cos 3332．将下列复数写成三角表示式。
1）i 31- 解：i 31-)35sin 35(cos2ππi +=（2）i i+12解：i i +12 )4sin 4(cos21ππi i +=+=3．利用复数的三角表示计算下列各式。
（1）i i 2332++-解：i i 2332++- 2sin2cosππi i +==（2）422i +-解：422i +-41)]43sin 43(cos 22[ππi +=3,2,1,0]1683sin 1683[cos 2]424/3sin ]424/3[cos 28383=+++=+++=k k i k k i k ππππππ4．.设321,,z z z 三点适合条件：321z z z ++=0，,1321===z z z 321,,z z z 是内接于单位圆z =1的一个正三角形的项点。
证：因,1321===z z z 所以321,,z z z 都在圆周32z z ++=0 则,321z z z -=+1321=-=+z z z ，所以21z z +也在圆周1=z 上，又,12121==-+z z z z 所以以0，211,z z z +为顶点的三角形是正三角形，所以向量211z z z +与之间的张角是3π，同理212z z z +与之间的张角也是3π，于是21z z 与之间的张角是32π，同理1z 与3z ，2z 与3z 之间的张角都是32π，所以321,,z z z 是一个正三角形的三个顶点。
练 习 一1．求下列各复数的实部、虚部、模与幅角。
（1）i iii 524321----； 解：i ii i 524321---- =i 2582516+ zk k Argz z z z ∈+====π221arctan 2558258Im 2516Re（2）3)231(i + 解： 3)231(i +zk k Argz z z z e i i∈+===-=-==+=πππππ210Im 1Re 1][)3sin 3(cos 3332．将下列复数写成三角表示式。
1）i 31- 解：i 31-)35sin 35(cos2ππi +=（2）i i+12解：i i +12 )4sin 4(cos21ππi i +=+=3．利用复数的三角表示计算下列各式。
（1）i i 2332++-解：i i 2332++- 2sin2cosππi i +==（2）422i +-解：422i +-41)]43sin 43(cos 22[ππi += 3,2,1,0]1683sin 1683[cos 2]424/3sin ]424/3[cos 28383=+++=+++=k k i k k i k ππππππ4．.设321,,z z z 三点适合条件：321z z z ++=0，,1321===z z z 321,,z z z 是内接于单位圆z =1的一个正三角形的项点。
证：因,1321===z z z 所以321,,z z z 都在圆周,11==z z 又因321z z z ++=0则,321z z z -=+1321=-=+z z z ，所以21z z +也在圆周1=z 上，又,12121==-+z z z z 所以以0，211,z z z +为顶点的三角形是正三角形，所以向量211z z z +与之间的张角是3π，同理212z z z +与之间的张角也是3π，于是21z z 与之间的张角是32π，同理1z 与3z ，2z 与3z 之间的张角都是32π，所以321,,z z z 是一个正三角形的三个顶点。
华中科技大学复变函数与积分变换试题及解答2006.11系别___________班级__________学号__________姓名___________3分，24分）1．的值为，主值为.2．；且所表示的平面点集是区域吗？是，单连域还是多连域？单连域。
3． 0 。
4．在映射下，集合的像集为：.5．为的 1 阶极点。
6．在处展开成Taylor级数的收敛半径为.7．的频谱密度函数。
8．已知，其中，则。
6分）设a、b是实a、b之值，并求.解：是复平面上的解析函数，则在平面上满足C—R方程，即：故对成立，8分）验证是z平面.解：（1）故是调和函数。
（2）利用C—R条件，先求出的两个偏导数。
则由故四、（6×4=24分）计算下列各题：1．，设C为正向圆周。
解：令，则由高阶求导公式得：原式2．，C为正向圆周。
解: 在C内，有本性奇点，由留数定理：原式在内将展为Laurent级数：故：3．解：由于是偶函数，故原式令则定积分可化为复积分令则在内有2个简单极点与由留数定理知：故原式4．解：令容易验证满足若尔当引理在上半平面有两个简单极点原式解：在复平面有孤立奇异点与，（1）时，（2）时（3）时（4）时解：在实轴上依次取，由分式线性映射的保圆性知：决定了故实轴在下的象区线为单位圆周，再由边界对应原理知：在下的象区域为。
部。
解：解：令，对方程两边求拉氏变换得：试证：当时，证：令因为在内解析，在上连续，所以也在内解析，在上连续。
根据Cauchy积分公式有：。
