数学系2005级本科《实变函数》期末(A)试题解读
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数学系 2005级 本科《实变函数》期末（A）试题
2007 — 2008 学年 第二学期 考试时间 120分钟 满分100分
一、判断题。（2分×10=20分）
1、设E为R1真子集，且m*E=0，则E必是可数集。 （ ）
2、若m*E=0,则E是可测集。 （ ）
3、若)(xf在可测集E上黎曼可积，则必在E上lebegue可积。 （ ）
4、若xf在上E可测，并且iiEE，则xf在Ei上可测。 （ ）
5、设iE是单调减少的可测集列，则lim(lim)kkkkmEmE。 （ ）
6、任何点集E上的常数函数xf是可测函数。 （ ）
7、若()fx在E上可测，则()fx在E上可测。 （ ）
8、若..aenff于E，则ffn于E。 （ ）
9、若()fx在E上可积，则()fx在E的任何可测子集上可积。 （ ）
10、若,0)(*Em则0)(*Em. （ ）
二、选择填空：（4分×10=40分）
1. 下列集合中可数集合是（ ）.
A 全体有理数集; B全体无理数集; C [0,1]; D全体实数列集.
2. 下列集合中势为的集合是（ ）
A 全体整数集；B 全体代数数集；C全体有理数集；D全体实数集。
3．如果E为闭集，且E不含内点，则A必是（ ）.
A. 完备集；B. 稠密集；C. 疏朗集；D. 自密集
4. 下列集合中测度不为0的集合是（ ）.
A.Cantor三分集； B.非空开集； 题号 一 二 三 四 五 六 总分
得分
评卷人 C.R1上全体孤立点集； D.[0，1]中有理点集
5. Cantor三分集（ ）.
A. 是可列集 B. 势为 C. 是开集 D. 稠密集
6. 当Rn中两集合对等时，则这两集合（ ）.
A. 势相同且外测度相等 B. 势相同但外测度不相等
C. 势不相同但外测度相等 D. 势相同但外测度不一定相等
7．函数D(x)的定义如下：
.]10[,,]10[,10)(中无理数时，为当中有理数时，为当xxxD
则D(x)在[0，1]上( ).
A 几乎处处为0; B 几乎处处连续;
C 是L—可测函数; D 是L—可测但L—不可积函数.
8.Exfxfn于是Exfxfean于..的（ ）.
A.充分非必要条件； B.必要非充分条件；
C.充分必要条件； D.非充分非必要条件
9.设}sin.);,{(1xyxyxER,则'E（ ）
A }sin.);,{(1xyxyxR; B ;
C 11,0),(yxyx;
D 11,0),(yxyxxyxyx1sin.);,(R.
10.设2121(0,),(0,)(1,2,)nnAAnnn，集列{}kA的上极限集和下极限集分别为：（ ）
A 和,0; B 和n,0; C ）和，0[; D 和),0[n.
三、计算题。（共16分）
1、求极限： .nxdxsinxnnxRlimn51022121（8分） 2.设FxxFxxFxxxf2)1,21[cos)21,0[sin)(；其中F为Cantor三分集。试计算]1,0[)()(dxxfL（8分）
四、 证明题。（共24分）
1、证明：直线上互不相交的开区间构成的集合之多可数。（6分）
2、设qRE,若对任意0,存在闭集EF,使得)(*FEm,证明E是可测集.（6分）
3.若xf是R1上的连续函数，xg为],[ba上的可测函数，则xgf是可测函数（6分）
4. 设E∈L1, xf是E上几乎处处有限的可测函数,则必有一列在R1中连续的函数xn，使Exfx.e.an于.（6分）
