第二章 静电场分析

“立个球面”的立体角＝？ 2. “任意曲面”dS对“某点”所张的立体角 (1) 以R0为半径的“球面”
3. “立体角”的重要结论
散度方程微分形式的引出：
请注意：此处的ρ 是指自由电荷的体密度ρvf ！
（强调）散度方程
• 物理意义： 它们描述了静电场的发散性，给出了通过封闭面的 电通量与面内所围电荷量之间的关系； • 积分形式说明： 任意封闭面的电通量＝面内所围电荷总量； 电通量为0，则封闭面内不包含电荷，即面内无源; 进而说明：静电场具有通量源，即自由电荷。 • 微分形式说明： 静电场(电位移)散度＝该点处电荷体密度; 进而，静电场具有散度源，即自由电荷的体密度。
例2. 求电荷分布
已知真空中电场分布,求各处电荷分布的体密度. 分析: 由电场分布可知, 球对称, 电场只有径向分量； 可以直接运用散度方程求解； 仍要分球内和球外两种情况；
作业
• 试计算电荷面密度为σ 的无限大平面周围 的电场。
静电场的旋度方程
• 首先应注意，这是静电场，不是任意电场； • 积分形式: 电场沿任意闭合曲线的积分为0； C指任意闭合曲线； C自身方向与C所围曲面方向满足右手规则； 积分式即电场的环流量； • 微分形式: 静电场的旋度为0 无论在有源区还是无源区； 电荷是静电场的什么源？体密度是什么源？
真空中距离为R的两点电荷q1，q2 q1对q2的作用力，电荷量正比，距离平方反比 矢量方向：q1指向q2 真空中介电常数(Dielectric Constant)
1 12 0 8.85 10 ( F / m) 9 4 9 10
真空中静止点电荷的电场强度
q 2受到的电场力：F R, q1 , q2


总结1：
库仑定律(真空中静止电荷电场)

则认为，在该处有一点电荷。 当带电体的尺寸<< 研究点到带电体的距离时，则可认 为带电体是一电量为q的点电荷。
第二节 库仑定律与电场强度
• 库仑定律
由实验得到的库仑定律是静电 场理论的基础，它给出了源点对 场点电荷的作用力。
q ' q (r r ) F (r ) 4 0 r r 3
第三节 真空中静电场的基本规律
• • • • • 静电场的基本方程 电位 真空 介质 无限空间 有限空间 能量
描述静电场的变量
(r ) 电荷密度——源变量 E (r ) 电场强度——场变量 D(r ) 电位移——场变量
(C / m 2 )
产生原因：电介质内 束缚电荷在外电场力 作用下发生位移，由 麦克斯韦通过实验证 实
E
l
束缚电荷
无极分子
q
点偶极子
电偶极矩 p ql
• 电介质的极化强度
p P = lim V 0 V
C/m
2
• 例：一个半径为a的均匀极化介质球，极化强度是 P0 ez ，求极 化电荷分布
• 电介质中的基本方程（高斯定理、介电常数） 真空中：
E =0
• 介电常数
实验证明：P e 0 E
由于E在顶面底面均无分量，即对两个面的通量 为零由高斯定理得： q 2 rhE er , 其中q h h
1
arLeabharlann bl b 又U E dr ln a 2 a 2U 即：l = 则E =er
b
ln b / a
U , D= E， 即可求得We r ln(b / a)
若闭合曲面内有多个点电荷，则
• 例题：真空中，假设在半径为a的球体内均匀分布着密度为 0 的电荷，试求任意点的电场强度。

面积dS’内的元电荷 3、线电荷密度
l
'
dq s (r' )dS'
连续分布在一个忽略面积的线形区域 l’上的电荷
Δq dq l ( r ) lim ' ' l ' 0 Δl dl
dl’内的元电荷
dq l (r' )dl
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4、点电荷与点电荷的函数表示 (1)函数定义
1 4π 0 1 qi (r' )( R ) i 1 i
N
图2.1.3 矢量叠加原理
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2.1.1 电荷和电荷分布
自然界中最小的带电粒子之一是电子，带电体总 是电子点量的整数倍，宏观上是大量微观粒子的平均 效应，常用电荷的连续分不来代替其分离性。
1、体电荷密度 当电荷连续分布在一个体积V’内时, 可用体电荷密度来描述其分布特性:
q eR q dR q 1 1 l E dl 40 l R 2 dl 4 R 2 4 ( R R ) 0 l 0 A B
E dl 0
结论
qE dl 0
静电场是保守场，电场力沿封闭路径 做功为零。
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由斯托克斯定理得
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② 叠加原理 由库仑定律和电场强度的定义可得单个点电荷 产生的电场强度
F q(r' )qt q(r' ) E p (r) e qt e V/m 2 R 2 R qt 4π 0 R 4π 0 R
一般表达式为：
Ep( r )
q( r' ) 4π 0 r r'
② 对于具有高度对称性的电场，利用高斯定律可以 方便的求出场强分布，但对于一般电场，高斯定 律只能确定任意闭曲面上的场强通量。 ③ 应用高斯定律可以导出电场分界面上法线分量的 边界条件。 计算步骤：

图2.1电介质的极化
介质中的高斯定理表示为 式中电位移矢量为
在线性的各向同性的电介质中
例2.1在空气中放入一个带电量为Q、半径为a的球体，该球体的 相对介电常数为εr。求该球体内、外任意一点的电场强度。
解（1） 球内任意一点，设到球心距离为r,做高斯面为以r为半径的球面， 如图2.2所示。
由电场的对称性可知，E和D的方向为er,所以
大小、它们之间的距离和周围的电介质，即可以不用电容器。
例2.10同心金属球与球壳系统如图2.12所示，内导体球半径为a，外导体 球壳的内外半径分别为b和c，导体球与导体球壳带有等量异号电荷，它
们之间充满相对介电常数为 r 的电介质，球外为空气。求该导体系统
的电容。
解:根据高斯定理不难求出空间各点的电场强度，设导体球和导体球壳的 带电量分别是q和-q，则导体和导体球壳之间的电场强度的大小为
电场能为
WeΒιβλιοθήκη 1 2dVv
（2） 对于多导体系统
We

1 2
dV
v
例2.12半径分别为a和b的同轴线，外加电压为U，内圆柱体电荷量为正，外圆柱 面单位长度上的电荷量与内圆柱体等值异号。如图2.16(a)所示，两电极间在θ1的 角度内填充介电常数为ε的电介质，其余部分为空气，求同轴线单位长度上储存 的电场能量。
示，求在l长度上的外电感。
图2.25例2.20用图
例2.21一个半径为a的无限长直导线，在导线均匀流过的电流为I，求这个导线
在单位长度上的内电感，如图2.26所示（设导体内部的磁导率近似为μ0）。 解:截面上的磁通并没有与全部电流I交链，而只是与一部分电流交链，交链的总 磁链为
图2.26
2. 互 有两感个回路l1和l2，如图2.27所示。