7数学物理方法第七章2010

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T2 2
弦的原长 现长
s x
s ' ( x ) 2 ( u ) 2 x
u(x) u+u u 0 1 T1 x x+x B
T2 2
受力分析和运动方程
沿x-方向，不出现平移
T2 cos 2 T1 cos 1 0
沿垂直于x-轴方向
T2 sin 2 T1 sin 1 ( dx )utt
一根长为l的弦，两端固定于0和l。在中点位置将弦沿着横向拉 例： 开距离h ，如图所示，然后放手任其振动，试写出初始条件。 解：初始时刻就是放手的那一瞬间，按题意
h l/2 l x
初始速度为零，即有 初始位移 u( x , t )
ut ( x , t )
t 0
0
t 0
2h x l 2h ( l x ) l
u ( uv x ) ( uv y ) ( uv z ) 0 t x y z
v (v ) 0 t
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粒子数守恒、电荷守恒
r N N 0 t
N 0 x
d 3 Nd x dt V V
T 0 x
T （ux
x dx
f ( x, t ) F ( x, t ) /
ux
x
） F ( x , t )dx ( dx )utt
单位质量所受 外力，力密度
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受迫振动方程
utt a 2 uxx f ( x , t )
（二）均匀杆的纵振动
设：均匀细棒(杆)，沿杆长方向作微小振动 u(x,t): 平衡时坐标为x 的点在t 时刻沿x 方向的位移。 求：细杆上各点的运动规律 研究对象：取一不包含端点的小段（x,x+dx）,并设杆的 横截面积为S，密度为 ，杨氏模量为Y，该小段在t时刻 的伸长量u(x+dx,t)-u(x,t)

0
（七） 扩散方程
扩散现象：系统的浓度 u(x) 不均匀时，将出 现物质从高浓度处到低浓度处的转移，叫扩散。
u ( x)
dx
u ( x dx) x
浓度梯度： u 扩散流强度：单位时间通过单位面积 r 的物质的量 q 扩散定律：
r q Du
u ( uv x ) 0 t x
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数学物理方程，通常指从物理学及其他各门自然科 学、技术科学中所产生的偏微分方程(涉及到多个变 量)，有时也包括与此有关的积分方程。 •静电势和引力势满足的Laplace方程或Poisson方程 •波的传播所满足的波动方程 •热传导问题和扩散问题中的热传导方程 一、数学物理方程---泛定方程:物理规律的数学表示 物理规律
u
x
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选取不包括端点的一小段(x, x+dx) 研究对象： 简化假设： (1)弦是柔软的 (不抵抗弯曲),张力沿弦的切线方向 (2)振幅极小 张力与水平方向的夹角1和2 很 小，仅考虑1和2的一阶小量，略去二阶小量 (3)弦的重量与张力相比很小，可以忽略。 u(x) u+u u 0 1 T1 x x+x
例：一个物体做竖直上抛，一个物体斜抛。不同的初始条件 → 不同的运动状态，但都服从牛顿第二定律。
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定解问题的完整提法： 在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理规律，在 给定的区域里解出某个物理量u，即求u(x,y,z,t)。 定解条件：边界条件和初始条件的总体。它反映了问题的 特殊性，即个性。 泛定方程：不带有边界和初始条件的方程称为泛定方程。 它反映了问题的共性。 具体的问题的求解的一般过程： 1、根据系统的内在规律列出泛定方程——客观规律 2、根据已知系统的边界状况和初始状况列出边界条件和 初始条件——求解所必须用的
为密度，c为比热
c ut [ (kux ) (ku y ) (kuz )] 0 x y z
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7.2 定解条件 常微分方程定解问题回顾
常微分方程求解就是积分。积分过程会出现积分常 数。常微分方程定解问题就是确定积分常数。 利用在自变量取一个特定值时的值，如初值u(t=0) 确定积分常数。积分一次，出现一个积分常数；求解二 阶常微分方程出现两个积分常数。
j 0 x r v N dA 0
能量动量守恒
能量动量4矢量 P T 0 d 3 x
i d T 0 3 3 T d x d x0 i x dt V V
角动量守恒
M 0 x
M x T x T
利用连续性方程 带入扩散定律
一维扩散方程 三维扩散方程
r r q uv
u u q x u u ( uv x ) (D ) 0 t x t x t x x
2 u 2 u a 0 2 t x
a2 D
均匀
u u u u (D ) (D ) (D ) 0 t x x y y z z
0 3 J M d x 角动量
密度与体积元（4维中的3为面元） 3维体积元 n V
面元法矢量记为 n
中的粒子数 N N n V
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3维体积元 n V
中的粒子数 N N n V
能量动量密度(densities of energy and momentum) ——能量动量4矢量与能量动量二阶张量 4矢量密度 建立联系 3维体积元 n V
l x [ 0, ] 2 l x [ , l] 2
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（二）边界条件 定义：系统的物理量始终在边界上具有的情况。 常见的线性边界条件分为三类： A.第一类边界条件
位置确定
直接给出系统边界上物理量的函数形式。
u
薄膜

T
张力T的横向分量
u T sin T tan T n
v xy平面的 n
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y x x+dx x
y+dy
y
n(即y)
在x和x+dx两边所受的横向 作用力
(T ux
x dx
T ux x )dy Tuxx dxdy
在y和y+dy两边所受的横向
n(即x)
作用力：Tuyydxdy
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（八）热传导方程
热传导: 热量从温度高的地方到温度低的地方转移。
x
u1
系统的温度
u( x , y , z , t )
热流强度：单位时间通过单位面积的热量 q
q
r u2 热传导定律： q ku
k 热传导系数
u v c q 0 t
由能量守恒，（满足连续性方程）
三维热传导方程
utt dxdy Tuxx dxdy Tu yy dxdy
utt T ( uxx u yy ) 0
为单位面积的薄膜质量
utt a 2 u 0
2
a2 T /
薄膜的受迫振动方程
utt a 2 u f ( x , y , t )
2
单位面积上的横向外力 单位质量上的横向外力
f f
x
x dx
f
x
YSux dx YSux YSuxx dx
x dx
又，牛顿定律：
f ( Sdx )utt
u du
u
utt a 2 uxx 0
a2 Y /
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a为波速
（四）均匀薄膜的微小横振动 设：均匀柔软的薄膜绷紧，膜平面为xy平面，研究 膜在垂直于xy平面的微小横振动 u(x,y,t): 坐标点为(x,y)的横向位移 v n 为张力在xy平面上的投影方向
数学物理方程的定解问题
u ( x, y , z , t )
要求给定：边界条件和初始条件
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（一） 初始条件 对于输运过程（扩散、热传导），初始状 态是指所研究的物理量u的初始分布 初始分布
u( x , y , z , t )
t 0
( x , y, z )
ut a 2 uxx 0
对于振动过程 初始“位移” 初始“速度”
第二篇 数学物理方程
Mathematical Equations for Physics 想要探索自然界的奥秘就得解微分方程
—— 牛顿 第七章 数学物理方程的定解问题 重点 1、从实际问题中建立数学物理方程的基本方法； 2、系统的边界条件和初始条件的写法； 3、行波法研究一维波动方程的解、及解的物理意义。
T （u x
x dx
ux
( dx )ut ux
x
dx
a2 T /
Tuxx utt
波动方程
utt a 2 uxx 0
波速a
在上式推导过程中，出现的力是弦内的张力，外力 为零。在受到横向作用力时，弦运动为受迫振动。 设单位长度上弦受力 F ( x , t ) ，力密度为
p 能量动量4矢量
p T n V
T 为能量动量二阶张量
(简称能量动量张量)
特例：考虑平直空间，3维面t=const中的体积元 V
n (1, 0, 0, 0)
0 00 能量密度 p / V T i i0 动量密度 p / V T (沿i方向)
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p T V
F ( x, y, t )
F ( x, y, t )

f
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连续性方程:（扩散问题）
研究连续分布的某种物理量 密度：单位容积中物理量的多少
u( x , y , z , t )
z
dz qx
( x dx , y dy , z dz )
q x dx
y
dy
( x, y, z ) dx
数学语言翻译
物理量u 在空间和时间中的变