数学物理方法-第七章

第二篇数学物理方程第七章 数学物理定解问题一、数理方程的概念凡包含未知函数及它的偏导数的方程称为偏微分方程。

一般地说，描写连续体运动规律的方程式都是偏微分方程。

这种将物理规律用偏微分方程表达出来，叫作数学物理方程（P135）。

在数学上，数学物理方程本身（不连带定解条件）叫作泛定方程。

偏微分方程所含有最高偏导数的阶数称为该偏微分方程的阶。

在许多物理问题中，遇到的数学物理方程，如波动方程、输运方程、拉普拉斯方程等都是二阶偏微分方程。

二、二阶偏微分方程的分类 ——P162二个自变数y x ,的二阶偏微分方程的一般形式为G Fu y u E x u D yu C y x u B x u A =+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂22222式中系数G B A ,,, 是y x ,的已知函数或常数。

当0=G 时，则方程称为齐次的；当0≠G 时，则方程称为非齐次的。

二阶偏微分方程可按其系数C B A ,,所满足的条件划分为三类： 1、若042>-AC B 双曲型方程（一维波动方程） 2、若042=-AC B 抛物型方程（一维输运方程） 3、若042<-AC B 椭圆型方程（二维拉普拉斯方程）三、定解条件在数学上，我们把描写系统初始状态的表示式叫做初始条件，把描写系统边界状态的表示式叫做边界条件。

因数理方程满足初始条件和边界条件的解是完全确定的，所以将初始条件、边界条件（及连接条件）统称为定解条件。

这样，问题在数学上的完整提法是：在给定的定解条件下，求解数学物理方程。

这叫作数学物理定解问题或简称为定解问题。

——P135⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧衔接条件边界条件初始条件定解条件数学物理方程泛定方程定解问题)(§7.1 数学物理方程的导出数学物理方程的导出步骤如下：——P135一、波动方程 02=-xx tt u a u（一）均匀弦的微小横振动 ——书P136 1、均匀弦的自由横振动在以下几个条件下推导弦的自由横振动方程：(1)、均匀细弦：弦的线密度ρ为常数；由于是细弦，所以作为一维空间的问题来处理。

第七章 习题答案7.1-1将Helmholtz 方程0=+∆u u λ在柱坐标系中分离变量。

解：01122222=+∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=+∆u zuu u u u λϕρρρρρλ 设)()()(),,(z Z R z u ϕφρϕρ=代入上面的方程有:0d d d d d d d d 22222=Φ+Φ+Φ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ΦZ R zZ R RZ R Z λϕρρρρρ 两边同时除以Z R Φ，并移项得：λϕρρρρρ--=ΦΦ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22222d d 1d d 1d d d d 1z ZZ R R 上式左边与z 无关，右边与ϕρ,无关，令左右两边都等于μ-,即： 右边为：0)(d d d d 12222=-+⇒-=--Z u zZ zZ z λμλ①而左边有：μϕρρρρρ-=ΦΦ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛222d d 1d d d d 1R R 两边同时除以2ρ，并移项得:2222d d 1d d d d m R R =ΦΦ-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ϕμρρρρρ0d d d d 1222222=Φ+Φ⇒=ΦΦ-m mϕϕ②和：22d d d d m R R =+⎪⎪⎭⎫⎝⎛μρρρρρ2222d d d d m R RR =+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+μρρρρρ0d d 1d d 2222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++R mRR ρμρρρ③Helmholtz 方程在柱坐标系下可分解为①②③三个常微分方程。

7.1-2 将三维热传导方程02=∆-∂∂u a tu 在球坐标系中分离变量。

解:02=∆-∂∂u a t u 在球坐标系中的表示式为:0sin 1sin sin 1122222222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-∂∂ϕθθθθθu r u r r u r r r a t u设()()()ϕθψϕθ,,,,,⋅=t r R t r u ，代入上述方程有:()0sin sin sin 1,22222222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂⋅⋅-∂∂ϕψθθψθθθψϕθψr R r R r R r r r a t R方程两边同时除以22ra R ψ并移项有:222222sin 1sin sin 11ϕψθψθψθθθψ∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-=∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂t RRar r R r r R 左右两边互不相关但相等，只能为常数，设为()1+l l 。

数学物理方法Mathematical Method in Physics西北师范大学物理与电子工程学院豆福全第七章Green函数法Green Function method引言前面几章我们系统的讨论了求解数学物理方法的几种典型方法：分离变量法，行波法以及积分变换法。

分离变量法主要适用于求解各种有界区域内的定解问题，行波法则主要适用于求解无界区域内的波动问题，而积分变换法也主要适用于求解无界区域内的定解问题，然而不受方程类型的限制。

同时，分离变量法，积分变换法这两种方法所给出的解,一般具有无穷级数与无穷积分的形式。

本章介绍求解数学物理方程的另一重要方法——Green函数法。

所不同的是，该法给出的是一种有限积分的解，便于人们进行理论分析与研究。

Green函数的特点是它仅与定解问题所定义的区域的形状及边界条件类型有关，而与定解条件及方程非齐次项所给出的具体形式无关。

特别是一些用分离变量法较难处理的非齐次方程的定解问题，Green函数法更能显示出其优越性。

从物理上看，一个数学物理方程在大多数情况下，往往表示一种特定的“场”和产生这种场的“源”之间的关系。

如热导方程表示的是温度场与点源之间的关系，泊松方程表示的是静电场和电荷分布之间的关系等。

这样，当源被分解成许多点源的叠加时，如果通过某一种方法知道各点源产生的场，然后再利用叠加原理，就可以求出同样边界条件下任意源的场，这种求解数理方程的方法被称为Green函数法，而点源产生的场就是Green函数。

本章首先复习Laplace方程边值问题的几种类型，然后由Green公式建立起Green函数的概念，并通过Green函数得到一般的泊松方程边值问题解的积分表达式，最后在几个特殊区域上讨论Green函数及Laplace方程的第一边值问题具体的求解过程。

7.1 Laplace 方程边值问题7.1.1 内问题Laplace 方程： 2222220u u ux y z∂∂∂++=∂∂∂0u ∆=描述物理中的平衡、稳定等现象，从而变化过程与时间无关，这时不提初始条件，边界条件常用到以下三种：1. 第一边值问题 Dirichlet 问题设曲面P 为空间某一区域Ω的边界，f 是定义在曲面P 上已知连续函数，求一函数(,,)u u x y z =满足Laplace 方程，满足光滑性条件：在区域Ω内有二阶连续偏导数，在Ω=Ω+Γ上连续，且有uf Γ=具有二阶连续偏导数且满足Laplace 方程的函数称为调和函数。

数学物理方法Mathematical Method in Physics西北师范大学物理与电子工程学院豆福全第七章Green函数法Green Function method引言前面几章我们系统的讨论了求解数学物理方法的几种典型方法：分离变量法，行波法以及积分变换法。

分离变量法主要适用于求解各种有界区域内的定解问题，行波法则主要适用于求解无界区域内的波动问题，而积分变换法也主要适用于求解无界区域内的定解问题，然而不受方程类型的限制。

同时，分离变量法，积分变换法这两种方法所给出的解,一般具有无穷级数与无穷积分的形式。

本章介绍求解数学物理方程的另一重要方法——Green函数法。

所不同的是，该法给出的是一种有限积分的解，便于人们进行理论分析与研究。

Green函数的特点是它仅与定解问题所定义的区域的形状及边界条件类型有关，而与定解条件及方程非齐次项所给出的具体形式无关。

特别是一些用分离变量法较难处理的非齐次方程的定解问题，Green函数法更能显示出其优越性。

从物理上看，一个数学物理方程在大多数情况下，往往表示一种特定的“场”和产生这种场的“源”之间的关系。

如热导方程表示的是温度场与点源之间的关系，泊松方程表示的是静电场和电荷分布之间的关系等。

这样，当源被分解成许多点源的叠加时，如果通过某一种方法知道各点源产生的场，然后再利用叠加原理，就可以求出同样边界条件下任意源的场，这种求解数理方程的方法被称为Green函数法，而点源产生的场就是Green函数。

本章首先复习Laplace方程边值问题的几种类型，然后由Green公式建立起Green函数的概念，并通过Green函数得到一般的泊松方程边值问题解的积分表达式，最后在几个特殊区域上讨论Green函数及Laplace方程的第一边值问题具体的求解过程。

7.1 Laplace 方程边值问题7.1.1 内问题Laplace 方程： 2222220u u ux y z∂∂∂++=∂∂∂0u ∆=描述物理中的平衡、稳定等现象，从而变化过程与时间无关，这时不提初始条件，边界条件常用到以下三种：1. 第一边值问题 Dirichlet 问题设曲面P 为空间某一区域Ω的边界，f 是定义在曲面P 上已知连续函数，求一函数(,,)u u x y z =满足Laplace 方程，满足光滑性条件：在区域Ω内有二阶连续偏导数，在Ω=Ω+Γ上连续，且有uf Γ=具有二阶连续偏导数且满足Laplace 方程的函数称为调和函数。

高等数学 第四册（第三版） 数学物理方法 答案（完整版）第七章 一维波动方程的傅氏解1． 今有一弦，其两端被钉子钉紧，作自由，它的初位移为： 2．(01)()(2)(12)hx x x h x x ϕ≤<⎧=⎨-≤≤⎩，初速度为0，试求其付氏解，其中h 为已知常数。

解：所求问题是一维波动方程的混合问题：2(12,0)(0,)(,)0(0)(01)(,0)(2)(12)(,0)0tt xx t u a u x t u t u l t t hx x u x h x x u x ⎧=<<>⎪==≥⎪⎪≤≤⎧⎨=⎨⎪-≤≤⎩⎪⎪=⎩，根据前面分离变量解法得其傅氏解为：1(,)(cossin )sin n n n n at n at n xu x t C D l l l πππ∞==+∑。

其中，122201228()sin [sin (2)sin ]222l n n n n hC d h d h d l l n πξπξπξϕξξξξξξπ==+-=⎰⎰⎰，0n D =，于是所求傅氏解为：2218(,)cos sin n h n at n xu x t n l l πππ∞==∑2.将前题之初始条件改为：(1)(10)()(1)(01)h x x x h x x ϕ+-≤≤⎧=⎨-≤≤⎩，试求其傅氏解。

解：所求问题为一维波动方程的混合问题：211((1)sin (1)sin n n l l l h d h d πξπξξξξξ--=++-⎰⎰n c 012222211(sinsinsin )n n n h d d d πξπξπξξξξξ--=++⎰⎰⎰2282sin h n n ππ=22821(,)sin cossinh n n at n x lln n u x t ππππ∞=∴=∑。

3今有一弦，其两端0x =和x l =为钉所固定，作自由摇动，它的初位移为0。

初速度为[](2()0(2,c x x x βϕβ≤≤⎧=⎨∉⎩，其中c 为常数，0,l αβ<<<试求其傅氏解。