第七章 Green 函数法 - 数学物理方法

数学物理方法Mathematical Method in Physics西北师范大学物理与电子工程学院豆福全第七章Green函数法Green Function method引言前面几章我们系统的讨论了求解数学物理方法的几种典型方法：分离变量法，行波法以及积分变换法。

分离变量法主要适用于求解各种有界区域内的定解问题，行波法则主要适用于求解无界区域内的波动问题，而积分变换法也主要适用于求解无界区域内的定解问题，然而不受方程类型的限制。

同时，分离变量法，积分变换法这两种方法所给出的解,一般具有无穷级数与无穷积分的形式。

本章介绍求解数学物理方程的另一重要方法——Green函数法。

所不同的是，该法给出的是一种有限积分的解，便于人们进行理论分析与研究。

Green函数的特点是它仅与定解问题所定义的区域的形状及边界条件类型有关，而与定解条件及方程非齐次项所给出的具体形式无关。

特别是一些用分离变量法较难处理的非齐次方程的定解问题，Green函数法更能显示出其优越性。

从物理上看，一个数学物理方程在大多数情况下，往往表示一种特定的“场”和产生这种场的“源”之间的关系。

如热导方程表示的是温度场与点源之间的关系，泊松方程表示的是静电场和电荷分布之间的关系等。

这样，当源被分解成许多点源的叠加时，如果通过某一种方法知道各点源产生的场，然后再利用叠加原理，就可以求出同样边界条件下任意源的场，这种求解数理方程的方法被称为Green函数法，而点源产生的场就是Green函数。

本章首先复习Laplace方程边值问题的几种类型，然后由Green公式建立起Green函数的概念，并通过Green函数得到一般的泊松方程边值问题解的积分表达式，最后在几个特殊区域上讨论Green函数及Laplace方程的第一边值问题具体的求解过程。

7.1 Laplace 方程边值问题7.1.1 内问题Laplace 方程： 2222220u u ux y z∂∂∂++=∂∂∂0u ∆=描述物理中的平衡、稳定等现象，从而变化过程与时间无关，这时不提初始条件，边界条件常用到以下三种：1. 第一边值问题 Dirichlet 问题设曲面P 为空间某一区域Ω的边界，f 是定义在曲面P 上已知连续函数，求一函数(,,)u u x y z =满足Laplace 方程，满足光滑性条件：在区域Ω内有二阶连续偏导数，在Ω=Ω+Γ上连续，且有uf Γ=具有二阶连续偏导数且满足Laplace 方程的函数称为调和函数。

第一边值问题的等价说法：在区域Ω内求一调和函数u ，使它在Ω=Ω+Γ上连续，并且在边界Γ上与已知函数相等。

2. 第二边值问题 Neumann 问题uf n Γ∂=∂ n r 为Γ的外法线方向 3.第三边值问题()uu f nαβ∂+=∂ 其中α、β 不全为零 三维Laplace 方程的边值问题可统一写为：0()u u u f n αβ∆=⎧⎪∂⎨+=⎪∂⎩三维Poisson 方程的边值问题可统一写为：()u h u u g n βα∆=-⎧⎪∂⎨+=⎪∂⎩其中g 、h 均为连续的三元函数内问题：以上所讨论的边值问题都是在边界Γ上给定某些约束条件，并在Ω的内部求Laplace 方程或Poisson 方程的解，这样的问题称为内问题。

7.1.2 外问题物理中，在确定物体外部的稳恒温度场时，人们常常将它归结为某一区域Ω的外部求调和函数(,,)u x y z ，并满足边界条件uf Γ=，这里Γ表示Ω的边界，f表示物体表面的温度。

类似这样的定解问题称为Laplace 方程的外问题。

1. Dirichlet 外问题设f 是定义在曲面Γ上已知的连续函数，求一函数(,,)u x y z ，使得它是Γ的外部区域'Ω内的调和函数，并在'Ω+Γ上连续，而且当(,,)u x y z →∞时，u 满足lim (,,)0r u x y z u f →∞Γ=⎧⎪⎨=⎪⎩(r = 物理上看，引入上述极限的条件是因为电学上总是规定无穷远点处的电位为零。

数学上看，有了这个条件可以保证外问题解的唯一性。

如：单位球面Γ外求一调和函数(,,)u x y z ，使其满足1u Γ=，则1(,,)1u x y z =与21(,,)u x y z r=都是上述问题的解。

2.Neunmann 外问题lim (,,)0r u x y z →∞=，u f nΓ∂=∂本章我们仅讨论内问题，所用方法也适合外问题。

7.1.3 Laplace 方程的球对称解球坐标下Laplace 方程 0u ∆= 外下述形式：22222222221cos 1()0sin sin u u u u ur r r r r θθθθθϕ∂∂∂∂∂++++=∂∂∂∂∂ 或2211[(sin )(sin )()]0sin sin u u ur r r r θθθθθϕθϕ∂∂∂∂∂∂++=∂∂∂∂∂∂若具有球对称性，u 不依赖于θ和ϕ，仅与r 有关，则方程简化为：2()0d du r dr dr =,2p dur C dr=,21()p p C dr du C d r r ==-∴12(0)C u C r r =+≠ 1C 、2C 为任意常数，取114C π=，20C =则得球对称解为1(0)4u r rπ=≠。

7.2 Green 公式 调和函数的基本性质Green 公式是研究Green 函数的工具，本节先介绍Green 公式，再对调和函数的基本性质加以说明。

7.2.1 Green 公式Green 公式可视为微积分学中Gauss 公式的两个推论，有了Green 公式就可推出Laplace 方程解的积分形式，并讨论解的性质。

设Ω是以足够光滑的（分片光滑）曲面Γ为边界的有界连通区域，(,,)x y z P 、(,,)Q x y z 、(,,)R x y z 为ΩΓU 上连续且在Ω内有连续偏导数的任意函数，则Gauss 公式（奥斯特洛格拉法斯基）公式：()(cos cos cos )()Q RdV Q R ds x y z dydz Qdzdx Rdxdy αβγΩΓΓ∂P ∂∂++=P ++∂∂∂=P ++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中dV 是体积之和（Ω内），(cos ,cos ,cos )n αβγ=r为Γ的外法线方向，ds是Γ上的面积微元。

设函数(,,)u x y z 和(,,)V x y z 在闭区域Ω=ΩΓU 是具有连续的一阶偏导数，在Ω内具有连续的所有二阶偏导数，在Gauss 公式中，令vux∂P =∂，v Q u y ∂=∂，vR uz∂=∂。

则[()()()][cos cos cos ]v v v u u u dV x x y y z zv v vu u u dSx y z αβγΩΓ∂∂∂∂∂∂++∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰即222222[()()][(cos cos cos )]v v v u v u v u v u dV x y z x x y y z z v v vu dS x y zαβγΩΓ∂∂∂∂∂∂∂∂∂+++++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰()()u v u v u v vu v dV dV u dS x x y y z z n ΩΩΓ∂∂∂∂∂∂∂∆+++=∂∂∂∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ∴()()v u v u v u vu v dV uds dV n x x y y z z ΩΓΩ∂∂∂∂∂∂∂∆=-++∂∂∂∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ——Green 第一公式其中∆：三维Laplace 算子，n∂∂表示S 的外法线方向导数。

也可以写为：()vu v dV udS u vdV n ΩΓΩ∂∆=-∇⋅∇∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （1） 其中u gradu ∇=，表示函数u 在点(,,)x y z 处的梯度。

将u 和v 的位置互易，得()uv u dV vdS u vdV n ΩΓΩ∂∆=-∇⋅∇∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （2） 两式相减有：()()v uu v v u dV uv dS n nΩΓ∂∂∆-∆=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ ——Green 第二公式7.2.2 调和函数的积分形式利用Green 公式推导调和函数的积分形式定理：设曲面Ω是Γ的边界，若函数(,,)u x y z 在Ω内具有二阶连续偏导数，在闭区域Ω=ΩΓU 上有一阶连续偏导数，则(,,)u x y z 在Ω内任一点0M 处函数值可表示为01()111()[]44u ur u M u dS dV r n n r ππΓΩ∂∂∆=--∂∂⎰⎰⎰⎰⎰其中n r为Γ的外法线矢量，r 是0M 到定点M 的距离0()MM rr = :()u u M[证] 由于函数1r 在Ω内有奇异点0M ，故不能直接利用Green 公式，需要将奇异点挖掉：作一以0M 为球心，充分小的正数ρ为半径的球面ρΓ，并在Ω内挖去ρΓ所围的球形区域ρΩ。

这时1r在区域ρΩ-Ω及边界ρΓ+Γ上任意处可微，且可验证1r在ρΩ-Ω内处处满足Laplace 方程1()0r ∆= 令1V r =在区域1ρΩ=Ω-Ω上，利用Green 第二公式：111()()1111[()][][]ur r u u dV u u dS r r n r n n r n ξΩΓ+Γ∂∂∂∂∆-∆=-+-∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 在1Ω内1()0r∆=上式左端11111[()]udV u u dV r r r ΩΩ=-∆=∆-∆⎰⎰⎰⎰⎰∴111()()111[][]u ur r udV u dS u dS r n r n n r n ρΩΓΓ∂∂∂∂-∆=-+-∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰先计算沿球面ρΓ内法线方向的方向导数：211()()1r r rnrρρρΓ=∂∂=-=∂∂ （n r 与半径r r方向相反）所以21()1r u dS udS n ρρρΓΓ∂=∂⎰⎰⎰⎰得121()1111[]u u r u dS udS dS udV n r n r n r ρρρΓΓΓΩ∂∂∂-+-=-∆∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 由积分中值定理：2112211()()44()u M dS u M u M ρπρπρρΓ==⎰⎰同理：22211144M M u u u u dS dS r n n n nρρπρπρρρΓΓ∂∂∂∂===∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰1M ，2M 是球面ρΓ某两点，让0ρ→，则10M M →，20M M →。

同时u n∂∂在0M 的邻域内是有界的，所以当0ρ→时240M unπρ∂→∂。

01()11[]4()u r u dS M udV n r n r πρΓΩ∂∂-+=-∆∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ ∴01()1111()[]44u r u M u dS udV r n n r ππΓΩ∂∂=--∆∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 若(,,)u u x y z =是Ω内的调和函数，则01()11()[]4ur u M u dS r n nπΓ∂∂=-∂∂⎰⎰ ——调和函数的积分表达式（调和函数性质之一） 表明：对于在闭区域Ω=Ω+Γ上一阶偏导数连续的调和函数u ，它在Ω内任一点0M 处的值可用该函数在Ω的边界Γ上的值及其在Γ上法向导数值来表示。