清华大学杨顶辉数值分析第5次作业答案

第2章

复习与思考题

1、什么是拉格朗日插值基函数？他们是如何构造的？有何重要性质

答：形如

01()n

i

n

iiiikxx

lx

xx的基函数称为n节点的拉格朗日插值基函数。

主要性质有

1）,0,

()

1,nkkik

lx

ik

2）()1

nlx

2、什么是牛顿基函数？它与单项式基2{1,x,x,...,x}n有何不同

答：牛顿差值基函数为00101{1,(xx),(xx)(xx),...,(xx)(xx)...(xx)}

n

牛顿差值基函数中带有常数项01,,...

nxxx，这有单项式基不同。

3、什么是函数的n阶均差？它有何重要性质

答：形如01n2n01n2n-1

01n

1[,,...,,][,,...,,]

[,,...]

nnfxxxxfxxxx

fxxx

xx

称为()fx的k阶均差

具有以下的基本性质

1）均差与节点的排列次序无关，即均差具有对称性（拉格朗日插值函数的应用）

K阶均差可以表示为函数值0()fx，1()fx，…n()fx的线性组合，即

kj

01kj0j0jj-1jj+1j()

[,,...]

-

kfx

fxxx

xxxxxxxx（）...()()...()

2）由性质1和k阶均差的性质

0101k-1

01

0[,,...,][,,...,]

[,,...]k

k

kfxxxfxxx

fxxx

xx（分子前项多xk）

3）若(x)f在[a,b]上存在n阶导数，且节点01n2n,,...,,[a,b]xxxx，则n阶均差与导数的

关系为

1

01()

[,,...]

!n

nf

fxxx

n 4、写出n+1个点的拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式，他们有何异同

答：

n+1个点的拉格朗日插值多项式

000()()nnni

nkkk

kkiikikxx

Lxylxy

xx，(j1,2,....,n)

n+1个点的牛顿插值多项式

01[,,...,]

kkafxxx,(k1,2,....,n)

两者的主要差异是未知数不一致。

拉格朗日插值多项式是系数知道，但基函数不知道。

本章习题中有几道题不会做，待再复习时完善。

第3章

复习与思考题

1、设f C [a , b]，写出三种常用范数

12||||,|||,|||.fff



答：

1|||||()|b

affxdx

2

2||||()b

affxdx

||||max|()|

axbffx





2、f , g C [a , b]，它们的内积是什么？如何判断函数族{

0, 

1, …, 

n}C [a , b]在[a ,b]上线

性无关？

解：f , g C [a , b]，其内积为

(,)()()b

afgfxgxdx

函数族{

0, 

1, …, 

n}C [a , b]在[a ,b]上线性无关，必须满足矩阵G的行列式不等于0

11121

21222

12(,)(,)...(,)

(,)(,)...(,)

............

(,)(,)...(,)n

n

nnnnG















 ，det0G

。

3、什么是函数f C [a , b]在区[a , b]上的n 次最佳一致逼近多项式？

解：

设()

npx

为最佳逼近函数，则f C [a , b]在区[a , b]上的n 次最佳一致逼近多项式

*

||()()||min||()()||

nfxpxfxpx

取∞-范数，则

*

||()()||min{max|()()|}

n

axbfxpxfxpx



4、什么是f 在[a , b] 上的n次最佳平方逼近多项式？什么是数据

m

if

0的最小二乘曲线拟

合？

解：

设()

npx

为最佳逼近函数，则f C [a , b]在区[a , b]上的n 次最佳平方逼近多项式

*22

||()()||min||()()||

nfxpxfxpx

取2-范数，则

*22

||()()||min{()()}b

n

afxpxfxpxdx

问题：为什么选择不同的范数求解？

由于各种范数的收敛性保持一致，因此可以选择最有利于求解的范数进行求解。

数值分析第二版课后答案

【篇一：《数值分析简明教程》第二版(王能超 编著)课后习题答案 高等教育出版社】

p.11，题1）用二分法求方程x?x?1?0在[1,2]内的近似根，要求误差不

3

超过10-3.

【解】 由二分法的误差估计式|x*?xk|?

2k?1?1000.两端取自然对数得k?

b?a1

????10?3，得到k?1k?1

22

3ln10

?1?8.96，因此取k?9，即至少需

ln2

x

2、（p.11，题2） 证明方程f(x)?e?10x?2在区间[0,1]内有唯一个实根；使用

1

二分法求这一实根，要求误差不超过?10?2。

2

【解】 由于f(x)?ex?10x?2，则f(x)在区间[0,1]上连续，且

f(0)?e0?10?0?2??1?0，f(1)?e1?10

?1?2?e?8?0，即f(0)?f(1)?0，由连续函数的介值定理知，f(x)在区间[0,1]上至少有一个零点.

又f(x)?ex?10?0，即f(x)在区间[0,1]上是单调的，故f(x)在区间[0,1]内有唯一实根.

b?a11

由二分法的误差估计式|x*?xk|?k?1?k?1????10?2，得到2k?100.

222

2ln10

?2?3.3219?6.6438，因此取k?7，即至少需二分两端取自然对数得k?

ln2

0.2误差 1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值x1?2.7，x2?2.71，x2=2.71，x3?2.718各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。

【解】有效数字：

1

?10?1，所以x1?2.7有两位有效数字； 21?1

因为|e?x2|?0.00828??0.05??10，所以x2?2.71亦有两位有效数字；

21?3

因为|e?x3|?0.00028??0.0005??10，所以x3?2.718有四位有效数字；

1 第一章 绪论

1．设0x,x的相对误差为，求lnx的误差。

解：近似值*x的相对误差为***

**rexx

e

xx

=

而lnx的误差为1

ln*ln*ln*

*exxxe

x

进而有(ln*)x

2．设x的相对误差为2%，求nx的相对误差。

解：设()nfxx，则函数的条件数为'()

||

()pxfx

C

fx

又1'()nfxnxQ, 1

||n

pxnx

Cn

n



又((*))(*)

rprxnCxQ

且(*)

rex为2

((*))0.02n

rxn

3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指

出它们是几位有效数字：*

11.1021x,*

20.031x, *

3385.6x, *

456.430x,*

571.0.x

解：*

11.1021x是五位有效数字；

*

20.031x是二位有效数字；

*

3385.6x是四位有效数字；

*

456.430x是五位有效数字；

*

571.0.x是二位有效数字。

4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***

124xxx,(2) ***

123xxx,(3) **

24/xx.

其中****

1234,,,xxxx均为第3题所给的数。

解：

2 *4

1

*3

2

*1

3

*3

4

*1

51

()10

2

1

()10

2

1

()10

2

1

()10

2

1

()10

2x

x

x

x

x

























***

124

***

124

433

3(1)()

()()()

111

101010

222

1.0510xxx

xxx













***

123

*********

123231132

143(2)()

()()()

111

1.10210.031100.031385.6101.1021385.610

222

0.215xxx

xxxxxxxxx





