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菏泽学院数学系2011级 2013-2014学年第一学期数学与应用数学专业《数值分析和计算方法》期末试卷（A ）(110分钟)题号 一 二 三 四 五 总分得分 阅卷人一．选择题（将正确选项前的代号写在题号前的括号内，每小题3分，共15分）( )1.若用最小刻度为0.5mm 的刻度尺测量物体，其误差限为（ ）A.0.25mmB.1.0mmC.0.5mmD.0mm （ ）2.下列具有最高代数精度的求积公式是（ ）A.龙贝格求积公式B.复合辛普森求积公式C.牛顿-科特斯求积公式D.高斯求积公式（ ）3.已知2,1,0,,1)(==-=i i x x x f i i i 。
则函数)(x f 的插值多项式为（ ）A. 145412-+x x B.1-xC.-145412-+x x D.2+-x（ ）4.下列给出的是用不动点迭代法求032=-x 的根3*=x 的迭代函数，则相应的迭代方法局部收敛的是A.x x 3=)(ϕ B.3)(2-+=x x x ϕC.2321)(2-+=x x x ϕD.)3(21)(xx x +=ϕ( )5.线性方程组AX=b 能用高斯消元法求解的充要条件是（ ）A.A 为对称矩阵B.A.为实矩阵C.A 的各阶顺序主子式不为零D.0≠A得分 阅卷人二．填空题（请将正确答案填写在每小题的横线上，每空4分，共20分）1.计算积分⎰b adx x f )(的梯形公式为 。
2.设向量T n x )2,1,0( =，则=∞x 。
3.用牛顿法求方程0)(=x f 的根的公式为 。
4.已知n=3时的牛顿-科特斯系数83,83,81)3(2)3(1)3(0===C C C ,则=)3(3C 。
5.已知点,5,4,3,2,1,1=-=i i x i 则二阶差分=∆32x 。
三．判断题（对的在题前括号内划√，错的划×，每题2分，共10分）（ ）1.高斯求积公式的系数都是正的，故计算总是稳定的。
数值分析试卷及答案数值分析试卷一、选择题（共10题，每题2分，共计20分）1. 数值分析的研究内容主要包括以下哪几个方面？A. 数值计算方法B. 数值误差C. 数值软件D. 数学分析答：A、B、C2. 下列哪种方法不属于数值积分的基本方法？A. 插值法B. 微积分基本公式C. 数值微积分D. 数值积分公式答：A3. 数值积分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：D4. 数值微分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：A5. 数值微分的基本方法有哪几种？A. 前向差分B. 后向差分C. 中心差分D. 插值法答：A、B、C6. 用数值方法求解方程的基本方法有哪几种？A. 迭代法B. 曲线拟合法C. 插值法D. 数值积分法答：A、B、C7. 用迭代法求方程的根时，当迭代结果满足何条件时可停止迭代？A. 当迭代结果开始发散B. 当迭代结果接近真实解C. 当迭代次数超过一定阈值D. 当迭代结果在一定范围内波动答：B8. 下列哪种插值方法能够确保经过所有给定数据点？A. 拉格朗日插值B. 牛顿插值C. 三次样条插值D. 二次插值答：A、B、C9. 数值解线性方程组的基本方法有哪几种？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 拟合法答：A、B10. 下列哪种方程求解方法适用于非线性方程？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 曲线拟合法答：B二、填空题（共5题，每题4分，共计20分）1. 数值积分的基本公式是_________。
答：牛顿-科特斯公式2. 数值微分的基本公式是_________。
答：中心差分公式3. 数值积分的误差分为_________误差和_________误差。
答：截断、舍入4. 用插值法求解函数值时，通常采用_________插值。
答：拉格朗日5. 数值解线性方程组的常用迭代法有_________方法和_________方法。
2011年秋季工学硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷B(总分：28.00，做题时间：90分钟)一、填空题(总题数：6，分数：12.00)1.填空题请完成下列各题，在各题的空处填入恰当的答案。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设｜x｜>>1______（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：3.求积分∫ a b f（x）dx的两点Gauss公式为______（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：4.设∞ =______，‖A‖ 2 =______．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：5.给定f(x)=x 4，以0为三重节点，2为二重节点的f(x)的Hermite插值多项式为______．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：x 4)解析：6.己知差分格式r≤______时，该差分格式在L ∞范数下是稳定的．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：二、计算题(总题数：2，分数：4.00)7.给定方程lnx-x 2+4=0，分析该方程存在几个根，并用迭代法求此方程的最大根，精确至3位有效数字．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：令f(x)=lnx-x 2 +4，则f"(x)= -2x,当x= 时，f"(x)=0. 注意到f(0．01)=-0．6053＜0,f(1)=3＞0,f(3)=-3．9014＜0,而当时，f"(x)＞0，当时，f"(x)＜0，所以方程f(x)=0有两个实根，分别在(0．01，1)和(1，3)内．方程的最大根必在(1，3)内，用Newton迭代格式取x 0 =2，计算得x 1 =2．1980，x 2 =2．1)解析：8.用列主元Gauss（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：求得x 1 =3，x 2 =1，x 3 =5．)解析：三、综合题(总题数：6，分数：12.00)9.设α，β表示求解方程组．Ax=b的Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法收敛的充分必要条件．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：Jacobi迭代格式的迭代矩阵特征方程为展开得500λ3—15αβλ=0或者λ(500λ2—15αβ)=0，解得λ=0或λ2 = 则Jacobi格式收敛的充要条件为｜αβ｜＜Gauss-Seidel格式迭代矩阵的特征方程为展开得500λ3—15αβλ2 =0或者λ2(500λ-15αβ)=0，解得λ=0或λ则Gauss-Seidel格式收敛的充)解析：10.设x 0，x 1，x 2为互异节点，a，b，m为已知实数．试确定x 0，x 1，x 2的关系，使满足如下三个条件p(x 0 )=a， p"(x 1 )=m，p(x 2 )=b的二次多项式p(x)存在且唯一，并求出这个插值多项式p(x)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由条件p(x 0 )=a，p(x 2 )=b确定一次多项式p 1 (x)，有所以p(x)-P 1(x)=A(x—x 0 )(x—x 2 )，p"(x)=p" 1 (x)+A(x—x 0 +x—x 2 )，p"(x 1+A(2x 1 -x 0 -x 2) 解析：11.求y=｜x｜在[-1，1]上形如c 0 +c 1 x 2的最佳平方逼近多项式．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：取φ0 (x)=1，φ1 (x)=x 2，则(φ0，φ0)=∫ -11 =2，(φ0，φ1)=∫ -11 x 2)1 x 2，(φ1，φ1)=∫ -1解析：12.已知函数f(x)∈C 3 [0，3]，试确定参数A，B，C，使下面的求积公式数精度尽可能高，并给出此时求积公式的截断误差表达式．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：当f(x)=1时左=∫ 03 1dx=3，右=A+B+C，当f(x)=x时左=∫ 03 xdx= ，右=B+2C 当f(x)=x 2时左=∫ 03 x 2 dx=9,右=B+4C．要使公式具有尽可能高的代数精度，则而当f(x)=x 3时，左=∫ 03 x 3)解析：13.给定常微分方程初值问题取正整数n，并记h=a／n，x i =a+ih，0≤i≤n．证明：用梯形公式求解该初值问题所得的数值解为且当h→0时，y n收敛于y(a)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：梯形公式应用于方程有y i+1=y i+ (-y i—y i+1)，即有所以i=1，2，…．当h→0时，n→∞我们有而由方程知解析解y=e -x则y(a)=e -a，所以)解析：14.Ω={0＜x＜3，0＜y＜3)．试用五点差分格式求u(1，1)，u(1，2)，u(2，1)，u(2，2)的近似值．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：五点差分格式为根据要求，可取h= ，将(1，1)，(2，1)，(1，2)，(2，2)处的差分格式列成方程组有或者解得u 11=15．8750，u 21=22．6250，u 12=15．8750，u 22 =22．6250．)解析：。
2011年秋研究生数值分析期末考试试题答案一、单选题（4*5=20分）1、B;2、D ；3、D ；4、B ；5、C 。
二、填空题（4*5=20）1、2；2、()()1k k k k f x x x f x +=-'，平方收敛；3、8，8；4、9； 5、a <。
三、（10分）解：构造3次Lagrange 插值多项式3001001201()()(,)()(,,)()()L x f x f x x x x f x x x x x x x =+-+--0123012(,,,)()()()f x x x x x x x x x x +--- 3’利用待定系数法，令430123()()()()()()H x L x A x x x x x x x x =+----， 5’同时， '''14131101213()()()()()()f x H x L x A x x x x x x ==+--- 7’解出A 即可。
8’ 考虑余项4()()()E x f x H x =-，如果5()[,],,0,1,2,3i f x C a b a x b i ∈≤≤=，那么，当a x b ≤≤时()()5240123()()()()()()()5!f E x f x H x x x x x x x x x ξ=-=----. 0 10’ 四、（10分）解：设所求多项式为23202)(x C x C C x P ++=，10=ϕ，x =1ϕ，22x =ϕ，11),(10++==⎰+k j dx e k j k j ϕϕ，1),(100-==⎰e dx e f x ϕ， 1),(101==⎰dx xe f xϕ，2),(1022-==⎰e dx e x f x ϕ 5’ 所以有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡21151413141312131211210e e C C C ，求解得到 8’ ⎪⎩⎪⎨⎧===83917.085114.001299.1321C C C ，所求最佳平方逼近多项式为:2283917.085114.001299.1)(x x x P ++=。
