数值分析作业答案(第5章)part2

数值分析第五章答案【篇一：数值分析第五版计算实习题】第二章2-1程序：clear;clc;x1=[0.2 0.4 0.6 0.8 1.0];y1=[0.98 0.92 0.81 0.64 0.38];n=length(y1);c=y1(:);or j=2:n %求差商for i=n:-1:jc(i)=(c(i)-c(i-1))/(x1(i)-x1(i-j+1));endendsyms x df d;df(1)=1;d(1)=y1(1);for i=2:n %求牛顿差值多项式df(i)=df(i-1)*(x-x1(i-1));d(i)=c(i)*df(i);enddisp(4次牛顿插值多项式);p4=vpa(collect((sum(d))),5) %p4即为4次牛顿插值多项式,并保留小数点后5位数 pp=csape(x1,y1, variational);%调用三次样条函数 q=pp.coefs;disp(三次样条函数);for i=1:4s=q(i,:)*[(x-x1(i))^3;(x-x1(i))^2;(x-x1(i));1];s=vpa(collect(s),5)endx2=0.2:0.08:1.08;dot=[1 2 11 12];figureezplot(p4,[0.2,1.08]);hold ony2=fnval(pp,x2);x=x2(dot);y3=eval(p4);y4=fnval(pp,x2(dot));plot(x2,y2,r,x2(dot),y3,b*,x2(dot),y4,co);title(4次牛顿插值及三次样条);结果如下：4次牛顿插值多项式p4 = - 0.52083*x^4 + 0.83333*x^3 - 1.1042*x^2 + 0.19167*x + 0.98 三次样条函数x∈[0.2,0.4]时， s = - 1.3393*x^3 + 0.80357*x^2 - 0.40714*x + 1.04 x∈[0.4,0.6]时，s = 0.44643*x^3 - 1.3393*x^2 + 0.45*x +0.92571 x∈[0.6,0.8]时，s = - 1.6964*x^3 + 2.5179*x^2 - 1.8643*x + 1.3886 x∈[0.8,1.0]时，s =2.5893*x^3 - 7.7679*x^2 + 6.3643*x - 0.80571 输出图如下2-3（1）程序：clear;clc;x1=[0 1 4 9 16 25 36 49 64];y1=[0 1 2 3 4 5 6 7 8];%插值点n=length(y1);a=ones(n,2);a(:,2)=-x1;c=1;for i=1:nc=conv(c,a(i,:));endq=zeros(n,n);r=zeros(n,n+1);for i=1:n[q(i,:),r(i,:)]=deconv(c,a(i,:));%wn+1/(x-xk)enddw=zeros(1,n);for i=1:ndw(i)=y1(i)/polyval(q(i,:),x1(i));%系数endp=dw*q;syms x l8;for i=1:nl8(i)=p(n-i+1)*x^(i-1);enddisp(8次拉格朗日插值);l8=vpa(collect((sum(l8))),5)xi=0:64;yi=polyval(p,xi);figureplot(xi,yi,x1,y1,r*);hold ontitle(8次拉格朗日插值);结果如下：8次拉格朗日插值l8 =- 3.2806e-10*x^8 + 6.7127e-8*x^7 - 5.4292e-6*x^6 +0.00022297*x^5 - 0.0049807*x^4 + 0.060429*x^3 - 0.38141*x^2 +1.3257*x输出图如下：第五章4-1（3）程序：clc;clear;y= @(x) sqrt(x).*log(x);a=0;b=1;tol=1e-4;p=quad(y,a,b,tol);fprintf(采用自适应辛普森积分结果为： %d \n, p);结果如下：采用自适应辛普森积分结果为： -4.439756e-01第九章9-1(a)程序：clc;clear;a=1;b=2;%定义域h=0.05;%步长n=(b-a)/h;y0=1;%初值f= @(x,y) 1/x^2-y/x;%微分函数xn=linspace(a,b,n+1);%将定义域分为n等份 yn=zeros(1,n);%结果矩阵yn(1)=y0;%赋初值%以下根据改进欧拉公式求解for i=1:nxn=xn(i);xnn=xn(i+1);yn=yn(i);yp=yn+h*f(xn,yn);yc=yn+h*f(xnn,yp);yn=(yp+yc)/2;yn(i+1)=yn;endxn=yn;%以下根据经典四阶r-k法公式求解for i=1:nxn=xn(i);yn=yn(i);k1=f(xn,yn);k2=f(xn+h/2,yn+h/2*k1);k3=f(xn+h/2,yn+h/2*k2);k4=f(xn+h,yn+h*k3);yn=yn+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);yn(i+1)=yn;enddisp(改进欧拉法四阶经典r-k法); disp([xn yn])结果如下：改进欧拉法四阶经典r-k法 110.998870.998850.99577 0.99780.991140.996940.985320.996340.978570.996030.971110.996060.963110.996450.95470.997230.945980.998410.9370510.92798 1.0020.91883 1.00440.90964 1.00730.90045 1.01060.89129 1.01430.88218 1.01840.87315 1.02290.86421 1.02780.85538 1.03310.84665 1.0388（b）程序：clc;clear;a=0;b=1;%定义域h=[0.1 0.025 0.01];%步长y0=1/3;%初值f= @(x,y) -50*y+50*x^2+2*x;%微分函数 xi=linspace(a,b,11);y=1/3*exp(-50*xi)+xi.^2;%准确解 ym=zeros(1,11);for j=1:3【篇二：数值分析(第五版)计算实习题第五章作业】题：lu分解法：建立m文件function h1=zhijielu(a,b)%h1各阶主子式的行列式值[n n]=size(a);ra=rank(a);if ra~=ndisp(请注意：因为a的n阶行列式h1等于零，所以a不能进行lu 分解。

第一章 绪论（12） 第二章 插值法（40-42）2、当2,1,1-=x 时，4,3,0)(-=x f ，求)(x f 的二次插值多项式。

[解]372365)1(34)23(21)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0))(())(())(())(())(())(()(2221202102210120120102102-+=-++--=+-+-⨯+------⨯-+-+-+⨯=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L 。

3、给出x x f ln )(=的数值表用线性插值及二次插值计算54.0ln 的近似值。

X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 x ln -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144[解]若取5.00=x ，6.01=x ，则693147.0)5.0()(00-===f x f y ，510826.0)6.0()(11-===f x f y ，则604752.182321.1)5.0(10826.5)6.0(93147.65.06.05.0510826.06.05.06.0693147.0)(010110101-=---=--⨯---⨯-=--+--=x x x x x x x x x y x x x x y x L ，从而6202186.0604752.19845334.0604752.154.082321.1)54.0(1-=-=-⨯=L 。

若取4.00=x ，5.01=x ，6.02=x ，则916291.0)4.0()(00-===f x f y ，693147.0)5.0()(11-===f x f y ，510826.0)6.0()(22-===f x f y ，则 217097.2068475.404115.2)2.09.0(5413.25)24.0(3147.69)3.01.1(81455.45)5.06.0)(4.06.0()5.0)(4.0()510826.0()6.05.0)(4.05.0()6.0)(4.0()693147.0()6.04.0)(5.04.0()6.0)(5.0(916291.0))(())(())(())(())(())(()(22221202102210120120102102-+-=+--+-⨯++-⨯-=----⨯-+----⨯-+----⨯-=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ，从而61531984.0217097.21969765.259519934.0217097.254.0068475.454.004115.2)54.0(22-=-+-=-⨯+⨯-=L补充题：1、令00=x ，11=x ，写出x e x y -=)(的一次插值多项式)(1x L ，并估计插值余项。

数值分析第五章实习题答案数值分析第五章实习题答案数值分析是一门研究如何使用计算机来解决数学问题的学科。

在数值分析的学习过程中，实习题是非常重要的一部分，通过实习题的练习，可以帮助我们巩固所学的知识，并且提高我们的解题能力。

本文将为大家提供数值分析第五章实习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。

第一题：求下列方程的一个正根，并用二分法和牛顿法分别计算根的近似值。

方程：x^3 - 3x + 1 = 0解答：首先，我们可以通过绘制函数图像来初步估计方程的根的范围。

根据图像，我们可以大致确定根在区间[0, 2]之间。

接下来，我们使用二分法来计算根的近似值。

根据二分法的原理，我们将区间[0, 2]等分为两部分，然后判断根在哪一部分。

不断重复这个过程，直到找到根的近似值。

具体计算过程如下：- 将区间[0, 2]等分为两部分，得到中点x = 1。

- 计算方程在x = 1处的函数值f(1) = -1。

- 根据函数值的正负性，我们可以确定根在区间[1, 2]之间。

- 将区间[1, 2]等分为两部分，得到中点x = 1.5。

- 计算方程在x = 1.5处的函数值f(1.5) = 1.375。

- 根据函数值的正负性，我们可以确定根在区间[1, 1.5]之间。

- 重复以上步骤，直到找到根的近似值。

最终得到根的近似值为x ≈ 1.365。

接下来，我们使用牛顿法来计算根的近似值。

牛顿法是一种迭代法，通过不断逼近根的位置来计算根的近似值。

具体计算过程如下：- 选择初始近似值x0 = 1。

- 计算方程在x = 1处的函数值f(1) = -1。

- 计算方程在x = 1处的导数值f'(1) = 4。

- 利用牛顿法的迭代公式x1 = x0 - f(x0)/f'(x0)，我们可以得到x1 ≈ 1.333。

- 重复以上步骤，直到找到根的近似值。

最终得到根的近似值为x ≈ 1.365。

通过二分法和牛顿法，我们分别得到了方程x^3 - 3x + 1 = 0的一个正根的近似值为x ≈ 1.365。

第2章 插值法1、当x=1，-1，2时，f(x)=0，-3，4，求f(x)的二次插值多项式。

（1）用单项式基底。

（2）用Lagrange 插值基底。

（3）用Newton 基底。

证明三种方法得到的多项式是相同的。

解：（1）用单项式基底设多项式为:2210)(x a x a a x P ++=，所以：6421111111111222211200-=-==x x x x x x A 37614421111111424113110111)()()(222211200222221112000-=-=---==x x x x x x x x x f x x x f x x x f a 2369421111111441131101111)(1)(1)(12222112002222112001=--=--==x x x x x x x x f x x f x x f a 6565421111111421311011111)(1)(1)(12222112002211002=--=---==x x x x x x x f x x f x x f x a 所以f(x)的二次插值多项式为：2652337)(x x x P ++-= （2）用Lagrange 插值基底)21)(11()2)(1())(())(()(2010210-+-+=----=x x x x x x x x x x x l)21)(11()2)(1())(())(()(2101201------=----=x x x x x x x x x x x l)12)(12()1)(1())(())(()(1202102+-+-=----=x x x x x x x x x x x lLagrange 插值多项式为：372365)1)(1(314)2)(1(61)3(0)()()()()()()(22211002-+=+-⨯+--⨯-+=++=x x x x x x x l x f x l x f x l x f x L所以f(x)的二次插值多项式为：22652337)(x x x L ++-= (3) 用Newton 基底: 均差表如下：Newton 372365)1)(1(65)1(230))(](,,[)](,[)()(21021001002-+=+-+-+=--+-+=x x x x x x x x x x x x f x x x x f x f x N所以f(x)的二次插值多项式为：22652337)(x x x N ++-= 由以上计算可知，三种方法得到的多项式是相同的。

第5章
）矩阵行列式的值很小。

）矩阵的范数小。

）矩阵的范数大。

（7）奇异矩阵的范数一定是零。

答：错误，
∞
•可以不为0。

（8）如果矩阵对称，则|| A||1 = || A||∞。

答：根据范数的定义，正确。

（9）如果线性方程组是良态的，则高斯消去法可以不选主元。

答：错误，不选主元时，可能除数为0。

（10）在求解非奇异性线性方程组时，即使系数矩阵病态，用列主元消去法产生的误差也很小。

答：错误。

对于病态方程组，选主元对误差的降低没有影响。

（11）|| A ||1 = || A T||∞。

答：根据范数的定义，正确。

（12）若A是n n的非奇异矩阵，则
)
(
cond
)
(
cond1-
=A
A。

答：正确。

A是n n的非奇异矩阵，则A存在逆矩阵。

根据条件数的定义有：
1
111111 cond()
cond()()
A A A
A A A A A A A
-
------
=•
=•=•=•
习题
如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。

第五章习题解答1、给出数据点:013419156i i x y =⎧⎨=⎩(1)用012,,x x x 构造二次Lagrange 插值多项式2()L x ,并计算15.x =的近似值215(.)L 。

(2)用123,,x x x 构造二次Newton 插值多项式2()N x ,并计算15.x =的近似值215(.)N 。

(3)用事后误差估计方法估计215(.)L 、215(.)N 的误差。

解:(1)利用012013,,x x x ===,0121915,,y y y ===作Lagrange 插值函数2202130301191501031013303152933()()()()()()()()()()()()()()i i i x x x x x x L x l x y x x =------==⨯+⨯+⨯-------++=∑代入可得2151175(.).L =。

(2)利用123134,,x x x ===,1239156,,y y y ===构造如下差商表：于是可得插值多项式：229314134196()()()()()N x x x x x x =+-+---=-+-代入可得215135(.).N =。

(3)用事后误差估计的方法可得误差为1501511751350656304.(.)(..).R -=-=-◆ 2、设Lagrange 插值基函数是0012()(,,,,)nj i j i jj ix x l x i n x x =≠-==-∏试证明:①对x ∀,有1()ni i l x ==∑②00110001211()()(,,,)()()nk i i i n n k l x k n x x x k n =⎧=⎪==⎨⎪-=+⎩∑ 其中01,,,n x x x 为互异的插值节点。

证明：①由Lagrange 插值多项式的误差表达式101()()()()()!n ni i f R x x x n ξ+==-+∏知，对于函数1()f x =进行插值，其误差为0，亦即0()()ni ii f x l x f==∑精确成立，亦即1()ni i l x ==∑。

第一章 绪论1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。

解：近似值*x 的相对误差为*****r e x xe x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈进而有(ln *)x εδ≈2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。

解：设()nf x x =，则函数的条件数为'()||()p xf x C f x = 又1'()n f x nx-=, 1||n p x nx C n n-⋅∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅且(*)r e x 为2]((*))0.02n r x n ε∴≈3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =⨯解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =⨯是二位有效数字。

4．利用公式求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x .其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。

解： {*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯ ***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈**24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x xεεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少 解：球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=又(*)1r V ε=%1：故度量半径R 时允许的相对误差限为εε(ε∗)=13∗1%=13006．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -=（n=1,2,…）计算到100Y 27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差解：1n n Y Y -=10099Y Y ∴=9998Y Y =9897Y Y =……10Y Y =依次代入后，有1000100Y Y =- %即1000Y Y =27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-*310001()()(27.982)102Y Y εεε-∴=+=⨯100Y ∴的误差限为31102-⨯。

WORD格式.分享第5章复习与思考题1、用高斯消去法为什么要选主元？哪些方程组可以不选主元？k答：使用高斯消去法时，在消元过程中可能出现a的情况，这时消去法无法进行；即kkk时主元素0和舍入增长a，但相对很小时，用其做除数，会导致其它元素数量级的严重kk计误差的扩散，最后也使得计算不准确。

因此高斯消去法需要选主元，以保证计算的进行和算的准确性。

当主对角元素明显占优（远大于同行或同列的元素）时，可以不用选择主元。

计算时一般选择列主元消去法。

2、高斯消去法与LU分解有什么关系？用它们解线性方程组Ax=b有何不同？A要满足什么条件？答：高斯消去法实质上产生了一个将A分解为两个三角形矩阵相乘的因式分解，其中一个为上三角矩阵U，一个为下三角矩阵L。

用LU分解解线性方程组可以简化计算，减少计算量，提高计算精度。

A需要满足的条件是，顺序主子式（1,2，⋯，n-1）不为零。

3、楚列斯基分解与LU分解相比，有什么优点？楚列斯基分解是LU分解的一种，当限定下三角矩阵L的对角元素为正时，楚列斯基分解具有唯一解。

4、哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？具有对称正定系数矩阵的线性方程可以使用平方根法求解。

，切对角元素恒为正数，因此，是一个稳定的平方根法在分解过程中元素的数量级不会增长算法。

5、什么样的线性方程组可用追赶法求解并能保证计算稳定？对角占优的三对角方程组6、何谓向量范数？给出三种常用的向量范数。

向量范数定义见p53，符合3个运算法则。

正定性齐次性三角不等式x为向量，则三种常用的向量范数为：（第3章p53,第5章p165）设n||x|||x|1ii11n22||x||(x)2ii1||x||max|x i|1in7、何谓矩阵范数？何谓矩阵的算子范数？给出矩阵A=(a ij)的三种范数||A||1，||A||2，精品.资料WORD格式.分享||A||∞，||A||1与||A||2哪个更容易计算？为什么？向量范数定义见p162，需要满足四个条件。

第一章绪论习题一1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。

解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1.2.4)有已知x*的相对误差满足，而，故即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。

解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得有5位有效数字，其误差限，相对误差限有2位有效数字，有5位有效数字，3.下列公式如何才比较准确？（1）（2）解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。

（1）（2）4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。

5.计算取，利用：式计算误差最小。

四个选项：第二、三章插值与函数逼近习题二、三1. 给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。

线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值误差限，因，故二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值误差限，故2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h 应取多少?解：用误差估计式（5.8），令因得3. 若，求和.解：由均差与导数关系于是4. 若互异，求的值，这里p≤n+1.解：，由均差对称性可知当有而当P＝n＋1时于是得5. 求证.解：解：只要按差分定义直接展开得6. 已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得由于7. 给定f(x)=cosx的函数表用Newton等距插值公式计算cos 0.048及cos 0.566的近似值并估计误差解：先构造差分表计算，用n=4得Newton前插公式误差估计由公式（5.17）得其中计算时用Newton后插公式（5.18)误差估计由公式（5.19）得这里仍为0.5658．求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。

数值分析第二版 朱晓临第一章 习题3.324.045≈324.0 60.0876≈60.090.00035167≈0.0003517 2.00043≈2.000 6.①**x x x-≤51441111111010100.005%222a a -+--⨯=⨯⨯≤⨯=（1≤1a ≤9） 故它的相对误差限为0.005%②∵*12120....100....10n n n n x a a a a a a =±⨯=⨯＜()10.110na +⨯相对误差限＝0.03%***3311*n n n x x x x x x----=⨯⨯⨯⨯⨯⨯＜0.03%0.(a +1)10=0.3(0.a +1)10＜0.510 ∴至少有3位有效数字。

7.6*1), 1.4,0.004096A A =≈=则1.4≈时，⑴()610.005232781≈⑵(330.008-≈⑶()310.0051252613≈+⑷991-≈所以利用第三个得到的计算结果的绝对误差最小。

8.由函数的绝对误差公式：***(())'()()e f x f x e x ≈ ① 令2**2*(),()(),100f x x f x x x ===cm由题目得，*(())1e f x =，**'()2f x x = ②把②代入①，得： 1≈**2()x e x ⋅ 1≈*2100()e x ⨯⋅ *()e x 0.005cm ≈边长的测量误差不超过0.005cm 时，才能使其面积的误差不超过12cm 。

11.**()ln ,()ln f x x f x x ==令则由公式***(())'()()e f x f x e x ≈，得： ***1(())0.510e f x x x l x≈-<⨯- 又***()r x x x xε-≤， 由此可知，*()0.510l r x ε-=⨯所以*x 的相对误差限为0.510l -⨯，有l 位有效数字。

数值分析第5版课后答案本文是数值分析第5版课后答案。

以下是每章节课后习题的答案。

第一章：导论和误差分析1.什么是数值分析？数值分析是利用数学模型和离散数值计算方法进行科学计算的一门学科。

它通过建立数学描述、离散化、数值求解等步骤求解各种科学计算问题。

2.什么是误差？误差是实际值与理论值之间的差异。

误差分为绝对误差和相对误差。

3.什么是有效数字？有效数字是指一个数值中有效的数字位数，不包括前导0和末尾0。

第二章：计算机算术1.什么是机器数？机器数是计算机内部表示的数字。

它是由位组成的2进制数，可以表示整数和实数。

2.什么是补码？补码是表示负整数的一种方法。

它是将一个数反码后加1得到的数，也就是一个数与其相反数的和，是一种用来解决计算机计算负数的方法。

3.什么是浮点数？浮点数是一种可以表示任意大小的实数的计算机数据类型。

它由两部分组成：指数和尾数。

指数表示数的大小，尾数表示数的精度。

第三章：方程的解法1.什么是二分法？二分法是一种求解连续函数零点的方法。

它需要先确定一个区间，然后在该区间中搜索函数值为0的点。

2.什么是牛顿迭代法？牛顿迭代法是一种求解非线性方程的方法。

它利用函数的一阶导数和二阶导数近似表示函数，并利用初始值和迭代公式得到近似解。

3.什么是割线法？割线法是一种求解非线性方程的方法。

它是利用函数两点连线的斜率逼近函数的零点，并利用初始值和迭代公式得到近似解。

第四章：插值和逼近1.什么是插值？插值是利用已知数据点得到一个函数，使这个函数通过这些点。

2.什么是拉格朗日插值？拉格朗日插值是一种插值方法。

它利用数据点和插值点的函数值，通过拉格朗日插值公式得到通过插值点的函数。

3.什么是样条插值？样条插值是一种插值方法。

它是通过多项式连接各个区间，并满足一定条件得到一个光滑的函数。

第五章：数值积分1.什么是数值积分？数值积分是用数值计算方法来近似计算定积分的方法。

2.什么是梯形公式？梯形公式是数值积分的一种方法。

习题51．导出如下3个求积公式，并给出截断误差的表达式。

(1) 左矩形公式：⎰-≈ba ab a f dx x f ))(()((2) 右矩形公式：))(()(a b b f dx x f ba-≈⎰(3) 中矩形公式：⎰-+≈baa b ba f dx x f ))(2()( 解：(1) )()(a f x f ≈， )()()()(a b a f dx a f dx x f baba -=≈⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=-=--ba ba ba ba dx a f x f dx a f dx x f ab a f dx x f ))()(()()())(()(),()(21)()()()(2ηηξf a b dx a x f dx a x f ba b a'-=-'=-'=⎰⎰),(,b a ∈ηξ(2) )()(b f x f ≈，⎰⎰-=≈b abaa b a f dx b f dx x f ))(()()(⎰⎰⎰⎰-=-≈--b a b a b a ba dxb f x f dx b f dx x f a b b f dx x f )]()([)()())(()()()(21)()()()(2ηηξf a b dx b x f dx b x f ba ba'--=-'=-'=⎰⎰，),(,b a ∈ηξ(3) 法1 )2()(ba f x f +≈ ， ⎰⎰-+=+≈baba ab ba f dxb a f dx x f ))(2()2()(⎰-+-baa b b a f dx x f ))(2()(⎰⎰+-=b a b a dx b a f dx x f )2()( dx b a f x f b a ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=)2()( dx b a x f b a x ba fb a ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-''++-+'=2)2)((21)2)(2(ξdx b a x f dx b a x b a f ba b a 2)2()(21)2()2(⎰⎰+-''++-+'=η 3))((241a b f -''=η 法2 可以验证所给公式具有1次代数精度。

第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。

[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。

2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。

[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而n x 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。

3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。

[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。

4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。

（1）*4*2*1x x x ++； [解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。