数值分析作业答案

数值分析第一次作业及参考答案1. 设212S gt =，假定g 是准确的，而对t 的测量有0.1±秒的误差，证明当t 增加时S 的绝对误差增加，而相对误差却减少。

解：2**22211()0.122()0.10.2()1122,(),().r r e S S S gt gt gt e S gt e S t gt gt t e S e S =-=-====∴↑↑↓2. 设2()[,]f x C a b ∈且()()0f a f b ==，求证2''1max ()()max ().8a x ba xb f x b a f x ≤≤≤≤≤-解：由112,0),(,0)()()0()00.a b L x l x l x =⨯+⨯=（两点线性插值 插值余项为"111()()()()()()[,]2R x f x L x f x a x b a b ξξ=-=--∈ [,].x a b ∴∀∈有12211()()"()()()max "()[()()]221()()1max "()[]()max "().228a x ba xb a x b f x R x f x a x b f x x a b x x a b x f x b a f x ξ≤≤≤≤≤≤==--≤---+-≤=-21max ()()max "()8a xb a x b f x b a f x ≤≤≤≤∴≤-3. 已测得函数()y f x =的三对数据：（0，1），（－1，5），（2，－1），（1）用Lagrange 插值求二次插值多项式。

（2）构造差商表。

（3）用Newton 插值求二次插值多项式。

解：(1)Lagrange 插值基函数为0(1)(2)1()(1)(2)(01)(02)2x x l x x x +-==-+-+-同理 1211()(2),()(1)36l x x x l x x x =-=+ 故2202151()()(1)(2)(2)(1)23631i i i p x y l x x x x x x x x x =-==-+-+-++=-+∑（2）令0120,1,2x x x ==-=，则一阶差商、二阶差商为0112155(1)[,]4,[,]20(1)12f x x f x x ---==-==-----0124(2)[,,]102f x x x ---==-22()1(4)(0)1*(0)(1)31P x x x x x x =+--+-+=-+4. 在44x -≤≤上给出()xf x e =的等距节点函数表，若用二次插值求x e 的近似值，要使截断误差不超过610-，问使用函数表的步长h 应取多少？解：()40000(),(),[4,4],,,, 1.x k x f x e f x e e x x h x x h x x th t ==≤∈--+=+≤考察点及(3)200044343()()[(()]()[()]3!(1)(1)(1)(1)3!3!.(4,4).6f R x x x h x x x x h t t t e t h th t h e h e ξξ=----+-+≤+⋅⋅-=≤∈-则436((1)(1)100.006.t t t h --+±<< 在点 得5. 求2()f x x =在［a,b ］上的分段线性插值函数()h I x ，并估计误差。

第一章 绪论（12） 第二章 插值法（40-42）2、当2,1,1-=x 时，4,3,0)(-=x f ，求)(x f 的二次插值多项式。

[解]372365)1(34)23(21)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0))(())(())(())(())(())(()(2221202102210120120102102-+=-++--=+-+-⨯+------⨯-+-+-+⨯=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L 。

3、给出x x f ln )(=的数值表用线性插值及二次插值计算54.0ln 的近似值。

X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 x ln -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144[解]若取5.00=x ，6.01=x ，则693147.0)5.0()(00-===f x f y ，510826.0)6.0()(11-===f x f y ，则604752.182321.1)5.0(10826.5)6.0(93147.65.06.05.0510826.06.05.06.0693147.0)(010110101-=---=--⨯---⨯-=--+--=x x x x x x x x x y x x x x y x L ，从而6202186.0604752.19845334.0604752.154.082321.1)54.0(1-=-=-⨯=L 。

若取4.00=x ，5.01=x ，6.02=x ，则916291.0)4.0()(00-===f x f y ，693147.0)5.0()(11-===f x f y ，510826.0)6.0()(22-===f x f y ，则 217097.2068475.404115.2)2.09.0(5413.25)24.0(3147.69)3.01.1(81455.45)5.06.0)(4.06.0()5.0)(4.0()510826.0()6.05.0)(4.05.0()6.0)(4.0()693147.0()6.04.0)(5.04.0()6.0)(5.0(916291.0))(())(())(())(())(())(()(22221202102210120120102102-+-=+--+-⨯++-⨯-=----⨯-+----⨯-+----⨯-=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ，从而61531984.0217097.21969765.259519934.0217097.254.0068475.454.004115.2)54.0(22-=-+-=-⨯+⨯-=L补充题：1、令00=x ，11=x ，写出x e x y -=)(的一次插值多项式)(1x L ，并估计插值余项。

. 证明：(1). 假如 A 是对称正定矩阵，则 A 1也是对称正定矩阵(2). 假如 A 是对称正定矩阵，则 A 能够独一地写成 A L T L ，此中 L 是拥有正对角元的下三角矩阵。

证明：(1). 因 A 是对称正定矩阵，故其特点值i皆大于 0 ，所以 A 1的特点值i 1也皆大于 0 。

因此i1也皆大于 0 ，故 A 是可逆的。

又(A 1)T(A T) 1 A 1则 A 1也是对称正定矩阵。

(2).由A是对称正定，故它的全部次序主子阵均不为零，进而有独一的杜利特尔分解~A LU 。

又u111u12u1nu11u11 u221u2 nU DU 0u22u nn1此中 D 为对角矩阵，U0为上三角矩阵，于是~ ~A L U LDU0由 A 的对称性，得~A A T U0T D L T由分解的独一性得U 0T ~ L进而~ ~A LDL T由 A 的对称正定性，假如设D i (i 1,2, ,n) 表示A的各阶次序主子式，则有d1 D1 0 ， d i D i 0 ， i 2,3, , nD i 1故d1 d1 d1d2 d2 d2 Dd n d n d n1 1D2D2所以~11~ ~1~1LL T，A LD2D2 L T LD2(LD2)T~1此中 L L D 2为对角元素为正的下三角矩阵。

. 用列主元消去法解线性方程组12 x1 3x2 3x3 1518 x1 3x2 x3 15x1 x2 x3 6并求出系数矩阵 A 的队列式(即 det A )的值。

解18 3 1 15 ( A b) r1 r2 12 3 3 151 1 1 62m2131m311818 3 1 15 0 1 7 / 375 m32 0 7 /6 17 /18 631/ 618 3 1 150 1 7 / 3 50 0 11/ 3 11所以解为 x3 3 ， x2 2 ， x1 1，det A 66 。

. 用追赶法解三对角方程组Ax b ，此中2 1 0 0 0 1 1 2 1 0 0 0 A012 1 0 ， b 0 。

数值分析期末考试一、 设80~=x ，若要确保其近似数的相对误差限为0.1%，则它的近似数x 至少取几位有效数字？（4分）解：设x 有n 位有效数字。

因为98180648=<<=，所以可得x 的第一位有效数字为8（1分） 又因为21101011000110821--⨯=<⨯⨯≤n ε，令321=⇒-=-n n ，可知x 至少具有3位有效数字（3分）。

二、求矩阵A 的条件数1)(A Cond （4分）。

其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4231A 解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-5.05.1121A （1分） 1A =7（1分） 2711=-A （1分）249)(1=A Cond （1分）三、用列主元Gauss 消元法法求解以下方程组（6分）942822032321321321=++-=++--=+-x x x x x x x x x解：→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----5.245.2405.35.230914220321821191429142821120321 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---8175835005,245.24091425.33.2305.245.2409142(4分) 等价三角方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+-=++,8175835,5.245.24,942332321x x x x x x （1分）回代得1,3,5123==-=x x x （1分）四、设.0,2,3,1,103)(3210234=-===-+-=x x x x x x x x f 1）求以3210,,,x x x x 为节3次Lagrange 多项式；（6分） 2）求以3210,,,x x x x 为节3次Newton 多项式；（6分）3）给出以上插值多项式的插值余项的表达式（3分）解：由0,2,3,13210=-===x x x x 可得10)(,34)(,1)(,11)(3210-==-=-=x f x f x f x f即得： +------+------=))()(())()(()())()(())()(()()(312101320130201032103x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x f x L=------+------))()(())()(()())()(())()(()(23130321033212023102x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x f+-+--+-⨯-+-+--+-⨯-)03)(23)(13()0)(2)(1()1()01)(21)(31()0)(2)(3(11x x x x x x326610.)20)(30)(10()2)(3)(1()10()02)(32)(12()0)(3)(1(34x x x x x x x x x -+--=+--+--⨯-+---------⨯2）计算差商表如下：i x )(i x f 一阶差商 二阶差商 三阶差商1 -11 3 -1 5 -2 34 -7 4 0-10-225-1则=+-----+-+-=)2)(3)(1()3)(1(4)1(511)(3x x x x x x x N326610x x x -+--3）)2)(3)(1())()()((!4)()(3210)4(3+--=----=x x x x x x x x x x x x f x R ξ五、给定方程组b Ax =，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100131w w w w A 。

第2章 插值法1、当x=1，-1，2时，f(x)=0，-3，4，求f(x)的二次插值多项式。

（1）用单项式基底。

（2）用Lagrange 插值基底。

（3）用Newton 基底。

证明三种方法得到的多项式是相同的。

解：（1）用单项式基底设多项式为:2210)(x a x a a x P ++=，所以：6421111111111222211200-=-==x x x x x x A 37614421111111424113110111)()()(222211200222221112000-=-=---==x x x x x x x x x f x x x f x x x f a 2369421111111441131101111)(1)(1)(12222112002222112001=--=--==x x x x x x x x f x x f x x f a 6565421111111421311011111)(1)(1)(12222112002211002=--=---==x x x x x x x f x x f x x f x a 所以f(x)的二次插值多项式为：2652337)(x x x P ++-= （2）用Lagrange 插值基底)21)(11()2)(1())(())(()(2010210-+-+=----=x x x x x x x x x x x l)21)(11()2)(1())(())(()(2101201------=----=x x x x x x x x x x x l)12)(12()1)(1())(())(()(1202102+-+-=----=x x x x x x x x x x x lLagrange 插值多项式为：372365)1)(1(314)2)(1(61)3(0)()()()()()()(22211002-+=+-⨯+--⨯-+=++=x x x x x x x l x f x l x f x l x f x L所以f(x)的二次插值多项式为：22652337)(x x x L ++-= (3) 用Newton 基底: 均差表如下：Newton 372365)1)(1(65)1(230))(](,,[)](,[)()(21021001002-+=+-+-+=--+-+=x x x x x x x x x x x x f x x x x f x f x N所以f(x)的二次插值多项式为：22652337)(x x x N ++-= 由以上计算可知，三种方法得到的多项式是相同的。

第一章习题解答1. 在下列各对数中，X 是精确值ａ的近似值（1） ａ=π，x=3.1 （2） ａ=1/7，x=0.143 （3） ａ=π/1000，x=0.0031 （4） ａ=100/7，x=14.3 试估计x 的绝对误差和相对误差。

解：（1） e=∣3.1-π∣≈0.0416， δr = e/∣x ∣≈0.0143 （2） e=∣0.143-1/7∣≈0.0143 δr = e/∣x ∣≈0.1 （3） e=∣0.0031-π/1000∣≈0.0279 δr = e/∣x ∣≈0.9 (4) e=∣14.3-100/7∣≈0.0143 δr = e/∣x ∣≈0.0012. 已知四个数：x 1=26.3，x 2=0.0250， x 3= 134.25，x 4=0.001。

试估计各近似数的有效位数和误差限，并估计运算μ1= x 1 x 2 x 3和μ1= x 3 x 4 /x 1的相对误差限。

解：x 1=26.3 ｎ=3 δx 1=0.05 δr x 1=δx 1/∣x 1∣=0.19011×10-2x 2=0.0250 ｎ=3 δx 2=0.00005 δr x 2=δx 2/∣x 2∣=0.2×10-2x 3= 134.25 ｎ=5 δx 3=0.005 δr x 3=δx 3/∣x 3∣=0.372×10-4x 4=0.001 ｎ=1 δx 4=0.0005 δr x 4=δx 4/∣x 4∣=0.5由公式：e r （μ）= e （μ）/∣μ∣≦1/∣μ∣Σni=1∣∂f/∂x i ∣δx ie r （μ1）≦1/∣μ1∣［x 2 x 3δx 1+ x 1 x 3δx 2 +x 1x 2δx 3］ =0.34468/88.269275 =0.0039049e r （μ2）≦1/∣μ2∣［-x 3 x 4/ x 21δx 1+ x 4/ x 1δx 3 + x 3/ x 1δx 4］ =0.497073. 设精确数ａ>0，x 是ａ的近似值，x 的相对误差限是0.2，求㏑x 的相对误差限。

1、确定参数p 、q 、r,使得迭代212512,,,...k k k kqa ra x px k x x +=++==（16分） 解：迭代方程225(),1,2,...qa ra x px k x xϕ=++== 2'3625(),qa ra x p x x ϕ=-- 2''47630(),qa ra x x x ϕ=+ 利用局部收敛性与收敛阶定理4知要使收敛的阶尽可能高，需满足'*''*()0()0x x ϕϕ== 又知 **()x x ϕ= 则可得到以下式子：22235027609qa ra p qa ++=--==......1 ......2 ......3 由以上三式可解得：2539p r a==- 收敛的阶数为3。

题外话：解这样比较复杂的方程组，不太适合手算，最好自己利用MATLAB 编写一个小程序：附带自编小程序：syms p q r a ;s1='sqrt(3)*p+(q*a)/3+(r*a^2)/(9*sqrt(3))=sqrt(3)';s2='p-(2*q*a)/(3*sqrt(3))-(5*r*a^2)/27=0';s3='(6*q*a)/9+(30*r*a^2)/(27*sqrt(3))=0';[p,q,r]=solve(s1,s2,s3,p,q,r)2、用ＭＡＴＬＡＢ编程求著名的Van Der Pol 方程210()x x x x '''+-+= 的数值解并绘制其时间响应曲线和状态轨迹图（给出源程序）（14分）解：先建立一个函数文件fname.m ：function xdot=fname(t,x)xdot=zeros(2,1);xdot(1)=(1-x(2)^2)*x(1)-x(2);xdot(2)=x(1);调用函数文件fname.m 求Van Der Pol 方程的数值解并绘制时间响应曲线和状态轨迹图：ts=[0 30]; %设置仿真时间30秒x0=[1;0]; %设置仿真初值[t,x]=ode45('fname',ts,x0);subplot(1,2,1),plot(t,x)subplot(1,2,2),plot(x(:,1),x(:,2))3、试确定常数A ，B ，C ，使得数值求积公式)1()()0()(110Cf x Bf Af dx x f ++≈⎰具有尽可能高的代数精度。