2020届西藏拉萨中学高三第六次月考数学(理)试题
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数学理科试卷
（满分：150分，考试时间：120分钟。请将答案填写在答题卡上）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．已知集合A
＝{x
|(x
＋1)(x
－2)≤0}，集合B
为整数集，则A
∩B
＝ ()
A．{－1,0} B．{0,1} C．{－2，－1,0,1} D．{－1,0,1,2}
2．已知非零向量a
，b
满足a
=
2b
，且（a–b
）
b
，则a与b
的夹角为
A．π
6
B．π
3
C．2π
3
D．5π
6
3．若0tan
，则 （ ）
A．0sin
B．0cos
C．02sin
D．02cos
4. 设复数z
满足(2)(2)5zii
，则z
（ ）
A．23i
B．23i
C．32i
D．32i
5．设函数f
（x
）=cosx
+b
sinx
（b
为常数），则“b
=0”是“f
（x
）为偶函数”的
A．充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．命题“
*
xnRN，
，使得2
nx
≥”的否定形式是 （ ）.
A.
*
xnRN，
，使得2
nx
B.*
xnRN，
，使得2
nx
C.
*
xnRN，
，使得2
nx
D.*
xnRN，
，使得2
nx
7．在棱长为2的正方体ABCD
－A
1B
1C
1D
1中，点O
为底面ABCD
的中心，在正方体ABCD
－A
1B
1C
1D
1内随机取一点P
，则点P
到点O
的距离大于1的概率为()
A. B．1－ C. D
．1－π
12π
12π
6π
6
8．设a
>0为常数，动点M
(x
，y
)(y
≠0)分别与两定点F
1(－a,
0)，F
2(a,
0)的连线的斜率之积为定
值λ
，若点M
的轨迹是离心率为的双曲线，则λ
的值为()
3
- 1 -A．2B．－2 C．3
D.
3
9．已知1
23a
，
1
31
log
2b，
21
log
3c
，则 ()
A．a
>b
>c
B．b
>c
>a
C．c
>b
>a
D．b
>a
>c
10．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为()
A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙
11.如图所示，点P从点A出发，按逆时针方向沿边长为a
的正三角形ABC运动一周，O为
ABC的中心，设点P走过的路程为x，OAP的面积为
xf
（当A、O、P三点共线时，
记面积为0），则函数
xf
的图像大致为（ ）
12．函数
fx
的导函数
fx
，对xR
，都有
fxfx
成立，若
ln22f
，则满足不等式
x
fxe
的x
的范围是 （ ）
A．1x
B．01x
C．ln2x
D．0ln2x
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题 5分，共20分。
13．函数y
＝＋的最小值是 ．1
sin2
x2
cos2
x
14．已知
na
是等差数列，公差d
不为零．若
2a
，
3a
，
7a
成等比数列，且
1221aa
，则
1a
，
d
．
- 2 -15.已知点
2,9
在函数
x
fxa
（0a
且1a
）图像上，对于函数
yfx
定义域中的任意
)(,
2121xxxx
，有如下结论：
①
1212.fxxfxfx
②);()()(
2121xfxfxxf
③0)()(
2121
xxxfxf
；④
2)()(
)
2(2121xfxfxx
f
.上述结论中正确结论的序号是 ．
16．已知)(xfy为定义域为R的偶函数，当0x
时，
5
sin,02,
44
1
+1,2,
2xxx
fx
x
若关于x
的方程
2
0fxafxb
（a
，Rb
）有且仅有6个不同的实数根，则实数a
的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．(本小题满分12分)
ABC
的内角CBA，，
所对的边分别为cba，，
．
（I）若cba，，
成等差数列，证明：
CACAsin2sinsin
；
（II）若cba，，
成等比数列，求Bcos
的最小值．
18．(本小题满分12分)
为了预防某种流感扩散，某校医务室采取积极的处理方式，对感染者进行短暂隔离直到
康复．假设某班级已知6位同学中有1位同学被感染，需要通过化验血液来确定被感染的同学
，血液化验结果呈阳性即被感染，呈阴性即未被感染．下面是两种化验方案．
方法甲：逐个化验，直到能确定被感染的同学为止．
方案乙：先任取3个同学，将他们的血液混在一起化验，若结果呈阳性则表明被感染同学
为这3位中的1位，后再逐个化验，直到能确定被感染的同学为止；若结果呈阴性，则在另外
3位同学中逐个检测．
(1)求方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数的概率；
(2)η
表示方案甲所需化验次数，ξ
表示方案乙所需化验次数，假设每次化验的费用都相同
，请从经济角度考虑哪种化验的方案最佳．
19. (本小题满分12分)
在如图所示的几何体中，四边形ABCD
是菱形，四边形ADNM
是
矩形，平面ADNM
平面ABCD
，60DAB，
2AD，
1AM，
E为
AB的中点，
P为线段CM
上的一点.
- 3 -、（1）求证：DECN
； （2）若二面角PDEC
的大小为
30°
，求CP
CM
的值.
20.(本小题满分12分)
已知椭圆C：22
221(0)xy
ab
ab
的离心率为2
2，点(2,2)
在C
上．
（Ⅰ）求C
的方程；
（Ⅱ）直线l
不过原点O
且不平行于坐标轴，l
与C
有两个交点,AB
，线段AB
的中点为M
．证明
：直线OM
的斜率与直线l
的斜率的乘积为定值．
21. (本小题满分12分)已知函数f
(x
)＝x
cosx
－sinx
，x
∈
.[
0，π
2]
(1)求证：f
(x
)≤0；
(2)若a
<
对x
∈恒成立，求a
的最大值与b
的最小值．sinx
x(
0，π
2)
选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题
计分．
22.(本小题满分10分) 在平面直角坐标系xOy
中，已知直线l的参数方程为1
1
2
3
2xt
yt
（t
为参数），椭圆C
的参数方程为cos,
2sinx
y
（
为参数）
（1）将直线l
的参数方程化为极坐标方程；
（2）设直线l
与椭圆C
相交于A
，B
两点，求线段AB
的长.
23. (本小题满分10分) 设函数f
(x
)＝|x
－1|＋|x
－3|.1
2
(1)求不等式f
(x
)>2的解集；
(2)若不等式f
(x
)≤a
(x
＋)的解集非空，求实数a
的取值范围．1
2
- 4 -
