单位圆与三角函数线导学案

单位圆与三角函数线教案教案：单位圆与三角函数线一、教学目标：1.理解单位圆的定义及性质；2.掌握三角函数线的定义；3.能够在单位圆上确定三角函数的取值范围；4.能够根据给定的角度求解三角函数的值。

二、教学重点：1.单位圆的性质；2.三角函数线的定义。

三、教学难点：1.单位圆上角度和三角函数之间的关系；2.在单位圆上确定三角函数的取值范围。

四、教学过程：Step 1：引入1.引导学生回顾三角函数的定义，并简要介绍单位圆的概念。

3.学生回答后，引导他们思考如何用单位圆解释三角函数。

Step 2：单位圆的定义及性质1.展示单位圆的图像，并介绍单位圆的定义。

2.提出问题：“单位圆的半径是多少？圆心在哪里？为什么称之为‘单位’圆？”3.引导学生发现单位圆的半径为1，并解释为什么称之为“单位”圆。

4.提问：“单位圆上一个点的坐标有什么特点？”5.学生回答后，引导他们发现单位圆上的点的坐标可以用三角函数表示。

6. 总结：单位圆上点的坐标(x,y)可以表示为(x,y)=(cosθ,sinθ)，其中θ为与正半轴的夹角。

7.展示并讲解单位圆上一些特殊角度的坐标及对应的三角函数值。

Step 3：三角函数线的定义1.提醒学生在单位圆上的角度是从正半轴逆时针旋转的，而实际应用中角度是从正半轴顺时针旋转的。

3.解释正弦函数、余弦函数和正切函数的定义及性质。

4.强调正弦函数、余弦函数和正切函数的周期性。

Step 4：确定三角函数的取值范围1.提醒学生在单位圆上，正弦函数和余弦函数的取值范围是[-1,1]。

2.提问：“在什么角度上，正弦函数和余弦函数的值等于1、等于0、等于-1？”3.学生回答后，引导他们在单位圆上确定三角函数的取值范围，并总结出规律。

4.引导学生发现正切函数的取值范围是整个实数轴，不存在界限。

Step 5：求解三角函数的值1.提醒学生在单位圆上，正弦函数和余弦函数的值由点的y坐标决定，正切函数的值由点的y坐标除以点的x坐标决定。

高一数学导学案 编号：
教学课题
课型 主备教师 把关教师 使用教师 使用时间、班级 单位圆与三角函数线 新授课
学习目标：学会正确地用三角函数线表示任意角的三角函数值，培养学生数形结合的良好的思维习惯。

重点难点:用与单位圆有关的三角函数线表示三角函数值。

教学手段：
教学过程
课前预习
1.单位圆与有向线段
一般地，我们把半径为 的圆叫做单位圆，有向线段是指既有 又有 的线段，如果有向线段在直角坐标系中，我们取和坐标轴同向的线段为 ，反向的为 。

2.三角函数线
如图，设单位圆的圆心在原点，角α的顶点在圆心O ，始边与x 轴正半轴重合，终边与单位圆相交于P ，点P 在x 轴上的正射影为M ，过()0,1A 作单位圆的切线交直线OP 或其反向延长线于点T ，则把有向线段OM ,MP ,AT 分别叫做α的 ，
， ，=αcos ，=αsin ，=αtan 。

教师是学生学习的引导者 学生是学习的主人！ α的终边
认真听讲是学习高效的捷径！
积极思考勤于动手天才来自勤奋！
落实是成功的保证！。

高中必修三数学教案《单位圆与三角函数线》教材分析与单位圆有关的三角函数线是对任意三角函数定义的一种“形”上的补充，它作为三角函数线的几何表示，使学生对三角函数的定义有了直观的理解，同时能帮助我们理解和掌握三角函数的定义域及三角函数的符号规律，加深数与形的结合。

三角函数线贯穿了整个三角函数的教学，借助三角函数线，可以推导出同角三角函数的基本关系式及诱导公式，画出正弦曲线，解出三角不等式，求函数的定义域及比较大小。

可以说，三角函数线是研究三角函数的有力工具。

学情分析1、学生在学习本节课之前已经学习了任意角的三角函数的定义和三角函数值在各个象限的符号。

利用几何画板工具，学生可以有效地进行数学试验。

2、在角的分类中，学习角的终边所在的象限知识，学生可能会只考虑到象限角而忽视轴上角，在学习新概念之前要复习且强调一下。

3、向量和实数的对应关系是新内容，学生需要提前掌握。

教学目标1、经过三角函数线的学习，培养数学抽象和直观想象核心素养。

2、借助三角函数的应用，培养逻辑推理及直观想象核心素养。

教学重点认识三角函数线的意义。

教学难点会用三角函数线表示一个角的正弦。

教学方法讲授法、演示法、讨论法、练习法教学过程一、问题导入我们已经知道，如果P （x ，y ）是α终边上异于原点的任意一点，r = √x 2+y 2，则sin α = = y r ，cos αx r 。

如果选取的P 点坐标满足x 2+y 2 = 1，则上述正弦与余弦的表达式有什么变化？由此你能给出任意角正弦和余弦的一个直观表示吗？二、学习新知不难看出，如果x 2+y 2 = 1，则sin α = y ，cos α= x 。

因为x 2+y 2 = 1可以化为√（x −0）2+（y −0）2 = 1因此P （x ，y ）到原点（0，0）的距离为1。

一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足x 2+y 2 = 1的点组成的集合称为单位圆。

因此，如果角α的终边与单位圆的交点为P ，则P 的坐标为（cos α，sin α）这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标。

课题:7．3．2单位圆和三角函数线.教学目标：1.理解三角函数的几何意义，掌握用单位圆中的有向线段表达三角函数值的方法,能由已知角正确作出它的三角函数线．2．能够根据角的终边与单位圆交点的坐标：（)求特殊角的三角函数值及确定各三角函数值在各象限的符号,并牢记它们，能熟练应用.3.通过三角函数线的教学培养学生数形结合的思想和能力.教学重点:三角函数线及各象限的角的三角函数值符号．教学难点：三角函数线的概念和性质．教学方法：启发点拨,讲练结合．教学用具:三角板、圆规、投影片.教学过程：一、复习引入1.复习提问(1)已知角终边上一点，点到原点的距离为ｒ,试说出角的余弦、正弦和正切值.又问:另外的3种函数——正割、余割和余切与它们有何关系?怎样定义的？（２)以上定义的各种比值与点在角终边上的位置有没有关系？为什么？其中余弦和正弦这两种比值分别等于什么？(,分别是角的终边上单位向量在轴、轴上的正射影的数量.)(3)如果在(1）中取=１,那么点就是单位圆(以坐标原点为圆心,半径为1的圆)上的一点，此时可以写成怎样的表达式？2.引入7.3.2单位圆与三角函数线从刚才的提问我们可以知道：角终边与单位圆交点的横、纵坐标分别等于的余弦和正弦，即有(),亦即=(),由于|｜＝1,所以cｏs和sｉn分别是角终边上单位向量在轴、轴上的正射影的数量．于是作出在轴和轴上的正射影,我们便可得到的几何表示.（出示预先准备好的小黑板，请同学作出在轴、轴上的正射影和,对于向量的方向应注意强调，并予以纠正．)二、新课1.三角函数线由于的数量(或坐标)可用来表示,所以有,同理．于是定义为的余弦线, 为的正弦线．请同学思考正切线如何作呢?启发:因为=，如果能在角的终边上取一点,使得它的横坐标为1,那么点的纵坐标不就表示了的值吗?而要使点的横坐标为１,那么点的纵坐标就必在过单位圆与轴正向的交点(１,0）的单位圆的切线上．教师边讲边作出，当的终边在第二、三象限时,提示学生让的终边的反向延长线与过的单位圆的切线相交找到点.怎样说明就是的正切线呢？启发:由作图可知(１,），即=（１，tａｎ)，因在轴上的正射影为,即有=，所以定义为的正切线.强调:三角函数线都是有向线段，在作图及表示它们时要注意它们的方向，分清始点和终点，书写顺序不能颠倒.(作图板演时分别用不同颜色的笔区别开三种函数线．）例1如图2所示，,边与单位圆相交于点,求点的坐标.解：设点的坐标为（、)，则所以点的坐标为.例2 求下列各角的三角函数值:（1)０；(2)；(3)；(4)(5)2．解：由角的终边与单位圆交点坐标可得：(以上三角函数值要求会熟练推导，并牢固记忆.)三、小结单位圆是从“形”与“数”两方面研究三角函数的一种十分有用的工具．利用这个工具我们得到了：“角的终边与单位圆交点坐标为)”这一重要结论．由此我们研究了以下三个问题：（1)得到了三角函数值的一种几何表示,即三角函数线;(２）求特殊角的三角函数值.（3)得到了三角函数值在各象限的符号规律(全、、、).四、作业1.复习课文.做第215页练习,第1，2,3题，第1,２题．2.预习下一节.五、板书设计。