江苏省张家港市崇真中学高三数学一轮复习导学案：73 几何体的表面积与体积空间直角坐标系

( 1)证明：直线A1B∥平面CDD1C1；
(2)求棱A1A的长；
(3)求经过A1，C1，B，D四点的球的表面积．
3.长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，对角线长为2 ，则这个长方体的体积是.
4. 如图所示，三棱锥A—BCD一条侧棱AD=8 cm，底面一边BC=18 cm，其余四条棱的棱长都是17 cm，
求三棱锥A—BCD的体积.
课外作业——空间几何体的表面积体姓名：
1.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是.
三：课堂研讨
例1如图所示，长方体ABCD—A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥
C—A′DD′，求棱锥C—A′DD′的体积与剩余部分的体积之比.
例2、如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=1，BB1=2 ，
E是棱CC1上的点，且CE= CC1.
（1）求三棱锥C—BED的体积；
（2）求证：A1C⊥平面BDE.
江苏省建陵高级中学2014届高考数学一轮复习空间几何体表面积体积导学案
一：学习目标
柱、锥、台、球的表面积与体积
二：课前预习
1.三棱锥S—ABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形，且AB=BC=CA=2，则三棱锥S—ABC的表面积是.
2.如图所示，在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1 中，P是A1B1上一点，且PB1= A1B1，则多面 体P-BCC1B1的体积为.
例3、如图所示,半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋转一周 得到一几何体,
求该几何 体的表面积(其中∠BAC =30°)及其体积.
备注
课堂检测——空间几何体的表面积体积姓名：

解析 (1)锥体的体积等于底面面积与高之积的三分之一，故不正确. (2)球的体积之比等于半径比的立方，故不正确.
索引
2.已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径
为( B )
A.1 cm
B.2 cm
C.3 cm
3 D.2 cm
解析 设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l， 因为侧面展开图是一个半圆， 所以πl＝2πr，即l＝2r， 所以πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r＝2.
得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( B )
A.12 2π
B.12π
C.8 2π
D.10π
解析 由题意知，圆柱的轴截面是一个面积为 8 的正方形，则圆柱的高与底面 直径均为 2 2. 设圆柱的底面半径为 r，则 2r＝2 2，得 r＝ 2. 所以圆柱的表面积 S 圆柱＝2πr2＋2πrh＝2π( 2)2＋2π× 2×2 2＝4π＋8π＝12π.
索引
训练1 (1)(2020·新高考Ⅱ卷)棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别
为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1－D1MN的体积为____1____.
解析 如图，由正方体棱长为2及M，N分别为BB1，AB 的中点， 得 S△A1MN＝2×2－2×12×2×1－21×1×1＝32， 又易知D1A1为三棱锥D1－A1MN的高，且D1A1＝2， ∴VA1－D1MN＝VD1－A1MN＝13·S△A1MN·D1A1＝31×32×2＝1.
角度1 简单几何体的体积
例1 (1)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出 的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用
该原理可以得到柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S 是柱体的底面积，h是柱体的高.若某柱体的三视图

2019年高考数学一轮复习精品学案（人教版A 版）---空间几何体的表面积和体积一．【课标要求】了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。

二．【近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。

即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解。

由于本讲公式多反映在考题上，预测2019年高考有以下特色： （1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式；（2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题； 三．【要点精讲】1．多面体的面积和体积公式侧棱长。

2．旋转体的面积和体积公式 12 上、下底面半径，R 表示半径 四．【典例解析】题型1：柱体的体积和表面积例1．一个长方体全面积是20cm 2，所有棱长的和是24cm ，求长方体的对角线长. 解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm 、ycm 、zcm 、lcm 依题意得：⎩⎨⎧=++=++24)(420)(2z y x zx yz xy )2()1(由（2）2得：x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2xz=36（3）由（3）－（1）得x 2+y 2+z 2=16即l 2=16所以l=4(cm)。

点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。

我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系。

例2．如图1所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB ⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD=3π。

§8.1 空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积第2讲空间几何体的表面积和体积板块一知识梳理·自主学习必备知识考点1多面体的表面积、侧面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是侧面展开图的面积，表面积是侧面积与底面面积之和．考点2圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式考点3柱、锥、台和球的表面积和体积必会结论1.与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差． (2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等． 2.几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a ，球的半径为R ， ①若球为正方体的外接球，则2R ＝3a ； ②若球为正方体的内切球，则2R ＝a ； ③若球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a .(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 考点自测 1.判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS .( ) (2)设长方体的长、宽、高分别为2a ，a ，a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为3πa 2.( )(3)若一个球的体积为43π，则它的表面积为12π.( )(4)将圆心角为2π3，面积为3π的扇形作为圆锥的侧面，则圆锥的表面积等于4π.( )2．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为( )A.323B.64C.3233D.6433．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A.12＋4 2B.18＋8 2C.28D.20＋8 24.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为( )A.2B.4＋2 2C.4＋4 2D.6＋4 25.长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为________．6.由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如下，则该几何体的体积为________．板块二典例探究·考向突破考向1几何体的表面积例1(1)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为()A.10B．12C．14D．16(2)下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A．20π B．24π C．28π D．32π触类旁通空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图，确定几何体的直观图．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.变式训练1 一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是()A．1＋ 3 B．1＋2 2 C．2＋ 3 D．2 2考向2几何体的体积命题角度1补形法求体积例2如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()A.90π B．63π C．42π D．36π命题角度2分割法求体积例3《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊柱的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高1丈，问它的体积是多少？”已知1丈为10尺，现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为()A.5000立方尺 B ．5500立方尺 C.6000立方尺D ．6500立方尺命题角度3 转化法求体积例4 如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥D 1－EDF 的体积为________．触类旁通空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.考向3 与球有关的切、接问题 例5 已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( ) A.3172 B ．210 C.132D ．310变式探究1 本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？变式探究2 本例若将直三棱柱改为“正四面体”，则此正四面体的表面积S 1与其内切球的表面积S 2的比值为多少？变式探究3 本例中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是32的正四棱锥”，则其外接球的半径是多少？ 触类旁通“切”“接”问题的处理规律 (1)“切”的处理解决旋转体、多面体的内切球问题时首先要找准切点，通过作截面来解决．截面过球心． (2)“接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.变式训练2 (1)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( ) A.π B.3π4 C.π2 D.π4(2)一个几何体的三视图如图所示，该几何体外接球的表面积为( )A.36πB.112π3 C.32π D .28π归纳领悟 核心规律1.表面积是各个面的面积之和，求多面体的表面积时，只需将它们沿着棱剪开后展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积．求旋转体的表面积时，可以从旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开求表面积．2.求几何体体积时，要选择适当的底面和高． 满分策略1.利用三视图求表面积和体积时，要正确地把它们还原成直观图，从三视图中得到几何体的相关量，再计算．2.求不规则的几何体的表面积和体积时，把它们分成基本的简单几何体再求．3.求几何体体积时注意运用割补法和等体积转换法． 板块三 启智培优·破译高考题型技法系列——破解切割棱柱体的三视图问题 如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．6B ．9C ．12D ．1解题视点 根据三视图还原几何体，先画出该棱柱在没有切割前完整的图形，然后去掉被切割下的三棱柱，结合图形利用体积公式破解．答题启示 从近年全国各地对于三视图知识的考查来看，所涉及的几何体往往是相对比较规则的，且多与长方体、直棱柱、圆锥及球密切相关.通常考查的不是这些简单的几何体，而是通过对这些简单的几何体的截或接所形成的几何体. 跟踪训练将正方体切去一个三棱锥得到几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为( )A.223B.203C.163D.6——★ 参 考 答 案 ★——板块一 知识梳理·自主学习考点自测 1.『答案』 (1)× (2)× (3)√ (4)√ 2．『答案』 D『解析』 由三视图可知，该多面体是一个四棱锥，且由一个顶点出发的三条棱两两垂直，长度都为4，∴其体积为13×4×4×4＝643.故选D.3．『答案』 D『解析』 由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，如图．则该几何体的表面积为S ＝2×12×2×2＋4×2×2＋22×4＝20＋8 2.故选D.4.『答案』 C『解析』 由题可知，该几何体的底面为等腰直角三角形，等腰直角三角形的斜边长为2，腰长为2，棱柱的高为2，所以其侧面积S ＝2×2＋22×2＝4＋4 2.故选C. 5. 『答案』 14π『解析』 ∵长方体的顶点都在球O 的球面上， ∴长方体的体对角线的长度就是其外接球的直径． 设球的半径为R ， 则2R ＝32＋22＋12＝14. ∴球O 的表面积为S ＝4πR 2＝4π×⎝⎛⎭⎫1422＝14π. 6.『答案』 2＋π2『解析』 该几何体由一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体和两个底面半径为1，高为1的四分之一圆柱体构成， ∴V ＝2×1×1＋2×14×π×12×1＝2＋π2.板块二 典例探究·考向突破考向1 几何体的表面积 例1 (1)『答案』 B『解析』 观察三视图可知该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的，且直三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，侧棱长为2.三棱锥的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，高为2，如图所示．因此该多面体各个面中有2个梯形，且这两个梯形全等，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，故这些梯形的面积之和为2×12×(2＋4)×2＝12.故选B.(2)『答案』 C『解析』 由三视图可得圆锥的母线长为22＋(23)2＝4，∴S 圆锥侧＝π×2×4＝8π. 又S 圆柱侧＝2π×2×4＝16π，S 圆柱底＝4π，∴该几何体的表面积为8π＋16π＋4π＝28π.故选C. 变式训练1 『答案』 C『解析』 由三视图可得该四面体的直观图如图所示，平面ABD ⊥平面BCD ，△ABD 与△BCD 为全等的等腰直角三角形，AB ＝AD ＝BC ＝CD ＝ 2.取BD 的中点O ，连接AO ，CO ，则AO ⊥CO ，AO ＝CO ＝1.由勾股定理得AC ＝2，因此△ABC 与△ACD 为全等的正三角形，由三角形面积公式得S △ABC ＝S △ACD ＝32，S △ABD ＝S △BCD ＝1，所以四面体的表面积为2＋ 3.故选C.考向2 几何体的体积命题角度1 补形法求体积 例2 『答案』 B『解析』 (割补法) 由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示．将圆柱补全，并将圆柱从点A 处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的12，所以该几何体的体积V ＝π×32×4＋π×32×6×12＝63π.故选B.命题角度2 分割法求体积 例3 『答案』 A『解析』 该楔体的直观图如图中的几何体ABCDEF .取AB 的中点G ，CD 的中点H ，连接FG ，GH ，HF ，则该几何体的体积为四棱锥F －GBCH 与三棱柱ADE －GHF 的体积之和．又可以将三棱柱ADE －GHF 割补成高为EF ，底面积为S ＝12×3×1＝32平方丈的一个直棱柱，故该楔体的体积V ＝32×2＋13×2×3×1＝5立方丈＝5000立方尺．故选A.命题角度3 转化法求体积 例4 『答案』 16『解析』 三棱锥D 1－EDF 的体积即为三棱锥F －DD 1E 的体积．因为E ，F 分别为AA 1，B 1C 上的点，所以正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中△EDD 1的面积为定值12，F 到平面AA 1D 1D 的距离为定值1，所以VF －DD 1E ＝13×12×1＝16.考向3 与球有关的切、接问题 例5 『答案』 C『解析』 如图所示，由球心作平面ABC 的垂线，则垂足为BC 的中点M .又AM ＝12BC ＝52，OM ＝12AA 1＝6，所以球O 的半径R ＝OA ＝⎝⎛⎭⎫522＋62＝132.故选C.变式探究1 解：由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径．设该正方体外接球的半径为R ，内切球的半径为r . 又正方体的棱长为4，故其体对角线长为43， 从而V 外接球＝43πR 3＝43π×(23)3＝323π，V 内切球＝43πr 3＝43π×23＝32π3.变式探究2 解：正四面体棱长为a ，则正四面体表面积为S 1＝4·34·a 2＝3a 2，其内切球半径r 为正四面体高的14，即r ＝14·63a ＝612a ，因此内切球表面积为S 2＝4πr 2＝πa 26，则S 1S 2＝3a 2πa26＝63π.变式探究3 解：依题意，得该正四棱锥底面对角线的长为32×2＝6，高为 (32)2－⎝⎛⎭⎫12×62＝3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3. 变式训练2 (1)『答案』 B『解析』 设圆柱的底面半径为r ，球的半径为R ，且R ＝1， 由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知， r ，R 及圆柱的高的一半构成直角三角形． ∴r ＝12－⎝⎛⎭⎫122＝32.∴圆柱的体积为V ＝πr 2h ＝34π×1＝3π4.故选B.(2) 『答案』 B『解析』 根据三视图，可知该几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为4的正方形，高是2 3.将该四棱锥补形成一个三棱柱，如图所示，则其底面是边长为4的正三角形，高是4，该三棱柱的外接球即为原四棱锥的外接球．∵三棱柱的底面是边长为4的正三角形，∴底面三角形的中心到该三角形三个顶点的距离为23×23＝433，∴外接球的半径为R ＝⎝⎛⎭⎫4332＋22＝283，外接球的表面积S ＝4πR 2＝4π×283＝112π3.故选B.板块三 启智培优·破译高考 『答案』 B『解析』 该几何体是一个直三棱柱截去14所得，如图所示，其体积为34×12×3×4×2＝9.故选B.跟踪训练 『答案』 A『解析』 由图可知，该几何体为正方体切去一个三棱锥形成．V ＝2×2×2－13×12×2×2×1＝223.故选A.。