2019年全国各地中考数学试题分类汇编专题32 正多边形与圆(含解析)

2019年浙江省中考数学分类汇编专题:圆（解析版）一、单选题1.若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为（）A. B. C. D.【答案】C【考点】弧长的计算【解析】【解答】解：把已知数导入弧长公式即可求得：。

故答案为：C。

【分析】求弧长，联想弧长公式，代入数字即可。

2.如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC=1，∠ABC=30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为（）A. 2B.C.D.【答案】B【考点】圆周角定理，切线的性质【解析】【解答】解：连接OA∵∠ABC=30°弧AC=弧AC∴∠AOC=2∠ABC=60°∵AP是圆O的切线，∴OA⊥AP∴∠OAP=90°∴AP=OAtan60°=1× =故答案为：B【分析】连接OA，利用圆周角定理可求出∠AOC的度数，再根据切线的性质，可证△AOP是直角三角形，然后利用解直角三角形求出PA的长。

3.如图，△ABC内接于⊙O，∠B=65°，∠C=70°，若BC=2 ，则的长为（）A. πB. πC. 2πD. π【答案】A【考点】圆周角定理，弧长的计算【解析】【解答】解：连接OC、OB，∵∠A=180°-∠ABC-∠ACB∴∠A=180°-65°-70°=45°∵弧BC=弧BC∴∠BOC=2∠A=2×45°=90°∵OB=OC在Rt△OBC中，∠OBC=45°∴OC=BCsin45°= =2∴弧BC的长为：故答案为：A【分析】利用三角形内角和定理求出∠A，再根据圆周角定理，求出∠BOC的度数，就可证得△BOC是等腰直角三角形，利用解直角三角形求出OC的长，然后利用弧长公式计算可求出弧BC的长。

4.如图，等边三角形ABC的边长为8，以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB，AC相切，则⊙O的半径为（）A. 2B. 3C. 4D. 4-【答案】A【考点】切线的性质，解直角三角形的应用，切线长定理【解析】【解答】解：设AB、AC的切点分别为D、E，连结OD、OE，如图，∵AB、AC与⊙O相切于点D、E，∴AD=AE，∠ODB=∠OEC=90°，又∵△ABC是边长为8的等边三角形，∴AB=AC=BC=8，∠B=60°，∴BD=CE，∵OD=OE，∴△ODB≌△OEC（SAS），∴OB=OC= BC=4，在Rt△ODB中，∴sin60°= ，即OD=OBsin60°=4× =2 ，∴⊙O的半径为2 .故答案为：A.【分析】设AB、AC的切点分别为D、E，连结OD、OE，根据切线的性质和切线长定理得AD=AE，∠ODB=∠OEC=90°，由等边三角形性质得AB=AC=BC=8，∠B=60°，等量代换可得BD=CE，根据全等三角形判定SAS 得△ODB≌△OEC，再由全等三角形性质得OB=OC=4，在Rt△ODB中，根据锐角三角函数正弦定义即可求得答案.5.已知圆锥的底面半径为5cm，母线长为13cm，则这个圆锥的侧面积是（）A. 60πcm2B. 65πcm2C. 120πcm2D. 130πcm2【答案】B【考点】圆锥的计算【解析】【解答】解：设圆锥母线为R，圆锥底面半径为r，∵R=13cm，r=5cm，∴圆锥的侧面积S= ·2 r.R= ×2 ×5×13=65 （cm2）.故答案为：B.【分析】根据圆锥侧面展开图为扇形，再由扇形面积计算即可求得答案.6.如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连结BD，则∠ABD的度数是（）A. 60°B. 70°C. 72°D. 144°【答案】C【考点】正多边形和圆【解析】【解答】解：∵五边形ABCDE为正五边形，∴∠ABC=∠C= (5−2)×180°=108°，∵CD=CB，∴∠CBD== (180°−108°)=36°，∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=72°，故答案为：C.【分析】由正多边形的内角和公式可求得∠ABC和∠C的度数，又由等边对等角可知∠CBD=∠CDB，从而可求得∠CBD，进而求得∠ABD。

2019年全国中考数学真题分类汇编：正多边形、弧长与扇形面积一、选择题1.（2019年山东省青岛市）如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．若AC＝BD＝4，∠A＝45°，则的长度为（）A．πB．2πC．2πD．4π【考点】切线的性质、等腰直角三角形的判定和性质、弧长的计算【解答】解：连接OC、OD，∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．∴OC⊥AC，OD⊥BD，∵∠A＝45°，∴∠AOC＝45°，∴AC＝OC＝4，∵AC＝BD＝4，OC＝OD＝4，∴OD＝BD，∴∠BOD＝45°，∴∠COD＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴的长度为：＝2π，故选：B．2.（2019年山东省枣庄市）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）（）A ．8﹣πB ．16﹣2πC ．8﹣2πD ．8﹣π【考点】正方形的性质、扇形的面积【解答】解：S 阴＝S △ABD ﹣S 扇形BAE ＝×4×4﹣＝8﹣2π， 故选：C ．3. （2019年云南省）一个圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆，则该圆锥的全面积是（ ）A.48πB.45πC.36πD.32π【考点】圆锥的全面积【解答】设圆锥底面圆的半径为r ，母线长为l ，则底面圆的周长等于半圆的弧长8π，∴ ππ82=r ，∴4=r ，圆锥的全面积等于πππππ4832162=+=+=+r rl S S 底侧， 故选A4. (2019年浙江省温州市)若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．6π【考点】弧长公式计算．【解答】解：该扇形的弧长＝＝3π． 故选：C ．5. （2019年湖北省荆州市）如图，点C 为扇形OAB 的半径OB 上一点，将△OAC 沿AC 折叠，点O 恰好落在上的点D 处，且l ：l ＝1：3（l 表示的长），若将此扇形OAB 围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为（ ）A ．1：3B ．1：πC ．1：4D ．2：9【考点】圆锥的侧面积【解答】解：连接OD 交OC 于M ．由折叠的知识可得：OM＝OA，∠OMA＝90°，∴∠OAM＝30°，∴∠AOM＝60°，∵且：＝1：3，∴∠AOB＝80°设圆锥的底面半径为r，母线长为l，＝2πr，∴r：i＝2：9．故选：D．6. （2019年西藏）如图，从一张腰长为90cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面半径为（）A．15cm B．12cm C．10cm D．20cm【考点】圆锥的侧面积【解答】解：过O作OE⊥AB于E，∵OA＝OB＝90cm，∠AOB＝120°，∴∠A＝∠B＝30°，∴OE＝OA＝45cm，∴弧CD的长＝＝30π，设圆锥的底面圆的半径为r，则2πr＝30π，解得r＝15．故选：A．二、填空题1.（2019年重庆市）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC＝60°，AB＝2，分别以点A、点C为圆心，以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）【考点】扇形面积公式、菱形的性质【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠ABO＝∠ABC＝30°，∠BAD＝∠BCD＝120°，∴AO＝AB＝1，由勾股定理得，OB＝＝，∴AC＝2，BD＝2，∴阴影部分的面积＝×2×2﹣×2＝2﹣π，故答案为：2﹣π．2. （2019年山东省滨州市）若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为．【考点】正多边形和圆、等边三角形的判定与性质、三角函数【解答】解：如图，连接OA、OB，作OG⊥AB于G；则OG＝2，∵六边形ABCDEF正六边形，∴△OAB是等边三角形，∴∠OAB＝60°，∴OA＝＝＝，∴正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为．故答案为：．3. （2019年山东省青岛市）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是°．【考点】正多边形和圆、圆周角定理【解答】解：连接AD，∵AF是⊙O的直径，∴∠ADF＝90°，∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴∠ABC＝∠C＝108°，∴∠ABD＝72°，∴∠F＝∠ABD＝72°，∴∠FAD＝18°，∴∠CDF＝∠DAF＝18°，∴∠BDF＝36°+18°＝54°，故答案为：54．4. （2019年广西贵港市）如图，在扇形OAB中，半径OA与OB的夹角为120°，点A与点B的距离为2，若扇形OAB恰好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径为______．【考点】圆锥面积公式【解答】解：连接AB ，过O 作OM ⊥AB 于M ，∵∠AOB=120°，OA=OB ，∴∠BAO=30°，AM=， ∴OA=2，∵=2πr ， ∴r=故答案是：5. （2019年广西贺州市）已知圆锥的底面半径是1，高是，则该圆锥的侧面展开图的圆心角是度．【考点】圆锥面积公式【解答】解：设圆锥的母线为a ，根据勾股定理得，a ＝4，设圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n °，根据题意得2π•1＝，解得n ＝90，即圆锥的侧面展开图的圆心角度数为90°．故答案为：90．6. （2019年江苏省泰州市）如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形.若正三角形边长为6cm ，则该莱洛三角形的周长为 cm ．【考点】扇形弧长公式【解答】∵l=180R n π=1806120⨯π=4π, ∴4π×3=12π. 故答案为：12π.7.（2019年江苏省无锡市）已知圆锥的母线成为5cm ，侧面积为15πcm 2，则这个圆锥的底面圆半径为 cm ．【考点】圆锥侧面积【解答】圆锥底面圆的半径r=15π÷5π=3.8. （2019年江苏省扬州市）如图，AC 是⊙O 的内接正六边形的一边，点B 在弧AC 上，且BC 是⊙O 的内接正十边形的一边，若AB 是⊙O 的内接正n 边形的一边，则n=__15_。

1. （2019年陕西省）若正六边形的边长为3，则其较长的一条对角线长为【分析】根据正六边形的性质即可得到结论.【解答】解：如图所示为正六边形最长的三条对角线，由正六边形性质可知，△ AOB，△ COD为两个边长相等的等边三角形,••• AD = 2AB = 6,故答案为6.多边形和圆的性质来分析、判断、解答.2. （2019年广西柳州市）在半径为5的圆形纸片上裁出一个边长最大的正方形纸片，则这个正方形纸片的边长应为5二 .【分析】先根据题意画出图形，再连接OB、OC,过O作OE丄BC,设此正方形的边长为a，由垂径定理及正方形的性质得出OE = BE=：，再由勾股定理即可求解.2【解答】解：如图所示，连接OB、OC,过O作OE丄BC,设此正方形的边长为a, •/ OE 丄BC,• OE= BE」2即 a = 5.:. 故答案为：5匚.【点评】本题考查的是正多边形和圆，解答此类问题的关键是根据题意画出图形，禾U用数形结合求解.3. （2019年四川内江市）如图，在平行四边形ABCD中，AB V AD，/ A= 150CD = 4,以CD为直径的O O交AD于点E,则图中阴影部分的面积为【分析】连接0E,作OF 丄DE，先求出/ COE= 2/ D = 60°、OF = -OD= 1, DF = ODcos 2 / ODF = 7, DE = 2DF = 2 7,再根据阴影部分面积是扇形与三角形的面积和求解可得.【解答】解：如图，连接OE，作OF丄DE于点F ,•••四边形ABCD是平行四边形，且/ A= 150 ° , •••/ D = 30°,则/ COE= 2/D = 60°,•/ CD = 4,CO = DO= 2,OF =1 OD = 1, DF = ODcos/ ODF = 2X__= 7, 2 2• DE = 2DF = 2 二，「2 -一•••图中阴影部分的面积为 1 1 F■ +丄x 2 7x 1= ' +360 2 3故答案为：匚+ =.【点评】本题考查的是扇形面积计算、平行四边形的性质，掌握扇形面积公式：S=：是解题的关键.4. （2019年江苏省徐州市）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r = 2cm,扇形的圆心角0= 120°，则该圆锥的母线长I为 6 cm.【分析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长.【解答】解：圆锥的底面周长= 2 nX 2 = 4冗cm,设圆锥的母线长为RJ" ：： = 4 n,解得R= 6.故答案为：6.【点评】本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为：’一IISO5. （2019年湖北省黄冈市）用一个圆心角为120° ,半径为6的扇形做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的面积为4n .【分析】易得扇形的弧长，除—2n即为圆锥的底面半径，从而可以计算面积.【解答】解：扇形的弧长= 一 =4n ,180圆锥的底面半径为 4 n — 2 n = 2.•••面积为：4 n ,故答案为：4 n .【点评】考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长.6. （2019年贵州省贵阳市）如图，用等分圆的方法，在半径为OA的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，若OA = 2，则四叶幸运草的周长是8 n .【分析】由题意得出：四叶幸运草的周长为4个半圆的弧长=2个圆的周长，由圆的周长公式即可得出结果.【解答】解：由题意得：四叶幸运草的周长为4个半圆的弧长=2个圆的周长，•四叶幸运草的周长= 2 X 2 nX 2 = 8 n;故答案为：8 n.【点评】本题考查了正多边形和圆、正方形的性质以及圆周长公式；由题意得出四叶幸运草的周长=2个圆的周长是解题的关键.7. （2019年山东省烟台市）如图，分别以边长为2的等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径作弧，三段弧所围成的图形是一个曲边三角形，已知O O是厶ABC的内切圆，则阴影部分面积为邑n-2匚_.【分析】连接OB,作OD丄BC于D,如图，利用等边三角形的性质得AB= BC = AC= 2, / ABC = 60°,再根据三角形内切圆的性质得OH为O O的半径，/ OBH = 30°，再计3S 弓形AB+SS BC- S O0 = 3 （S 扇形ACB- Ss BC）+S^ABC - S O O进行计算.【解答】解：连接OB,作OD丄BC于D，如图，•••△ABC为等边三角形，AB= BC = AC = 2,Z ABC = 60°,•/ O O是厶ABC的内切圆，••• OH 为O O 的半径，/ OBH = 30°,T 0点为等边三角形的外心，BH = CH = 1 ,在Rt△ OBH 中，OH BH = ■-,3 3T S 弓形AB= S 扇形ACB—S ABC,•阴影部分面积=3S 弓形AB+S AABC—S O o= 3( S 扇形ACB —S A ABC)+S^ABC - S O O= 3S 扇形ACB-2S A ABC—S O O = 3X [..…2 —2X__X 22— nX(_^)，1=_n~2 7.■故答案为-匸n - 2心；.3【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角.也考查了等边三角形的性质和扇形面积公式.8. （2019年广西桂林市）如图，在矩形ABCD中，AB= '；, AD = 3,点P是AD边上的一个动点，连接BP,作点A关于直线BP的对称点A i,连接A i C，设A1C的中点为Q,当点P从点A出发，沿边AD运动到点D时停止运动，点Q的运动路径长为丄丄n .【分析】如图，连接BA i,取BC使得中点O,连接OQ, BD .利用三角形的中位线定理证明OQ =丄丄=定值，推出点Q的运动轨迹是以O为圆心，OQ为半径的圆弧，圆心角2为120°,已解决可解决问题.【解答】解：如图，连接BA1，取BC使得中点O,连接OQ , BD .T四边形ABCD是矩形，•••/ BAD = 90 ° ,in l• tan/ ABD = = ■:,ABABD = 60 ° ,2，O 为圆心，OQ 为半径的圆弧，圆心角为 120° , V31803故答案为竺二n.3【点评】本题考查轨迹， 学知识解决问题，属于中考常考题型.9. （2019年福建省）如图，边长为2的正方形ABCD 中心与半径为2的O O 的圆心重合，E 、 F 分别是AD 、BA 的延长与O O 的交点，则图中阴影部分的面积是n- 1 .（结果保留n ）【分析】延长 DC , CB 交O O 于M , N ,根据圆和正方形的面积公式即可得到结论. 【解答】解：延长 DC , CB 交O O 于M , N ,则图中阴影部分的面积= 丄X （ S 圆0- S 正方形ABCD ） =一 X （ 4 n- 4）= n- 1 ,4 4 【分析】根据三角形外角的性质得到/C = / ADO -Z CAB = 65°,根据等腰三角形的性质得到/ AOC = 50°，由扇形的面积公式即可得到结论.•••A 1Q = QC , BO = OC ,• OQ = J_ BA i = 一AB =2 2•••点Q 的运动轨迹是•••点Q 的运动路径长=矩形的性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用所故答案为：n- 1 .【点评】本题考查了扇形面积的计算，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键.10. （2019年广西梧州市）如图，已知半径为 1的O O 上有三点A 、B 、C , OC 与AB 交于点 D ,Z ADO = 85 ° ,Z CAB = 20 °，则阴影部分的扇形 OAC 面积是—一丄【解答】解：•••/ ADO = 85 °，/ CAB = 20 ° ,•••/ C=Z ADO -Z CAB= 65°,•/ OA= OC,•Z OAC=Z C= 65°,•Z AOC= 50°,•••阴影部分的扇形OAC面积=_二=口 ,360 36故答案为：…-.36【点评】本题考查了扇形面积的计算，由等腰三角形的性质和三角形的内角和求出Z AOC 是解题的关键.11. （2019年海南省）如图，O O与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣弧•丨|所对的圆心角Z BOD的大小为144 度.【分析】根据正多边形内角和公式可求出Z E、Z D，根据切线的性质可求出Z OAE、Z OCD，从而可求出Z AOC，然后根据圆弧长公式即可解决问题.【解答】解：•••五边形ABCDE是正五边形，•Z E=Z = 108°.5T AB、DE与O O相切，•Z OBA=Z ODE = 90°,•Z BOD =（5- 2）X 180°- 90°- 108°- 108° - 90°= 144°,故答案为：144.【点评】本题主要考查了切线的性质、正五边形的性质、多边形的内角和公式、熟练掌握切线的性质是解决本题的关键.12. （2019年黑龙江省绥化市）用一个圆心角为120°的扇形作一个圆锥的侧面，若这个圆锥的底面半径恰好等于4,则这个圆锥的母线长为12 .【分析】根据底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长列式计算即可.【解答】解：设圆锥的母线长为I,根据题意得：' = 2nX 4,180解得：1= 12,故答案为：12.【点评】考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长.13. （2019年黑龙江省齐齐哈尔市）将圆心角为216°，半径为5cm的扇形围成一个圆锥的侧面，那么围成的这个圆锥的高为 4 cm.【分析】圆锥的底面圆的半径为r,利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到 得r = 3,然后根据勾股定理计算出圆锥的高. 【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为 r ,根据题意得2n =广…’，解得r = 3,130所以圆锥的高= '「_.：［ = 4 （cm ）.故答案为4.【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆 锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.14. （2019年黑龙江省哈尔滨市）一个扇形的弧长是 11冗cm ，半径是18cm ,则此扇形的圆心角是 110 度.【分析】直接利用弧长公式 1= 丁即可求出n 的值，计算即可.180 【解答】解：根据I= 11 n,180 180解得：n = 110, 故答案为：110.【点评】本题考查了扇形弧长公式计算，注意公式的灵活运用是解题关键. 15. （2019年黑龙江省鸡西市）若一个圆锥的底面圆的周长是 5冗cm ，母线长是6cm ,则该圆锥的侧面展开图的圆心角度数是150°.【分析】利用圆锥的底面周长和母线长求得圆锥的侧面积，然后再利用圆锥的面积的计 算方法求得侧面展开扇形的圆心角的度数即可.【解答】解：•••圆锥的底面圆的周长是 45cm , •••圆锥的侧面扇形的弧长为 5冗cm ,解得：n = 150 故答案为150°.【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是根据圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆 锥的底面周长来求出弧长.16. （2019年湖北省黄石市） 如图，Rt △ ABC 中，/ A = 90 ° , CD 平分/ ACB 交AB 于点D , O 是BC 上一点，经过 C 、D 两点的O O 分别交 AC 、BC 于点E 、F , AD = 「；，/ADC=60°，则劣弧’啲长为 "n ._3 —2 n =丁「一 飞,解180pH X 6180=5 n,【分析】连接DF , OD，根据圆周角定理得到/ ADF = 90°,根据三角形的内角和得到/ AOD = 120 ° ,根据三角函数的定义得到 CF =■ = 4,根据弧长个公式即可得到结论.【解答】解：连接 DF , OD , •/ CF 是O O 的直径， •••/ CDF = 90°,•••/ ADC = 60°,/ A = 90°, •••/ ACD = 30°,•••CD 平分/ ACB 交AB 于点D , •••/ DCF = 30°, •/ OC = OD ,•••/ OCD = / ODC = 30°, •••/ COD = 120°,在 Rt △ CAD 中，CD = 2AD = 2 二,• O O 的半径=2,故答案为n.3【点评】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，弧长的计算，作出辅助线构建直角三 角形是本题的关键.17. （2019年湖北省咸宁市）如图，半圆的直径 AB = 6,点C 在半圆上，/ BAC = 30°，则 阴影部分的面积为 j 二拓 （结果保留n .【分析】根据题意，作出合适的辅助线，即可求得 CD 和/ COB 的度数，即可得到阴影部分的面积是半圆的面积减去厶 AOC 和扇形BOC 的面积. 【解答】解：连接 OC 、BC ,作CD 丄AB 于点D , • •直径 AB = 6，点C 在半圆上，/ BAC = 30 ° , •••/ ACB = 90 °，/ COB = 60 ° , • - AC = 3込：；， • / CDA = 90°,cos-ZDCF在 Rt △ FCD 中,cos30^•劣弧’啲长= 一=，:1303•阴影部分的面积是:3 n _【点评】本题考查扇形面积的计算、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，禾U 用数 形结合的思想解答.18. （2019年河南省）如图，在扇形AOB 中，/ AOB = 120 ° ,半径OC 交弦AB 于点D , 且OC 丄OA •若OA = 2二，则阴影部分的面积为 _ 7+ n .【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据图形可知阴影部分的面积是△ AOD 的面积与扇形 OBC 的面积之和再减去△ BDO 的面积，本题得以解决.【解答】解：作 OE 丄AB 于点F , _•••在扇形AOB 中，/ AOB = 120。

专题13.圆与正多边形一、单选题1．（2021·四川成都市·中考真题）如图，正六边形ABCDEF 的边长为6，以顶点A 为圆心，AB 的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．4πB ．6πC ．8πD ．12π【答案】D 【分析】根据正多边形内角和公式求出∠F AB ，利用扇形面积公式求出扇形AB F 的面积计算即可．【详解】解：∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴∠F AB =()621801206-⨯︒=︒，AB =6， ∴扇形ABF 的面积=2120612360，故选择D ．2．（2021·云南中考真题）如图，等边ABC 的三个顶点都在O 上，AD 是O 的直径．若3OA =，则劣弧BD 的长是（ ）A ．2πB ．πC ．32πD ．2π【答案】B【分析】连接OB ，OC ，根据圆周角定理得到∠BOC =2∠BAC ，证明△AOB ≌△AOC ，得到∠BAO =∠CAO =30°，得到∠BOD ，再利用弧长公式计算．【详解】解：连接OB ，OC ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠BOC =2∠BAC =120°，又∵AB=AC，OB=OC，OA=OA，∴△AOB≌△AOC（SSS），∴∠BAO=∠CAO=30°，∴∠BOD=60°，∴劣弧BD的长为603180π⨯⨯=π，故选B．3．（2021·广西玉林市·中考真题）学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直”，小熹说：“用反例就能说明这是假命题” ．下列判断正确的是（）A．两人说的都对B．小铭说的对，小燕说的反例不存在C．两人说的都不对D．小铭说的不对，小熹说的反例存在【答案】D【分析】根据垂径定理可直接进行排除选项．【详解】解：由垂径定理的推论“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧”可知：小铭忽略了垂径定理中的“弦不能是直径”这一条件，因为一个圆中的任意两条直径都互相平分，但不垂直，所以小铭说法错误，小熹所说的反例即为两条直径的情况下；故选D．4．（2021·青海中考真题）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，16AB=厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（）．A．1.0厘米/分B．0.8厘米分C．12厘米/分D．1.4厘米/分【答案】A【分析】首先过⊙O的圆心O作CD⊥AB于C，交⊙O于D，连接OA，由垂径定理，即可求得OC的长，继而求得CD的长，又由从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为10分钟，即可求得“图上”太阳升起的速度．【详解】解：过⊙O的圆心O作CD⊥AB于C，交⊙O于D，连接OA，∴AC=12AB=12×16=8（厘米），在Rt△AOC中，6OC==（厘米），∴CD=OC+OD=16（厘米），∵从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16分钟，∴16÷16=1（厘米/分）．∴“图上”太阳升起的速度为1.0厘米/分．故选：A．5．（2021·山东聊城市·中考真题）如图，A，B，C是半径为1的⊙O上的三个点，若AB，∠CAB＝30°，则∠ABC的度数为（）A．95°B．100°C．105°D．110°【答案】C【分析】连接OB，OC，根据勾股定理逆定理可得∠AOB＝90°，∠ABO＝∠BAO＝45°，根据圆周角定理可得∠COB＝2∠CAB＝60°，∠OBC＝∠OCB＝60°，由此可求得答案．【详解】解：如图，连接OB，OC，∵OA＝OB＝1，AB，∴OA2＋OB2＝AB2，∴∠AOB＝90°，又∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO＝45°，∵∠CAB＝30°，∴∠COB＝2∠CAB＝60°，又∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB＝60°，∴∠ABC＝∠ABO＋∠OBC＝105°，故选：C．6．（2021·山东泰安市·中考真题）如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，90B ∠=︒，120BCD ∠=︒，2AB =，1CD =，则AD 的长为（ ）A ．2-B ．3C ．4D ．2【答案】C 【分析】如图，延长AD ，BC ，二线交于点E ，可求得∠E =30°，在Rt △CDE 中，利用tan 30°计算DE ，在Rt △ABE 中，利用sin 30°计算AE ，根据AD =AE -DE 求解即可；【详解】如图，延长AD ，BC ，二线交于点E ，∵∠B =90°，∠BCD =120°，∴∠A =60°，∠E =30°，∠ADC =90°，∴∠ADC =∠EDC = 90°，在Rt △CDE 中，tan 30°=DC DE ，∴DE在Rt △ABE 中，sin 30°=AB AE ，∴AB =212=4，∴AD =AE -DE =4,故选C 7．（2021·四川广元市·中考真题）如图，从一块直径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为90︒的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥．那么这个圆锥的底面圆的半径是（ ）A ．4πBC ．12D ．1【答案】B【分析】先计算BC 的长度，然后围成的圆锥底面周长等同于BC 的长度，根据公式计算即可．【详解】解：如下图：连接BC ，AO ，∵90BAC ∠=，∴BC 是直径，且BC=2，又∵AB AC =，∴45ABC ACB ∠=∠=，,AO BC ⊥又∵sin 45OAAB ︒=，112OA BC == ，∴ 1sin 45OA AB ===︒∴BC 的长度为：90180π⨯， ，设圆锥的底面圆的半径为r ， 则：22r π=， ∴1=224r π=⨯B 【点睛】本题考查扇形弧长的计算，圆锥底面半径的计算，解直角三角形等相关知识点，根据条件计算出扇形的半径是解题的关键．8．（2021·四川南充市·中考真题）如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，2CD OE =，则BCD∠的度数为（ ）A ．15︒B ．22.5︒C ．30D ．45︒【答案】B 【分析】连接OD ，据垂径定理得CD =2DE ，从而得ODE 是等腰直角三角形，根据圆周角定理即可求解．【详解】解：连接OD ，∵AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，∴CD =2DE ，∵2CD OE =，∴DE =OE ，∴ODE 是等腰直角三角形，即∠BOD =45°，∴BCD ∠=12∠BOD =22.5°，故选B ． 9．（2021·四川广元市·中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，AE 是以BC 为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．32π+B ．2π-C ．1D ．52π- 【答案】D【分析】取BC 的中点O ，设AE 与⊙O 的相切的切点为F ，连接OF 、OE 、OA ，由题意可得OB =OC =OA =1，∠OF A =∠OFE =90°，由切线长定理可得AB =AF =2，CE =CF ，然后根据割补法进行求解阴影部分的面积即可．【详解】解：取BC 的中点O ，设AE 与⊙O 的相切的切点为F ，连接OF 、OE 、OA ，如图所示：∵四边形ABCD 是正方形，且边长为2，∴BC=AB =2，∠ABC=∠BCD =90°，∵AE 是以BC 为直径的半圆的切线，∴OB =OC =OF =1，∠OF A =∠OFE =90°，∴AB =AF =2，CE =CF ， ∵OA =OA ，∴Rt △ABO ≌Rt △AFO （HL ），同理可证△OCE ≌△OFE ，∴,AOB AOF COE FOE ∠=∠∠=∠，∴90AOB COE AOB BAO ∠+∠=︒=∠+∠，∴COE BAO ∠=∠，∴ABO OCE ∽，∴OC CE AB OB =，∴12CE =， ∴15222222ABO OCE ABCE S S S S S S ππ-=-=+-=+-=阴影半圆半圆四边形；故选D ． 10．（2021·湖北荆州市·中考真题）如图，在菱形ABCD 中，60D ∠=︒，2AB =，以B 为圆心、BC 长为半径画AC ，点P 为菱形内一点，连接PA ，PB ，PC ．当BPC △为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为（ ）A ．23πB ．23πC ．2πD ．2π 【答案】A【分析】以点B 为原点，BC 边所在直线为x 轴，以过点B 且与BC 垂直的直线为y 轴建立平面直角坐标系，判断出90PBC ∠<︒，再根据∠BCP =90°和∠BPC =90°两种情况判断出点P 的位置，启动改革免费进行求解即可．【详解】解：以点B 为原点，BC 边所在直线为x 轴，以过点B 且与BC 垂直的直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图，∵△BPC 为等腰直角三角形，且点P 在菱形ABCD 的内部，很显然，90PBC ∠<︒①若∠BCP =90°，则CP =BC =2 这C 作CE ⊥AD ,交AD 于点E ，∵四边形ABCD 是菱形∴AB =BC =CD =DA =2，∠D =∠ABC =60°∴CE =CDsin ∠D =22=< ∴点P 在菱形ABCD 的外部，∴与题设相矛盾，故此种情况不存在； ②∠BPC =90° 过P 作PF ⊥BC 交BC 于点F ，∵△BPC 是等腰直角三角形，∴PF =BF =12BC =1∴P (1,1)，F (1,0) 过点A 作AG ⊥BC 于点G ，在Rt △ABG 中，∠ABG =60°∴∠BAG =30°∴BG =112AB =，AG =∴A ，(1,0)G ∴点F 与点G 重合∴点A 、P 、F 三点共线∴1AP AF PF =-= ∴1111)22ABP S ∆=⨯⨯= 12112BPC S ∆=⨯⨯= 26022=3603BAC S ππ⨯=扇形∴2121=13232ABP BPC BAC S S S S ππ∆∆--=--=-阴影扇形 故选：A ． 11．（2021·浙江衢州市·中考真题）已知扇形的半径为6，圆心角为150︒．则它的面积是（ ） A ．32π B ．3π C ．5π D ．15π【答案】D 【分析】已知扇形的半径和圆心角度数求扇形的面积，选择公式2360n R S π=直接计算即可． 【详解】解：2150615360S ππ⨯==．故选：D 12．（2021·江苏连云港市·中考真题）如图，正方形ABCD 内接于O ，线段MN 在对角线BD 上运动，若O 的面积为2π，1MN =，则AMN 周长的最小值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】利用将军饮马之造桥选址的数学方法进行计算．【详解】如图所示，（1）N 为BD 上一动点，A 点关于线段BD 的对称点为点C ，连接CN ，则=CN AN ，过A 点作CN 的平行线AG ，过C 点作BD 的平行线CG ，两平行线相交于点G ，AG 与BD 相交于点M ． //,//,CN MG NM CG ∴四边形CNMG 是平行四边形 ∴MG CN =∴MG AN =则=1AMN C AN AM NM MG AM ++=++（2）找一点'N ， 连接'CN ，则'='CN AN ，过G 点作'CN 的平行线MG ，连接'AM 则''=''''''''''1AM N C AN AM N M AN AM CG AN AM NM AN AM ++=++=++=++．此时1''1AN AM AN AM ++<++∴''AMN AM N C C <∴（1）中AMN 周长取到最小值四边形CNMG 是平行四边形 ∴CNM NMA∠=∠ 四边形ABCD 是正方形∴CO OA =，AC BD ⊥又CNM NMA ∠=∠，NOC MOA ∠=∠，CO OA =∴()CNO AOM AAS ≅∴ON OM =又AC BD ∴AN AM =∴ANM 是等腰三角形22S r ππ==，则圆的半径r =1111222OM MN ==⨯= 2222219+24AM r OM ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭32AM ∴=3=2+1=42AMN C ∴⨯故选：B ． 13．（2021·湖南怀化市·中考真题）以下说法错误的是（ ）A ．多边形的内角大于任何一个外角B ．任意多边形的外角和是360︒C ．正六边形是中心对称图形D ．圆内接四边形的对角互补【答案】A【分析】根据多边形的概念及外角和，正多边形的性质及圆内接四边形的性质可直接进行排除选项．【详解】解：对于A 选项，多边形的内角不一定大于任何一个外角，如正方形，故错误，符合题意； 对于B 选项，任意多边形的外角和是360°，正确，故不符合题意；对于C 选项，正六边形是中心对称图形，正确，故不符合题意；对于D 选项，圆内接四边形的对角互补，正确，故不符合题意；故选A ．14．（2021·四川广安市·中考真题）如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从A 地走到B 地有观赏路（劣弧AB ）和便民路（线段AB ）.已知A 、B 是圆上的点，O 为圆心，120AOB ∠=︒，小强从A 走到B ，走便民路比走观赏路少走（ ）米.A ．6π-B ．6π-C ．12π-D ．12π-【答案】D【分析】作OC ⊥AB 于C ，如图，根据垂径定理得到AC =BC ，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠A ，从而得到OC 和AC ，可得AB ，然后利用弧长公式计算出AB 的长，最后求它们的差即可．【详解】解：作OC ⊥AB 于C ，如图，则AC =BC ，∵OA =OB ，∴∠A =∠B =12（180°-∠AOB ）=30°，在Rt △AOC 中，OC =12OA =9，AC =AB =2AC =又∵12018180AB π⨯⨯==12π，∴走便民路比走观赏路少走12π-米，故选D ．【点睛】本题考查了垂径定理：垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．15．（2021·重庆中考真题）如图，AB 是⊙O 的直径，AC ，BC 是⊙O 的弦，若20A ∠=︒，则B 的度数为（ ）A．70°B．90°C．40°D．60°【答案】A【分析】直接根据直径所对的圆周角为直角进行求解即可．【详解】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴在Rt△ABC中，∠B=90°-∠A=70°，故选：A．【点睛】本题考查直径所对的圆周角为直角，理解基本定理是解题关键．16．（2021·四川泸州市·中考真题）如图，⊙O的直径AB=8，AM，BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM，BN分别相交于D，C两点，BD，OC相交于点F，若CD=10，则BF的长是A B C D【答案】AGC=，即可得【分析】过点D作DG⊥BC于点G，延长CO交DA的延长线于点H，根据勾股定理求得6AD=BG=2，BC= 8，再证明△HAO≌△BCO，根据全等三角形的性质可得AH=BC=8，即可求得HD= 10；在Rt△ABD中，根据勾股定理可得BD=△DHF∽△BCF，根据相似三角形的性质可得DH DF=，由此即可求得BF=BC BF【详解】过点D作DG⊥BC于点G，延长CO交DA的延长线于点H，∵AM，BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，∴AD=DE，BC=CE，∠DAB=∠ABC=90°，∵DG⊥BC，∴四边形ABGD为矩形，∴AD=BG，AB=DG=8，在Rt △DGC 中，CD =10，∴6GC ===，∵AD=DE ，BC=CE ，CD =10，∴CD = DE +CE = AD+BC =10，∴AD+BG +GC =10，∴AD=BG =2，BC =CG +BG =8，∵∠DAB =∠ABC =90°，∴AD ∥BC ，∴∠AHO =∠BCO ，∠HAO =∠CBO ，∵OA =OB ，∴△HAO ≌△BCO ，∴AH=BC =8，∵AD =2，∴HD=AH +AD =10；在Rt △ABD 中，AD =2，AB =8，∴BD ==∵AD ∥BC ，∴△DHF ∽△BCF ，∴DH DF BC BF =，∴108=BF =A ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线长定理、勾股定理、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定于性质，熟练运用相关知识是解决问题的关键．17．（2021·四川遂宁市·中考真题）如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 分别与BC ，AC 交于点D ，E ，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F ，若⊙O 的半径为CDF =15°， 则阴影部分的面积为（ ）A ．16π-B ．16π-C ．20π-D ．20π-【答案】A【分析】连接AD ，连接OE ，根据圆周角定理得到∠ADB =90°，根据等腰三角形的性质得到∠BAC =2∠DAC =2×15°=30°，求得∠AOE =120°，过O 作OH ⊥AE 于H ，解直角三角形得到OH，AH =6，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：连接AD ，连接OE ，∵AB 是直径，∴∠ADB =90°，∴AD ⊥BC ，∴∠ADB =∠ADC =90°，∵DF ⊥AC ，∴∠DFC =∠DF A =90°，∴∠DAC =∠CDF =15°，∵AB =AC ，D 是BC 中点，∴∠BAC =2∠DAC =2×15°=30°，∵OA =OE ，∴∠AOE =120°，过O 作OH ⊥AE 于H ，∵AOOH =12AOAH=6，∴AE =2AH =12， ∴S 阴影=S 扇形AOE -S △AOE=(21201123602π⨯-⨯⨯16π=-A ．【点睛】本题主要考查了扇形的面积与三角形的面积公式，圆周角定理等，作出适当的辅助线，数形结合是解答此题的关键．18．（2021·浙江中考真题）如图，已知点O 是ABC 的外心，∠40A =︒，连结BO ，CO ，则BOC ∠的度数是（ ）．A ．60︒B ．70︒C ．80︒D ．90︒【答案】C 【分析】结合题意，根据三角形外接圆的性质，作O ；再根据圆周角和圆心角的性质分析，即可得到答案．【详解】ABC 的外接圆如下图∵∠40A =︒∴280BOC A ∠=∠=︒ 故选：C ．【点睛】本题考查了圆的知识；解题的关键是熟练掌握三角形外接圆、圆周角、圆心角的性质，从而完成求解．19．（2021·浙江丽水市·中考真题）如图，AB 是O 的直径，弦CD OA ⊥于点E ，连结,OC OD ．若O 的半径为,m AOD α∠=∠，则下列结论一定成立的是（ ）A ．tan OE m α=⋅B ．2sin CD m α=⋅C ．cos AE m α=⋅D ．2sin COD S m α=⋅【答案】B 【分析】根据垂径定理、锐角三角函数的定义进行判断即可解答．【详解】解：∵AB 是O 的直径，弦CD OA ⊥于点E ，∴12DE CD = 在Rt EDO ∆中，OD m =，AOD α∠=∠∴tan =DE OEα ∴=tan 2tan DE CD OE αα=，故选项A 错误，不符合题意； 又sin DE ODα= ∴sin DE OD α= ∴22sin CD DE m α==，故选项B 正确，符合题意； 又cos OE OD α= ∴cos cos OE OD m αα== ∵AO DO m == ∴cos AE AO OE m m α=-=-，故选项C 错误，不符合题意；∵2sin CD m α=，cos OE m α= ∴2112sin cos sin cos 22COD S CD OE m m m αααα∆=⨯=⨯⨯=，故选项D 错误，不符合题意；故选B ． 【点睛】本题考查了垂径定理，锐角三角函数的定义以及三角形面积公式的应用，解本题的关键是熟记垂径定理和锐角三角函数的定义．20．（2021·重庆中考真题）如图，四边形ABCD 内接于☉O ，若∠A =80°，则∠C 的度数是（ ）A ．80°B ．100°C ．110°D ．120°【答案】B 【分析】根据圆内接四边形的对角互补计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠C =180°-∠A =100°，故选：B ．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．21．（2021·浙江金华市·中考真题）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点,,,,,E F G H M N 都在同一个圆上．记该圆面积为1S ，ABC 面积为2S ，则12S S 的值是（ ）A ．52πB ．3πC ．5πD ．112π 【答案】C【分析】先确定圆的圆心在直角三角形斜边的中点，然后利用全等三角形的判定和性质确定△ABC 是等腰直角三角形，再根据直角三角形斜边中线的性质得到2214S AB =，再由勾股定理解得2254OF AB =，解得2154S AB π=⋅，据此解题即可． 【详解】解：如图所示，正方形的顶点,,,,,E F G H M N 都在同一个圆上， ∴圆心O 在线段,EF MN 的中垂线的交点上，即在Rt ABC 斜边AB 的中点，且AC =MC ，BC =CG ， ∴AG =AC +CG =AC +BC ，BM =BC +CM =BC +AC ，∴AG =BM ，又∵OG =OM ，OA =OB ，∴△AOG ≌△BOM ，∴∠CAB =∠CBA ，∵∠ACB =90°，∴∠CAB =∠CBA =45°，12OC AB ∴=，2211112224S AB OC AB AB AB ∴=⋅=⋅= 22222215()24OF AO AF AB AB AB =+=+=22154S OF AB ππ∴==⋅， 212254514AB S S AB ππ⋅∴==．故选：C ．【点睛】本题考查勾股定理、直角三角形斜边的中线的性质、圆的面积、三角形的面积等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．22．（2021·山东泰安市·中考真题）如图，在ABC 中，6AB =，以点A 为圆心，3为半径的圆与边BC 相切于点D ，与AC ，AB 分别交于点E 和点G ，点F 是优弧GE 上一点，18CDE ∠=︒，则GFE ∠的度数是（ ）A ．50°B ．48°C ．45°D ．36°【答案】B 【分析】连接AD ，由切线性质可得∠ADB =∠ADC =90°，根据AB=2AD 及锐角的三角函数可求得∠BAD =60°，易求得∠ADE =72°，由AD=AE 可求得∠DAE =36°，则∠GAC =96°，根据圆周角定理即可求得∠GFE 的度数．【详解】解：连接AD ，则AD =AG =3，∵BC 与圆A 相切于点D ，∴∠ADB =∠ADC =90°，在Rt △ADB 中，AB =6，则cos ∠BAD =AD AB =12，∴∠BAD =60°， ∵∠CDE =18°，∴∠ADE =90°﹣18°=72°，∵AD=AE ，∴∠ADE =∠AED =72°， ∴∠DAE =180°﹣2×72°=36°，∴∠GAC =36°+60°=96°，∴∠GFE =12∠GAC =48°，故选：B ．【点睛】本题考查切线性质、锐角的三角函数、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、圆周角定理，熟练掌握切线性质和圆周角定理，利用特殊角的三角函数值求得∠BAD =60°是解答的关键．23．（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图，正方形ABCD 内接于O ，点P 在AB 上，则P ∠的度数为（ ）A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】B 【分析】连接OB ，OC ，由正方形ABCD 的性质得90BOC ∠=°，再根据圆周角与圆心角的关系即可得出结论．【详解】解：连接OB ，OC ，如图，∵正方形ABCD 内接于O ，∴90BOC ∠=° ∴11904522BPC BOC ∠=∠=⨯︒=︒ 故选：B ． 【点睛】此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．24．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）点P 是O 内一点，过点P 的最长弦的长为10cm ，最短弦的长为6cm ，则OP 的长为（ ）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm 【答案】B【分析】根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径是10cm ；最短弦即是过点P 且垂直于过点P 的直径的弦；根据垂径定理即可求得CP 的长，再进一步根据勾股定理，可以求得OP 的长．【详解】解：如图所示，CD ⊥AB 于点P ．根据题意，得AB =10cm ，CD =6cm ．∴OC =5，CP =3∵CD ⊥AB ，∴CP =12CD =3cm ．根据勾股定理，得OP ．故选B ．【点睛】此题综合运用了垂径定理和勾股定理．正确理解圆中，过一点的最长的弦和最短的弦． 25．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）已知平面内有O 和点A ，B ，若O 半径为2cm ，线段3cm OA =，2cm OB =，则直线AB 与O 的位置关系为（ ）A ．相离B ．相交C ．相切D ．相交或相切【答案】D【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．【详解】解：∵⊙O 的半径为2cm ，线段OA =3cm ，线段OB =2cm ，即点A 到圆心O 的距离大于圆的半径，点B 到圆心O 的距离等于圆的半径，∴点A 在⊙O 外．点B 在⊙O 上，∴直线AB 与⊙O 的位置关系为相交或相切，故选：D ．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键．26．（2021·四川泸州市·中考真题）在锐角ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，有以下结论：2sinA sinB sinCa cb R ===（其中R 为ABC 的外接圆半径）成立．在ABC 中，若∠A =75°，∠B =45°，c =4，则ABC 的外接圆面积为（ ） A ．163π B ．643π C ．16π D ．64π【答案】A【分析】方法一：先求出∠C ，根据题目所给的定理，2sin c R C = , 利用圆的面积公式S 圆=163π． 方法二：设△ABC 的外心为O ，连结OA ，OB ，过O 作OD ⊥AB 于D ，由三角形内角和可求∠C =60°，由圆周角定理可求∠AOB =2∠C =120°，由等腰三角形性质，∠OAB =∠OBA =30，由垂径定理可求AD =BD =2，利用三角函数可求OA，利用圆的面积公式S 圆=163π． 【详解】解:方法一：∵∠A =75°，∠B =45°，∴∠C =180°-∠A -∠B =180°-75°-45°=60°，有题意可知42=sin sin 6032c R C ===︒，∴R =S 圆=2221633R OA ππππ⎛=== ⎝⎭． 方法二：设△ABC 的外心为O ，连结OA ，OB ，过O 作OD ⊥AB 于D ，∵∠A =75°，∠B =45°，∴∠C =180°-∠A -∠B =180°-75°-45°=60°，∴∠AOB =2∠C =2×60°=120°，∵OA =OB ，∴∠OAB =∠OBA =()1180120302︒-︒=︒， ∵OD ⊥AB ，AB 为弦，∴AD =BD =122AB =，∴AD =OA cos30°， ∴OA=cos302AD ÷︒==S 圆=222163R OA ππππ===⎝⎭．故答案为A ．【点睛】本题考查三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三角函数，圆的面积公式，掌握三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三角函数，圆的面积公式是解题关键．27．（2021·四川自贡市·中考真题）如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD AB ⊥于点F ，OE AC ⊥于点E ，若3OE =，5OB =，则CD 的长度是（ ）A ．9.6B ．C ．D ．19【答案】A 【分析】先利用垂径定理得出AE =EC ，CF =FD ，再利用勾股定理列方程即可【详解】解：连接OC∵AB ⊥CD , OE ⊥AC ∴ AE =EC ，CF =FD ∵OE =3，OB =5∴OB =OC =OA =5∴在Rt △OAE 中4AE ==∴AE =EC =4设OF =x ，则有2222AC AF OC OF -=- 22228(5)5x x -+=- x =1.4在Rt △OFC 中， 4.8FC == ∴29.6CD FC ==故选：A【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理、方程思想是解题关键28．（2020·广西贵港市·中考真题）如图，动点M 在边长为2的正方形ABCD 内，且AM BM ⊥，P 是CD 边上的一个动点，E 是AD 边的中点，则线段PE PM +的最小值为（ ）A 1B 1CD 1【答案】A【分析】作点E 关于DC 的对称点E '，设AB 的中点为点O ，连接OE '，交DC 于点P ，连接PE ，由轴对称的性质及90°的圆周角所对的弦是直径，可知线段PE ＋PM 的最小值为OE '的值减去以AB 为直径的圆的半径OM ，根据正方形的性质及勾股定理计算即可．【详解】作点E 关于DC 的对称点E '，设AB 的中点为点O ，连接OE '，交DC 于点P ，连接PE ，如图：∵动点M 在边长为2的正方形ABCD 内，且AM ⊥BM ，∴点M 在以AB 为直径的圆上，OM ＝12AB ＝1， ∵正方形ABCD 的边长为2，∴AD ＝AB ＝2，∠DAB ＝90°，∵E 是AD 的中点，∴DE ＝12AD ＝12×2＝1，∵点E 与点E '关于DC 对称，∴DE '＝DE ＝1，PE ＝PE '，∴AE '＝AD ＋DE '＝2＋1＝3， 在Rt △AOE '中，OE '＝22AE AO '＋＝2231+＝10，∴线段PE ＋PM 的最小值为：PE ＋PM ＝PE '＋PM ＝ME '＝OE '−OM ＝10−1．故选：A ．【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题、圆周角定理的推论、正方形的性质及勾股定理等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．29．（2020·四川广安市·中考真题）如图，点A ，B ，C ，D 四点均在圆O 上，∠AOD=68°，AO//DC ，则∠B 的度数为（ ）A ．40°B ．60°C ．56°D ．68°【答案】C【分析】连接AD ，先根据等腰三角形的性质求出∠ODA ，再根据平行线的性质求出∠ODC ，最后根据圆内接四边形的性质计算即可． 【详解】解：连接AD ，∵∠AOD=68°，OA=OD ，∴∠ODA=∠OAD=56°， ∵AO ∥DC ，∴∠ODC=∠AOD=68°，∴∠ADC=124°，∵点A 、B 、C 、D 四个点都在⊙O 上，∴∠B=180°-∠ADC=56°，故选C ．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．30．（2019·广西玉林市·中考真题）如图，在Rt ABC ∆中，90︒∠=C ，4AC =，3BC =，点O 是AB 的三等分点，半圆O 与AC 相切，M ，N 分别是BC 与半圆弧上的动点，则MN 的最小值和最大值之和是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【分析】设⊙O 与AC 相切于点D ，连接OD ，作OP BC ⊥垂足为P 交⊙O 于F ，此时垂线段OP 最短，PF 最小值为OP OF -，当N 在AB 边上时，M 与B 重合时，MN 经过圆心，经过圆心的弦最长，根据图形与圆的性质即可求解.【详解】如图，设⊙O 与AC 相切于点D ，连接OD ，作OP BC ⊥垂足为P 交⊙O 于F ， 此时垂线段OP 最短，PF 最小值为OP OF -，∵4AC =，3BC =，∴5AB = ∵90OPB ︒∠=，∴OP AC∵点O 是AB 的三等分点，∴210533OB =⨯=，23OP OB AC AB ==，∴83OP =， ∵⊙O 与AC 相切于点D ，∴OD AC ⊥，∴OD BC ∥，∴13OD OA BC AB ==，∴1OD =， ∴MN 最小值为85133OP OF -=-=，如图，当N 在AB 边上时，M 与B 重合时，MN 经过圆心，经过圆心的弦最长， MN 最大值1013133=+=，513+=633,∴MN 长的最大值与最小值的和是6．故选B ．【点睛】此题主要考查圆与三角形的性质，解题的关键是熟知圆的性质及直角三角形的性质.二、填空题31．（2021·青海中考真题）点P 是非圆上一点，若点P 到O 上的点的最小距离是4cm ，最大距离是9cm ，则O 的半径是______．【答案】6.5cm 或2.5cm 【分析】分点P 在O 外和O 内两种情况分析；设O 的半径为xcm ，根据圆的性质列一元一次方程并求解，即可得到答案． 【详解】设O 的半径为xcm 当点P 在O 外时，根据题意得：429x += ∴ 2.5x cm = 当点P 在O 内时，根据题意得：294x =+ ∴ 6.5x cm = 故答案为：6.5cm 或2.5cm ．【点睛】本题考查了圆、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握圆的性质，从而完成求解． 32．（2021·北京中考真题）如图，,PA PB 是O 的切线，,A B 是切点．若50P ∠=︒，则AOB ∠=______________．【答案】130°【分析】由题意易得90∠=∠=︒PAO PBO ，然后根据四边形内角和可求解． 【详解】解：∵,PA PB 是O 的切线，∴90∠=∠=︒PAO PBO ，∴由四边形内角和可得：180AOB P ∠+∠=︒， ∵50P ∠=︒，∴130AOB ∠=︒；故答案为130°．【点睛】本题主要考查切线的性质及四边形内角和，熟练掌握切线的性质是解题的关键．33．（2021·山东聊城市·中考真题）用一块弧长16πcm 的扇形铁片，做一个高为6cm 的圆锥形工件侧面（接缝忽略不计），那么这个扇形铁片的面积为_______cm 2 【答案】80π【分析】先求出圆锥的底面半径，再利用勾股定理求出圆锥的母线长，最后利用扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵弧长16πcm 的扇形铁片，∴做一个高为6cm 的圆锥的底面周长为16πcm ，∴圆锥的底面半径为：16π÷2π=8cm 10cm =， ∴扇形铁片的面积=16110280ππ⨯⨯=cm 2，故答案是：80π． 【点睛】本题考查了圆锥与扇形，掌握圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，是解题的关键．34．（2021·四川广元市·中考真题）如图，在44⨯的正方形网格图中，已知点A 、B 、C 、D 、O 均在格点上，其中A 、B 、D 又在O 上，点E 是线段CD 与O 的交点．则BAE ∠的正切值为________．【答案】12【分析】由题意易得BD =4，BC =2，∠DBC =90°，∠BAE =∠BDC ，然后根据三角函数可进行求解． 【详解】解：由题意得：BD =4，BC =2，∠DBC =90°， ∵∠BAE =∠BDC ，∴1tan tan 2BC BAE BDC BD ∠=∠==，故答案为12．【点睛】本题主要考查三角函数及圆周角定理，熟练掌握三角函数及圆周角定理是解题的关键．35．（2021·四川资阳市·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，2cm,AB AD ==，以点B 为圆心，AB长为半径画弧，交CD 于点E ，则图中阴影部分的面积为_______2cm ．【答案】223π⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【分析】连接BE ，由题意易得BE =AB =2cm ，进而可得∠EBC =30°，∠ABE =60°，然后可得EC =1cm ，最后根据割补法及扇形面积计算公式可进行求解阴影部分的面积． 【详解】解：连接BE ，如图所示：由题意得BE =AB =2cm ，∵四边形ABCD 是矩形，∴90ABC C ∠=∠=︒，∵AD =，∴cos 2BC EBC BE ∠==，∴∠EBC =30°，∠ABE =60°，∴1cm CE =，∴226022=cm 360223ECBABCD ABE S S S Sππ⎛⎫⨯--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭阴影矩形扇形；故答案为223π⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查扇形面积计算公式及三角函数，熟练掌握扇形面积计算公式及三角函数是解题关键． 36．（2021·江苏宿迁市·中考真题）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，∠A =32°，点B 、C 在O 上，边AB 、AC 分别交O 于D 、E 两点﹐点B 是CD 的中点，则∠ABE =__________．【答案】13︒【分析】如图，连接,DC 先证明,BDC BCD ∠=∠再证明,ABE ACD ∠=∠利用三角形的外角可得：,BDC A ACD A ABE ∠=∠+∠=∠+∠再利用直角三角形中两锐角互余可得：()2902,BDC A ABE ∠=︒-∠+∠再解方程可得答案．【详解】解：如图，连接,DCB 是CD 的中点，,,BD BC BDC BCD ∴=∠=∠,DE DE = ,ABE ACD ∴∠=∠ ,BDC A ACD A ABE ∴∠=∠+∠=∠+∠ 90,32,ABC A ∠=︒∠=︒ ()2902,BDC A ABE ∴∠=︒-∠+∠45453213.ABE A ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒故答案为：13.︒【点睛】本题考查的是圆周角定理，三角形的外角的性质，直角三角形的两锐角互余，掌握圆周角定理的含义是解题的关键．37．（2021·江苏宿迁市·中考真题）已知圆锥的底面圆半径为4，侧面展开图扇形的圆心角为120°，则它的侧面展开图面积为_____________． 【答案】48π【分析】首先根据底面圆的半径求得扇形的弧长，然后根据弧长公式求得扇形的半径，然后利用公式求得面积即可．【详解】解：∵底面圆的半径为4，∴底面周长为8π，∴侧面展开扇形的弧长为8π， 设扇形的半径为r ，∵圆锥的侧面展开图的圆心角是120°，∴120180rπ＝8π，解得：r ＝12， ∴侧面积为π×4×12＝48π，故答案为：48π．【点睛】考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长，难度不大． 38．（2021·江苏南京市·中考真题）如图，AB 是O 的弦，C 是AB 的中点，OC 交AB 于点D ．若8cm,2cm AB CD ==，则O 的半径为________cm ．【答案】5【分析】连接OA ，由垂径定理得AD =4cm ，设圆的半径为R ，根据勾股定理得到方程2224(2)R R =+-，求解即可【详解】解：连接OA ，∵C 是AB 的中点，∴OC AB ⊥ ∴14cm 2AD AB == 设O 的半径为R ，∵2cm CD = ∴(2)cm OD OC CD R =-=-在Rt OAD ∆中，222OA AD OD =+，即2224(2)R R =+-，解得，5R = 即O 的半径为5cm 故答案为：5【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理，据垂径定理判断出OC 是AB 的垂直平分线是解答此题的关键． 39．（2021·湖北随州市·中考真题）如图，O 是ABC 的外接圆，连接AO 并延长交O 于点D ，若50C ∠=︒，则BAD ∠的度数为______．【答案】40︒【分析】连接BD ，则C D ∠=∠，再根据AD 为直径，求得BAD ∠的度数 【详解】如图，连接BD ，则50D C ∠=∠=︒AD 为直径90ABD ∴∠=︒90905040BAD D ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒故答案为40︒【点睛】此题主要考查了圆周角定理，圆周角定理是中考中考查重点，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．40．（2021·湖南中考真题）如图，方老师用一张半径为18cm 的扇形纸板，做了一个圆锥形帽子（接缝忽略不计）．如果圆锥形帽子的半径是10cm ，那么这张扇形纸板的面积是______2cm （结果用含π的式子表示）．【答案】180π【分析】由题意易得该扇形的弧长为221020cm r πππ=⨯=，然后根据扇形面积计算公式可求解． 【详解】解：由题意得：该扇形的弧长即为圆锥底面圆的周长，即为221020cm r πππ=⨯=，∴该扇形的面积为2111820180cm 22S lR ππ==⨯⨯=；故答案为180π．【点睛】本题主要考查扇形面积计算公式及圆锥的侧面展开图，熟练掌握扇形面积计算公式及圆锥的侧面展开图是解题的关键．41．（2021·四川成都市·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y x =+与O 相交于A ，B 两点，且点A 在x 轴上，则弦AB 的长为_________．【答案】。