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2016届高考数学(文)二轮专题复习演练：专题20 三角函数与平面向量过关提升(人教版含解析)(江苏专用)

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1 专题二 三角函数与平面向量 专题过关²提升卷 (时间：120分钟 满分：160分) 一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 1．已知向量a＝(2，1)，b－a＝(－3，k2－3)，则k＝2是a⊥b的____条件．

2．要得到函数y＝sin4x－π3的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象向________平移________个单位． 3．(2015²苏州模拟)已知函数f(x)＝2sin (2x＋φ)(|φ|＜π)的部分图象如图所示，则f(0)＝________．

4．(2015²全国卷Ⅰ改编)设D为△ABC所在平面内一点，BC→＝3CD→，AD→＝xAB→＋yAC→，则x＋y＝______________．

5．已知|a|＝4，|b|＝1，且〈a，b〉＝23π，当|a＋xb|取得最小值时，则实数x的值为________． 6．已知sin α－cos α＝32，则2cos2π4－α＝________． 7．(2015²山东高考)已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则BD→²CD→＝________． 8．(2015²浙江高考)函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1的最小正周期是______，单调递减区间是________．

9．已知sinθ＋π3＋sinθ－π3＝33，且θ∈0，π2，则cosθ＋π6＝________． 10．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω＞0，0＜φ＜π2的部分图象如图所示，则ω＝________，φ＝________．

11．(2015²潍坊二模)已知G为△ABC的重心，令AB→＝a，AC→＝b，过点G的直线分别交AB、 2

AC于P、Q两点，且AP→＝ma，AQ→＝nb，则1m＋1n＝________．

12．已知函数f(x)＝2cos(x＋φ) |φ|＜π2，且f(0)＝1，f′(0)>0，将函数f(x)的图象向右平移π3个单位，得函数y＝g(x)的图象，则函数g(x)在[0，π]上的最小值为________． 13．(2015²四川高考)设四边形ABCD为平行四边形，|AB→|＝6，|AD→|＝4，若点M，N满足BM→

＝3MC→，DN→＝2NC→，则AM→²NM→＝________． 14．(2014²新课标全国卷Ⅱ)钝角三角形ABC的面积是12，AB＝1，BC＝2，则AC＝________． 二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

15．(本小题满分14分)(2015²北京高考)已知函数f(x)＝2sinx2cosx2－2sin2x2. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在区间[－π，0]上的最小值．

16．(本小题满分14分)(2014²苏、锡、常、镇模拟)△ABC的面积是30，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos A＝1213. (1)求AB→²AC→； (2)若c－b＝1，求a的值． 3

17．(本小题满分14分)(2015²广东高考)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝22，－2

2，n＝(sin x，cos x)，x∈0，π2.

(1)若m⊥n, 求tan x的值； (2)若m与n的夹角为π3，求x的值．

18．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝sin x－cos x，f′(x)是f(x)的导函数． (1)求函数g(x)＝f(x)f′(x)－f2(x)的最大值和最小正周期；

(2)若f(x)＝2f′(x)，求1＋sin2xcos2x－sin xcos x的值．

19．(本小题满分16分)(2015²浙江高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a， 4

b，c，已知A＝π4，b2－a2＝12c2.

(1)求tan C的值； (2)若△ABC的面积为3，求b的值．

20．(本小题满分16分)(2013²江苏高考)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C. 现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速

度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A＝1213，cos C＝35.

(1)求索道AB的长； (2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？

专题过关²提升卷 1． 充分不必要 [由a＝(2，1)，b－a＝(－3，k2－3)， 得b＝(－1，k2－2)． 又a⊥b⇔a²b＝－2＋k2－2＝0， ∴k＝±2，故“k＝2”是“a⊥b”的充分不必要条件．]

2．右 π12 [∵y＝sin4x－π3＝sin4x－π12，∴要得到y＝sin4x－π3的图象，只需

将函数y＝sin 4x的图象向右平移π12个单位．] 5

3．－1 [由题图可得sin2π3＋φ＝1，而|φ|＜π， 所以φ＝－π6.故f(0)＝2sin－π6＝－1.] 4．1 [∵BC→＝3CD→，∴AC→－AB→＝3(AD→－AC→)，即4AC→－AB→＝3AD→，∴AD→＝－13AB→＋43AC→，故x＋y＝1.]

5．2 [∵|a|＝4，|b|＝1，〈a，b〉＝23π，

∴a2＝16，b2＝1，a²b＝|a||b|²cos23π＝－2. 则|a＋xb|2＝a2＋x2b2＋2xa²b＝16＋x2－4x＝(x－2)2＋12≥12，当且仅当x＝2时，|a＋xb|2有最小值．

∴x＝2时，|a＋xb|取得最小值．]

6.54 [由sin α－cos α＝32，得1－sin 2α＝34，∴sin 2α＝14， 因此2cos2π4－α＝1＋cos 2π4－α＝1＋sin 2α＝54.] 7.32a2 [如图所示，由题意，得BC＝a，CD＝a，∠BCD＝120°.

BD2＝BC2＋CD2－2BC²CD²cos 120°＝a2＋a2－2a²a³－12＝3a2，∴BD＝3a.∴BD→²CD→＝

|BD→||CD→|cos 30°＝3a2³32＝32a2.] 8．π 38π＋kπ，78π＋kπ(k∈Z) [f(x)＝1－cos 2x2＋12sin 2x＋1＝22sin

2x－π

4

＋32，∴T＝2π2＝π，由π2＋2kπ≤2x－π4≤3π2＋2kπ，k∈Z，解得：3π8＋kπ≤x≤7π8

＋kπ，k∈Z，∴单调递减区间是3π8＋kπ，7π8＋kπ，k∈Z.]

9.32－36 [由sinθ＋π3＋sinθ－π3＝33，得 6

sin θcosπ3＋cos θsinπ3＋sin θcosπ3－cos θsinπ3＝33. ∴2sin θcosπ3＝33，则sin θ＝33. 又θ∈0，π2，∴cos θ＝1－sin2θ＝63. 因此cosθ＋π6＝cos θcosπ6－sin θsinπ6＝32－36.] 10．2 π3 [因为T4＝7π12－π3＝π4，所以T＝π，ω＝2πT＝2. 将7π12，－1代入解析式可得： 76π＋φ＝2kπ＋3π2(k∈Z)，即φ＝2kπ＋π3(k∈Z)，

又0＜φ＜π2，所以φ＝π3.] 11．3 [由G为重心，得AG→＝23³12(a＋b)＝13(a＋b)．∴PG→＝AG→－AP→＝13－ma＋b3，GQ→＝AQ→

－AG→＝n－13b－13a，

又P、G、Q三点共线， ∴13－m－13＝13n－13，即m＋n＝3mn.因此1m＋1n＝3.] 12．－1 [由f(x)＝2cos(x＋φ)，得f′(x)＝－2sin(x＋φ)． ∴f(0)＝2cos φ＝1，且f′(0)＝－2sinφ>0

因此cos φ＝12，且sinφ<0，

所以φ＝2kπ－π3，k∈Z，又|φ|＜π2，则φ＝－π3， f(x)＝2cosx－π3， 7

根据图象平移变换，知g(x)＝2cosx－23π. 又0≤x≤π，知－2π3≤x－2π3≤π3. ∴g(x)的最小值为2cos－23π＝2³－12＝－1.] 13．9 [AM→＝AB→＋34AD→，NM→＝CM→－CN→＝－14AD→＋13AB→， ∴AM→²NM→＝14(4AB→＋3AD→)²112(4AB→－3AD→) ＝148(16AB→2－9AD→2)＝148(16³62－9³42)＝9.] 14.5 [由S△ABC＝12AB²BCsin B＝12，得sin B＝22， ∵B∈(0，π)，∴B＝π4或3π4. 当B＝π4时，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB²BCcos B＝2＋1－22³1³22＝1， ∴AC＝1，此时AB2＋AC2＝BC2，则△ABC为直角三角形，不合题设，舍去． 当B＝3π4时，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB²BCcos B＝5，∴AC＝5，此时△ABC为钝角三角形，符合题意．] 15．解 (1)因为f(x)＝22sin x－22(1－cos x)

＝sinx＋π4－22， 所以f(x)的最小正周期为2π. (2)因为－π≤x≤0，所以－3π4≤x＋π4≤π4.

当x＋π4＝－π2，即x＝－3π4时，f(x)取得最小值． 所以f(x)在区间[－π，0]上的最小值为f－3π4＝－1－22. 16．解 (1)由cos A＝1213，且0得sin A＝1－12132＝513.

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专题03 三角函数与平面向量(测试卷)-2016年高考文数二轮复习精品资料(新课标版)(解析版)

专题03 三角函数与平面向量(测试卷)-2016年高考文数二轮复习精品资料(新课标版)(解析版)

19【2016届江苏省扬州中学高三12月】在平面直角坐标系xOy中，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，其中 ，设 （ 为坐标原点）．
（Ⅰ）若 ， 为 的内角，当 时，求 的大小；
（Ⅱ）记函数 的值域为集合 ，不等式 的解集为集合 ．当 时，求实数 的最大值．
20．【2016届重庆市巴蜀中学高三上学期一诊模拟】设函数 ．
4．【2016届重庆市巴蜀中学高三上学期一诊模拟】在 中，内角 的对边长分别为 ，已知 ，且 ＝ ，则 （）
A．6 B．4 C．2 D．1
【答案】C
【解析】由题意，得 ，即 ，由正余弦定理，得 ，整理，得 ①．又 ②，联立①②得 ，故选C．
5．【2016届黑龙江省哈尔滨师大附中高三12月考】已知 是 内的一点，且 若 和 的面积分别为 ，则 的最小值是（）
C．向左平移 个单位长度D．向左平移 个单位长度
【答案】B
11．【2016届浙江省临海市台州中学高三上第三次统练】定义行列式运算 = ．将函数 的图象向左平移 个单位，以下是所得函数图象的一个对称中心是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据运算法则得： ，向左平移 后得到 ．所以函数 图象的对称中心为 ，令 时，得到 ．
故答案应填： ．
15．【2016届福建省厦门一中高三上学期期中】平面上四点 满足 ，则 面积的最大值为．
【答案】
【解析】由题意， ，所以 ，由余弦定理得 ， ，∴D点在以A为圆心，6为半径的圆上，又 ，得 ，故 .如图当AD在BC边高的上方且共线时，取最大.
16．【2016届河北省衡水二中高三上学期期中】在锐角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且 a﹣2csinA=0．若c=2，则a+b的最大值为．
2016届高考数学二轮复习课件：1-2-第一部分 专题二 三角函数、解三角形、平面向量2

2016届高考数学二轮复习课件：1-2-第一部分 专题二 三角函数、解三角形、平面向量2


αcosπ5＋cos αcos5π－cos
π αsin5
π αsin5
名 师 微 课
sin ＝csoins
cos
ααααccoossπ5π5＋－ssiinnπ5π5＝ttaannα·cos α·cos
π5＋sin π5－sin
π 5 π 5
第11页
第一部分 专题二 第二讲
第十一页，编辑于星期五：二十点 四十五分。
3．面积公式
S△ABC＝12bcsin A＝12acsin B＝21absin C.
重
名
点
师
透
微
析
课
第27页
第一部分 专题二 第二讲
第二十七页，编辑于星期五：二十点 四十五分。
与名师对话·系列丛书
大二轮专题辅导与增分攻略·二轮数学·理
当用正、余弦定理判断三角形形状时，特别注意当转化为角
来解决时，不要忽视角的范围．
重 2α.
名
点
师
透
微
析
课
第10页
第一部分 专题二 第二讲
第十页，编辑于星期五：二十点 四十五分。
与名师对话·系列丛书
大二轮专题辅导与增分攻略·二轮数学·理
[解析]
(1)csoisnαα－－31π5π0＝sinsiαn－α－31π0＋π5 π2
重 点 透 析
＝ssiinnαα＋－55ππ＝ssiinn
C．－29
2 D.9
第9页
第一部分 专题二 第二讲
第九页，编辑于星期五：二十点 四十五分。
与名师对话·系列丛书
大二轮专题辅导与增分攻略·二轮数学·理
[思路引导] (1)把 cosα－31π0转化为 sinα＋π5，再求解；(2)借
2016届高考数学(文)二轮复习课件：高考大题专讲2

2016届高考数学(文)二轮复习课件：高考大题专讲2


A＝3
2
3 .
重
名
点 透 析
解法二：由正弦定理，得 7π＝sin2 B，
(1)求f(x)的最小正周期；
名 师
透
微
析
(2)求f(x)在闭区间－4π，π4上的最大值和最小值．
课
第11页
第一部分 专题二
高考大题专讲(二)
第十一页，编辑于星期五：二十一点 四十七分。
与名师对话·系列丛书
大二轮专题辅导与增分攻略·二轮数学·文
[解] (1)由已知，有
f(x)＝cos
x·12sin
名
点 透
时，取等号．
师 微
析
课
∴S△ABC＝12absin C＝ 43ab≤ 3，
即△ABC面积的最大值为 3.
第18页
第一部分 专题二
高考大题专讲(二)
第十八页，编辑于星期五：二十一点 四十七分。
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大二轮专题辅导与增分攻略·二轮数学·文
解答此类题目思路是“先变后解”，即利用 三角恒等变换把已知条件化简求值，再由正、余弦定理及面积公 式求解问题．
当sin B＝2sin A时，b＝2a，cos C＝a22＋×4aa×2－2a4＝12，得a2＝
重 点 透
43，
名 师 微
析
课
所以S△ABC＝12absin
C＝12×a×2a×
23＝2
3
3 .
综上所述S△ABC＝2
3
3 .
第17页
第一部分 专题二
高考大题专讲(二)
第十七页，编辑于星期五：二十一点 四十七分。
重
(1)求B的大小；
名
点
师
透 析
【配套K12】2016高考数学二轮复习 专题2 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量 专题综合检测

【配套K12】2016高考数学二轮复习 专题2 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量 专题综合检测

专题综合检测（二）（时间：120分钟，满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝（A ） A.－53 B.－59 C.59 D.53解析：sin α＋cos α＝33， 两边平方可得1＋sin 2α＝13⇒sin 2α＝－23，∵α是第二象限角，因此sin α＞0，cos α＜0， 所以cos α－sin α＝－（cos α－sin α）2＝－1＋23＝－153. ∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝（cos α＋sin α）（cos α－sin α）＝－53.2.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝（A ）A.725 B.－725 C.±725 D.2425解析：∵8b ＝5c ，由正弦定理得8sin B ＝5sin C . 又∵C ＝2B ，∴8sin B ＝5sin 2B .所以8sin B ＝10sin B cos B .易知sin B ≠0， ∴cos B ＝45，cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝725.3.函数y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1是（A ）A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为π2的奇函数D.最小正周期为π2的偶函数解析：因为y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x 为奇函数，T ＝2π2＝π.故选A.4.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝ 3，b ＝ 2，B ＝45°，则A ＝（D ）A.30°B.30°或105°C.60°D.60°或120°5. （2014·安徽卷）若将函数f （x ）＝sin 2x ＋cos 2x 的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是（C ）A.π8 B.π4 C.3π8 D.3π4解析：由题意f （x ）＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，将其图象向右平移φ个单位，得2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x －φ）＋π4＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －2φ＋π4，要使图象关于y 轴对称，则π4－2φ＝π2＋k π，解得φ＝－π8－k π2，当k ＝－1时，φ取最小正值3π8.故选C.6.（2015·新课标Ⅰ卷）已知点A （0，1），B （3，2），向量AC →＝（－4，－3），则向量BC →＝（A ）A.（－7，－4）B.（7，4）C.（－1，4）D.（1，4）解析：解法一 设C （x ，y ），则AC →＝（x ，y －1）＝（－4，－3）， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2，从而BC →＝（－4，－2）－（3，2）＝（－7，－4）.故选A.解法二 AB →＝（3，2）－（0，1）＝（3，1），BC →＝AC →－AB →＝（－4，－3）－（3，1）＝（－7，－4）.故选A.7.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 所对的边，设向量m ＝（b －c ，c －a ），n ＝（b ，c ＋a ），若向量m ⊥n ，则角A 的大小为（B ）A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3解析：∵m ＝（b －c ，c －a ），n ＝（b ，c ＋a ）且m ⊥n ，∴m·n ＝（b －c ，c －a ）·（b ，c ＋a ）＝b （b －c ）＋c 2－a 2＝0，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，又∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，0＜A ＜π，∴A ＝π3.8.设0≤x ＜2π，且 1－sin 2x ＝sin x －cos x ，则x 的取值范围是（B ）A.0≤x ≤πB.π4≤x ≤5π4C.π4≤x ≤7π4D.π2≤x ≤3π29.（2015·新课标Ⅰ卷）设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则（A ） A.AD →＝－13AB →＋43AC → B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →解析：AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13（AC →－AB →）＝43AC →－13AB →＝－13AB →＋43AC →.故选A.10.（2015·新课标Ⅰ卷）已知M （x 0，y 0）是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点.若MF 1→·MF 2→＜0，则y 0的取值范围是（A ）A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233解析：由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3，∴ F 1（－3，0），F 2（3，0），∴ MF 1→＝（－3－x 0，－y 0），MF 2→＝（3－x 0，－y 0）.∵ MF 1→·MF 2→＜0， ∴ （－3－x 0）（3－x 0）＋y 20＜0，即x 20－3＋y 20＜0. ∵ 点M （x 0，y 0）在双曲线上， ∴ x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20，∴ 2＋2y 20－3＋y 20＜0，∴ －33＜y 0＜33.故选A.11.已知tan α＝－35，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝（A ）A.1617B.1517C.917D.81712.若向量a 、b 满足|a |＝|b |＝1，且（a ＋b ）·b ＝12，向量a 、b 的夹角为（B ）A.π3 B.2π3 C.π6 D.5π6二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上） 13.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若（a ＋b －c ）（a ＋b ＋c ）＝ab ，则角C ＝ Ｗ.解析：由（a ＋b －c ）（a ＋b ＋c ）＝ab ⇒a 2＋b 2－c 2＝－ab ，根据余弦定理可得 cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12⇒C ＝2π3. 答案：2π314.（2015·新课标Ⅱ卷）设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝ Ｗ.解析：∵ λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴ λa ＋b ＝t （a ＋2b ），即λa ＋b ＝ta ＋2tb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，t ＝12.答案：1215.当函数y ＝sin x －3cos x （0≤x ＜2π）取得最大值时，x ＝ Ｗ.解析：y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，0≤x ＜2π⇒－π3≤x －π3＜5π3，可知－2≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3≤2.当且仅当x －π3＝π2时，即x ＝5π6时取得最大值.答案：5π616.（2014·江苏卷）若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是 Ｗ.解析：由已知sin A ＋2sin B ＝2sin C 及正弦定理可得a ＋2b ＝2c ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 222ab＝3a 2＋2b 2－22ab 8ab≥26ab －22ab8ab＝6－24，当且仅当3a 2＝2b 2即a b ＝23时等号成立. 答案：6－24三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）（2015·茂名一模）设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2b sin A .（1）求角B 的大小；（2）若a ＝33，c ＝5，求△ABC 的面积及b . 解析：（1）∵a ＝2b sin A ，由正弦定理得sin A ＝2sin B sin A ，由于sin A ≠0，故有sin B ＝12，又∵B 是锐角，∴B ＝30°. （2）依题意得：S △ABC ＝12ac sin 30°＝12×33×5×12＝1534，∴由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 可得b 2＝（33）2＋52－2×33×5×cos 30°＝27＋25－45＝7，∴b ＝7.18.（12分）（2015·安徽卷）已知函数f （x ）＝（sin x ＋cos x ）2＋cos 2x . （1）求f （x ）最小正周期；（2）求f （x ）在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值.分析：（1）化简可得f （x ）＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，即可求出f （x ）的最小正周期T ＝2π|2|＝π；（2）∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，即可求出最值.解析：（1）∵f （x ）＝（sin x ＋cos x ）2＋cos 2x ＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，∴f （x ）最小正周期T ＝2π|2|＝π.（2）∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，∴sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1， ∴f （x ）max ＝1＋2，f （x ）min ＝0.19.（14分）函数f （x ）＝6cos2ωx2＋3cos ωx －3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，B ，C 为图象与x 轴的交点，且△ABC 为正三角形.（1）求ω的值及函数f （x ）的值域；（2）若f （x 0）＝835，且x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，23，求f （x 0＋1）的值.解析：（1）由已知可得：f （x ）＝6cos 2ωx2＋3cos ωx －3＝3cos ωx ＋ 3sin ωx ＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3（ω＞0）.又由于正三角形ABC 的高为23，则BC ＝4，所以，函数f （x ）的周期T ＝4×2＝8， 即2πω＝8，得ω＝π4. 所以，函数f （x ）的值域为[－23，2 3 ]. （2）因为f （x 0）＝835，由（1）有f （x 0）＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝835，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝45.由x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，23，得⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35. 故f （x 0＋1）＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 04＋π4＋π3＝23sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＋π4 ＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3cos π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3sin π4＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫45×22＋35×22＝765.20.（12分）在△ABC 中，已知AB →·AC →＝3BA →·BC →. （1）求证：tan B ＝3tan A ； （2）若cos C ＝55，求A 的值. 解析：（1）∵AB →·AC →＝3BA →·BC →，∴AB ·AC ·cos A ＝3BA ·BC ·cos B ，即AC ·cos A ＝3BC ·cos B .由正弦定理，得AC sin B ＝BCsin A， ∴sin B ·cos A ＝3sin A ·cos B .又∵0＜A ＋B ＜π，∴cos A ＞0，cos B ＞0. ∴sin B cos B ＝3·sin Acos A，即tan B ＝3tan A . （2）∵cos C ＝55，0＜C ＜π， ∴sin C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝255.∴tan C ＝2.∴tan[π－（A ＋B ）]＝2， 即tan （A ＋B ）＝－2. ∴tan A ＋tan B1－tan A ·tan B＝－2.由 （1），得4tan A1－3tan 2A ＝－2， 解得tan A ＝1或tan A ＝－13.∵cos A ＞0，∴tan A ＝1.∴A ＝π4.21.（12分）（2015·福建卷）已知函数f （x ）＝103sin x 2·cos x2＋10cos 2x2.（1）求函数f （x ）的最小正周期；（2）将函数f （x ）的图象向右平移π6个单位长度，再向下平移a （a ＞0）个单位长度后得到函数g （x ）的图象，且函数g （x ）的最大值为2.①求函数g （x ）的解析式；②证明：存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g （x 0）＞0.分析：（1）首先利用证明二倍角公式和余弦降幂公式将f （x ）化为f （x ）＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋5，然后利用T ＝2π|ω|求周期；（2）由函数f （x ）的解析式中给x 减π6，再将所得解析式整体减去a 得g （x ）的解析式为g （x ）＝10sin x ＋5－a ，当sin x 取1时，g （x ）取最大值10＋5－a ，列方程求得a ＝13，从而g （x ）的解析式可求；欲证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g （x 0）＞0，可解不等式g （x 0）＞0，只需解集的长度大于1，此时解集中一定含有整数，由周期性可得，必存在无穷多个互不相同的正整数x 0.解析：（1）因为f （x ）＝103sin x 2cos x2＋10cos 2x2＝53sin ＋5cos x ＋5＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋5.所以f （x ）函数的最小正周期T ＝2π.（2）①将f （x ）的图象向右平移π6个单位长度后得到y ＝100sin x ＋5的图象，再向下平移a （a ＞0）个单位长度后得到g （x ）＝10sin x ＋5－a 的图象.又已知函数g （x ）的最大值为2，所以10＋5－a ＝2，解得a ＝13. 所以g （x ）＝10sin x －8.②要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g （x 0）＞0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得10sin x 0－8＞0，即sin x 0＞45.由45＜32知，存在0＜α0＜π3，使得sin α0＝45.由正弦函数的性质可知，当x ∈（α0，π－α0）时，均有sin x ＞45.因为y ＝sin x 的周期为2π，所以当x ∈（2k π＋α0，2k π＋π－α0）（k ∈Z）时，均有sin x ＞45.因为对任意的整数k ，（2k π＋π－α0）－（2k π＋α0）＝π－2α0＞π3＞1，所以对任意的正整数k ，都存在正整数x k ∈（2k π＋α0，2k π＋π－α0），使得sin x k ＞45.亦即存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g （x 0）＞0.22.（12分）已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos x 2，1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x2，1（x ∈R ），设函数f （x ）＝m·n－1.（1）求函数f （x ）的值域；（2）已知锐角三角形ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，若f （A ）＝513，f （B ）＝35，求f （C ）的值.解析：（1）f （x ）＝m·n －1＝⎝⎛⎭⎪⎫2cos x 2，1·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 2，1－1＝2cos x 2sin x2＋1－1＝sinx .∵x ∈R ，∴函数f （x ）的值域为[－1，1]. （2）∵f （A ）＝513，f （B ）＝35，∴sin A ＝513，sin B ＝35.∵A ，B 都为锐角，∴cos A ＝1－sin 2A ＝1213，cos B ＝1－sin 2B ＝45.∴f （C ）＝sin C ＝sin []π－（A ＋B ） ＝sin （A ＋B ）＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝513×45＋1213×35 ＝5665. ∴f （C ）的值为5665.。