高考数学 基本不等式

全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解 基本不等式 [知识梳理] 1．基本不等式

设a>0，b>0，则a、b的算术平均数为a＋b2，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 2．利用基本不等式求最值问题 已知x＞0，y＞0，则： (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p(简记：积定和最小)． (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是p24(简记：和定积最大)．

注：应用基本不等式求最值时，必须考察“一正、二定、三相等”，忽略某个条件，就会出现错误． 3．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． 全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解 (2)ba＋ab≥2(a，b同号)． (3)ab≤a＋b22(a，b∈R)． (4)a＋b22≤a2＋b22(a，b∈R)， 2(a2＋b2)≥(a＋b)2(a，b∈R)． (5)a2＋b22≥a＋b24≥ab(a，b∈R)．

(6)a2＋b22≥a＋b2≥ab≥21a＋1b(a>0，b>0)． [诊断自测] 1．概念思辨

(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥ab成立的条件是相同的．( ) (2)函数y＝x＋1x的最小值是2.( )

(3)函数f(x)＝sinx＋4sinx的最小值为2.( ) (4)x＞0且y＞0是xy＋yx≥2的充要条件．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×

2．教材衍化 (1)(必修A5P99例1(2))设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( ) A．80 B．77 C．81 D．82 答案 C 解析 由基本不等式18＝x＋y≥2xy⇔9≥xy⇔xy≤81，当且全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解 仅当x＝y时，xy有最大值81，故选C. (2)(必修A5P100A组T2)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为________m，宽为________m时菜园面积最大．

答案 15 152 解析 设矩形的长为x m，宽为y m．则x＋2y＝30，所以S＝xy＝12x·(2y)≤12x＋2y22＝2252，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝152时取等号． 3．小题热身 (1)下列不等式一定成立的是( )

A．lg x2＋14>lg x(x>0) B．sinx＋1sinx≥2(x≠kπ，k∈Z) C．x2＋1≥2|x|(x∈R) D.1x2＋1>1(x∈R) 答案 C 解析 取x＝12，则lg x2＋14＝lg x，故排除A；取x＝32π，则sinx

＝－1，故排除B；取x＝0，则1x2＋1＝1，故排除D.应选C. (2)已知x＞0，y＞0,2x＋y＝1，则xy的最大值为________． 答案 18

解析 ∵2xy≤2x＋y22＝14， ∴xy≤18当且仅当2x＝y，即x＝14，y＝12时取“＝”号.∴xy的最大值为18. 全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解 题型1 利用基本不等式求最值 角度1 直接应用

典例 (优质试题·沈阳模拟)已知a＞b＞0，求a2＋1ba－b的最小值．

直接应用基本不等式． 解 ∵a＞b＞0，∴a－b＞0.

∴a2＋1ba－b≥a2＋1b＋a－b22＝a2＋4a2≥2a2·4a2＝4，当且仅

当b＝a－b，a2＝2，a＞b＞0，即a＝2，b＝22时取等号． ∴a2＋1ba－b的最小值是4. 角度2 变号应用 典例 求f(x)＝lg x＋1lg x的值域．

注意分类讨论． 解 f(x)的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)． 当0＜x＜1时，lg x＜0，

∴－f(x)＝－lg x＋1－lg x≥2当且仅当x＝110时等号成立，即f(x)≤－2. 当x＞1时，lg x＞0，

f(x)＝lg x＋1lg x≥2(当且仅当x＝10时等号成立)． 综上f(x)的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)． 全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解 角度3 寻求定值应用 典例 求f(x)＝4x－2＋14x－5x<54的最大值．

配凑成积定的式子． 解 因为x＜54，所以5－4x＞0，则f(x)＝4x－2＋14x－5＝－

5－4x＋

1

5－4x＋3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x＝15－4x，即x＝1

时，等号成立．故f(x)＝4x－2＋14x－5的最大值为1. 角度4 常量代换法求最值(多维探究) 典例 (优质试题·福建高考)若直线xa＋yb＝1(a＞0，b＞0)过点(1,1)，则a＋b的最小值等于( ) A．2 B．3 C．4 D．5

注意巧用1的代换． 答案 C

解析 因为直线xa＋yb＝1(a＞0，b＞0)过点(1,1)，

所以1a＋1b＝1. 所以a＋b＝(a＋b)·1a＋1b＝2＋ab＋ba≥2＋2ab·ba＝4，当且仅当a＝b＝2时取“＝”，故选C. [条件探究] 将典例条件变为“x＞0，y＞0且1x＋9y＝1”，求x＋y的最小值． 解 ∵x＞0，y＞0，∴y＞9且x＝yy－9. 全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解 ∴x＋y＝yy－9＋y＝y＋y－9＋9y－9 ＝y＋9y－9＋1＝(y－9)＋9y－9＋10. ∵y＞9，∴y－9＞0. ∴y－9＋9y－9＋10≥2y－9·9y－9＋10＝16.

当且仅当y－9＝9y－9，即y＝12时取等号． 又1x＋9y＝1，则x＝4. ∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16. 方法技巧 利用基本不等式求最值的方法 1．知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立． 2．知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件． 3．构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．见角度4典例． 冲关针对训练

1．已知a＞0＞b＞－1，且a＋b＝1，则a2＋2a＋b2b＋1的最小值为( ) A.3124 B.3112

C.3＋22 D.3＋222 答案 D 全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解 解析 a2＋2a＋b2b＋1＝a＋2a＋b＋12－2b＋1＋1b＋1＝a＋2a＋b＋1－2＋1b＋1，又a＋b＝1，a＞0，b＋1＞0，所以a＋2a＋b＋1－2＋1b＋1

＝2a＋1b＋1＝2a＋1b＋1·a2＋b＋12＝32＋b＋1a＋a2b＋1≥32＋

2b＋1a·a2b＋1＝3＋222，当且仅当b＋1a＝a2b＋1，即a＝4－22，b＝22－3时取等号，所以a2＋2a＋b2b＋1的最小值为3＋222，故选D. 2．(优质试题·广西三市调研)已知m，n为正实数，向量a＝(m,1)，b＝(1－n,1)，若a∥b，则1m＋2n的最小值为________． 答案 3＋22 解析 ∵a∥b，∴m－(1－n)＝0，即m＋n＝1，又m，n为正实

数，∴1m＋2n＝1m＋2n(m＋n)＝nm＋2mn＋3≥2nm·2mn＋3＝3＋22，

当且仅当 nm＝2mn，m＋n＝1， 即 m＝2－1，n＝2－2时，取等号. 题型2 基本不等式的综合应用 角度1 利用基本不等式比较大小

典例 已知函数f(x)＝ln (x＋1)－x，若0＜a＜b，P＝fa＋b2，

Q＝f(ab)，R＝fa2＋b22，则( ) A．P＜Q＜R B．P＜R＜Q C．R＜Q＜P D．R＜P＜Q 全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解 用导数法． 答案 D

解析 f′(x)＝1x＋1－1＝－xx＋1(x＞－1)，由f′(x)>0解得－1由f′(x)<0解得x>0，所以f(x)在(－1,0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．

当0＜a＜b时，0＜ab＜a＋b2＜a2＋b22，∴Q＝f(ab)＞P＝fa＋b2＞R＝fa2＋b22.故选D. 角度2 利用基本不等式证明不等式 典例 已知x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，求证：

1x－11y－11z－1>8.

左边因式分别使用基本不等式． 证明 因为x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，所以 1x－1＝1－xx＝y＋zx>2yzx，①

1y－1＝1－yy＝x＋zy>2xzy，②

1z－1＝1－zz＝x＋yz>2xyz，③

又x，y，z为正数，由①×②×③，得1x－11y－1·1z－1>8. 角度3 基本不等式中的恒成立问题

典例 (优质试题·太原模拟)正数a，b满足1a＋9b＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是( )