解析几何 (6)

2 0
，基础解系为
1
,
2
。
1 0
0
1
0
1
（2）注：将该方程组化简，得 2x4x10x2 x3 0 ，让 x1, x2 为自由未知数。
1 0
1 0
通解为
k1
0
2
k2
1
1
，基础解系为 0
,
1
。
2 1
0
0
0
0
1
1
(3) 通解为 k 2 ，基础解系为 2 。
1
1
思考题 6-1
1）正确。
x1 x2 0
x1 x2 1
2）不正确。
Ax
b
有可能无解，例如，
x1
x2
0
有唯一解，但
x1
x2
2
无
3x1 x2 0
3x1 x2 1
解。
3）正确。因为 m r A r(A,b) m ，r(A,b) r A ，所以 Ax b 一定有解.
4）正确。因为 r A m n ，所以 Ax 0 有非零解.
两式相减，得
b s1a1 s2a2 snan,
(l1 s1)a1 (l2 s2 )a2 (ln sn )an 0 .
由于向量组 a1,a2, ,an 线性无关，因此
li si 0 (i 1,2, , n) ，即 li si (i 1,2, , n).
故向量 b 由 a1,a2, ,an 线性表示的表达式是唯一的。
0
0 0
1 3
0 a2 1
a 1 0 0 0
1 0
0 a2 1
a 1
3a 3
0 1 a 1

第一章矢量与坐标§1.1 矢量的概念1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？（1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；（2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点；（3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点.解：2. 设点O是正六边形ABCDEF的中心，在矢量OA、OB、OC、OD、OE、OF、AB、BC、CD、DE、EF和FA中，哪些矢量是相等的？[解]：图1-13. 设在平面上给了一个四边形ABCD，点K、L、M、N分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点，求证：KL＝NM. 当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？[证明]：.4. 如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反矢量的矢量：(1) AB、CD; (2) AE、CG; (3) AC、EG;(4) AD、GF; (5) BE、CH.解：§1.2 矢量的加法1.要使下列各式成立，矢量b a ,应满足什么条件？ （1=+ （2+=+ （3-=+ （4+=- （5= 解：§1.3 数量乘矢量1 试解下列各题．⑴ 化简)()()()(→→→→-⋅+--⋅-b a y x b a y x ．⑵ 已知→→→→-+=3212e e e a ，→→→→+-=321223e e e b ，求→→+b a ，→→-b a 和→→+b a 23．⑶ 从矢量方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+→→→→→→by x ay x 3243，解出矢量→x ，→y ．解：2 已知四边形ABCD 中，→→→-=c a AB 2，→→→→-+=c b a CD 865，对角线→AC 、→BD 的中点分别为E 、F ，求→EF ． 解：3 设→→→+=b a AB 5，→→→+-=b a BC 82，)(3→→→-=b a CD ，证明：A 、B 、D 三点共线． 解：4 在四边形ABCD中，→→→+=baAB2，→→→--=baBC4，→→→--=baCD35，证明ABCD为梯形．解：6. 设L、M、N分别是ΔABC的三边BC、CA、AB的中点，证明：三中线矢量AL, BM, CN可以构成一个三角形.7. 设L、M、N是△ABC的三边的中点，O是任意一点，证明OBOA++OC=OL+OM+ON.解：8. 如图1-5，设M是平行四边形ABCD的中心，O是任意一点，证明OA+OB+OC+OD＝4OM.解：9在平行六面体ABCDEFGH（参看第一节第4题图）中，证明→→→→=++AGAHAFAC2．证明：．10.用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半．解11. 用矢量法证明，平行四边行的对角线互相平分.解12. 设点O 是平面上正多边形A 1A 2…A n 的中心，证明: 1OA +2OA +…+n OA ＝0.解,13．在12题的条件下，设P 是任意点，证明 证明：§1.4 矢量的线性关系与矢量的分解1．在平行四边形ABCD 中，（1）设对角线,,b BD a AZ ==求.,,,DA CD BC AB 解（2）设边BC 和CD 的中点M 和N ，且q AN P AM ==,求CD BC ,。

第6讲双曲线[基础题组练]2 21．若双曲线x2－y2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为()abA ．y ＝±2xB ．y ＝±2x12C ．y ＝±2xD ．y ＝±2x分析：选B.由条件e ＝c3，得c 2 a 2＋b 2b 2b 2，因此双3，即＝ a 2＝a 2＝1＋2＝3，因此＝±aaa曲线的渐近线方程为y ＝±2x .应选B.2．已知双曲线x222－y2＝1( a ＞0，＞0) 的一条渐近线为＝kx ( k ＞0)，离心率e ＝5，a bbyk则双曲线的方程为()x 2 y 2x 2 y 2A.a 2－4a 2＝1B.a 2－5a 2＝1x 2y 2x 2y 2C.4b 2－b 2＝1D.5b 2－b 2＝1ba ＝k ，分析：选C.由已知得 c ＝5，aka 2＋b 2＝c 2，22x 2y 2因此a ＝4b .因此双曲线的方程为42－2＝1.bb23．(2020·杭州学军中学高三质检2y 212)双曲线M ：x －b ＝1的左、右焦点分别为F ，F ， 12为半径的圆与曲线 M 在第一象限的交点为1记|FF |＝2c ，以坐标原点O 为圆心，cP ，若|PF |＝c ＋2，则点P 的横坐标为( )3＋1 B.3＋2 A.223＋333 C. 2D. 2分析：选A.由点P 在双曲线的第一象限可得|PF 1| －|PF 2|＝2，则|PF 2|＝|PF 1|－2＝c ，1222＝2 2又|OP |＝c ，∠FPF ＝90°，由勾股定理可得(c ＋2)＋c (2c )，解得c ＝1＋3. 易知△POF为等边三角形，则 c3＋1 ，选项A 正确．x P ＝＝ 22x 2 y 24．(2020·杭州中学高三月考)已知F 1，F 2分别是双曲线C ：a 2－b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的 左、右焦点，若 2关于渐近线的对称点恰落在以 1为圆心， 1为半径的圆上，则双曲线CFFOF的离心率为()A. 3 B ．3 C.2D ．2b分析：选 D.由题意，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，一条渐近线方程为 y ＝a x ，则F 2 到渐近线bc的距离为b 2＋a2＝b .设F 2关于渐近线的对称点为M ，F 2M 与渐近线交于点A ，因此|MF 2|＝2b ，A 为F 2M 的中点， 又O 是F 1F 2的中点，因此OA ∥F 1M ，因此∠F 1MF 2为直角，因此△MF 1F 2为直角三角形，因此由勾股定理得4c 2＝c 2＋4b 2， 因此3c 2＝4(c 2－a 2)，因此c 2＝4a 2， 因此c ＝2a ，因此e ＝2. 应选D.22y5．已知F 是双曲线C ：x －＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的 坐标是(1，3)，则△APF 的面积为( )11 A.3B.223C.D.32分析：选D.法一：由题可知，双曲线的右焦点为(2，0)，当x ＝2 时，代入双曲线CF的方程，得4－y2＝1，解得 y ＝±3，不如取点(2，3)，由于点(1，3)，因此∥ 轴，3PAAPx又PF ⊥x 轴，因此AP ⊥PF ，因此S ＝2|PF |·|AP |＝2×3×1＝ 2.应选D.△APF113法二：由题可知，双曲线的右焦点为F (2，0)，当x ＝2时，代入双曲线C 的方程，得4y 2→ →－3＝1，解得y ＝±3，不如取点P (2，3)，由于点A (1，3)，因此AP ＝(1，0)，PF ＝(0 ，－→→AP ⊥PF ，因此 S113△APF226．(2020·浙江高中学科基础测试)已知双曲线x2－y2＝1(a ＞0，b ＞0)与抛物线y 2＝20xab有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为 ，若||＝17，则双曲线的离心率为()FPPF5 A. 5B.35 5 C.4D.2分析：选B.由题意知F (5，0)，不如设 P 点在x 轴的上方，由|PF |＝17知点P 的横坐标为17－5＝12，则其纵坐标为20×12＝4 15，设双曲线的另一个焦点为F 1(－5，0)，则|PF 1|＝ （12＋5）2＋（415）2＝23，因此2a ＝|PF 1|－|PF |＝23－17＝6，因此a ＝3，所c 5以e ＝a ＝3，应选B.x 2 y 2y 轴上7．(2020·宁波市余姚中学高三期中)已知曲线2 ＋k 2－k ＝1，当曲线表示焦点在 的椭圆时k 的取值范围是________；当曲线表示双曲线时k 的取值范围是________．分析：当曲线表示焦点在 y 轴上的椭圆时，k 2－k ＞2，因此k ＜－1或k ＞2；当曲线表示双曲线时， k 2－k ＜0，因此0＜k ＜1.答案：k ＜－1或k ＞20＜k ＜1x 2 y 28．(2020·金华十校联考)已知l是双曲线C ：2－4＝1的一条渐近线，P 是l 上的一 → →点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若PF 1·PF 2＝0，则P 到x 轴的距离为________．分析：1(－6，0)，2( 6，0)，不如设l 的方程为 y ＝2 x ，则可设( 0， 2x 0)，FFPx→→2由PF 1·PF 2＝(－6－x 0，－2x 0)·(6－x 0，－2x 0)＝3x 0－6＝0，得x 0＝±2，故P 到x 轴的距离为2| x 0|＝2.答案：2x 2 y 2a 29．(2020·瑞安四校联考)设双曲线a 2－b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与直线 x ＝c 分别交于 ， 两点， F 为该双曲线的右焦点．若60°<∠ <90°，则该双曲线的离心率的取值ABAFB范围是________．22b x ，x ＝ 2ab，不如设分析：双曲线x2－ y2＝1 的两条渐近线方程为y ＝± a时，y ＝±a ba ccab a 2 aba 2 ab33 c3A c ，c ，B c ，－c，由于60°<∠AFB <90°，因此 3<k FB <1，因此3<a 2<1，因此3c －ca1a 22<b <1 ，因此3<c 2－a 2<1，因此 1<e －1<3，因此2<e <2.答案：(2，2)22y1 21210．设P 为双曲线x －12＝1上的一点，F ，F 是该双曲线的左、右焦点，若△PFF 的面积为 12，则∠FPF ＝________．12分析：由题意可知，1(－13，0)，2(13，0)，|12|＝2 13.设 ( 0，0)，则△12FFFFPx yPFF1 2 122 225的面积为×213|y 0|＝12.故y 0＝，将P 点坐标代入双曲线方程得x 0 ＝，不如设点213135 13 1213→ －18 13 －12 13→ 813 －12 13→ →P 13 ，13，则PF 1＝13 ，13，PF 2＝ 13，13，可得PF 1·PF 2＝π0，即PF 1⊥PF 2，故∠F 1PF 2＝.2π答案：211．已知椭圆： x 2 y 2与圆 ： 2y 2与椭圆 D 有同样焦点，＋ ＝1 ＋( －5)＝9，双曲线 D 50 25 MxG它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程．解：椭圆D 的两个焦点坐标为(－5，0)，(5，0)， 因此双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5.x 2y 2设双曲线G 的方程为a 2－b 2＝1(a >0，b >0)， 因此渐近线方程为bx ±ay ＝0且a 2＋b 2＝25， 又圆心M (0，5)到两条渐近线的距离为r ＝3.|5a | 因此b 2＋a 2＝3，得a ＝3，b ＝4，x 2 y 2因此双曲线G 的方程为9－16＝1.12．已知双曲线y2 22－x2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为2x ＋y ＝0，且极点到渐近线a b的距离为25.5(1)求此双曲线的方程；(2)设P 为双曲线上一点，A ，B 两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限， →→ 若AP ＝PB ，求△AOB 的面积．ab ＝2，a ＝2， 解：(1)依题意得25解得|2×0＋a |b ＝1，5＝5，y 22 故双曲线的方程为 4－x＝1.(2)由(1) 知双曲线的渐近线方程为＝±2，设(，2)，(－ n ，2 n )，此中 >0，>0，yxAm m Bmn→→m －n ，＋n .将点P 的坐标代入 y 22由AP ＝PB 得点P 的坐标为2 m 4－x ＝1，整理得mn ＝1.设∠ ＝2 ，由于tan π －θ＝2，则tan 1 4θ ＝，从而sin2 θ ＝.AOB θ 2 2 5又|OA |＝5m ，|OB |＝5n ， 因此△AOB＝ 1||||sin2θ ＝2 ＝2.S 2OAOBmn[综合题组练]x 2 y 21．(2020·舟山市普陀三中高三期中)过双曲线a 2－b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右极点A 作斜率为－1 的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 ，.若→＝1→，则双曲线的 BC AB 2BC离心率是()A. 2B. 3C. 5D. 10a 2ab分析：选C.直线l ：y ＝－x ＋a 与渐近线l 1：bx －ay ＝0交于点B a ＋b ，a ＋b ，a 2－abl 与渐近线l 2：bx ＋ay ＝0交于点C a －b ，a －b ，A (a ，0)，因此→＝－ab ， ab 2a 2b 2a 2b，，→＝22，－22ABa ＋b a ＋b BCa －ba －b→ 1→由于AB ＝2BC ，因此＝2，b a因此c 2－a 2＝4a 2，2c 2因此e ＝a 2＝5，因此e ＝5，应选C.2．(2020·宁波高考模拟)如图，F 1，F 2是椭圆C 1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共点，若AF 1⊥BF 1，且∠AF 1O ＝π，则C 1与C 2的离心率之和为( )3A．2 3 B．4C．2 5 D．2 6分析：选 A.F1，F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若1⊥1，且∠1＝π，可得 1 3 ，B1 3 ，AFBF AFO 3 A－2c，2c 2c，－2cc2 3c2 e2 3代入椭圆方程可得4a2＋4b2＝1，可得4＋4 ＝1，e2－4可得e4－8e2＋4＝0，解得e＝3－1.c23c2代入双曲线方程可得：4a2－4b2＝1，e23可得：－＝1，4 44－e2可得：e4－8e2＋4＝0，解得e＝3＋1，则C1与C2的离心率之和为23.应选A.22y3．设双曲线x－＝1的左、右焦点分别为F1，F2.若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF| ＋|PF|的取值范围是__________．1 2分析：由题意不如设点P 在双曲线的右支上，现考虑两种极限状况：当2⊥x轴时，PF将x＝22－y22 2＝5，因此|PF1| 代入x 3 ＝1，解得y＝±3，因此|PF2|＝3，因此PF1＝F1F2＋PF2＋|2| 有最大值8；当∠P 为直角时，| 1|2＋| 2|2＝|12|2＝4c2＝16，又由于|1|－|2|PF PF PF FF PF PF ＝2，两边平方得(| 2 PF|＝6，解得|PF|＝1＋7，|PF|＝－1 PF|－|PF|)＝4，因此|PF||1 2 1 2 1 2＋7，因此| 1| ＋|2| 有最小值2 7.由于△1 2为锐角三角形，因此| 1|＋| 2|的取PF PF FPF PF PF值范围为(2 7，8)．答案：(2 7，8)24．(2020·温州十五校联合体联考)过点(0，1)且斜率为1的直线l 与双曲线：x2－M C a y2 →→b2＝1(a>0，b>0)的两渐近线交于点A，B，且BM＝2AM，则直线l的方程为____________；如果双曲线的焦距为210，则b的值为________．b分析：直线l 的方程为y＝x＋1，两渐近线的方程为y＝±a x.其交点坐标分别为a， b－a，b→ →a22－－， ＋ ＋BA＝－a，得a ＝3b ，由aab .由BM ＝2AM ，得x ＝2x .若b －a a ＋b bababa＋ b 2＝10 2＝10得 ＝1，若－ a ＝ 2a ，得＝－3(舍去)．b ba ＋bb －a a b答案：y ＝x ＋11x 2 y 25．已知双曲线a 2－b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于3，过右焦点F 2的直线l 交双曲线于 A ，B 两点，F 1为左焦点．(1) 求双曲线的方程；(2) 若△F 1AB 的面积等于62，求直线l 的方程．c2y 2解：(1)依题意，b ＝3，a ＝2?a ＝1，c ＝2，因此双曲线的方程为x －3＝1.(2)设A (x，y )，B (x ，y)，由(1)知F (2，0)．11 222易考据当直线l 斜率不存在时不满足题意，故可设直线l ：y ＝k (x －2) ，由y ＝k （x －2），424 2＋322222kkx 2－y＝1，消元得(k － 3)x －4kx ＋4k ＋3＝0，k ≠±3，x 1＋x 2＝k 2－3，x 1x 2＝k 2－3，3y 1－y 2＝k (x 1－x 2) ，△F 1AB 的面积S ＝c |y 1－y 2|＝2|k |·|x 1－x 2|＝16k 4－4（k 2－3）（4k 2＋3）k 2＋1422|k |·|k 2－3| ＝12|k |·|k 2－3|＝62.得k ＋8k －9 ＝0，则k ＝±1.因此直线l 的方程为y ＝x －2或y ＝－x ＋2.226．已知双曲线C ：x2－y2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的方程为y ＝ 3x ，右焦点F 到直a ba 23线x ＝c 的距离为 2 .(1) 求双曲线C 的方程；(2)斜率为1且在y 轴上的截距大于0的直线l 与双曲线C 订交于B 、D 两点，已知A (1， →→0)，若DF ·BF ＝1，证明：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．b a 2 3解：(1)依题意有a ＝ 3，c －c ＝ 2，由于a 2＋b 2＝c 2，因此c ＝2a 2，因此a ＝1，c ＝2，因此b 2＝3，因此双曲线C 的方程为2y 2x －3＝1.(2)证明：设直线l 的方程为y ＝x ＋m (m >0)，B (x 1，x 1＋m )，D (x 2，x 2＋m )，BD 的中点为 M ，y ＝x ＋m ，y 22 2由 2 得2x －2mx －m －3＝0，x －3＝1因此1＋2＝，12x x 2＝－m ＋3，m xx2→ →＋m )(x ＋m )＝1，因此m ＝0(舍)或m ＝2，又由于DF ·BF ＝1，即(2－x)(2－x)＋(x1212因此1＋2＝2，1 2＝－ 7 ，12x x 点的横坐标为x ＋x＝1，xx 2 M2→ →－x 1)(1－x 2)＋(x 1＋2)(x 2＋2)＝5＋2x 1x 2＋x 1＋x 2＝5－7＋2＝0，因此 由于DA ·BA ＝(1 ⊥，ADAB因此过A 、B 、D 三点的圆以点 M 为圆心，BD 为直径， 由于点M 的横坐标为 1，因此MA ⊥x 轴， 因此过、、 三点的圆与 x 轴相切．A B D。

2010－2011学年度第一学期江苏省南通市六所省重点高中联考试卷 数 学 Ⅰ试 题 2011.13、方程 x 2m + y 24－m = 1 的曲线是焦点在y 轴上的双曲线，则m 的取值范围是 ▲答案：0<m9、已知椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的中心为O ，右焦点为F 、右顶点为A ，右准线与x 轴的交点为H ，则||||FA OH 的最大值为 ▲ 13、设M 1(0，0)，M 2(1，0)，以M 1为圆心，| M 1 M 2 | 为半径作圆交x 轴于点M 3 (不同于M 2)，记作⊙M 1；以M 2为圆心，| M 2 M 3 | 为半径作圆交x 轴于点M 4 (不同于M 3)，记作⊙M 2；……； 以M n 为圆心，| M n M n +1 | 为半径作圆交x 轴于点M n +2 (不同于M n +1)，记作⊙M n ；…… 当n ∈N *时，过原点作倾斜角为30°的直线与⊙M n 交于A n ，B n ．考察下列论断： 当n ＝1时，| A 1B 1 |＝2；当n ＝2时，| A 2B 2 |15 当n ＝3时，| A 3B 3 |＝23354213⨯＋－当n ＝4时，| A 4B 4 |＝34354213⨯－－……由以上论断推测一个一般的结论：对于n ∈N *，| A n B n |＝ ▲17、（本题满分15分）已知圆:C 22(2)4x y ++=，相互垂直的两条直线1l 、2l 都过点(,0)A a . （Ⅰ）当2a =时，若圆心为(1,)M m 的圆和圆C 外切且与直线1l 、2l 都相切，求圆M 的方程； （Ⅱ）当1a =-时，求1l 、2l 被圆C 所截得弦长之和的最大值，并求此时直线1l 的方程. 解：（Ⅰ）设圆M 的半径为r ，易知圆心),1(m M 到点)0,2(A 的距离为r 2，∴⎪⎩⎪⎨⎧+=++=+-222222)2()21(2)21(r m r m ……………………………………………………………4分 解得2=r 且7±=m ∴圆M 的方程为4)7()1(22=±+-y x …………………7分（Ⅱ）当1-=a 时，设圆C 的圆心为C ，1l 、2l 被圆C 所截得弦的中点分别为F E ,，弦长分别为21,d d ，因为四边形AECF 是矩形，所以1222==+AC CF CE ,即124242221=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-d d ，化简得 …………………………10分 从而1422222121=+⋅≤+d d d d ，等号成立1421==⇔d d ，1421==∴d d 时，142)(max 21=+∴d d ，即1l 、2l 被圆C 所截得弦长之和的最大值为142 …………………………………13分 此时141=d ，显然直线1l 的斜率存在，设直线1l 的方程为：)1(+=x k y ，则 22)214(41-=+k k ，1±=∴k ， ∴直线1l 的方程为：01=+-y x 或01=++y x …………………………15分江苏省2010高考数学模拟题(压题卷)8．已知F 1、F 2分别是椭圆12222=+by a x ，)0(>>b a 的左、右焦点，以原点O 为圆心，OF 1为半径的圆与椭圆在y 轴左侧交于A 、B 两点，若△F 2AB 是等边三角形，则椭圆的离心率等于13-．三、解析几何题1．已知过点(1,0)A -的动直线l 与圆22:(3)4C x y +-=相交于,P Q 两点，M 是PQ 中点，l 与直线:360m x y ++=相交于N ．(1)求证：当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ; (2)当23PQ =l 的方程;(3)探索AM AN ∙是否与直线l 的倾斜角有关?若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．解：(1)l 与m 垂直，且11,3,3m k k =-∴=故直线l 方程为3(1),y x =+即330.x y -+=圆心坐标（0，3）满足直线l 方程，∴当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ．(2)①当直线l 与x 轴垂直时，易知1x =-符合题意．②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为(1),y k x =+即0kx y k -+=，23,431PQ CM =∴=-= ，则由2311k CM k -+==+，得43k =， ∴直线:4340.l x y -+=故直线l 的方程为1x =-或4340.x y -+=(3),().CM MN AM AN AC CM AN AC AN CM AN AC AN ⊥∴⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅①当l 与x 轴垂直时，易得5(1,),3N -- 则5(0,),3AN =- 又(1,3)AC = ，5AM AN AC AN ∴⋅=⋅=-．②当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1),y k x =+则由(1),360,y k x x y =+⎧⎨++=⎩得365(,),1313k k N k k ---++ 则55(,).1313kAN k k --=++ 515 5.1313k AM AN AC AN k k--∴⋅=⋅=+=-++综上所述，AM AN ⋅ 与直线l 的斜率无关，且5AM AN ⋅=-．2．已知A 、B 是椭圆2214x y +=的左、右顶点，直线(22)x t t =-<<交椭圆于M 、N 两点，经过A 、M 、N 的圆的圆心为1C ，经过B 、M 、N 的圆的圆心为2C ． (1)求证12C C 为定值；(2)求圆1C 与圆2C 的面积之和的取值范围． 解：(1)由题设A （-2，0），B （2，0），由2214x t x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，，解出22(1),(,1)44t t M t N t ---． 设1122(,0),(,0)C x C x ，由22112()14t x t x +=-+-解出13(2)8t x -=．同理，2222()14tx x t -=-+-23(2)8t x += ，122132C C x x =-=(定值)．(2)两圆半径分别为131028t x ++=及210328tx --=， 两圆面积和222(310)(103)(9100)6432S t t t ππ⎡⎤=++-=+⎣⎦， 所以S 的取值范围是257,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．3．已知圆221:(1)16F x y ++=，定点2(1,0),F 动圆过点2F ，且与圆1F 相内切． (1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)若过原点的直线l 与（1）中的曲线C 交于A ，B 两点，且1ABF ∆3， 求直线l 的方程． 解：(1)设圆M 的半径为r ，因为圆M 与圆1F 内切，所以2MF r =， 所以124MF MF =-，即124MF MF +=． 所以点M 的轨迹C 是以12,F F 为焦点的椭圆，设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，其中24,1a c ==，所以2,3a b ==．所以曲线C 的方程22143x y +=． (2)因为直线l 过椭圆的中心，由椭圆的对称性可知，112ABF AOF S S ∆∆=． 因为132ABF S ∆=，所以134AOF S ∆=．不妨设点11(,)A x y 在x 轴上方，则1111324AOF S OF y ∆=⋅⋅=11332y x ==± 即：A 点的坐标为3(3,)或3(3,-， 所以直线l 的斜率为12±，故所求直线方程为20x y ±=．4．已知圆C 的圆心在抛物线22(0)x py p =>上运动，且圆C 过(0,)A p 点，若MN 为圆C 在x轴上截得的弦. (1)求弦长MN ； (2)设12,AM l AN l ==，求1221l l l l +的取值范围． 解：(1)设00(,)C x y ，则圆C 的方程为：22220000()()()x x y y x y p -+-=+-．[来源:学科网]令0y =，并由2002x py =，得2220020x x x x p -+-=，解得1020,,x x p x x p =-=+从而212MN x x p =-=， (2) 设MAN θ∠=，因为21211sin 22MAN S l l OA MN p θ∆=⋅⋅=⋅=，所以2122sin p l l θ=，因为l 12+l 22-2 l 1 l 2cos θ=4p 2 ，所以l 12+l 22=)tan 11(4cos sin 44222θθθ+=+p p p . 所以22212122211214(1)sin tan 2(sin cos )2245)2p l l l l l l l l pθθθθθ+++===+=+︒． 因为0090θ<≤，所以当且仅当45θ=︒时，原式有最大值2290θ=︒时，原式有最小值为2，从而1221l l l l +的取值范围为[2,22]． 2011届江苏省苏州市迎二模六校联考数学试题5.若双曲线经过点(3,2)，且渐近线方程是y=±13x ，则这条双曲线的方程是答案：2219x y -= 10.若点P 是曲线y=x 2-ln x 上的任意一点，则点P 到直线y=x-2的最小距离为12. 若过点A (a ,a )可作圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2＋2a －3=0的两条切线，则实数a 的取值范围是答案：3312a a <-<<或18．(本小题满分16分)已知圆C 通过不同的三点P (m ,0)、Q (2,0)、R (0,1),且圆C 在点P 处的切线的斜率为1.（1）试求圆C 的方程；（2）若点A 、B 是圆C 上不同的两点，且满足→CP •→CA=→CP •→CB ，①试求直线AB 的斜率；②②若原点O 在以AB 为直径的圆的内部，试求直线AB 在y 轴上的截距的范围。