高考数学大二轮总复习专题六解析几何第2讲(最新编写)

例 2 (1) 椭圆 Γ： xa22＋ yb22＝ 1(a>b>0) 的左，右焦点分别为 F 1， F2，焦距为 2c.若直线 y＝ 3(x
＋ c)与椭圆 Γ的一个交点 M 满足∠ MF 1F 2＝ 2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于 ________．
x2 y2 (2)(2015 盐·城模拟 )已知双曲线 a2－ b2＝ 1 的左、右焦点分别为
c 和 a 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的
几何特点，建立关于参数 c，a， b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或
范围． 跟踪演练 2 (1)设 F1，F 2 分别是椭圆 ax22＋ yb22＝ 1 (a>b>0)的左， 右焦点， 若在直线 x＝ ac2上存在 点 P，使线段 PF1 的中垂线过点 F 2，则椭圆的离心率的取值范围是 ________． (2)(2015 重·庆改编 )设双曲线 xa22－by22＝1( a＞0， b＞ 0)的右焦点为 F ，右顶点为 A，过 F 作 AF 的垂线与双曲线交于 B， C 两点，过 B， C 分别作 AC ，AB 的垂线，两垂线交于点 D，若 D 到直线 BC 的距离小于 a＋ a2＋ b2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 ___________．
F 1、 F2，过 F 1 作圆 x2 ＋y2 ＝a2
的切线分别交双曲线的左、右两支于点
B 、 C ，且 BC＝ CF2，则双曲线的渐近线方程为
________________ ．
思维升华 (1)明确圆锥曲线中 a， b， c， e 各量之间的关系是求解问题的关键． (2)在求解有
关离心率的问题时，一般并不是直接求出
1 9． (2015 ·扬州模拟 )已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，焦距为 2，离心率为 2.
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)设直线 l 经过点 M (0,1) ，且与椭圆 C 交于 A，B 两点，若 A→M＝ 2M→B ，求直线 l 的方程．
10． (2015 ·浙江 )如图，已知抛物线
热点一 圆锥曲线的定义与标准方程
1．圆锥曲线的定义
(1)椭圆： PF1＋ PF2＝ 2a(2a>F 1F2)；
(2)双曲线： |PF 1－ PF 2|＝ 2a(2a<F1F2 )；
(3)抛物线： PF ＝PM ，点 F 不在直线 l 上， PM⊥ l 于 M .
2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”
12，且点
(1，
3 2)在该椭圆上．
(1)求椭圆 C 的方程；
62 (2)过椭圆 C 的左焦点 F 1的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，若△ AOB 的面积为 7 ，求圆 心在原点 O 且与直线 l 相切的圆的方程．
提醒：完成作业 专题六 第 2 讲
二轮专题强化练
第 2 讲 椭圆、双曲线、抛物线
x2＋
y2＝
a2 16上点
E 处的一条切线
x2 y2 l 过双曲线 a2－b2＝1( a>0 ， b>0) 的左焦点 F ，且
与双曲线的右支交于点
P，若
O→E
＝
1 2(
O→F
＋ O→P ) ，则双曲线的离心率是
__________ ．
13．已知抛物线 y2＝ 4x 的准线过双曲线 xa22－ yb22＝ 1(a>0， b>0)的左焦点且与双曲线交于
M ，连结 QM 并延长交椭圆于点 N，求证：∠ QPN＝ 90°．
学生用书答案精析
第 2 讲 椭圆、双曲线、抛物线
高考真题体验 1． 9 解析 由双曲线定义 |PF2－ PF1|＝2a，
∵ PF 1＝ 3， ∴P 在左支上， ∵ a＝ 3，
∴ PF 2－ PF1 ＝6，
∴ PF 2＝ 9.
2． 3
第 2 讲 椭圆、双曲线抛物线
1．(2015 ·福建改编 ) 若双曲线 E：x92－1y62＝ 1 的左， 右焦点分别为 F 1，F2，点 P 在双曲线 E 上， 且 PF 1＝ 3，则 PF 2 等于 ________． 2．(2014 ·课标全国 Ⅰ 改编 )已知抛物线 C：y2＝ 8x 的焦点为 F ，准线为 l，P 是 l 上一点， Q 是 直线 PF 与 C 的一个交点，若 F→P＝ 4F→Q，则 QF 等于 ________． 3． (2015 ·江苏 )在平面直角坐标系 xOy 中， P 为双曲线 x2－ y2＝ 1 右支上的一个动点．若点 P 到直线 x－ y＋ 1＝0 的距离大于 c 恒成立，则实数 c 的最大值为 ________． 4．(2014 ·安徽 )设 F1，F 2 分别是椭圆 E：x2＋by22＝ 1(0< b<1) 的左，右焦点，过点 F1 的直线交椭 圆 E 于 A，B 两点．若 AF1＝ 3F 1B， AF 2⊥x 轴，则椭圆 E 的方程为 ________． 1.以填空题形式考查圆锥曲线的方程、 几何性质 特别是离心率 .2.以解答题形式考查直线与圆 锥曲线的位置关系 弦长、中点等 .
6．已知
x2 y2 P 为椭圆 25＋ 16＝ 1 上的一点，
M ， N 分别为圆
(x＋3)2＋ y2＝1 和圆 (x－ 3)2＋ y2＝ 4 上
的点，则 PM ＋PN 的最小值为 ________．
7．已知点 P(0,2)，抛物线 C：y2＝2px(p>0) 的焦点为 F ，线段 PF 与抛物线 C 的交点为 M ，过
线的两条渐近线于 A，B 两点，则 AB 等于 ________ ． x2 y2
(2)(2015 南·开中学月考 )已知椭圆 E：a2＋b2＝ 1(a>b>0) 的右焦点为 F (3,0)，过点 F 的直线交椭
圆于 A， B 两点．若 AB 的中点坐标为 (1，－ 1)，则 E 的方程为 ________________ ．
解析
∵
F→P
＝
→ 4FQ
，
∴
→ |FP|＝
→ 4|FQ
|，
PQ 3 ∴ PF ＝ 4.
如图，过 Q 作 QQ ′⊥ l ，垂足为 Q′ ，
设 l 与 x 轴的交点为 A，
则 AF ＝ 4，
∴
PQ PF
QQ′ ＝ AF
＝
3 4，
∴ QQ′ ＝ 3，根据抛物线定义可知 QQ ′ ＝ QF ＝3.
e＝ 54，且其右焦点为
F 2(5,0) ，则双曲
线 C 的方程为 ________．
3． (2015 课·标全国 Ⅱ 改编 )已知 A， B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上，△ ABM 为等
腰三角形，且顶角为 120°，则 E 的离心率为 ________．
4．已知双曲线
x2 y2 C1 ：a2 －b2 ＝1( a>0，b>0) 的离心率为
2.若抛物线
C2：x2＝ 2py(p>0)的焦点到双
曲线 C1 的渐近线的距离为 2，则抛物线 C2 的方程为 ________．
5．(2014 ·课标全国 Ⅱ改编 )设 F 为抛物线 C：y2＝ 3x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C
于 A， B 两点， O 为坐标原点，则△ OAB 的面积为 ________．
相切，称该公共点为切点．
B 组 能力提高
11．(2014 ·辽宁改编 )已知点 A(－ 2,3)在抛物线 C：y2＝ 2px 的准线上， 过点 A 的直线与 C 在第
一象限相切于点 B，记 C 的焦点为 F，则直线 BF 的斜率为 ____________________________ ．
12．已知圆
x2 y2 例 3 (2015 ·江苏改编 )如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 a2＋ b2
＝ 1(a＞b＞ 0)的离心率为
22，且右焦点
F 到直线
l
：
x＝－
a2 c
的距离为
3.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过 F 的直线与椭圆交于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和 AB 于点 P， C，
离心率为
3，过 3
F2 的直线
l 交 C 于 A、 B 两点．若△ AF 1B 的周长为
4
3，则 C 的方程为
________________ ．
x2 y2 (2)(2015 天·津改编 )已知双曲线 a2－ b2＝ 1(a＞ 0， b＞ 0)的一条渐近线过点 (2， 3) ，且双曲线 的一个焦点在抛物线 y2＝ 4 7x 的准线上，则双曲线的方程为 ________．
热点三 直线与圆锥曲线
判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法
(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于
x， y 的方程组，消去 y(或 x)得一元
方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标；
(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．
M 作抛物线准线的垂线，垂足为 8． (2015 ·山东 )平面直角坐标系
Q，若∠ PQF＝ 90°，则 p＝ ________. x2 y2
xOy 中，双曲线 C1： a2－ b2＝ 1(a>0， b>0) 的渐近线与抛物线
C2：x2＝ 2py(p＞ 0)交于点 O，A，B.若△ OAB 的垂心为 C2 的焦点， 则 C1 的离心率为 ________．
A，B
两点， O 为坐标原点，且△ AOB 的面积为 3，则双曲线的离心率为 ____________. 2
14．已知椭圆 C 的长轴左、右顶点分别为
A，B，离心率
e＝ 22，右焦点为
F
，且
A→F
→ ·BF
＝－