高中数学 第2章 概率 2.2 超几何分布学案 北师大版选修2-3(2021年整理)

§2 超几何分布

1．理解超几何分布及其推导过程．（重点)

2．能用超几何分布解决一些简单的实际问题．（难点）

[基础·初探]

教材整理 超几何分布

阅读教材P38~P40部分,完成下列问题．

1．超几何分布的概念

一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N）件次品．从中任取n(n≤N）件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝k）＝____________（其中k为非负整数)．

如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X服从参数为N，M,n的超几何分布．

2．超几何分布的表格形式

X＝k 0 1 2 … k …

P（X＝k） ________ ________ ________ … ________ …

【答案】 1.错误! 2.错误! 错误! 错误! 错误!

1．判断(正确的打“√"，错误的打“×”）

(1）在产品检验中，超几何分布描述的是放回抽样．( ）

（2）在超几何分布中，随机变量X取值的最大值是M.（ )

(3)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布．（ ）

（4)在超几何分布中，只要知道N,M和n，就可以根据公式，求出X取不同值m时的概率P(X＝m )．（ )

【答案】 （1)× （2)× (3)√ （4）√

2．设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球,则其中恰有6个红球的概率为( ）

A.错误! B。错误!

C。错误! D.错误!

【解析】 设X表示任取10个球中红球的个数，则X服从参数为N＝100，M＝80，n＝10的超几何分布,取到的10个球中恰有6个红球，即X＝6，P(X＝6)＝错误!。

【答案】 D

［质疑·手记］

预习完成后，请将你的疑问记录,并与“小伙伴们"探讨交流:

疑问1：

解惑：

疑问2：

解惑：

疑问3:

解惑：

［小组合作型]

超几何分布的概念

盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个白球,这些球除颜色外完全相同．

(1）若用随机变量X表示任选4个球中红球的个数，则X服从超几何分布,其参数为（ )

A．N＝9,M＝4，n＝4 B．N＝9,M＝5,n＝5

C．N＝13，M＝4，n＝4 D．N＝14,M＝5,n＝5

(2)若用随机变量Y表示任选3个球中红球的个数，则Y的可能取值为________．

（3）若用随机变量Z表示任选5个球中白球的个数，则P(Z＝2)＝________.

【精彩点拨】 着眼点：（1）超几何分布的概念；（2)参数的意义；(3)古典概型概率的计算公式． 【自主解答】 (1）根据超几何分布的定义知,N＝9,M＝4，n＝4。

（2）由于只选取了3个球，因此随机变量Y的所有可能取值为0,1,2，3.

（3)由古典概型概率计算公式知，P（Z＝2)＝错误!＝错误!.

【答案】 (1)A (2)0,1,2，3 (3）错误!

对于超几何分布要注意以下两点：

(1)超几何分布是不放回抽样;

(2)公式P(X＝k)＝错误!中各参数的意义.

[再练一题］

1．若将例1第（1)小题中改为“随机变量X表示不是红球的个数"，则参数N＝______，M＝______,n＝______.

【解析】 根据超几何分布的定义知，N＝9,M＝5，n＝4。

【答案】 9 5 4

求超几何分布的分布列

袋中有8个球，其中5个黑球，3个红球，从袋中任取3个球，求取出的红球数X的分布列，并求至少有一个红球的概率．

【精彩点拨】 先写出X所有可能的取值，求出每一个X所对应的概率,然后写出分布列，求出概率．

【自主解答】 X＝0,1,2，3,

X＝0表示取出的3个球全是黑球，

P(X＝0)＝错误!＝错误!＝错误!，

同理P(X＝1）＝错误!＝错误!＝错误!,

P(X＝2)＝错误!＝错误!， P(X＝3）＝错误!＝错误!。

∴X的分布列为

X 0 1 2 3

P 错误! 1528 错误! 错误!

至少有一个红球的概率为P（X≥1）＝1－错误!＝错误!.

超几何分布的求解步骤

1．辨模型:结合实际情景分析所求概率分布问题是否具有明显的两部分组成，如“男生、女生”，“正品、次品”，“优劣"等，或可转化为明显的两部分．具有该特征的概率模型为超几何分布模型．

2．算概率：可以直接借助公式P(X＝k）＝错误!求解，也可以利用排列组合及概率的知识求解,需注意借助公式求解时应理解参数M，N，n,k的含义．

3．列分布表：把求得的概率值通过表格表示出来．

[再练一题］

2．从一批含有13件正品、2件次品的产品中,不放回地任取3件，求取得次品数为ξ的分布列．

【解】 设随机变量ξ表示取出次品的件数,则ξ服从超几何分布,其中N＝15，M＝2，n＝3.ξ的可能的取值为0，1，2,相应的概率依次为

P（ξ＝0)＝错误!＝错误!，P（ξ＝1）＝错误!＝错误!,P(ξ＝2）＝错误!＝错误!.

所以ξ的分布列为

ξ 0 1 2

P 错误! 错误! 错误!

[探究共研型]

超几何分布的应用

探究1 袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分,从袋中任取4个球．试求得分X的分布列．

【提示】 从袋中随机摸4个球的情况为1红3黑,2红2黑，3红1黑，4红四种情况，分别得分为5分，6分，7分，8分，故X的可能取值为5，6，7，8.

P(X＝5）＝错误!＝错误!，P（X＝6）＝错误!＝错误!，

P(X＝7）＝错误!＝错误!，P(X＝8)＝错误!＝错误!.

故所求的分布列为

X 5 6 7 8

P 错误! 错误! 错误! 错误!

探究2 在上述问题中,求得分大于6分的概率．

【提示】 根据随机变量X的分布列，可以得到得分大于6分的概率为P（X>6）＝P（X＝7)＋P（X＝8)＝错误!＋错误!＝错误!.

交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念．记交通指数为T，其范围为［0,10］,分别有五个级别：T∈[0,2）畅通;T∈[2,4）基本畅通;T∈[4,6)轻度拥堵;T∈[6,8）中度拥堵；T∈［8,10］严重拥堵．晚高峰时段，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的直方图如图2。2­1所示：

图2。2­1

(1)这20个路段轻度拥堵、中度拥堵的路段各有多少个？ （2)从这20个路段中随机抽出3个路段，用X表示抽取的中度拥堵的路段的个数,求X的分布列．

【精彩点拨】 （1)求这20个路段中轻度拥堵、中度拥堵的个数，即求交通指数分别为［4,6)和[6，8)时的频数．根据频率分布直方图的性质求解．(2)先根据超几何分布的概率公式求解X取各个值时的概率，再列出分布列．

【自主解答】 (1）由直方图得：轻度拥堵的路段个数是(0。1＋0.2）×1×20＝6;中度拥堵的路段个数是(0.3＋0.2)×1×20＝10。

（2）X的可能取值为0，1,2,3。

则P(X＝0)＝错误!＝错误!；P(X＝1)＝错误!＝错误!；

P（X＝2）＝错误!＝错误!；P（X＝3）＝错误!＝错误!.

所以X的分布列为

X 0 1 2 3

P 错误! 错误! 错误! 错误!

1．超几何分布具有广泛的应用，它可以用来描述产品抽样中的次品数的分布规律,也可以用来研究我们熟悉的不放回摸球游戏中的某些概率问题．在其分布列的表达式中，各个字母的含义在不同的背景下会有所不同．

2．在超几何分布中，随机变量X取每个值的概率是用古典概型计算的,明确每一个基本事件的性质是正确解答此类问题的关键．

［再练一题］

3．某人有5把钥匙，其中只有一把能打开办公室的门，一次他醉酒后拿钥匙去开门．由于看不清是哪把钥匙，他只好逐一去试．若不能开门，则把钥匙扔到一边，记打开门时试开门的次数为ξ,试求ξ的分布列,并求他至多试开3次的概率． 【解】 ξ的所有可能取值为1，2，3,4,5，

且P（ξ＝1)＝错误!＝错误!，P（ξ＝2）＝错误!＝错误!,

P(ξ＝3）＝错误!＝错误!，P（ξ＝4)＝错误!＝错误!，

P(ξ＝5)＝错误!＝错误!。

因此ξ的分布列为

ξ 1 2 3 4 5

P 错误! 错误! 错误! 错误! 错误!

由分布列知P（ξ≤3)＝P（ξ＝1）＋P(ξ＝2）＋P（ξ＝3)＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!.

［构建·体系］

1．盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则取出1个白球和2个红球的概率是（ ）

A。错误! B。错误!

C。错误! D.错误!

【解析】 根据题意知,该问题为古典概型，∴P＝错误!＝错误!.

【答案】 C

2．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员,从这10人中任选4人参加某种活动，用X表示4人中的团员人数，则P(X＝3）＝（ ) 【导学号：62690031】

A.错误! B.错误!

C。错误! D。错误!

【解析】 P（X＝3)＝错误!＝错误!。

【答案】 D

3．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，若设X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数，则P（X＝1）＝________. 【解析】 X＝1表示的结果是抽取的2台彩电有甲型和乙型彩电各一台，故所求概率P(X＝1）＝错误!＝错误!。

【答案】 35

4．在某次国际会议中，需要从4个日本人，5个英国人和6个美国人中，任选4人负责新闻发布会，则恰好含有3个英国人的概率为________．(用式子表示）

【解析】 设选取的4人中英国人有X个,由题意知X服从参数为N＝15，M＝5,n＝4的超几何分布，其中X的所有可能取值为0,1，2,3，4，且

P（X＝k)＝错误!（k＝0，1,2，3，4)．

∴P(X＝3）＝错误!。

【答案】 错误!

5．一个袋中装有3个白球和2个黑球，它们大小相同,采用无放回地方式从袋中任取3个球,取到黑球的数目用X表示，求随机变量X的分布列．

【解】 X可能取的值为0,1，2.

由题意知，X服从超几何分布,

所以P(X＝0）＝错误!＝错误!;

P（X＝1)＝错误!＝错误!；

P(X＝2）＝错误!＝错误!。

所以X的分布列为：

X＝k 0 1 2

P（X＝k) 错误! 错误! 错误!