高中数学 北师大选修2-3 2.2超几何分布

超几何分布和二项分布的联系和区别

开滦一中 张智民

在最近的几次考试中,总有半数的的学生搞不清二项分布和超几何分布,二者到底该如何区分呢?什么时候利用二项分布的公式解决这道概率问题?什么时候用超几何分布的公式去解决呢?

好多学生查阅各种资料甚至于上网寻找答案,其实这个问题的回答就出现在教材上,人教版新课标选修2-3从两个方面给出了很好的解释.

诚可谓:众里寻他千百度,蓦然回首,那人却在灯火阑珊处!

一、两者的定义是不同的

教材中的定义:

(一)超几何分布的定义

在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则P(X=k)

=nNk-nM-NkMCCC,，2,1,0k, m,其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N,称随机变量X服从超几何分布

(二)独立重复试验和二项分布的定义

1）独立重复试验：在相同条件下重复做的n次试验,且各次试验试验的结果相互独立,称为n次独立重复试验,其中A(i=1,2,…,n)是第ⅰ次试验结果,则

P(A1A2A3…An)=P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)

2)二项分布

在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试验中事件A发生的概率为P,则P(X=k)=knkpp)1(Ckn(k=0,1,2,…,n),此时称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p),并称P为成功概率。

1.本质区别

(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题,二项分布描述的是放回抽样问题;

(2)超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题;二项分布中的概率计算实质上是相互独立事件的概率问题

2.计算公式

超几何分布:在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则P(X=k) =nNk-nM-NkMCCC,，2,1,0k, m,

二项分布:在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试验中事件A发生的概率为P,则P(X=k)=knkpp)1(Ckn(k=0,1,2,…,n),

7.4.2 超几何分布

新版课程标准 学业水平要求

1.结合生活中的实例,了解超几何分布

2.了解超几何分布的均值及其意义 1.结合教材实例,了解超几何分布的概念.(数学抽象) 2.会利用公式求服从超几何分布的随机变量的概率、均值.(数学运算)

3.了解超几何分布与二项分布的关系,能利用超几何分布概率模型解决实际问题.(数学建模)

必备知识·素养奠基

超几何分布

(1)定义:一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品的次品数,则X的分布列为P=,k=m,m+1,m+2,…,r.

其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,

m=max,r=min.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.

(2)均值:E=np,其中p=是N件产品的次品率.

不放回抽取和有放回抽取有何不同? 提示:抽取次数不同,不放回抽取只抽取一次,一次抽取n个,有放回抽取要抽取n次,每次抽取一个;概率模型不同,不放回抽取服从超几何分布,有放回抽取服从二项分布.

1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)

(1)将一枚硬币连抛3次,正面向上的次数X服从超几何分布.( )

(2)盒中有4个白球和3个黑球,有放回地摸取3个球,黑球的个数X服从超几何分布.( )

(3)某射手的命中率为0.8,现对目标射击3次,命中目标的次数X服从超几何分布.( )

提示:(1)×.正面向上的次数X服从二项分布.

(2)√.由超几何分布的定义,黑球的个数X服从超几何分布.

(3)×.命中目标的次数X服从二项分布.

2.在10个村庄中,有4个村庄交通不方便,若用随机变量X表示任选6个村庄中交通不方便的村庄的个数,则X服从超几何分布,其参数为( )

A.N=10,M=4,n=6

B.N=10,M=6,n=4

C.N=14,M=10,n=4

D.N=14,M=4,n=10

精品教育

-可编辑- 高中数学选修2-3第二章总结

一、知识梳理

1.条件概率与事件的独立性

（1）条件概率:一般地，若有两个事件A和B，在已知事件B发生的条件下考虑事件A发生的概率，则称此概率为B已发生的条件下A的条件概率，记为P(A︱B).一般地，若P（B）>0，则事件B已发生的条件下A发生的条件概率是)()()(BPABPBAP )()()(BPBAPABP

（2）事件的独立性:设A, B为两个事件，如果 P(AB)=P(A) P(B) , 则称事件A与事件B相互独立.事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件若A与B是相互独立事件，则A与B，A与B，A与B也相互独立相互独立事件同时发生的概率：()()()PABPAPB

两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积一般地，如果事件12,,,nAAAL相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即1212()()()()nnPAAAPAPAPALL

（3）独立重复性:独立重复试验的定义：指在同样条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验

独立重复试验的概率公式：一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率knkknnPPCkP)1()(．它是(1)nPP展开式的第1k项

离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是knkknnqpCkP)(，（k＝0,1,2,…，n，pq1）．

于是得到随机变量ξ的概率分布如下：

ξ 0 1 … k … n

P nnqpC00 111nnqpC … knkknqpC … 0qpCnnn

*** *** 超几何分布和二项分布的联系和区别

开滦一中 张智民

在最近的几次考试中 ,总有半数的的学生搞不清二项分布和超几何分布 ,二者到底该如

何区分呢 ?什么时候利用二项分布的公式解决这道概率问题 ?什么时候用超几何分布的公式

去解决呢 ?

好多学生查阅各种资料甚至于上网寻找答案,其实这个问题的回答就出现在教材上 ,人

教版新课标选修2-3 从两个方面给出了很好的解释.

诚可谓:众里寻他千百度,蓦然回首,那人却在灯火阑珊处!

一、两者的定义是不同的

教材中的定义 :

(一)超几何分布的定义

在 含 有 M 件 次 品 的 N 件 产 品 中 ,任 取 n 件 ,其 中 恰 有 X 件 次 品 ,则P(X=k)

= C k

M C

C n

N n

N - k

- M

,k 0 ,1, 2， , m,其中 m=min{M,n}, 且 n≤ N,M ≤ N,n,M,N ∈N,称随机变量X 服从超

几何分布

(二)独立重复试验和二项分布的定义

1）独立重复试验：在相同条件下重复做的 n 次试验 ,且各次试验试验的结果相互独立 ,

称为 n次独立重复试验 ,其中 A(i=1,2,⋯ ,n)是第ⅰ次试验结果,则

P(A1A2A3⋯ An)=P(A 1)P(A2)P(A3) ⋯ P(An)

2)二项分布

在 n 次独立重复试验中 ,用 X 表示事件 A 发生的次数 ,设每次试验中事件 A 发生的概率

为 P,则P(X=k)= C k k n

p (1 p ) k

并称 P为成功概率。

1.本质区别

(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题 ,二项分布描述的是放回抽样问题 ;

(2)超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题 ;二项分布中的概率计算实质上是

相互独立事件的概率问题

2.计算公式

超几何分布 :在含有 M 件次品的 N 件产品中 ,任取 n 件,其中恰有 X 件次品 ,则P(X=k)