北京市石景山区2020届高三数学上学期期末考试试题（含解析）第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{}02A x x =≤≤，{}1,0,2,3B =-，则A B =I ( ) A. {}0,1,2B. {}0,2C. {}1,3-D.{}1,0,1,2,3-【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的交集运算，得到答案.【详解】因为集合{}02A x x =≤≤，{}1,0,2,3B =-， 所以{}0,2A B =I . 故选：B.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题. 2.复数21iz =+的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为( ) A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】先对复数z 进行化简，然后得到其共轭复数z ，再找到其再复平面对应的点，得到答案. 【详解】()2212111i z i i i-===-+-， 所以1z i =+z 在复平面对应的点为()1,1，在第一象限.故选：A.【点睛】本题考查复数的运算，共轭复数，复数在复平面对应的点，属于简单题. 3.下列函数中既是奇函数，又在区间(0,1)上单调递减的是( ) A. 3()f x x =B. ()lg ||f x x =C. ()f x x =-D.()cos f x x =【答案】C 【解析】 【分析】判断四个选项中的函数的奇偶性和在()0,1上的单调性，得到答案.【详解】选项A 中，()3f x x =，是奇函数，但在()0,1上单调递增，不满足要求；选项B 中，()lg f x x =，是偶函数，不满足要求，选项C 中，()f x x =-，是奇函数，在()0,1上单调递减，满足要求； 选项D 中，()cos f x x =，是偶函数，不满足要求. 故选：C.【点睛】本题考查判断函数的奇偶性和单调性，属于简单题.4.已知向量()5,a m =r，()2,2b =-r ，若()a b b -⊥r r r ，则实数m = ( )A. -1B. 1C. 2D. -2【答案】B 【解析】 【分析】根据向量坐标的线性运算得到a b -r r，再根据向量垂直的坐标表示，得到关于m 的方程，解出m 的值，得到答案.【详解】因为向量()5,a m =r，()2,2b =-r 所以()3,2a b m +=+r r，因为()a b b -⊥r r r ，所以()0a b b -⋅=r r r所以()6220m -+= 解得1m =. 故选：B.【点睛】本题考查向量线性运算的坐标表示，根据向量垂直关系求参数的值，属于简单题. 5.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ） A. 134石 B. 169石C. 338石D. 1365石【答案】B 【解析】【详解】设夹谷x 石，则281534254x =， 所以153428169.1254x ⨯=≈，所以这批米内夹谷约为169石，故选B. 考点：用样本的数据特征估计总体. 【此处有视频，请去附件查看】6.已知3log 4a =，log 3b π=，c =，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. a b c <<B. a c b <<C. b c a <<D.b ac <<【答案】D 【解析】 【分析】分别对a ，b ，c 与特殊值1或2进行比较，从而判断出出它们的大小关系，得到答案. 【详解】因为3331log 3log 4log 92=<<=，所以12a <<， 因为log 3log 1πππ<=，所以1b <，2>=，所以2>c ，所以b a c <<.故选：D.【点睛】本题考查判断对数的大小关系，属于简单题.7.艺术体操比赛共有7位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时, 从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分．5个有效评分与7个原始评分相比，不变的数字特征是( )A. 中位数B. 平均数C. 方差D. 极差【答案】A【解析】【分析】根据平均数、中位数、方差、极差的概念来进行求解，得到答案.【详解】从7个原始评分去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分，其平均数、极差、方差都可能会发生改变，不变的数字特征数中位数.故选：A.【点睛】本题考查平均数、中位数、方差、极差的概念，属于简单题.8.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与原正方体体积的比值为( )A. 18B.17C.16D.15【答案】C 【解析】【分析】根据三视图还原出几何体，得到是在正方体1111ABCD A B C D -中，截去四面体111A A B D -，利用体积公式，求出其体积，然后得到答案. 【详解】根据三视图还原出几何体，如图所述，得到是在正方体1111ABCD A B C D -中，截去四面体111A A B D - 设正方体的棱长为a ，则11133111326A AB D V a a -=⨯=， 故剩余几何体的体积为3331566a a a -=，所以截去部分的体积与剩余部分的体积的比值为15. 故选：C.【点睛】本题考查了几何体的三视图求几何体的体积；关键是正确还有几何体，利用体积公式解答，属于简单题.9.在等差数列{}n a 中，设*,,,k l p r N ∈，则k l p r +>+是k l p r a a a a +>+的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分非必要条件【答案】D 【解析】 【分析】举出特殊数列的例子，即可排除选项．【详解】若等差数列为123455,4,3,2,1..a a a a a =====⋯则当1,5,2,3k l p r ====时，k l p r +>+成立，但k l p r a a a a +>+不成立，所以非充分条件当1,2,3,4k l p r ====时，k l p r a a a a +>+成立，但k l p r +>+不成立，所以非必要条件综上可知，k l p r +>+是k l p r a a a a +>+的既非充分非必要条件 所以选D.【点睛】本题考查了等差数列的定义，充分必要条件的判定，注意特殊值法在选择题中的应用，属于基础题．10.关于曲线:C 224x xy y ++=．给出下列三个结论： ① 曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点） ② 曲线C上任意一点到原点的距离都不大于③ 曲线C 上任意一点到原点的距离都不小于2 其中，正确结论的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2D. 3【答案】C 【解析】 【分析】将曲线:C 224x xy y ++=，看成关于y 的方程，利用方程有解，得到x 的范围，再分别研究对应的整数x 和y 的情况；根据基本不等式，得到22x y +的范围，从而判断出曲线C 上一点到原点的距离范围.【详解】曲线:C 224x xy y ++=，看成关于y 的二次方程则()22440x x ∆=-->，得2163x <所以整数x 的取值为2,1,0,1,2--， 当2x =-时，0y =或2y =，满足题意 当1x =-时，y 不是整数，不满足题意 当0x =时，2y =或2y =-，满足题意 当1x =时，y 不是整数，不满足题意当2x =时，0y =或2y =-，满足题意故曲线C 过的整点为()2,0-，()2,2-，()0,2，()0,2-，()2,0，()2,2-，共6个， 故命题①正确.()224x y xy -+=，当0xy <时，222x y xy +≥-，即()222242x y x y +-+≥-，得228x y +≤≤当且仅当2,2-==y x 或2,2x y =-=时，等号成立所以得曲线C 上任意一点到原点的距离都不大于，命题②正确.当0xy ≥时，222x y xy ≤+，即()222242x y x y ≤+-+，得2283x y+≥3≥，当且仅当3x y ==或3x y ==-时，等号成立所以得曲线C ，故命题③错误； 故选：C【点睛】本题考查判断二次方程根的情况，基本不等式求最值，属于中档题.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．11.在62()x x-的二项展开式中，常数项等于 ．(用数值表示) 【答案】-160 【解析】试题分析：()6-6-2+1662=-=-2rr r rr rr T C x C x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由6-2=0r 得：r=3，所()366-2=-8=-160r r C C ． 考点：二项式定理．点评：熟记二项展开式的通项公式：-+1=(=0,1,2,)r n r rr n T C a b r n ⋯，．此通项公式集中体现了二项展开式中的指数、项数、系数的变化．12.双曲线2213x y -=的焦点到它的渐近线的距离为_________________；【答案】1 【解析】试题分析：由双曲线方程可知223,1a b ==，则2224c a b =+=，即1,2a b c ===，所以焦点为()2,0±，渐近线为y x =．所以焦点到渐近线的距离为1d ==．考点：1双曲线的基本性质；2点到线的距离．13.已知数列{}*()n a n n +∈N 为等比数列，11a =，22a =，则3a =_______【答案】5 【解析】 【分析】根据题意，得到()()()2213213a a a +=++，从而得到关于3a 的方程，解出3a 的值，得到答案.【详解】因为数列{}*()n a n n +∈N 为等比数列，所以()()()2213213a a a +=++， 即()()()2322113a +=++， 解得35a =. 故答案为：5.【点睛】本题考查根据等比中项求值，属于简单题.14.已知平面,,αβγ．给出下列三个论断：①αβ⊥；②αγ⊥；③β∥γ．以其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：___ 【答案】①③⇒②或②③⇒① 【解析】 【分析】根据面面平行和面面垂直的性质，得到线面垂直，从而得到答案. 【详解】由αβ⊥，β∥γ，可得αγ⊥ 故①③⇒②，由αγ⊥，β∥γ，可得αβ⊥ 故②③⇒①， 由αβ⊥，αγ⊥，则平面β与平面γ可以平行和可以相交， 故①②¿③.故答案为：①③⇒②或②③⇒①【点睛】本题考查面面平行和面面垂直的性质及判定，面面关系有关的命题，属于简单题. 15.在 ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1,2sin 3sin 4b c a B C -==，则cos A 的值为_______. 【答案】14- 【解析】试题分析：∵32sin 3sin ,23,,2B C b c b c =∴=∴=Q 代入14b c a -=得2a c =，由余弦定理得2221cos 24b c a A bc +-==-．考点：1．正弦定理；2．余弦定理的推论． 【此处有视频，请去附件查看】16.已知向量1e u r ，2e u u r是平面α内的一组基向量，O 为α内的定点，对于α内任意一点P ，当12OP xe ye =+u r u u u r u u r时，则称有序实数对(,)x y 为点P 的广义坐标，若点A 、B 的广义坐标分别为11(,)x y 、22(,)x y ，对于下列命题: ① 线段AB 的中点的广义坐标为1212(,)22x x y y ++ ② 向量OA u u u r 平行于向量OB uuu r 的充要条件是1221x y x y = ③ 向量OA u u u r垂直于向量OB uuu r的充要条件是12120x x y y += 其中，真命题是________.（请写出所有真命题的序号） 【答案】①② 【解析】 【分析】根据定义，分别写出AB 中点M 的广义坐标，根据向量平行的坐标表示和向量垂直的坐标表示进行判断，得到答案.【详解】点A 、B 的广义坐标分别为11(,)x y 、22(,)x y可得1112OA x e y e =+u u u r u r u u r ，2122OB x e y e =+u u u r u r u u r设M 为AB 中点，则()1212121222x x y y OM OA OB e e ++=+=+u u u u r u u u r u u u r u r u u r 所以线段AB 的中点的广义坐标为1212(,)22x x y y ++，故命题①正确 向量OA u u u r 平行于向量OB uuu r，则OA OB λ=u u u r u u u r即()()1122,,x y x y λ=，所以1221x y x y =，故命题②正确，向量OA u u u r 垂直于向量OB uuu r ，则0OA OB ⋅=u u u r u u u r即()()111221220x e y e x e y e +⋅+=u r u u r u r u u r()221211221121220x x e x y x y e e y y e +++=u r u r u u r u u r ，故命题③不一定正确.故答案为：①②.【点睛】本题考查向量的新定义运算，向量平行和垂直的表示，向量的数量积的运算，考查理解推理能力，属于中档题.三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17.已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-. （Ⅰ）若π02α<<，且3sin 5α=，求()f α的值； （Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期，及函数()f x 的单调递减区间. 【答案】（Ⅰ）()3150f α=（Ⅱ）最小正周期π. π5πππ+88k ,k ,k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦Z . 【解析】 【分析】 （Ⅰ）根据3sin 5α=以及α的范围，得到cos α，代入到()f α中，得到答案；（Ⅱ）对()f x进行整理化简，得到()224f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据正弦型函数的图像和性质，求出其周期和单调减区间.【详解】解：（Ⅰ）因为0,2πα<<，且3sin 5α=，所以 45cos α==. 所以 ()434128131=555225250f α⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭. （Ⅱ）()()1cos sin cos 2f x x x x =+-21cos sin cos 2x x x =⋅+-11cos 21sin 2222x x +=+- ()1sin 2cos 22x x =+sin 224x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 所以函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==. 由ππ3π2π22π+,242k x k k Z +≤+≤∈， 解得π5πππ+,88k x k k Z +≤≤∈. 所以函数()f x 的单调递减区间π5πππ+88k ,k ,k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦Z .【点睛】本题考查同角三角函数关系，利用二倍角公式、降幂公式、辅助角公式对三角函数进行化简，求正弦型函数的周期和单调区间，属于简单题.18.一款小游戏的规则如下：每盘游戏都需抛掷骰子三次，出现一次或两次“6点”获得15分，出现三次“6点”获得120分，没有出现“6点”则扣除12分(即获得－12分)． （Ⅰ）设每盘游戏中出现“6点”的次数为X ，求X 的分布列； （Ⅱ）玩两盘游戏，求两盘中至少有一盘获得15分的概率；（Ⅲ）玩过这款游戏的许多人发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象． 【答案】（Ⅰ）分布列见解析 （Ⅱ）95144（Ⅲ）见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）先得到X 可能的取值为0，1，2，3，根据每次抛掷骰子，出现“6点”的概率为16p =，得到X 每种取值的概率，得到分布列；（Ⅱ）计算出每盘游戏没有获得15分的概率，从而得到两盘中至少有一盘获得15分的概率；（Ⅲ）设每盘游戏得分为Y ，得到Y 的分布列和数学期望，从而得到结论.【详解】解：（Ⅰ）X 可能的取值为0，1，2，3. 每次抛掷骰子，出现“6点”的概率为16p =. 0331125(0)(1)6216P X C ==-=， 1231175(1)(1)66216P X C ==⋅-=， 2231115(2)()(1)66216P X C ==⋅-=，33311(3)()6216P X C ===，所以X 的分布列为：（Ⅱ）设每盘游戏没有得到15分为事件A ， 则()1251721621612P A =+=.设“两盘游戏中至少有一次获得15分”为事件B ，则()P B =()227951112144P A ⎛⎫-⎡⎤=-= ⎪⎣⎦⎝⎭ 因此，玩两盘游戏至少有一次获得15分的概率为95144. （Ⅲ）设每盘游戏得分为Y . 由（Ⅰ）知，Y 的分布列为： Y -1215 120P 125216 512 1216Y 的数学期望为12551512151202161221636EY =-⨯+⨯+⨯=-. 这表明，获得分数Y 的期望为负．因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．【点睛】本题考查求随机变量的分布列和数学期望，求互斥事件的概率，属于中档题. 19.已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD △是正三角形，CD ⊥平面PAD ，E,F,G,O 分别是PC,PD,BC,AD 的中点．（Ⅰ）求证：PO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的大小；（Ⅲ）线段PA 上是否存在点M ，使得直线GM 与平面EFG 所成角为π6，若存在，求线段PM 的长度；若不存在，说明理由． 【答案】（Ⅰ）证明见解析 （Ⅱ）π3（Ⅲ）不存在，见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）正三角形PAD 中PO ⊥AD ，由CD ⊥平面PAD 得到PO ⊥CD ，所以得到PO ⊥面ABCD ；（Ⅱ）以O 点为原点建立空间直角坐标系，根据平面EFG 的法向量，和平面ABCD 的法向量，从而得到平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值，再得到所求的角；（Ⅲ）线段PA 上存在满足题意的点M ，直线GM 与平面EFG法向量的夹角为3π，设PM PA λ=uuu r uu r，[]0,1λ∈，利用向量的夹角公式，得到关于λ的方程，证明方程无解，从而得到不存在满足要求的点M .【详解】（Ⅰ）证明:因为△PAD 是正三角形，O 是AD 的中点，所以 PO ⊥AD .又因为CD ⊥平面PAD ，PO ⊂平面PAD ， 所以PO ⊥CD .AD CD D =I ，AD CD ⊂，平面ABCD ，所以PO ⊥面ABCD .（Ⅱ）如图，以O 点为原点分别以OA 、OG 、OP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.则(0,0,0),(2,0,0),(2,4,0),(2,4,0),(2,0,0),(0,4,0),(0,0,23)O A B C D G P --，(1,3),(3)E F --，(0,2,0),(1,2,3)EF EG =-=u u u r u u u r，设平面EFG 的法向量为(,,)m x y z =u r所以00EF m EG m ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v vu u u v v ，即20,230,y x y z -=⎧⎪⎨+=⎪⎩令1z =，则 3,01)m =v，，又平面ABCD 的法向量(0,0,1)n =r，设平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角为θ，所以1cos 2m n m nθ⋅===u r r u r r .所以平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角为π3. （Ⅲ）假设线段PA 上存在点M ， 使得直线GM 与平面EFG 所成角为6π， 即直线GM 与平面EFG 法向量m u r所成的角为3π， 设PM PA λ=uuu r uu r，[]0,1λ∈，,GM GP PM GP PA λ=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u r，所以)()2,1GM λλ=--uuu r所以coscos ,3GM m π==u u u u r u r ，整理得22320λλ-+=，∆<0，方程无解，所以，不存在这样的点M .【点睛】本题考查线面垂直的性质和判定，利用空间向量求二面角，利用空间向量证明存在性问题.20.已知函数()xf x e ax =-.（a R ∈ ） （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若3a =，()f x 的图象与y 轴交于点A ，求()y f x =在点A 处的切线方程； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明：当0x >时，2()31f x x x >-+恒成立． 【答案】（Ⅰ）0a ≤时，()f x 单调增区间为R ，无单调减区间，0a >时，()f x 单调增区间为()ln ,a +∞，单调减区间为(),ln a -∞.（Ⅱ）21y x =-+（Ⅲ）证明见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）对()f x 求导，得到()f x '，对a 按照0a ≤和0a >进行分类讨论，研究()f x '的正负，从而得到()f x 的单调区间；（Ⅱ）将0x =代入()f x '，得到切线斜率，点斜式写出切线方程；（Ⅲ）令()2()(31)g x f x x x =--+，得到()2x g x e x '=-，令()()h x g x '=，得到()2x h x e '=-，从而得到()()ln20h x h ≥>，得到()g x 在(),-∞+∞上单调递增，即()()01010g x g >=--=，从而使得原命题得证.【详解】解：（Ⅰ）()xf x e a '=-，当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，所以()f x 在R 上单调递增， 当0a >时，令()0f x '=，解得ln x a =.当x 变化时，()f x '，()f x变化情况如下表：所以0a >时，()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增. 综上所述，0a ≤时，()f x 单调增区间为R ，无单调减区间，0a >时，()f x 单调增区间为()ln ,a +∞，单调减区间为(),ln a -∞.（Ⅱ）3a =时，()3xf x e x =-令0x =，得1y =，则()0,1A ，因为()e 3x f x '=-，所以()0132f '=-=-，所以在A 点处的切线方程为12(0)y x -=--，即21y x =-+. （Ⅲ）证明：令()22()(3+1)=e 1x g x f x x x x =----， 则()2x g x e x '=-.令()e 2x h x x =-，则()2xh x e '=-，当0ln2x <<时，()0h x '<，()h x 单调递减， 当ln2x >时，()0h x '>，()h x 单调递增； 所以()()ln2ln2e 2ln222ln20h x h ≥=-=->， 即()0g x '>恒成立.所以()g x 在(),-∞+∞上单调递增， 所以()()01010g x g >=--=， 所以2e 10x x -->，即当0x >时，()231f x x x >-+恒成立．【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，根据导数的几何意义求函数图像在一点的切线，利用导数研究不等式恒成立问题，属于中档题.21.已知椭圆222:12x y C a +=过点(2,1)P ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求其离心率；（Ⅱ）过点P 作x 轴的垂线l ，设点A 为第四象限内一点且在椭圆C 上（点A 不在直线l 上），直线PA 关于l 的对称直线PB 与椭圆交于另一点B ．设O 为坐标原点，判断直线AB 与直线OP 的位置关系，并说明理由．【答案】（Ⅰ）22182x y +=（Ⅱ）直线AB 与直线OP 平行．见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）将点()2,1代入到椭圆方程，解得a 的值，根据c c 的值，从而求出离心率；（Ⅱ）直线:1(2)PA y k x -=-，:1(2)PB y k x -=--，点A ()11,x y ，B ()22,x y ，将直线与椭圆联立，得到1x 和2x ，从而得到AB 的斜率，得到AB OP k k =，得到直线AB 与直线OP 平行．【详解】解：（Ⅰ）由椭圆222:12x y C a +=过点(2,1)P ，可得24112a +=，解得28a =． 所以222826c ab =-=-=，所以椭圆C 的方程为22182x y +=，离心率e ==． （Ⅱ）直线AB 与直线OP 平行．证明如下：由题意，设直线:1(2)PA y k x -=-，:1(2)PB y k x -=--， 设点A ()11,x y ，B ()22,x y ，由2218221x y y kx k ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得 ()()22241812161640kx k k x k k ++-+--=，所以128(21)2+41k k x k -=+，所以21288241k k x k --=+，同理2228+8241k k x k -=+， 所以1221641kx x k -=-+，由1121y kx k =-+，2221y kx k =-++， 有121228()441ky y k x x k k -=+-=-+，因为A 在第四象限，所以0k ≠，且A 不在直线OP 上，所以121212AB y y k x x -==-，又12OP k =，故AB OP k k =，所以直线AB 与直线OP 平行. 【点睛】本题考查求椭圆方程，直线与椭圆相交求交点，判断两直线的位置关系，属于中档题.22.已知由*()n n ∈N 个正整数构成的集合1212{,,,}(,3)n n A a a a a a a n =<<<L L ≥，记12A n S a a a =+++L ，对于任意不大于A S 的正整数m ，均存在集合A 的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于m. （Ⅰ）求12,a a 的值；（Ⅱ）求证：“12,,,n a a a L 成等差数列”的充要条件是“(1)2A n n S +=”； （Ⅲ）若2020A S =，求n 的最小值，并指出n 取最小值时n a 的最大值.【答案】（Ⅰ）11a =，22a = （Ⅱ）证明见解析 （Ⅲ）n 的最小值为11，此时n a 的最大值1010. 【解析】 【分析】（Ⅰ）1m =和2m =时，根据A S 的定义，以及集合1212{,,,}(,3)n n A a a a a a a n =<<<L L ≥的性质，得到答案；（Ⅱ）必要性：i a i =，可得()112A S n n =+，充分性：由条件可得i a i ≥，从而有1(1)2A S n n ≥+，当且仅当i a i =时，等号成立，从而得证；（Ⅲ）含有n 个元素的非空子集个数有21n -，当10n =时，不满足题意，当11n =时，集合{}1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024A =，可以表示1,2,3,,2046,2047L 共2047个正整数，满足题意，由10112020S a +=并且10111S a +≥得到1120212a ≤，结合*11a N ∈，得到n a 的最大值1010【详解】解:（Ⅰ）1m =时，由条件知1A S ≤，必有1A ∈，又12n a a a L <<<均为整数，11a =.2m =时，由条件知2A S ≤，由A S 的定义及12n a a a L <<<均为整数，必有2A ∈，22a =. （Ⅱ）必要性：由“12,,,n a a a L 成等差数列”及11a =,22a = 得(1,2,,)i a i i n ==L 此时{}1,2,3,,A n =L 满足题目要求 从而1123(1)2A S n n n =++++=+L . 充分性：由条件知12,n a a a <<<L 且均为正整数，可得(1,2,3,,),i a i i n ≥=L故1123(1)2A S n n n ≥++++=+L ，当且仅当(1,2,3,,)i a i i n ==L 时，上式等号成立. 于是当1(1)2A S n n =+时，(1,2,3,,)i a i i n ==L ，从而12,,,n a a a L 成等差数列. 所以“12,,,n a a a L 成等差数列”的充要条件是“1(1)2A S n n =+”.（Ⅲ）由于含有n 个元素的非空子集个数有21n -，故当10n =时，10211023-=，此时A 的非空子集的元素之和最多表示1023个不同的整数m ，不符合要求.而用11个元素的集合{}1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024A =的非空子集的元素之和可以表示1,2,3,,2046,2047L 共2047个正整数. 因此当2020A S =时，n 的最小值为11. 记101210S a a a =+++L则10112020S a +=并且10111S a +≥.事实上若10111S a +<，10111120202S a a =+<，则111010a >，10111010S a <<， 所以1010m =时无法用集合A 的非空子集的元素之和表示，与题意不符. 于是101111202021S a a =+≥-，得1120212a ≤，*11a N ∈，所以111010a ≤. 当111010a =时{}1,2,4,8,16,32,64,128,256,499,1010A =满足题意 所以当2020A S =时，n 的最小值为11，此时n a 的最大值1010.【点睛】本题考查集合与数列的新定义，求数列中的项，等差数列的条件证明，考查求数列的项数的最小值和项的最大值，属于难题.。
