二项分布

二项分布

两点分布: 又称伯努利分布或0-1分布，是离散型的随机变量，变量只能取两个值，非0即1.

两点分布如下：

二项分布是重复n次的伯努利试验，当n等于1时，为伯努利分布。在每次试验中只有两种可能的结果（0或者1），而且两种结果发生与否互相对立，相互独立。

抛硬币例子：现在抛硬币n次，确定k次正面朝上的概率，已知正面朝上的概率为p.

在n次实验中，选择k次正面朝上，有

种可能，每一种可能的发生概率为pk(1-p)n-k。

即：k次正面朝上（n-k负面朝下）的概率为：

由此，二项分布的分布列（律）为：

多项分布

多项分布是二项分布的推广，同样是重复n次实验，不同的是每次实验的取值不只2种，而有k种。

抛骰子例子：现在抛骰子n次，该骰子有6个面，已知每一个面的概率分别为p1,p2,p3,p4,p5,p6. 现在想知道各个面出现次数分别为k1,k2,k3,k4,k5,k6的概率是多少？

在n次实验中，分别让各个面出现次数为k1,k2,k3,k4,k5,k6次，有

种可能，每一种可能的发生概率为 。

即：该概率为：

由此，对于n次实验，每次实验的取值有k种，k种情况分别发生了x1…xk次，概率分别为p1…pk.

即：多项分布的分布列（律）为：

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【模块标题】二项分布

【模块目标】★★★★★☆ 迁移

【模块讲解】 二项分布是高中概率中最重要的概率分布模型，是近年高考非常重要的一个考点.二项分布概率模型的特点是“独立性”和“重复性”，事件的发生都是独立的、相互之间没有影响，事件又在相同的条件之下重复发生.但在试题中，有的问题是局部的二项分布概率模型问题，解题时要注意这种特殊情况

知识回顾：

1.定义：在n次独立重复试验中，事件A发生的次数是一个随机变量，其所有可能取的值为0,1,2,,n，

并且()()1nkkk

nPkCpp−==−（其中0,1,2,,kn=），即分布列为

 0 1 2

P ()001n

nCpp− ()1111n

nCpp−− ...

 k ... n

P (1)kknk

nCpp−− ...

()01nn

nCpp−

称这样的随机变量服从二项分布，记作：()npB，﹒

2.二项分布的期望与方差：若()npB，，则()=Enp，()()1Dnpp=−

【教材内容1】利用二项分布的计算式求解问题(3星)

一.题型分类：

1.二项分布基本概念题型；

2.根据二项分布求某一事件的概率； 目标1 ★★★☆☆☆ 操作 学会计算二项分布的数字特征

目标2 ★★★★☆☆ 识别 学会二项分布在实际问题中的应用

目标3 ★★★★★☆ 迁移 利用不等式求解二项分布最值问题 2

3.根据二项分布求某一范围的概率；

4.根据二项分布求EX、DX及其变形；

5.根据EX求概率p及某一事件的概率

6.根据EX和DX求np

二.方法步骤：

1.根据条件判断是否服从二项分布；

2.根据二项分布的性质列出相应的分布列

3. 根据二项分布的公式求解数学期望及方差；

三.难点： 本节的难点在于根据二项分布的公式进行某一事件或某一范围求概率的题型，需要教会学生求解二项分布

里面的参数，然后套用公式进行求解。

例1. 下列随机变量

服从二项分布的是（ ）。

二项分布及其应用

导学目标： 1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念.2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布.3.能解决一些简单的实际问题．

自主梳理

1．条件概率及其性质

(1)设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝PABPA为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．

(2)条件概率具有的性质：

①__________________；

②如果B和C是两个互斥事件，则

P(B∪C|A)＝________________.

2．相互独立事件

(1)设A，B为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B____________.

(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝______，

P(AB)＝________________＝________________.

(3)若A与B相互独立，则________________，________________，________________也都相互独立．

(4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则________________．

3．二项分布

(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．

(2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布．记作____________．

【自我检测】

1．两人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别为15，14，则密码被译出的概率为( )

A．0.45 B．0.05 C．0.4 D．0.6

2．一学生通过一种英语听力测试的概率是12，他连续测试两次，那么其中恰有一次通过的概率是( )

A.14 B.13 C.12 D.34

二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布

二项分布是离散概率分布的一种，适用于只有两种可能结果（成功和失败）的独立重复试验。每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p。试验的次数为n。二项分布表示了在n次独立重复试验中，成功次数为k的概率分布。

泊松分布：

泊松分布是在一段固定时间或空间中，随机事件发生的次数的概率分布。它适用于事件发生率较低，但时间或空间较大的情况。泊松分布的参数λ表示单位时间或单位空间中事件的平均发生率。泊松分布的概率质量函数是离散的，表示了事件发生次数为k的概率。

均匀分布：

均匀分布是连续概率分布的一种，也称为矩形分布。在一个定义在[a, b]区间上的随机变量的情况下，均匀分布概率密度函数使得[a, b]区间上每个区间的长度相等，且概率密度函数在该区间上是常数。均匀分布的概率密度函数是恒定的，且在[a, b]区间外为零。

指数分布：

指数分布是连续概率分布的一种。它适用于描述独立随机事件的等待时间，当事件发生的概率是恒定的。指数分布的概率密度函数呈指数形式下降，并且在x轴上永不为零。指数分布的参数λ表示单位时间内事件发生的平均次数。

正态分布：

正态分布是连续概率分布的一种，也称为高斯分布。它是最常见的概率分布之一，常被用于描述自然界中许多现象的分布情况，如身高、体重等。正态分布的概率密度函数呈钟形曲线，均值和标准差是正态分布的参数。正态分布具有许多重要的性质，如对称性、中心极限定理等。