06 二项分布

二项分布

两点分布: 又称伯努利分布或0-1分布，是离散型的随机变量，变量只能取两个值，非0即1.

两点分布如下：

二项分布是重复n次的伯努利试验，当n等于1时，为伯努利分布。在每次试验中只有两种可能的结果（0或者1），而且两种结果发生与否互相对立，相互独立。

抛硬币例子：现在抛硬币n次，确定k次正面朝上的概率，已知正面朝上的概率为p.

在n次实验中，选择k次正面朝上，有

种可能，每一种可能的发生概率为pk(1-p)n-k。

即：k次正面朝上（n-k负面朝下）的概率为：

由此，二项分布的分布列（律）为：

多项分布

多项分布是二项分布的推广，同样是重复n次实验，不同的是每次实验的取值不只2种，而有k种。

抛骰子例子：现在抛骰子n次，该骰子有6个面，已知每一个面的概率分别为p1,p2,p3,p4,p5,p6. 现在想知道各个面出现次数分别为k1,k2,k3,k4,k5,k6的概率是多少？

在n次实验中，分别让各个面出现次数为k1,k2,k3,k4,k5,k6次，有

种可能，每一种可能的发生概率为 。

即：该概率为：

由此，对于n次实验，每次实验的取值有k种，k种情况分别发生了x1…xk次，概率分别为p1…pk.

即：多项分布的分布列（律）为：

二项分布专题练习

1．已知随机变量X服从二项分布，X～B16,3，则P(X＝2)＝( )．

A．316 B．4243 C．13243 D．80243

2．设某批电子手表正品率为34，次品率为14，现对该批电子手表进行测试，设第X次首次测到正品，则P(X＝3)等于( )．

A．22313C44 B．22331C44 C． 21344 D．23144

3．甲、乙两名篮球队员轮流投篮直至某人投中为止，设甲每次投篮命中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，而且不受其他次投篮结果的影响，设投篮的轮数为X，若甲先投，则P(X＝k)等于( )．

A．0.6k－1×0.4 B．0.24k－1×0.76 C．0.4k－1×0.6 D．0.76k－1×0.24

4．10个球中有一个红球，有放回地抽取，每次取出一球，直到第n次才取得k(k≤n)次红球的概率为( )．

A．2191010nk B． 191010knk

C．1119C1010knkkn D．11119C1010knkkn

5．在4次独立重复试验中，事件A发生的概率相同，若事件A至少发生1次的概率为6581，则事件A在1次试验中发生的概率为( )．

A．13 B．25 C．56 D．34

6．某一批花生种子，如果每一粒发芽的概率为45，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是__________．

7．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为__________．(用数字作答)

8．假定人在365天中的任意一天出生的概率是一样的，某班级中有50名同学，其中有两个以上的同学生于元旦的概率是多少？(结果保留四位小数)

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【模块标题】二项分布

【模块目标】★★★★★☆ 迁移

【模块讲解】 二项分布是高中概率中最重要的概率分布模型，是近年高考非常重要的一个考点.二项分布概率模型的特点是“独立性”和“重复性”，事件的发生都是独立的、相互之间没有影响，事件又在相同的条件之下重复发生.但在试题中，有的问题是局部的二项分布概率模型问题，解题时要注意这种特殊情况

知识回顾：

1.定义：在n次独立重复试验中，事件A发生的次数是一个随机变量，其所有可能取的值为0,1,2,,n，

并且()()1nkkk

nPkCpp−==−（其中0,1,2,,kn=），即分布列为

 0 1 2

P ()001n

nCpp− ()1111n

nCpp−− ...

 k ... n

P (1)kknk

nCpp−− ...

()01nn

nCpp−

称这样的随机变量服从二项分布，记作：()npB，﹒

2.二项分布的期望与方差：若()npB，，则()=Enp，()()1Dnpp=−

【教材内容1】利用二项分布的计算式求解问题(3星)

一.题型分类：

1.二项分布基本概念题型；

2.根据二项分布求某一事件的概率； 目标1 ★★★☆☆☆ 操作 学会计算二项分布的数字特征

目标2 ★★★★☆☆ 识别 学会二项分布在实际问题中的应用

目标3 ★★★★★☆ 迁移 利用不等式求解二项分布最值问题 2

3.根据二项分布求某一范围的概率；

4.根据二项分布求EX、DX及其变形；

5.根据EX求概率p及某一事件的概率

6.根据EX和DX求np

二.方法步骤：

1.根据条件判断是否服从二项分布；

2.根据二项分布的性质列出相应的分布列

3. 根据二项分布的公式求解数学期望及方差；

三.难点： 本节的难点在于根据二项分布的公式进行某一事件或某一范围求概率的题型，需要教会学生求解二项分布

里面的参数，然后套用公式进行求解。

例1. 下列随机变量

服从二项分布的是（ ）。

●Bernoulli 试验（Bernoulli Test）：

将感兴趣的事件A 出现的试验结果称为“成功”，事件A 不出现的试验结果称为“失败”，这类试验就称为Bernoulli

试验

●二项分布（binomial distribution）：

是指在只会产生两种可能结果如阳性或阴性之一的n次独立重复试验中，当每次试验的阳性概率π保持不变时，出现阳性次数X=0,1,2，…，n的一种概率分布。

●Poisson分布（Poisson distribution）：

随机变量X服从Poisson分布式在足够多的n次独立试验中，X取值为1,2,…,的相应概率为

…的分布。

★二项分布成立的条件：

① 每次试验只能是互斥的两个结果之一；②每次试验的条件不变；③各次试验独立。

★二项分布的图形：

当∏=0.5，二项分布图形是对称的，当∏不等于0.5，图形是偏态的，随着n增大，图形趋于对称。当n趋于无穷大时，只有∏不太靠近0或者1，二项分布近似正态分布。

★二项分布的应用

总体率的区间估计，样本率与总体率比较，两样本率的比较

★Poisson 分布的应用

总体均数的区间估计，样本均数与总体均数的比较，两个样本均数的比较：两个样本计数均较大时，可根据Poisson

分布的正态近似性对其进行u 检验。

★Poisson 分布成立的条件：

①平稳性：X 的取值与观察单位的位置无关，只与观察单位的大小有关；②独立增量性：在某个观察单位上X 的取值与前面各观察单位上X 的取值无关；③普通性：在充分小的观察单位上X 的取值最多为1。

Poisson 分布，X～P（μ），X 的均数μX =μ，X的方差σ2 =μ ，X的标准差σX

★Poisson分布的性质

1、总体均数与总体方差相等是泊松分布的重要特点。

2、当n增大，而∏很小，且n∏=总体均数时，二项分布近似泊松分布。

3、当总体均数增大时，泊松分布渐近正态分布，一般而言，总体均数》20时，泊松分布资料做为正态分布处理。