新教材人教A版高中数学必修一 函数的应用(一)(含解析)

第1页，共18页 3.4 函数的应用（一）-【新教材】人教A版（2019）

高中数学必修第一册同步练习（含解析）

一．单选题

1. 已知𝑓(𝑥)，𝑔(𝑥)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)=𝑥3+𝑥2+1，则𝑓(1)+𝑔(1)= ( )

A. −3 B. −1 C. 1 D. 3

2. 设函数𝑓(𝑥)，𝑔(𝑥)的定义域都为R，且𝑓(𝑥)是奇函数，𝑔(𝑥)是偶函数，则下列结论中正确的是( )

A. 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)是偶函数 B. 𝑓(𝑥)|𝑔(𝑥)|是奇函数

C. |𝑓(𝑥)|𝑔(𝑥)是奇函数 D. |𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)|是奇函数

3. 已知函数𝑓(𝑥)为奇函数，且当𝑥>0时，𝑓(𝑥)=𝑥2+1𝑥，则𝑓(−1)= ( )

A. 2 B. 1 C. 0 D. −2

4. 已知a，b，𝑐∈𝑅，函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐.若𝑓(0)=𝑓(4)>𝑓(1)，则 ( )

A. 𝑎>0，4𝑎+𝑏=0 B. 𝑎<0，4𝑎+𝑏=0

C. 𝑎>0，2𝑎+𝑏=0 D. 𝑎<0，2𝑎+𝑏=0

5. 设𝑓(𝑥)={√𝑥,0<𝑥<1,2(𝑥−1),𝑥≥1.若𝑓(𝑎)=𝑓(𝑎+1)，则𝑓(1𝑎)=( )

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

6. 已知𝑓(𝑥)=𝑥+1𝑥−1，𝑓(𝑎)=2，那么𝑓(−𝑎)的值为( )

A. −4 B. −2 C. −1 D. −3

7. 若函数𝑓(𝑥)=𝑥+4𝑥，则下列结论正确的是( )

A. 函数𝑓(𝑥)的最小值为4

B. 函数𝑓(𝑥)在区间(0,2)上单调递减，在区间(2,+∞)上单调递增

C. 函数𝑓(𝑥)的最大值为4

D. 函数𝑓(𝑥)在区间(0,2)上单调递增，在区间(2,+∞)上单调递减

8. 函数𝑓(𝑥)=𝑥2+𝑥+1𝑥的图象的对称中心为( )

A. (0,0) B. (0,1) C. (1,0) D. (1,1)

9. 已知𝑎+1=−2𝑥𝑥2+4，𝑥∈(−1,2)，则a的取值范围是( )

A. (−32,−35) B. (−32,35) C. (−2,2) D. (−35,32)

10. 函数𝑓(𝑥)=𝑥2+5√𝑥2+4的最小值为( ) 第2页，共18页 A. 1 B. 2 C. 52 D. 3

二．多选题

11. 某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本𝑦(元)与月处理量𝑥(吨)之间的函数关系可近似地表示为𝑦=12𝑥2−200𝑥+80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.以下判断正确的是( )

A. 该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低

B. 该单位每月最低可获利20000元

C. 该单位每月不获利，也不亏损

D. 每月需要国家至少补贴40000元才能使该单位不亏损

12. 函数𝑓(𝑥)={−𝑥2−𝑎𝑥−5,𝑥≤1𝑎𝑥,𝑥>1是R上的增函数，

则实数a的取值可以是( )

A. 0 B. −2 C. −1 D. −3

三．填空题

13. 画出一般对勾函数𝑦=𝑎𝑥+𝑏𝑥(𝑎>0,𝑏>0)的图象，并写出其性质．

(1)定义域：________．

(2)值域：________．

(3)奇偶性：________．

(4)单调区间：________．

14. 某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：𝑦={4𝑥,1≤𝑥<10,2𝑥+10,10≤𝑥<100,𝑥∈𝐍,1.5𝑥,𝑥≥100,其中x代表拟录用人数，y代表面试人数，若应聘的面试人数为60人，则该公司拟录用人数为 人．

15. 已知函数𝑓(𝑥)={𝑥−4,𝑥≥2,𝑥2−4𝑥+3,𝑥<2,则不等式𝑓(𝑥)<0的解集是________． 第3页，共18页 16. 要制作一个容积为4𝑚3，高为1m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．

17. 函数𝑓(𝑥)=𝑥−3𝑥的值域为________．

18. 函数𝑓(𝑥)=𝑥+3√𝑥−1的最小值为________．

四．解答题

19. 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：

𝑅(𝑥)={400𝑥−12𝑥2,0≤𝑥≤400,80000,𝑥>400其中x是仪器的月产量．

(1)将利润表示为月产量的函数𝑓(𝑥)；

(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大?最大利润为多少元?(总收益=总成本+利润)

20. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+1𝑥，且𝑓(1)=−1．

(1)求函数𝑓(𝑥)的解析式，并判断它的奇偶性．

(2)判断函数𝑓(𝑥)在区间(0,+∞)上的单调性，并证明．

第4页，共18页

21. 中国“一带一路”倡议提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x台需要另投入成本𝐶(𝑥)(万元).当年产量不足80台时，𝐶(𝑥)=12𝑥2+40𝑥(万元)，当年产量不小于80台时，𝐶(𝑥)=101𝑥+8100𝑥−2180(万元)，若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完．

(1)求年利润𝑦(万元)关于年产量𝑥(台)的函数关系式．

(2)年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？并求出这个最大利润．

22. 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿场售价与上市时间的关系如图1的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的第5页，共18页 关系如图2的抛物线段表示．

(1)写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式𝑝=𝑓(𝑡)；写出图2表示的种植成本与时间的函数关系式𝑄=𝑔(𝑡)；

(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？(注：市场售价各种植成本的单位：元/102㎏，时间单位：天)

第6页，共18页 答案和解析

1.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查奇函数和偶函数的性质，属基础题，直接代入计算可得𝑓(−1)−𝑔(−1)的值，进而利用奇偶性即可得到𝑓(1)+𝑔(1)的值．

【解答】

解：∵𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)=𝑥3+𝑥2+1，

∴𝑓(−1)−𝑔(−1)=−1+1+1=1，

又∵𝑓(𝑥)，𝑔(𝑥)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，

∴𝑓(−1)=𝑓(1)，𝑔(−1)=−𝑔(1)，

∴𝑓(1)+𝑔(1)=𝑓(−1)−𝑔(−1)=1，

故选C．

2.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查函数的奇偶性的判定，属于基础题．

利用函数的奇偶性的定义进行判定即可．

【解答】

解：因为𝑓(𝑥)为奇函数，𝑔(𝑥)为偶函数，所以𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)为奇函数，

𝑓(𝑥)|𝑔(𝑥)|为奇函数，|𝑓(𝑥)|𝑔(𝑥)为偶函数，|𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)|为偶函数，

故选B．

3.【答案】D

【解析】 第7页，共18页 【分析】

本题考查奇函数的性质，属基础题，根据函数的解析式求得𝑓(1)的值，根据奇函数的性质得到𝑓(−1)的值．

【解答】

解：由题意知𝑓(1)=12+11=2，

∵𝑓(𝑥)是奇函数，

∴𝑓(−1)=−𝑓(1)=−2，

故选：D．

4.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查一元二次函数对称轴和开口方向的知识，首先判断出对称轴，再判断开口方向．

【解答】

解：由𝑓(0)=𝑓(4)，得𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的对称轴为𝑥=−𝑏2𝑎=2，∴4𝑎+𝑏=0，

又𝑓(0)>𝑓(1)，∴𝑓(𝑥)先减后增，∴𝑎>0，

故选A．

5.【答案】C

【解析】

【分析】本题考查分段函数的应用，考查转化思想分类讨论以及计算能力．属于基础题．

利用已知条件，求出a的值，然后求解所求的表达式的值即可．

【解答】

解：当0<𝑎<1时，𝑎+1>1，𝑓(𝑎)=√𝑎，𝑓(𝑎+1)=2(𝑎+1−1)=2𝑎，

∵𝑓(𝑎)=𝑓(𝑎+1)，

∴√𝑎=2𝑎，解得𝑎=14或𝑎=0(舍去)．

∴𝑓(1𝑎)=𝑓(4)=2×(4−1)=6． 第8页，共18页 当𝑎>1时，𝑎+1>2，

∴𝑓(𝑎)=2(𝑎−1)，𝑓(𝑎+1)=2(𝑎+1−1)=2𝑎，

∴2(𝑎−1)=2𝑎，无解．

当𝑎=1时，𝑎+1=2，𝑓(1)=0，𝑓(2)=2，不符合题意．

综上，𝑓(1𝑎)=6．

故选C．

6.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查函数值的求法，注意奇函数的性质，属于较易题目．

【解答】

解：∵𝑓(𝑥)=𝑥+1𝑥−1，𝑓(𝑎)=2，

∴𝑓(𝑎)=𝑎+1𝑎−1=2，∴𝑎+1𝑎=3

∴𝑓(−𝑎)=−𝑎−1𝑎−1=−3−1=−4，

故选A

7.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查对勾函数的图象与性质，属于基础题．

直接画出对勾函数𝑓(𝑥)=𝑥+4𝑥的图象的大致形状，由图象得答案．

【解答】

解：函数𝑓(𝑥)=𝑥+4𝑥的定义域为{𝑥|𝑥≠0}