函数的应用(一)高一数学(人教A版2019必修第一册)

中学教育

中学教育 第五章 三角函数

5．4 三角函数的图象与性质

5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象

教学设计

一、教学目标

1. 理解正弦函数、余弦函数图象的画法。

2. 借助图象变换，了解函数之间的内在联系。

3. 通过三角函数图象的三种画法（描点法、几何法、五点法），体会用“五点法”作图给学习带来的好处，并会熟练地画出一些较简单的函数的图象。

二、教学重难点

1. 教学重点

正弦函数、余弦函数的图象。

2. 教学难点

利用单位圆画出正弦函数的图象；正弦函数与余弦函数图象之间的关系。

三、教学过程

1. 新课导入

单位圆上任意一点在圆周上旋转一周就回到原来的位置，这一现象可以用公式,,来表示。这说明，自变量每增加（减少），正弦函数值、余弦函数值将重复出现。利用这一特性，就可以简化正弦函数、余弦函数的图象与性质的研究过程。

2. 探索新知

下面先研究的图象，从画函数的图象开始。

如图，在直角坐标系中画出以原点O为圆心的单位圆，⊙O与x轴正半轴的交点为A(1，0)。在单位圆上，将点A绕着点O旋转x0弧度至点B，根据正弦函数的定义，点B的纵坐标y0=sinx0.由此，以x0为横坐标，y0为纵坐标画点，即得到函数图像上的点T0(x0,sinx0). 中学教育

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若把x轴上从0到这一段分成12等份，使x0的值分别为0, ,,,…,,它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，再按上述画点T0(x0,sinx0)的方法，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点。

事实上，利用信息技术，可使x0在区间上取得足够多的点T(x0,sinx0)，再将这些点用光滑的曲线连接起来，可得到比较精确的函数的图象。

由诱导公式一可知，函数,且k≠0的图象与的图象形状完全一致。因此将函数的图象不断向左、向右平移（每次移动个单位长度），就可以得到正弦函数的图象。

正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线。如图所示：

- 1 - Unit 1 单元检测

I. 单词拼写.

1. Over half __________（青少年）in our class said they read more than ten books a year.

2.The girl could __________（自愿）in an after- school study program to teach kids.

3Now young people _________（更喜欢）to celebrate western festivals.

4I hope that we'll find a __________（合适的）house very soon.

5. Going from junior high school to senior high school is a really big ________（挑战）. .

6.She passed the TOEFL exam in her __________（大一）year.

7.It is important to explain this again or we will __________（使弄混）the students.

8．She __________（毕业）from Harvard in history last year .

9.It is strongly r__________ that the machines should be checked every year.（建议）

10.This park in France uses the most a_________ technology.（先进的）

11.British Airlines is putting on an __________（额外的）flight to London tomorrow.

1

4.5.1 函数的零点与方程的解

教学目标：

1.了解函数零点的概念：能够结合具体方程（如一元二次方程），说明方程的根、函数的零点、函数图象与x轴的交点三者之间的关系，达到数学抽象核心素养学业质量水平二的层次.

2.理解函数零点存在定理：了解函数图象连续不断的意义及作用，知道函数零点存在定理只是函数存在零点的一个充分条件，了解函数零点可能不止一个，达到逻辑推理核心素养学业质量水平二的层次.

3.能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数及所在区间，达到直观想象、数学抽象核心素养学业质量水平一的层次.

教学重点：理解函数零点的概念，掌握函数零点与相应方程根的求法；掌握函数零点存在定理并能应用.

教学难点：数形结合思想，转化与化归思想的培养与应用；函数零点存在定理的理解.

教学过程：

（一）新课导入

观察下列三组方程与函数：

方程 函数

2230xx 223yxx

2210xx 221yxx

22+30xx 22+3yxx

大家利用函数图像探究方程的根与函数图像与x轴的交点之间的关系.

教师以第一题为例阐述二者之间的关系，方程2230xx的根为-1和3，函数223yxx的图像与x轴交于点（-1,0），（3,0）.

学生思考回答下面两组关系.

学生：2210xx有两个相等的实根为1，函数221yxx的图像与x轴有唯一的交点（1,0）.

22+30xx没有实根，函数22+3yxx的图像与x轴无交点.

2

教师讲解：由方程与函数的关系，接下来我们开始学习今天的内容.

探究一：零点的概念

教师讲解:我们通俗地称函数图象与轴交点的横坐标为函数的零点，请同学们归纳函数零点的定义.

学生思考并归纳：

零点的概念：对于一般函数y=f（x），我们把使f（x）=0的实数x叫做函数y=f（x）的零点.

提问：考察函数（1）lgyx；（2）2log(1)yx；（3）2xy；（4）22xy的零点.

第 2 页 高一必修一数学函数的应用知识整理

高一必修一数学函数的应用学问整理

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数yf〔x〕〔xD〕，把使f〔x〕0成立的实数x叫做函数yf〔x〕〔xD〕的零点。

2、函数零点的意义：函数yf〔x〕的零点就是方程f〔x〕0实数根，亦即函数

yf〔x〕的图象与x轴交点的横坐标。

即：方程f〔x〕0有实数根函数yf〔x〕的图象与x轴有交点函数yf〔x〕有零点。

3、函数零点的求法：

1〔代数法〕求方程f〔x〕0的实数根;○

2〔几何法〕对于不能用求根公式的`方程，可以将它与函数yf〔x〕的图象联系起来，○

并利用函数的性质找出零点。

4、基本初等函数的零点： ①正比例函数ykx〔k0〕仅有一个零点。

k〔k0〕没有零点。x③一次函数ykxb〔k0〕仅有一个零点。

②反比例函数y④二次函数yax2bxc〔a0〕。

〔1〕△0，方程ax2bxc0〔a0〕有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点。

〔2〕△=0，方程ax2bxc0〔a0〕有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点。

〔3〕△0，方程ax2bxc0〔a0〕无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点。

⑤指数函数ya〔a0，且a1〕没有零点。⑥对数函数ylogax〔a0，且a1〕仅有一个零点1。

⑦幂函数yx，当n0时，仅有一个零点0，当n0时，没有零点。

5、非基本初等函数〔不行直接求出零点的较冗杂的函数〕，函数先把fx转化成，这另fx0，再把冗杂的函数拆分成两个我们常见的函数y1，y2〔基本初等函数〕 第 3 页 个函数图像的交点个数就是函数fx零点的个数。