新人教A版新教材学高中数学必修第一册函数的概念与性质函数的应用一讲义

学

习 目 标 核 心 素 养

１．了解函数模型（如一次函数、二次函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.

２．能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题．（重点、难点） １．通过建立函数模型解决实际问题，培养数学建模素养.

２．借助实际问题中的最值问题，提升数学运算素养.

常见的几类函数模型

函数模型 函数解析式

一次函数模型 f（x）＝ax＋b（a，b为常数，a≠0）

二次函数模型 f（x）＝ax２＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）

分段函数模型 f（x）＝错误!

１．一个矩形的周长是４0，则矩形的长y关于宽x的函数解析式为（ ）

Ａ．y＝２0—x,0

Ｃ．y＝４0—x,0

[答案] A

２．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是（ ）

Ａ．一次函数模型 Ｂ．二次函数模型

Ｃ．分段函数模型 Ｄ．无法确定 C [由s与t的图象，可知t分４段，则函数模型为分段函数模型．]

３．某商店进货单价为４５元，若按５0元一个销售，能卖出５0个；若销售单价每涨１元，其销售量就减少２个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个________元．

60 [设涨价x元，销售的利润为y元，

则y＝（５0＋x—４５）（５0—２x）＝—２x２＋４0x＋２５0

＝—２（x—１0）２＋４５0，

所以当x＝１0，即销售价为60元时，y取得最大值．]

一次函数模型的应用

【例１】 某厂日生产文具盒的总成本y（元）与日产量x（套）之间的关系为y＝6x＋３0 000．而出厂价格为每套１２元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（ ）

Ａ．２ 000套 Ｂ．３ 000套

Ｃ．４ 000套 Ｄ．５ 000套

D [因利润z＝１２x—（6x＋３0 000），所以z＝6x—３0 000，由z≥0解得x≥５ 000，故至少日生产文具盒５ 000套．]

１．一次函数模型的实际应用

一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原则．

２．一次函数的最值求解

一次函数求最值，常转化为求解不等式ax＋b≥0（或≤0），解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值．

１．如图所示，这是某通讯公司规定的打某国际长途电话所需要付的电话费y（元）与通话时间t（分钟）之间的函数关系图象．根据图象填空：

１通话２分钟，需要付电话费________元；

２通话５分钟，需要付电话费________元；

３如果t≥３，则电话费y（元）与通话时间t（分钟）之间的函数关系式为________．

１３．6 ２6 ３y＝１．２t（t≥３） [１由图象可知，当t≤３时，电话费都是３．6元．

２由图象可知，当t＝５时，y＝6，需付电话费6元．

３易知当t≥３时，图象过点（３,３．6），（５,6），待定系数求得y＝１．２t（t≥３）．]

二次函数模型的应用

【例２】 某水果批发商销售每箱进价为４0元的苹果，假设每箱售价不得低于５0元且不得高于５５元．市场调查发现，若每箱以５0元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高１元，平均每天少销售３箱．

（１）求平均每天的销售量y（箱）与销售单价x（元/箱）之间的函数关系式；

（２）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售单价x（元/箱）之间的函数关系式；

（３）当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？

[思路点拨] 本题中平均每天的销售量y（箱）与销售单价x（元/箱）是一个一次函数关系，虽然x∈[５0,５５]，x∈N，但仍可把问题看成一次函数模型的应用问题；平均每天的销售利润w（元）与销售单价x（元/箱）是一个二次函数关系，可看成是一个二次函数模型的应用题．

[解] （１）根据题意，得y＝90—３（x—５0），

化简，得y＝—３x＋２４0（５0≤x≤５５，x∈N）．

（２）因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润．

所以w＝（x—４0）（—３x＋２４0）＝—３x２＋３60x—9 600（５0≤x≤５５，x∈N）．

（３）因为w＝—３x２＋３60x—9 600＝—３（x—60）２＋１ ２00，

所以当x<60时，w随x的增大而增大． 又５0≤x≤５５，x∈N，所以当x＝５５时，w有最大值，最大值为１ １２５．

所以当每箱苹果的售价为５５元时，可以获得最大利润，且最大利润为１ １２５元．

二次函数模型的解析式为gx＝ax２＋bx＋ca≠0.在函数建模中，它占有重要的地位.在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题.二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答.

２．A，B两城相距１00 km，在两地之间距A城x km处D地建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得少于１0 km，已知每个城市的供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝0．２５．若A城供电量为２0亿度/月，B城为１0亿度/月．

（１）把A，B两城月供电总费用y（万元）表示成x（km）的函数，并求定义域；

（２）核电站建在距A城多远，才能使供电总费用最小．

[解] （１）由题意设甲城的月供电费用为y１，则y１＝λ×２0x２.

设乙城的月供电费用为y２，则y２＝λ×１0×（１00—x）２，

∴甲、乙两城月供电总费用y＝λ×２0x２＋λ×１0×（１00—x）２.

∵λ＝0．２５，

∴y＝５x２＋错误!（１00—x）２（１0≤x≤90）．

（２）由y＝５x２＋错误!（１00—x）２＝错误!x２—５00x＋２５ 000

＝错误!错误!２＋错误!，

则当x＝错误!时，y最小．

故当核电站建在距A城错误! km时，才能使供电总费用最小．

分段函数模型的应用

【例３】 某公司生产一种产品，每年投入固定成本0．５万元，此外每生产１00件这种产品还需要增加投资0．２５万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为５00件，当出售的这种产品的数量为t（单位：百件）时，销售所得的收入约为５t—错误!t２（万元）． （１）若该公司的年产量为x（单位：百件），试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数；

（２）当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？

[解] （１）当0５时，产品只能售出５00件．

所以f（x）＝错误!

即f（x）＝错误!

（２）当0

f（x）max＝１0．78１ ２５（万元）．

当x>５时，f（x）<１２—0．２５×５＝１0．7５（万元）．

故当年产量为４7５件时，当年所得利润最大．

１．分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．

２．分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．

３．分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．

３．已知A、B两地相距１５0千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地到B地，在B地停留１小时后再以５0千米/时的速度返回A地．

（１）把汽车离开A地的距离x（千米）表示为时间t（小时）的函数；

（２）求汽车行驶５小时与A地的距离．

[解] （１）汽车以60千米/时的速度从A地到B地需２．５小时，这时x＝60t；当２．５

x＝错误!

（２）当t＝５时，x＝—５0×５＋３２５＝7５，

即汽车行驶５小时离A地7５千米．

１．解有关函数的应用题，首先应考虑选择哪一种函数作为模型，然后建立其解析式．求解析式时，一般利用待定系数法，要充分挖掘题目的隐含条件，充分利用函数图形的直观性．

２．数学建模的过程图示如下：

１．思考辨析

甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图所示，判断下列说法的对错．

（１）甲比乙先出发．（ ）

（２）乙比甲跑的路程多．（ ）

（３）甲、乙两人的速度相同．（ ）

（４）甲先到达终点．（ ）

[答案] （１）× （２）× （３）× （４）√

２．向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是（ ）

A B C D

B [图反映随着水深h的增加，注水量V增长速度越来越慢，这反映水瓶中水上升的液面越来越小．] ３．某人从A地出发，开汽车以80千米/小时的速度经２小时到达B地，在B地停留２小时，则汽车离开A地的距离y（单位：千米）是时间t（单位：小时）的函数，该函数的解析式是________．

[答案] y＝错误!

４． 某游乐场每天的盈利额y元与售出的门票张数x之间的函数关系如图所示，试由图象解决下列问题：

（１）求y与x的函数解析式；

（２）要使该游乐场每天的盈利额超过１ 000元，每天至少卖出多少张门票？

[解] （１）由图象知，可设y＝kx＋b（k≠0），x∈[0,２00]时，过点（0，—１ 000）和（２00,１ 000），解得k＝１0，b＝—１ 000，从而y＝１0x—１ 000；x∈（２00,３00]时，过点（２00,５00）和（３00,２ 000），解得k＝１５，b＝—２ ５00，

从而y＝１５x—２ ５00，

所以y＝错误!

（２）每天的盈利额超过１ 000元，则x∈（２00,３00]，由１５x—２ ５00>１ 000得，x>错误!，故每天至少需要卖出２３４张门票．