届高考数学 考前三个月 练透高考必会题型 专题1 第1练 小集合,大功能 文 新人教版【含答案】

☆注：请用Microsoft Word2016以上版本打开文件进行编辑，.第一章集合与简单逻辑1.1 集合高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识．纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查具体集合的关系判断和集合的运算．解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的含义，弄清集合中元素所具有的形式以及集合中含有哪些元素．二是考查抽象集合的关系判断以及运算．题型一.集合中元素的个数1．（2020•新课标Ⅲ）已知集合A＝{1，2，3，5，7，11}，B＝{x|3＜x＜15}，则A∩B中元素的个数为（）A．2B．3C．4D．5【答案】B．【解析】解：∵集合A＝{1，2，3，5，7，11}，B＝{x|3＜x＜15），∴A∩B＝{5，7，11}，∴A∩B中元素的个数为3．故选：B．2．（2015•新课标Ⅲ）已知集合A＝{x|x＝3n+2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为（）A．5B．4C．3D．2【答案】D．【解析】解：A＝{x|x＝3n+2，n∈N}＝{2，5，8，11，14，17，…}，则A∩B＝{8，14}，故集合A∩B中元素的个数为2个，故选：D．3．（2020•新课标Ⅲ）已知集合A＝{（x，y）|x，y∈N*，y≥x}，B＝{（x，y）|x+y＝8}，则A∩B中元素的个数为（）A．2B．3C．4D．6【答案】C ．【解析】解：∵集合A ＝{（x ，y ）|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{（x ，y ）|x +y ＝8}，∴A ∩B ＝{（x ，y ）|{y ≥xx +y =8，x ，y ∈N ∗}＝{（1，7），（2，6），（3，5），（4，4）}．∴A ∩B 中元素的个数为4．故选：C ．4．（2018•新课标Ⅲ）已知集合A ＝{（x ，y ）|x 2+y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为（ ）A ．9B ．8C ．5D ．4【答案】A ．【解析】解：当x ＝﹣1时，y 2≤2，得y ＝﹣1，0，1，当x ＝0时，y 2≤3，得y ＝﹣1，0，1，当x ＝1时，y 2≤2，得y ＝﹣1，0，1，即集合A 中元素有9个，故选：A ．5．（2017•新课标Ⅲ）已知集合A ＝{（x ，y ）|x 2+y 2＝1}，B ＝{（x ，y ）|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B ．【解析】解：法一：由{x 2+y 2=1y =x ，解得：{x =√22y =√22或{x =−√22y =−√22，∴A ∩B 的元素的个数是2个，法二：画出圆和直线的图象，如图示：，结合图象，圆和直线有2个交点，故A ∩B 中元素的个数为2个，故选：B ．题型二.集合与集合之间的关系1．（2015•重庆）已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{2，3}，则（ ）A ．A ＝BB ．A ∩B ＝∅C ．A ⫋BD ．B ⫋A 【答案】D ．【解析】解：集合A ＝{1，2，3}，B ＝{2，3}，可得A ≠B ，A ∩B ＝{2，3}，B ≠⊂A ，所以D 正确．故选：D ．2．（2015•港澳台）设集合A ⊆{1，2，3，4}，若A 至少有3个元素，则这样的A 共有（ ）A ．2个B ．4个C ．5个D ．7个 【答案】C ．【解析】解：∵集合A ⊆{1，2，3，4}，A 至少有3个元素，∴满足条件的集合A 有：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{1，2，3，4}，∴这样的A 共有5个．故选：C ．3．（2012•新课标）已知集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣2＜0}，B ＝{x |﹣1＜x ＜1}，则（ ）A ．A ⫋BB ．B ⫋AC ．A ＝BD ．A ∩B ＝∅【答案】B ．【解析】解：由题意可得，A ＝{x |﹣1＜x ＜2}，∵B ＝{x |﹣1＜x ＜1}，在集合B 中的元素都属于集合A ，但是在集合A 中的元素不一定在集合B 中，例如x =32∴B ⫋A ．故选：B．4．（2012•湖北）已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】D．【解析】解：由题意可得，A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}，∵A⊆C⊆B，∴满足条件的集合C有{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}共4个，故选：D．5．（2021•上海）已知集合A＝{x|x＞﹣1，x∈R}，B＝{x|x2﹣x﹣2≥0，x∈R}，则下列关系中，正确的是（）A．A⊆B B．∁R A⊆∁R B C．A∩B＝∅D．A∪B＝R【答案】D．【解析】解：已知集合A＝{x|x＞﹣1，x∈R}，B＝{x|x2﹣x﹣2≥0，x∈R}，解得B＝{x|x≥2或x≤﹣1，x∈R}，∁R A＝{x|x≤﹣1，x∈R}，∁R B＝{x|﹣1＜x＜2}；则A∪B＝R，A∩B＝{x|x≥2}，故选：D．题型三.集合的基本运算1．（2021•北京）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∪B＝（）A．{x|0≤x＜1}B．{x|﹣1＜x≤2}C．{x|1＜x≤2}D．{x|0＜x＜1}【答案】B．【解析】解：∵A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|0≤x≤2}，∴A∪B＝{x|﹣1＜x＜1}∪{x|0≤x≤2}＝{x|﹣1＜x≤2}．故选：B．2．（2021•新高考Ⅲ）若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，则A∩∁U B＝（）A．{3}B．{1，6}C．{5，6}D．{1，3}【答案】B．【解析】解：因为全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，所以∁U B＝{1，5，6}，故A∩∁U B＝{1，6}．故选：B．3．（2019•新课标Ⅲ）已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则M∩N＝（）A．{x|﹣4＜x＜3}B．{x|﹣4＜x＜﹣2}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}【答案】C．【解析】解：∵M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，∴M∩N＝{x|﹣2＜x＜2}．故选：C．4．（2016•天津）已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{y|y＝3x﹣2，x∈A}，则A∩B＝（）A．{1}B．{4}C．{1，3}D．{1，4}【答案】D．【解析】解：把x＝1，2，3，4分别代入y＝3x﹣2得：y＝1，4，7，10，即B＝{1，4，7，10}，∵A＝{1，2，3，4}，∴A∩B＝{1，4}，故选：D．5．（2021•乙卷）已知集合S＝{s|s＝2n+1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n+1，n∈Z}，则S∩T＝（）A．∅B．S C．T D．Z【答案】C．【解析】解：当n是偶数时，设n＝2k，则s＝2n+1＝4k+1，当n是奇数时，设n＝2k+1，则s＝2n+1＝4k+3，k∈Z，则T⊊S，则S∩T＝T，故选：C．6．（2017•山东）设集合M＝{x||x﹣1|＜1}，N＝{x|x＜2}，则M∩N＝（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，2）C．（0，2）D．（1，2）【答案】C．【解析】解：集合M＝{x||x﹣1|＜1}＝（0，2），N＝{x|x＜2}＝（﹣∞，2），∴M∩N＝（0，2），故选：C．7．（2017•新课标Ⅲ）已知集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|3x＜1}，则（）A．A∩B＝{x|x＜0}B．A∪B＝R C．A∪B＝{x|x＞1}D．A∩B＝∅【答案】A．【解析】解：∵集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|3x＜1}＝{x|x＜0}，∴A∩B＝{x|x＜0}，故A正确，D错误；A∪B＝{x|x＜1}，故B和C都错误．故选：A．8．（2013•辽宁）已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B＝（）A．（0，1）B．（0，2]C．（1，2）D．（1，2]【答案】D．【解析】解：由A中的不等式变形得：log41＜log4x＜log44，解得：1＜x＜4，即A＝（1，4），∵B＝（﹣∞，2]，∴A∩B＝（1，2]．故选：D．题型四.集合中的含参问题1．（2013•江西）若集合A＝{x∈R|ax2+ax+1＝0}其中只有一个元素，则a＝（）A．4B．2C．0D．0或4【答案】A．【解析】解：当a＝0时，方程为1＝0不成立，不满足条件当a≠0时，△＝a2﹣4a＝0，解得a＝4故选：A．2．（2020•新课标Ⅲ）设集合A＝{x|x2﹣4≤0}，B＝{x|2x+a≤0}，且A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，则a＝（）A．﹣4B．﹣2C．2D．4【答案】B．【解析】解：集合A＝{x|x2﹣4≤0}＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|2x+a≤0}＝{x|x≤−12a}，由A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，可得−12a＝1，则a＝﹣2．故选：B．3．（2017•新课标Ⅲ）设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2﹣4x+m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝（）A．{1，﹣3}B．{1，0}C．{1，3}D．{1，5}【答案】C．【解析】解：集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2﹣4x+m＝0}．若A∩B＝{1}，则1∈A且1∈B，可得1﹣4+m＝0，解得m＝3，即有B＝{x|x2﹣4x+3＝0}＝{1，3}．故选：C．4．（2013•上海）设常数a∈R，集合A＝{x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B＝{x|x≥a﹣1}，若A∪B＝R，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2]C．（2，+∞）D．[2，+∞）【答案】B．【解析】解：当a＞1时，A＝（﹣∞，1]∪[a，+∞），B＝[a﹣1，+∞），若A∪B＝R，则a﹣1≤1，∴1＜a≤2；当a＝1时，易得A＝R，此时A∪B＝R；当a＜1时，A＝（﹣∞，a]∪[1，+∞），B＝[a﹣1，+∞），若A∪B＝R，则a﹣1≤a，显然成立，∴a＜1；综上，a的取值范围是（﹣∞，2]．故选：B．5．（2020•海南）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A．62%B．56%C．46%D．42%【答案】C．【解析】解：设只喜欢足球的百分比为x，只喜欢游泳的百分比为y，两个项目都喜欢的百分比为z，由题意，可得x+z＝60，x+y+z＝96，y+z＝82，解得z＝46．∴该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是46%．故选：C．一．单选题（共8小题）1．已知集合A＝{﹣1，0，m}，B＝{1，2}，若A∪B＝{﹣1，0，1，2}，则实数m的值为（）A．﹣1或0B．0或1C．﹣1或2D．1或2【答案】D．【解析】解：集合A＝{﹣1，0，m}，B＝{1，2}，A∪B＝{﹣1，0，1，2}，因为A，B本身含有元素﹣1，0，1，2，所以根据元素的互异性，m≠﹣1，0即可，故m＝1或2，故选：D．2．设全集U＝R，集合A={x|xx+3＜0}，B={x|x≤−1}，则集合A∩（∁U B）＝（）A．{x|x＞0}B．{x|x＜﹣3}C．{x|﹣3＜x≤﹣1}D．{x|﹣1＜x＜0}【答案】D．【解析】解：由xx+3＜0，即x（x+3）＜0，解得﹣3＜x＜0，则A＝{x|﹣3＜x＜0}，∵B＝{x|x≤﹣1}，∴∁U B＝{x|x＞﹣1}，∴A∩（∁U B）＝{x|﹣1＜x＜0}，故选：D．3．若集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|2x≥√2}，则A∩B＝（）A．[12，3]B．[12，1]C．[−3，12]D．[2，3]【答案】A．【解析】解：∵A={x|−1≤x≤3}，B={x|x≥12}，∴A∩B=[12，3]．故选：A．4．设集合A＝{x∈N||x|≤2}，B＝{y|y＝1﹣x2}，则A∩B的子集个数为（）A．2B．4C．8D．16【答案】B．【解析】解：∵A＝{x∈N|﹣2≤x≤2}＝{0，1，2}，B＝{y|y≤1}，∴A∩B＝{0，1}，∴A∩B的子集个数为22＝4个．故选：B．5．集合A＝{x|y＝lg（x﹣1）}，集合B＝{y|y=√x2+2x+5}，则A∩∁R B＝（）A．[1，2）B．[1，2]C．（1，2）D．（1，2]【答案】C．【解析】解：∵y=√x2+2x+5=√(x+1)2+4≥2，∴B＝[2，+∞），∴∁R B＝（﹣∞，2）．∵x﹣1＞0，∴x＞1，∴A＝（1，+∞）．∴A∩∁R B＝（1，+∞）∩（（﹣∞，2）＝（1，2）．故选：C．6．若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，4}，N＝{2，3}，则集合{5，6}等于（）A．M∪N B．M∩NC．（∁U M）∪（∁U N）D．（∁U M）∩（∁U N）【答案】D．【解析】解：∵5∉M，5∉N，故5∈∁U M，且5∈∁U N．同理可得，6∈∁U M，且6∈∁U N，∴{5，6}＝（∁U M）∩（∁U N），故选：D．7．集合A＝{﹣1，2}，B＝{x|ax﹣2＝0}，若B⊆A，则由实数a组成的集合为（）A．{﹣2}B．{1}C．{﹣2，1}D．{﹣2，1，0}【答案】D．【解析】解：∵集合A＝{﹣1，2}，B＝{x|ax﹣2＝0}，B⊆A，∴B＝∅或B＝{﹣1}或B＝{2} ∴a＝0，1，﹣2．∴由实数a组成的集合为：{﹣2，1，0}．故选：D．8．已知集合A ＝{x |a ﹣2＜x ＜a +3}，B ＝{x |（x ﹣1）（x ﹣4）＞0}，若A ∪B ＝R ，则a 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，1]B ．（1，3）C ．[1，3]D ．[3，+∞）【答案】B ．【解析】解：B ＝{x |x ＜1，或x ＞4}；∵A ∪B ＝R ；∴{a −2＜1a +3＞4；∴1＜a ＜3； ∴a 的取值范围是（1，3）．故选：B ．二．多选题（共4小题）9．若集合P ＝{x |y ＝x 2，x ∈R }，集合T ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，则（ ）A ．0∈PB ．﹣1∉TC ．P ∩T ＝∅D ．P ＝T 【解答】解：集合P ＝{x |y ＝x 2，x ∈R }＝{x |x ∈R }，集合T ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }＝{y |y ≥0}，故0∈P ，选项A 正确，故﹣1∉T ，选项B 正确，故P ∩T ＝[0，+∞），选项C 错误，P ＝R ，T ＝[0，+∞），选项D 错误．故选：AB ．10．设全集U ＝{0，1，2，3，4}，集合A ＝{0，1，4}，B ＝{0，1，3}，则（ ）A ．A ∩B ＝{0，1}B ．∁U B ＝{4}C ．A ∪B ＝{0，1，3，4}D ．集合A 的真子集个数为8【解答】解：∵全集U ＝{0，1，2，3，4}，集合A ＝{0，1，4}，B ＝{0，1，3}，∴A ∩B ＝{0，1}，故A 正确，∁U B ＝{2，4}，故B 错误，A ∪B ＝{0，1，3，4}，故C 正确，集合A 的真子集个数为23﹣1＝7，故D 错误故选：AC ．11．已知集合A ＝（﹣2，5），集合B ＝{x |x ≤m }，使A ∩B ≠∅的实数m 的值可以是（ ）A ．0B ．﹣2C ．4D ．6【解答】解：因为集合A ＝（﹣2，5），集合B ＝{x |x ≤m }，且A ∩B ≠∅，则m ＞﹣2．故选：ACD ．12．我们知道，如果集合A⊆S，那么S的子集A的补集为∁S A＝{x|x∈S，且x∉A}．类似地，对于集合A、B，我们把集合{x|x∈A，且x∉B}叫作集合A与B的差集，记作A﹣B．例如，A＝{1，2，3，4，5}，B＝{4，5，6，7，8}，则有A﹣B＝{1，2，3}，B﹣A＝{6，7，8}，下列说法正确的是（）A．若A＝{x|x＞2}，B＝{x|x2＞4}，则B﹣A＝{x|x＜﹣2}B．若A﹣B＝∅，则B⊆AC．若S是高一（1）班全体同学的集合，A是高一（1）班全体女同学的集合，则S﹣A＝∁S AD．若A∩B＝{2}，则2一定是集合A﹣B的元素【解答】解：对于A：B＝{x|x2＞4}＝{x|x＜﹣2或x＞2}，则B﹣A＝{x|x＜﹣2}，故A正确；对于B：如A＝{3，4，5}，B＝{3，4，5，6，7，8}，则有A﹣B＝∅，但B⊈A，所以B错误；对于C：A是高一（1）班全体女同学的集合，∁S A是高一（1）班全体男同学的集合，S﹣A是高一（1）班全体男同学的集合，所以C正确；对于D：若A∩B＝{2}，则2∈A且2∈B，所以2∉A﹣B，故D错误；故选：AC．。

穿插滚动练(六)1．已知集合A ＝{x |x 2－2 015x ＋2 014<0}，B ＝{x |log 2x <m }，若A ⊆B ，则整数m 的最小值是( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 答案 C解析 由x 2－2 015x ＋2 014<0，解得1<x <2 014， 故A ＝{x |1<x <2 014}．由log 2x <m ，解得0<x <2m ，故B ＝{x |0<x <2m}． 由A ⊆B ，可得2m≥2 014， 因为210＝1 024,211＝2 048， 所以整数m 的最小值为11，故选C.2．在复平面内，复数z ＝2＋i2 0151＋i 对应的点位于( )A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限 答案 A解析 z ＝2＋i 2 0151＋i ＝2－i 1＋i ＝(2－i )(1－i )2＝1－3i 2＝12－32i ， 因此复数z 对应的点在第四象限．故选A.3．(2014·某某)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( ) A.π2B.π4 C.π6D.π8 答案 B解析 设质点落在以AB 为直径的半圆内为事件A ， 则P (A )＝阴影面积长方形面积＝12π·121×2＝π4.4．已知数列{a n }的通项公式a n ＝log 2n ＋1n ＋2(n ∈N *)，设{a n }的前n 项和为S n ，则使S n <－5成立的自然数 n ( )A ．有最大值63B ．有最小值63C ．有最大值31D ．有最小值31 答案 B解析 S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝log 223＋log 234＋…＋log 2n ＋1n ＋2＝log 2(23×34×…×n ＋1n ＋2)＝log 22n ＋2<－5， ∴2n ＋2<2－5，∴n ＋2>26，∴n >62. 又n ∈N *，∴n 有最小值63.5．若平面向量a ＝(2,3)和b ＝(x ＋2，－2)垂直，则|a －b |等于( ) A.26B ．5 C ．26 D ．2 6 答案 A解析 由a ⊥b ，可得a ·b ＝2×(x ＋2)＋3×(－2)＝0，解得x ＝1. 故b ＝(3，－2)，所以a －b ＝(－1,5)． 所以|a －b |＝(－1)2＋52＝26.故选A.6．(2014·大纲全国)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( ) A.81π4 B ．16π C．9π D.27π4答案 A解析 如图，设球心为O ，半径为r ， 则Rt△AOF 中， (4－r )2＋(2)2＝r 2， 解得r ＝94，∴该球的表面积为4πr 2＝4π×(94)2＝814π.7．(2014·某某)在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( ) A.45π B.34π C ．(6－25)π D.54π答案 A解析 ∵∠AOB ＝90°，∴点O 在圆C 上． 设直线2x ＋y －4＝0与圆C 相切于点D ，则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x ＋y －4＝0的距离， ∴点C 在以O 为焦点，以直线2x ＋y －4＝0为准线的抛物线上， ∴当且仅当O ，C ，D 共线时，圆的直径最小为|OD |. 又|OD |＝|2×0＋0－4|5＝45，∴圆C 的最小半径为25，∴圆C 面积的最小值为π(25)2＝45π.8．函数f (x )＝(x －1)ln|x |的图象可能为( )答案 A解析 函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，可排除B. 当x ∈(0,1)时，x －1<0，ln x <0，所以(x －1)ln x >0，可排除D ； 当x ∈(1，＋∞)时，x －1>0，ln x >0，所以(x －1)ln x >0，可排除C.故只有A 项满足，选A.9．已知动点P (x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥2|x |－1，y ≤x ＋1，则z ＝|2x －3y －6|的最小值是( )A ．11B ．3 C.253 D.31313答案 B解析 z ＝|2x －3y －6|的几何意义为可行域内的点到直线2x －3y －6＝0的距离的13倍，其可行域如图中阴影部分所示，由图知点C 到直线2x －3y －6＝0的距离最短．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋1＝0，2x －y －1＝0，得点C (0，－1)，则z min ＝13×|2×0－3×(－1)－6|13＝3，故选B.10．(2014·某某)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( ) A.x 25－y 220＝1 B.x 220－y 25＝1 C.3x 225－3y 2100＝1 D.3x 2100－3y225＝1 答案 A解析 双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ，因为一条渐近线与直线y ＝2x ＋10平行，所以b a＝2. 又因为双曲线的一个焦点在直线y ＝2x ＋10上， 所以－2c ＋10＝0，所以c ＝5.由⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，c ＝a 2＋b 2＝5得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝20.故双曲线的方程为x 25－y 220＝1.11．(2014·课标全国Ⅰ)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________． 答案 23解析 两本不同的数学书用a 1，a 2表示，语文书用b 表示，则Ω＝{(a 1，a 2，b )，(a 1，b ，a 2)，(a 2，a 1，b )，(a 2，b ，a 1)，(b ，a 1，a 2)，(b ，a 2，a 1)}． 于是两本数学书相邻的情况有4种， 故所求概率为46＝23.12．某时段内共有100辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如下图所示，则时速超过60 km/h 的汽车数量为________．答案 38解析 由直方图可得时速超过60 km/h 的汽车所占频率为10×(0.028＋0.010)＝0.38，又样本容量为100，故时速超过60 km/h 的汽车共有100×0.38＝38(辆)． 13.如图，在一个塔底的水平面上的点A 处测得该塔顶P 的仰角为θ，由点A 向塔底D 沿直线行走了30 m 到达点B ，测得塔顶P 的仰角为2θ，再向塔底D 前进10 3 m 到达点C ，又测得塔顶的仰角为4θ，则塔PD 的高度为________． 答案 15 m解析 依题意有PD ⊥AD ，BA ＝30 m ，BC ＝10 3 m ， ∠PAD ＝θ，∠PBD ＝2θ，∠PCD ＝4θ， 所以∠APB ＝∠PBD －∠PAD ＝θ＝∠PAD . 所以PB ＝BA ＝30 m. 同理可得PC ＝BC ＝103m. 在△BPC 中，由余弦定理，得cos 2θ＝(103)2＋302－(103)22×103×30＝32，所以2θ＝30°，4θ＝60°.在△PCD 中，PD ＝PC ×sin 4θ＝103×32＝15(m)． 14．已知集合M ＝{x |y ＝lg (x ＋2)3－x ，x ∈R }，N ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，在集合M 中任取一个元素x ，则“x ∈M ∩N ”的概率是________． 答案 15解析 因为M ＝{x |y ＝lg (x ＋2)3－x，x ∈R }＝(－2,3)，N ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}＝[1,2]，所以M ∩N ＝[1,2]．所以“x ∈M ∩N ”的概率P ＝2－13－(－2)＝15.15．(2014·某某)对于c >0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，3a －4b ＋5c的最小值为________．答案 －2解析 设2a ＋b ＝x ，则2a ＝x －b ， ∴(x －b )2－b (x －b )＋4b 2－c ＝0，x 2－3bx ＋6b 2－c ＝0，即6b 2－3xb ＋x 2－c ＝0，∴Δ＝9x 2－4×6×(x 2－c )≥0， ∴3x 2－8x 2＋8c ≥0，∴x 2≤85c .当|2a ＋b |＝|x |取最大值时，有(2a ＋b )2＝85c ，∴4a 2＋4ab ＋b 2＝85c ，又∵4a 2－2ab ＋4b 2＝c ，①∴b a ＝23，∴b ＝23a ， 代入①得4a 2－2a ·23a ＋49a 2·4＝c ，∴a ＝32c10，b ＝c 10，或a ＝－32c10，b ＝－c10.当a ＝32c10，b ＝c10时，有3a －4b ＋5c ＝332c10－4c 10＋5c ＝210c －410c ＋5c ＝5(1c－105)2－2≥－2，当1c＝105，即c ＝52时等号成立． 此时a ＝34，b ＝12.当a ＝－32c10，b ＝－c10时，3a －4b ＋5c＝－210c ＋410c＋5c＝210c＋5c>0，综上可知c ＝52，a ＝34，b ＝12时，(3a －4b ＋5c)min ＝－2.16．(2014·某某)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ≠b ，c ＝3，cos 2A －cos 2B ＝3sin A cos A －3sin B cos B . (1)求角C 的大小；(2)若sin A ＝45，求△ABC 的面积．解 (1)由题意得1＋cos 2A 2－1＋cos 2B 2＝32sin 2A －32sin 2B ， 即32sin 2A －12cos 2A ＝32sin 2B －12cos 2B ， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π6.由a ≠b ，得A ≠B .又A ＋B ∈(0，π)，得 2A －π6＋2B －π6＝π，即A ＋B ＝2π3，所以C ＝π3.(2)由c ＝3，sin A ＝45，a sin A ＝c sin C ，得a ＝85.由a <c ，得A <C ，从而cos A ＝35，故sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝4＋3310， 所以，△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝83＋1825. 17．如图，三棱锥A －BCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥BD .(1)求证：CD ⊥平面ABD ；(2)若AB ＝BD ＝CD ＝1，M 为AD 中点，求三棱锥A －MBC 的体积．方法一 (1)证明 ∵AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， ∴AB ⊥CD .又∵CD ⊥BD ，AB ∩BD ＝B ，AB ⊂平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，∴CD ⊥平面ABD .(2)解 由AB ⊥平面BCD ，得AB ⊥BD ， ∵AB ＝BD ＝1，∴S △ABD ＝12.∵M 是AD 的中点，∴S △ABM ＝12S △ABD ＝14.由(1)知，CD ⊥平面ABD ， ∴三棱锥C －ABM 的高h ＝CD ＝1， 因此三棱锥A －MBC 的体积V A －MBC ＝V C －ABM ＝13S △ABM ·h ＝112.方法二 (1)同方法一．(2)解 由AB ⊥平面BCD 知，平面ABD ⊥平面BCD ， 又平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，如图，过点M 作MN ⊥BD 交BD 于点N ，则MN ⊥平面BCD ，且MN ＝12AB ＝12.又CD ⊥BD ，BD ＝CD ＝1， ∴S △BCD ＝12.∴三棱锥A －MBC 的体积V A －MBC ＝V A －BCD －V M －BCD ＝13AB ·S △BCD －13MN ·S △BCD ＝112.18．已知等差数列{a n }，公差d >0，前n 项和为S n ，S 3＝6，且满足a 3－a 1,2a 2，a 8成等比数列． (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n ·a n ＋2，求数列{b n }的前n 项和T n 的值．解 (1)由S 3＝6，得a 2＝2. ∵a 3－a 1,2a 2，a 8成等比数列，∴(2d )·(2＋6d )＝42， 解得d ＝1或d ＝－43，∵d >0，∴d ＝1.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝n . (2)T n ＝11·3＋12·4＋13·5＋…＋1n (n ＋2)＝12[(1－13)＋(12－14)＋(13－15)＋(14－16)＋…＋(1n －1n ＋2)] ＝12(32－1n ＋1－1n ＋2)＝3n 2＋5n 4(n ＋1)(n ＋2). 19．某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4 500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．(1)应收集多少位女生的样本数据？(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为：[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]，估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.P (K 2≥k 0)0.10 0.05 0.010 0.005 k 02.7063.8416.6357.879附：K 2＝n ((a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ).解 (1)300×4 50015 000＝90，所以应收集90位女生的样本数据． (2)由频率分布直方图得 1－2×(0.025＋0.100)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.(3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225(人)的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下： 每周平均体育运动时间与性别列联表结合列联可算得K 2＝75×225×210×90＝21≈4.762>3.841.所以，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．20．(2014·某某)已知函数f (x )＝e x－ax (a 为常数)的图象与y 轴交于点A ，曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为－1. (1)求a 的值及函数f (x )的极值； (2)证明：当x >0时，x 2<e x；(3)证明：对任意给定的正数c ，总存在x 0，使得当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x <c e x. 方法一 (1)解 由f (x )＝e x －ax ，得f ′(x )＝e x－a . 又f ′(0)＝1－a ＝－1，得a ＝2. 所以f (x )＝e x －2x ，f ′(x )＝e x－2. 令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2.当x <ln 2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x >ln 2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 所以当x ＝ln 2时，f (x )有极小值， 且极小值为f (ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2－ln 4，f (x )无极大值．(2)证明 令g (x )＝e x －x 2，则g ′(x )＝e x－2x . 由(1)得，g ′(x )＝f (x )≥f (ln 2)＝2－ln 4>0， 即g ′(x )>0.所以g (x )在R 上单调递增． 又g (0)＝1>0，所以当x >0时，g (x )>g (0)>0，即x 2<e x. (3)证明 对任意给定的正数c ，取x 0＝1c，由(2)知，当x >0时，x 2<e x.所以当x >x 0时，e x >x 2>1cx ，即x <c e x . 因此，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x <c e x .方法二 (1)同方法一(2)同方法一(3)证明 令k ＝1c(k >0)，要使不等式x <c e x 成立，只要e x >kx 成立． 而要使e x >kx 成立，则只需要x >ln(kx )，即x >ln x ＋ln k 成立．①若0<k ≤1，则ln k ≤0，易知当x >0时，x >ln x ≥ln x ＋ln k 成立．即对任意c ∈[1，＋∞)，取x 0＝0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x <c e x .②若k >1，令h (x )＝x －ln x －ln k ，则h ′(x )＝1－1x ＝x －1x， 所以当x >1时，h ′(x )>0，h (x )在(1，＋∞)内单调递增．取x 0＝4k ，h (x 0)＝4k －ln(4k )－ln k ＝2(k －ln k )＋2(k －ln 2)，易知k >ln k ，k >ln 2，所以h (x 0)>0.因此对任意c ∈(0,1)，取x 0＝4c，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x <c e x . 综上，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x <c e x .方法三 (1)同方法一．(2)同方法一．(3)证明 ①若c ≥1，取x 0＝0，由(2)的证明过程知，e x >2x ，所以当x ∈(x 0，＋∞)时，有c e x ≥e x >2x >x ，即x <c e x .②若0<c <1，令h (x )＝c e x －x ，则h ′(x )＝c e x －1.令h ′(x )＝0得x ＝ln 1c. 当x >ln 1c时，h ′(x )>0，h (x )单调递增． 取x 0＝2ln 2c ，h (x 0)＝c e2ln 2c －2ln 2c ＝2(2c －ln 2c)， 易知2c －ln 2c>0，又h (x )在(x 0，＋∞)内单调递增， 所以当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有h (x )>h (x 0)>0，即x <c e x.综上，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x <c e x . 21．(2014·某某)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，直线y ＝x 被椭圆C 截得的线段长为4105. (1)求椭圆C 的方程；(2)过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点(A ，B 不是椭圆C 的顶点)．点D 在椭圆C 上，且AD ⊥AB ，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点．①设直线BD ，AM 的斜率分别为k 1，k 2，证明：存在常数λ使得k 1＝λk 2，并求出λ的值； ②求△OMN 面积的最大值． 解 (1)由题意知a 2－b 2a ＝32，可得a 2＝4b 2. 椭圆C 的方程可简化为x 2＋4y 2＝a 2.将y ＝x 代入可得x ＝±5a 5， 因此2×25a 5＝4105，可得a ＝2. 因此b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)①设A (x 1，y 1)(x 1y 1≠0)，D (x 2，y 2)，则B (－x 1，－y 1)．因为直线AB 的斜率k AB ＝y 1x 1，又AB ⊥AD ，所以直线AD 的斜率k ＝－x 1y 1.设直线AD 的方程为y ＝kx ＋m ，由题意知k ≠0，m ≠0. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1可得(1＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4m 2－4＝0. 所以x 1＋x 2＝－8mk 1＋4k2， 因此y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m 1＋4k 2. 由题意知x 1≠－x 2，所以k 1＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝－14k ＝y 14x 1.所以直线BD 的方程为y ＋y 1＝y 14x 1(x ＋x 1)． 令y ＝0，得x ＝3x 1，即M (3x 1,0)，可得k 2＝－y 12x 1. 所以k 1＝－12k 2，即λ＝－12. 因此存在常数λ＝－12使得结论成立． ②直线BD 的方程y ＋y 1＝y 14x 1(x ＋x 1)， 令x ＝0，得y ＝－34y 1，即N ⎝⎛⎭⎪⎫0，－34y 1. 由①知M (3x 1,0)，可得△OMN 的面积 S ＝12×3|x 1|×34|y 1|＝98|x 1||y 1|.因为|x 1||y 1|≤x 214＋y 21＝1， 当且仅当|x 1|2＝|y 1|＝22时等号成立，此时S 取得最大值98. 所以△OMN 面积的最大值为98.。

高中数学专题复习《集合与函数概念》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分 一、选择题1．已知集合M={x|-3<X<1},N={-3,-2,-1,0,1},则M ∩N=（ ） A ．{-2,-1,0,1} B ．{-3,-2,-1,0} C ．{-2,-1,0}D ．{-3,-2,-1 }（2020年高考课标Ⅱ卷（文））2．已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂=(A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [2,2] (D) [-2,1] （2020年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））3．设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,3,4U A B ===，则=)(B A C U {}1,4,5 4．设D 是正123P P P ∆及其内部的点构成的集合，点0P 是123PP P ∆的中心，若集合0{|,||||,1,2,3}i S P P D PP PP i =∈≤=，则集合S 表示的平面区域是 ( )A ．三角形区域 B ．四边形区域 C ． 五边形区域D ．六边形区域（2020北京文）5．设集合 M ={x|x 2+x-6<0}，N ={x|1≤x ≤3},则M ∩N =( )（A ）[1,2) （B ）[1,2] （C ）( 2,3] （D ）[2,3] （2020山东理1）6．已知集合A={x 1x ＞}，B={x 2x 1-＜＜}，则A B=( )（A ） {x 2x 1-＜＜} （B ）{x1-x ＞} （C ）{x 1x 1-＜＜} （D ）{x 2x 1＜＜}（2020辽宁文１）【精讲精析】选D ，解不等式组⎩⎨⎧<<->211x x ，得21<<x ．所以A B={}21<<x x ．. 7．已知全集I ＝N *，集合A ＝｛x ｜x ＝2n ，n ∈N *｝，B ＝｛x ｜x ＝4n ，n ∈N ｝，则（ ）A ．I ＝A ∪BB ．I ＝（IC A ）∪B C ．I ＝A ∪（I C B） D ．I ＝（I C A ）∪（I C B ）（2020全国理，1）8．设P 和Q 是两个集合，定义集合P-Q={}Q x P x x ∉∈且,|，如果P={x|log 2x<1},Q={x||x-2|<1},那么P-Q 等于（ ）A ．{x|0<x<1}B ．{x|0<x ≤1}C ．{x|1≤x<2}D ．{x|2≤x<3}（2020湖北理科3）9．已知集合A{x| 2x -3x +2=0,x ∈R } ， B={x|0＜x ＜5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为A 1B 2C 3D 410．若全集U=｛x ∈R|x 2≤4} A=｛x ∈R||x+1|≤1}的补集CuA 为A |x ∈R |0＜x ＜2|B |x ∈R |0≤x ＜2|C |x ∈R |0＜x≤2|D |x ∈R |0≤x≤2|第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分 二、填空题11．已知集合{|1),{|21}x M x x N x =<=>，则M N = ▲ .12．已知集合A=｛1，2，3｝，B=｛0，2，3｝，则A ∩B= ▲13． 已知集合{}(1)0P x x x =-≥，Q ={})1ln(|-=x y x ，则PQ = .14．已知集合{}{}20,,|30,A m B n n n n Z ==-<∈，若φ≠⋂B A ，则m 的值为 ★ ；15．已知P = {−1，0，2}，Q = { y | y = sin θ，θ∈R}，则P ∩ Q = ▲ ．16．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 12 . （2020湖南卷文） 评卷人得分 三、解答题17．已知集合{}2650A x x x =++<，{}11B x x =-≤<，（1）求A B ；（2）若全集U ={}5<x x ，()U C A B ⋃；（3）若{}a x x C <=，且BC B =，求a 的取值范围．（本小题14分）18．设全集U =R ，集合{}|13A x x =-<≤，{}|242B x x x =--≥．（1）求U M ð()A B ；（2）若集合{|20}C x x a =+>，满足BC C =，求实数a 的取值范围19．已知集合{}{}B B A a ax x x B x x x A ==-+-==+-= 且,01,02322,求a 的取值范围。

备战高考数学复习考点知识与题型讲解第1讲集合一、知识梳理1.集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示.(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法.(4)常见数集的记法A B(或B A )A∪B＝A∩B＝∁A＝常用结论1.空集的性质空集不含任何元素，空集是任意一个集合A的子集，即∅⊆A.2.集合的运算性质(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅.(2)A∪A＝A，A∪∅＝A.(3)A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U，∁U(∁U A)＝A.(4)A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B.3.集合的子集个数若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，非空子集有2n－1个，真子集有2n －1个.二、教材衍化1.(人A必修第一册P5习题1.1T1(4)改编)若集合A＝{x∈N|1≤x≤10}，则( )A.8∈AB.9.1∈AC.{8}∈AD.{9.1}⊆A 答案：A2.(人A必修第一册P14习题1.3T4改编)设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2＜x＜10}，则∁R(A∪B)＝________，(∁R A)∩B＝________.解析：把集合A，B在数轴上表示如图.由图知，A∪B＝{x|2＜x＜10}，(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}，所以∁RA＝{x|x＜3或x≥7}，因为∁RA)∩B＝{x|2＜x＜3或7≤x＜10}.所以(∁R答案：{x|x≤2或x≥10}{x|2＜x＜3或7≤x＜10}一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A，B，C表示同一个集合.( )(2){x|x≤1}＝{t|t≤1}.()(3)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0或x＝1.( )(4)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( )答案：(1)×(2)√(3)×(4)×二、易错纠偏1.(多选)(混淆元素、集合间的关系致误)已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，则有( )A.∅⊆AB.－2∈AC.{0，2}⊆AD.A⊆{y|y＜3}解析：选ACD.因为A＝{0，2}，所以∅⊆A，{0，2}⊆A，A⊆{y|y＜3}均正确，－2∉A，故选ACD.2.(混淆子集与真子集的定义致误)已知集合A＝{x|x2<2，x∈Z}，则A的真子集的个数为( )A.3B.4C.6D.7解析：选D.因为A＝{x|x2<2，x∈Z}＝{－1，0，1}，所以其真子集的个数为23－1＝7.故选D.3.(多选)(忽视空集致误)已知集合A＝{2，3}，B＝{x|mx－6＝0}，若B⊆A，则实数m＝( )A.3B.2C.1D.0解析：选ABD.当m ＝0时，可得集合B ＝∅，此时满足B ⊆A ；当m ≠0时，可得集合B＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫6m ， 所以6m ＝2或6m＝3，解得m ＝3或m ＝2，综上，实数m 等于0，2或3.考点一 集合的概念(自主练透)复习指导：1.了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系.2.能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.1.(2022·常州市前黄高级中学高三适应性考试)设集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{5，6}，C ＝{x ＋y |x ∈A ，y ∈B }，则C 中元素的个数为( )A.3B.4C.5D.6解析：选C.由题知，当y ＝5时，x ＋y 的值有6，7，8，9，当y ＝6时，x ＋y 的值有7，8，9，10，于是得C ＝{6，7，8，9，10}，所以C 中元素的个数为5.2.设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫0，b a ，b ，则a 2 023－b 2 023＝( )A.1B.－1C.2D.－2解析：选D.由题易得a ≠0，所以a ＋b ＝0，则ba＝－1，所以a ＝－1，b ＝1.所以a 2 023－b 2 023＝－2.3.已知集合P ＝{}x |x ＝2k ，k ∈Z ，Q ＝{}x |x ＝2k ＋1，k ∈Z ，M ＝{}x |x ＝4k ＋1，k ∈Z ，且a ∈P ，b ∈Q ，则()A.a ＋b ∈PB.a ＋b ∈QC.a ＋b ∈MD.a ＋b 不属于P ，Q ，M 中的任意一个 解析：选B.因为a ∈P ，所以a ＝2k 1，k 1∈Z .因为b ∈Q ，所以b ＝2k 2＋1，k 2∈Z .所以a ＋b ＝2(k 1＋k 2)＋1＝2k ＋1∈Q (k 1，k 2，k ∈Z ).4.(多选)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A.92 B.98 C.0D.23解析：选BC.若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实数根或有两个相等的实数根.当a ＝0时，x ＝23，符合题意；当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0得a ＝98，所以a 的值为0或98.与集合中元素有关问题的求解步骤步骤一：确定集合的元素是什么，集合是数集还是点集. 步骤二：看这些元素满足什么限制条件.步骤三：根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性.考点二 集合间的基本关系(思维发散)复习指导：理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，了解全集与空集的含义.(1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A.1B.2C.3D.4(2)已知集合A ＝{x |(x ＋1)(x －3)＜0}，B ＝{x |－m ＜x ＜m }.若A ⊆B ，则m 的取值范围是________.【解析】 (1)由题意可得，A ＝{1，2}，B ＝{1，2，3，4}，又因为A ⊆C ⊆B ，所以C ＝{1，2}或{1，2，3}或{1，2，4}或{1，2，3，4}.(2)由题得，A ＝{x |－1＜x ＜3}，若A ⊆B (如图)可得⎩⎨⎧－m ≤－1，m ≥3，所以m ≥3.故m 的取值范围是[3，＋∞). 【答案】 (1)D (2)[3，＋∞)(链接常用结论1)本例(2)中，若“A ⊆B ”改为“B ⊆A ”，其他条件不变，则m 的取值范围是________.解析：当m ≤0时，B ＝∅， 显然B ⊆A .当m ＞0时，因为A ＝{x |－1＜x ＜3}. 当B ⊆A 时，在数轴上标出两集合，如图，所以⎩⎨⎧－m ≥－1，m ≤3，－m ＜m .所以0＜m ≤1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1]. 答案：(－∞，1](1)判断两集合关系的2种常用方法列举法：根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系.数轴法：在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系.(2)根据两集合的关系求参数的方法①若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性.②若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到.[提醒] 题目中若有条件B ⊆A ，则应分B ＝∅和B ≠∅两种情况进行讨论.|跟踪训练|1.(2022·广州高一期中)已知集合M ＝{y |y ＝x －|x |，x ∈R }，N ＝{y |y ＝x 12，x ≠0}，则下列选项正确的是( )A.M ＝NB.N ⊆MC.M ＝∁R ND.∁R NM解析：选C.由题意，得集合M ＝{y |y ≤0}，而集合N ＝{y |y >0}，所以∁R N ＝{y |y ≤0}，则M ＝∁R N ，故C 正确.2.(链接常用结论3)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈N *}，则集合A 的真子集的个数为( )A.7B.8C.15D.16解析：选A.因为集合A 中有3个元素，所以其真子集的个数为23－1＝7(个). 3.(多选)(2022·河南范县高一月考)已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪14x ＋a ≥0，B ＝{x |x 2≤1}，若B ⊆A ，则实数a 的取值可以是( )A.－2B.0C. 2D.4解析：选CD.因为A ＝{}x |x ≥－4a ，B ＝{x |－1≤x ≤1}，又因为B ⊆A ，则－4a ≤－1，解得a ≥14，故选CD.考点三 集合的基本运算(多维探究)复习指导：1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集. 2.理解给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.3.能使用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.角度1 集合的运算(1)(2021·新高考卷Ⅰ)设集合A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{2，3，4，5}，则A ∩B＝( )A.{2}B.{2，3}C.{3，4}D.{2，3，4}(2)(2021·高考全国卷乙)已知集合S ＝{s |s ＝2n ＋1，n ∈Z }，T ＝{t |t ＝4n ＋1，n ∈Z }，则S ∩T ＝( )A.∅B.SC.TD.Z【解析】 (1)由题易知A ∩B ＝{2，3}，故选B.(2)S ＝{…，－3，－1，1，3，5，…}，T ＝{…，－3，1，5，…}，观察可知，T ⊆S ，所以T ∩S ＝T .【答案】 (1)B (2)C 角度2 利用集合的运算求参数(1)(2020·高考全国卷Ⅰ)设集合A ＝{x |x 2－4≤0}，B ＝{x |2x ＋a ≤0}，且A ∩B＝{x |－2≤x ≤1}，则a ＝( )A.－4B.－2C.2D.4(2)设集合A ＝{(x ，y )|2x ＋y ＝1，x ，y ∈R }，集合B ＝{(x ，y )|a 2x ＋2y ＝a ，x ，y ∈R }，若A ∩B ＝∅，则a 的值为( )A.2B.4C.2或－2D.－2【解析】 (1)易知A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |x ≤－a2}，因为A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，所以－a2＝1，解得a ＝－2.(2)由题意可知，集合A ，B 的元素为有序数对，且都代表的是直线上的点.因为A ∩B＝∅，所以两条直线没有公共点，所以两条直线平行，所以⎩⎨⎧4－a 2＝0，－2a ＋a 2≠0，解得a ＝－2. 【答案】 (1)B (2)D本例(1)中，若“A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}”改成“A ∩B ⊆{x |－2≤x ≤1}”，则实数a 的取值范围是________.解析：A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x⎪⎪⎪x ≤－a 2， 当A ∩B ＝∅时，即－a2＜－2，a ＞4时，符合题意；当A ∩B ≠∅时，令⎩⎪⎨⎪⎧－a 2≥－2，－a2≤1，得－2≤a ≤4.综上，实数a 的取值范围是a ≥－2. 答案：[－2，＋∞) 角度3 集合的新定义问题(1)(2022·南阳一中第十四次考试)定义集合运算：A ⊙B ＝{Z |Z ＝xy ，x ∈A ，y∈B }，设集合A ＝{－1，0，1}，B ＝{sin α，cos α}，则集合A ⊙B 的所有元素之和为 ( )A.1B.0C.－1D.sin α＋cos α(2)(2022·保定一模)设P 和Q 是两个集合，定义集合P －Q ＝{x |x ∈P ，且x ∉Q }，如果P ＝{x |1＜2x ＜4}，Q ＝{y |y ＝2＋sin x ，x ∈R }，那么P －Q ＝( )A.{x |0＜x ≤1}B.{x |0≤x ＜2}C.{x |1≤x ＜2}D.{x |0＜x ＜1}【解析】 (1)因为x ∈A ，所以x 的可能取值为－1，0，1.同理，y 的可能取值为sinα，cos α，所以xy 的所有可能取值为(重复的只列举一次)：－sin α，0，sin α，－cos α，cos α，所以所有元素之和为0.(2)由题意得P ＝{x |0＜x ＜2}，Q ＝{y |1≤y ≤3}， 所以P －Q ＝{x |0＜x ＜1}. 【答案】 (1)B (2)D(1)集合运算的常用方法①若集合中的元素是离散的，则常用Venn 图求解.②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况. (2)利用集合的运算求参数的方法①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值的取舍.②若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解.在求出参数后，注意结果的验证(满足集合中元素的互异性). (3)解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点①准确转化.解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目的要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆.②方法选取.对于新定义问题，可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的相关性质求解.|跟踪训练|1.(2021·高考全国卷乙)已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合M ＝{1，2}，N ＝{3，4}，则∁U (M ∪N )＝( )A.{5}B.{1，2}C.{3，4}D.{1，2，3，4}解析：选A.因为集合M ＝{1，2}，N ＝{3，4}，所以M ∪N ＝{1，2，3，4}. 又全集U ＝{1，2，3，4，5}，所以∁U (M ∪N )＝{5}. 2.(2021·高考全国卷甲)设集合M ＝{}x |0<x <4，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13≤x ≤5，则M ∩N ＝( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x ≤13B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13≤x <4 C.{}x |4≤x <5 D.{}x |0<x ≤5解析：选B.M ∩N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13≤x <4. 3.(2020·高考全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为( )A.2B.3C.4D.6解析：选C.由题意得，A ∩B ＝{(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)}，所以A ∩B 中元素的个数为4.4.给定集合S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，对于x∈S，如果x＋1∉S且x－1∉S，那么x是S的一个“好元素”，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有________个.解析：由题意知这3个元素一定是连续的3个整数，故不含“好元素”的集合有{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}，共6个.答案：6[A 基础达标]0，m，m2－3m＋2，且2∈A，1.(2022·湖南师大附中高二入学考试)已知集合A＝{}则实数m的值为( )A.0B.1C.2D.3解析：选D.若m＝2，则m2－3m＋2＝0，不满足集合中元素的互异性，舍去；若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，又m≠0，故m＝3.2.(2022·豫北名校联盟4月联考)已知集合A＝{1，3，5，6}，B＝{x∈N|0<x<8}，则图中阴影部分表示的集合的元素个数为( )A.4B.3C.2D.1解析：选B.B＝{x∈N|0<x<8}＝{1，2，3，4，5，6，7}，图中阴影部分表示的集合为∁B A＝{2，4，7}，共3个元素.3.已知集合A＝{x∈N*|x2－3x－4＜0}，则集合A的真子集有( )A.7个B.8个C.15个D.16个解析：选A.因为集合A＝{1，2，3}，所以集合A中共有3个元素，所以真子集有23－1＝7(个).x|2x>7，则M∩N＝( )4.(2021·高考全国卷甲)设集合M＝{1，3，5，7，9}，N＝{}A.{7，9}B.{5，7，9}C.{3，5，7，9}D.{1，3，5，7，9}解析：选B.由题得集合N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >72，所以M ∩N ＝{5，7，9}.故选B.5.设集合M ＝{－1，1}，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1x ＜2，则下列结论中正确的是()A.NM B.M NC.N ∩M ＝∅D.M ∪N ＝R解析：选B.由题意得，集合N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1x ＜2＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜0或x ＞12，所以M N .故选B.6.(多选)已知非空集合M 满足：①M ⊆{－2，－1，1，2，3，4}，②若x ∈M ，则x 2∈M .则集合M 可能是( )A.{－1，1}B.{－1，1，2，4}C.{1}D.{1，－2，2}解析：选AC.由题意可知3∉M 且4∉M ，而－2或2与4同时出现，所以－2∉M 且2∉M ，所以满足条件的非空集合M 有{－1，1}，{1}.7.(2022·福建厦门质量检查)已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋3>0}，B ＝{x |x －a <0}，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围为( )A.(3，＋∞)B.[3，＋∞)C.(－∞，1)D.(－∞，1]解析：选D.集合A ＝{x |x <1或x >3}，B ＝{x |x <a }.因为B ⊆A ，所以a ≤1.8.设集合A ＝{－1，1，2}，B ＝{a ＋1，a 2－2}，若A ∩B ＝{－1，2}，则a 的值为________. 解析：由题知⎩⎨⎧a ＋1＝－1，a 2－2＝2，或⎩⎨⎧a ＋1＝2，a 2－2＝－1，解得a ＝－2或a ＝1.经检验，a ＝－2和a ＝1均满足题意. 答案：－2或19.(2022·重庆高一月考)若集合M ＝{x ||x |>2}，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＋1x －3<0，则N ＝________；∁R (M ∩N )＝________.解析：由题意得N ＝{x |－1<x <3}，M ＝{x |x <－2或x >2}，所以M ∩N ＝{x |2<x <3}，所以∁R (M ∩N )＝{x |x ≤2或x ≥3}. 答案：{x |－1<x <3}{ |x x ≤2或 }x ≥310.已知集合A ＝{x |x －a ≤0}，B ＝{1，2，3}，若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围为________. 解析：集合A ＝{x |x ≤a }，集合B ＝{1，2，3}，若A ∩B ≠∅，则1，2，3这三个元素至少有一个在集合A 中，若2或3在集合A 中，则1一定在集合A 中，因此只要保证1∈A 即可，所以a ≥1.答案：[1，＋∞)[B 综合应用]11.对集合{1，5，9，13，17}用描述法来表示，其中正确的是 ( ) A.{x |x 是小于18的正奇数} B.{}x |x ＝4k ＋1，k ∈Z 且k <5 C.{}x |x ＝4s －3，s ∈N 且s ≤5 D.{}x |x ＝4s －3，s ∈N *且s ≤5解析：选D.对于A ：{x |x 是小于18的正奇数}＝{}1，3，5，7，9，11，13，15，17，故A 错误；对于B ：{}x |x ＝4k ＋1，k ∈Z 且k <5＝{}…，－3，1，5，9，13，17，故B 错误；对于C ：{}x |x ＝4s －3，s ∈N 且s ≤5＝{}－3，1，5，9，13，17，故C 错误；对于D ：{}x |x ＝4s －3，s ∈N *且s ≤5＝{}1，5，9，13，17，故D 正确.12.某班有46名学生，有围棋爱好者22人，足球爱好者27人，同时爱好这两项的最多人数为x ，最少人数为y ，则x －y ＝( )A.22B.21C.20D.19解析：选D.如图，设集合A ，B 分别表示围棋爱好者，足球爱好者，全班学生组成全集U ，A ∩B 就是两者都爱好的，要使A ∩B 中人数最多，则A ⊆B ，x ＝22，要使A ∩B 中人数最少，则A ∪B ＝U ，即22＋27－y ＝46，解得y ＝3，所以x －y ＝22－3＝19.13.已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|＜3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)＜0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________.解析：A ＝{x ∈R ||x ＋2|＜3}＝{x ∈R |－5＜x ＜1}， 由A ∩B ＝(－1，n )，可知m ＜2， 则B ＝{x |m ＜x ＜2}，画出数轴， 可得m ＝－1，n ＝1.答案：－1 114.定义集合P ＝{p |a ≤p ≤b }的“长度”是b －a ，其中a ，b ∈R .已知集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫m ≤x ≤m ＋12，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫n －35≤x ≤n ，且M ，N 都是集合{x |1≤x ≤2}的子集，那么集合M ∩N的“长度”的最小值是________.解析：因为集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪m ≤x ≤m ＋12，所以集合M 的长度为12，因为集合N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪n －35≤x ≤n ，所以集合N 的长度为35，因为M ，N 都是集合{x |1≤x ≤2}的子集，所以m 最小为1，n 最大为2，此时集合M ∩N 的“长度”最小，为32－75＝110.答案：110。

第4练 用好基本不等式[题型分析·高考展望] 基本不等式是解决函数值域、最值、不等式证明、参数范围问题的有效工具，在高考中经常考查，有时也会对其单独考查．题目难度为中等偏上．应用时，要注意“拆、拼、凑”等技巧，特别要注意应用条件，只有具备公式应用的三个条件时，才可应用，否则可能会导致结果错误．体验高考1．(2015·四川)如果函数f (x )＝12(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递减，那么mn 的最大值为( )A ．16B ．18C ．25 D.812答案 B解析 ①当m ＝2时，∵f (x )在[12，2]上单调递减， ∴0≤n ＜8，mn ＝2n ＜16.②m ≠2时，抛物线的对称轴为x ＝－n －8m －2. 据题意得，当m ＞2时，－n －8m －2≥2，即2m ＋n ≤12， ∵2m ·n ≤2m ＋n 2≤6， ∴mn ≤18，由2m ＝n 且2m ＋n ＝12得m ＝3，n ＝6.当m ＜2时，抛物线开口向下，据题意得，－n －8m －2≤12，即m ＋2n ≤18， ∵2n ·m ≤2n ＋m 2≤9， ∴mn ≤812， 由2n ＝m 且m ＋2n ＝18得m ＝9＞2，故应舍去．要使得mn 取得最大值，应有m ＋2n ＝18(m ＜2，n ＞8)．∴mn ＝(18－2n )n ＜(18－2×8)×8＝16，综上所述，mn 的最大值为18，故选B.2．(2015·陕西)设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．q ＝r ＞pC ．p ＝r ＜qD ．p ＝r ＞q 答案 C解析 ∵0＜a ＜b ，∴a ＋b 2＞ab ，又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p . 又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b ) ＝12ln a ＋12ln b ＝ln(ab )12＝f (ab )＝p .故p ＝r ＜q .选C.3．(2015·天津)已知a ＞0，b ＞0，ab ＝8，则当a 的值为________时，log 2a ·log 2(2b )取得最大值．答案 4解析 log 2a ·log 2(2b )＝log 2a ·(1＋log 2b )≤⎝⎛⎭⎪⎫log 2a ＋1＋log 2b 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2ab ＋122 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 28＋122＝4， 当且仅当log 2a ＝1＋log 2b ，即a ＝2b 时，等号成立，此时a ＝4，b ＝2.4．(2016·江苏)在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是________．答案 8解析 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，sin A ＝sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C )，由已知，sin A ＝2sin B sin C ，∴sin(B ＋C )＝2sin B sin C .∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ，A ，B ，C 全为锐角，两边同时除以cos B cos C 得：tan B ＋tan C ＝2tan B tan C .又tan A ＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝tan B ＋tan C tan B tan C －1. ∴tan A (tan B tan C －1)＝tan B ＋tan C .则tan A tan B tan C －tan A ＝tan B ＋tan C ，∴tan A tan B tan C ＝tan A ＋tan B ＋tan C＝tan A ＋2tan B tan C ≥22tan A tan B tan C ， ∴tan A tan B tan C ≥22，∴tan A tan B tan C ≥8.5．(2016·上海)设a ＞0，b ＞0.若关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋y ＝1，x ＋by ＝1无解，则a ＋b 的取值范围是________．答案 (2，＋∞)解析 由已知，ab ＝1，且a ≠b ，∴a ＋b ＞2ab ＝2.高考必会题型题型一 利用基本不等式求最大值、最小值1．利用基本不等式求最值的注意点(1)在运用基本不等式求最值时，必须保证“一正，二定，三相等”，凑出定值是关键．(2)若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则就会出错．2．结构调整与应用基本不等式基本不等式在解题时一般不能直接应用，而是需要根据已知条件和基本不等式的“需求”寻找“结合点”，即把研究对象化成适用基本不等式的形式．常见的转化方法有：(1)x ＋bx －a ＝x －a ＋bx －a ＋a (x >a )．(2)若a x ＋b y ＝1，则mx ＋ny ＝(mx ＋ny )×1＝(mx ＋ny )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y ≥ma ＋nb ＋2abmn (字母均为正数)．例1 (1)已知正常数a ，b 满足1a ＋2b＝3，则(a ＋1)(b ＋2)的最小值是________．答案509 解析 由1a ＋2b＝3，得b ＋2a ＝3ab ， ∴(a ＋1)(b ＋2)＝2a ＋b ＋ab ＋2＝4ab ＋2，又a ＞0，b ＞0，∴1a ＋2b ≥22ab ，∴ab ≥89(当且仅当b ＝2a 时取等号)， ∴(a ＋1)(b ＋2)的最小值为4×89＋2＝509. (2)求函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x ＞－1)的最小值． 解 设x ＋1＝t ，则x ＝t －1(t ＞0)， ∴y ＝t －2＋t －＋10t＝t ＋4t ＋5≥2 t ·4t＋5＝9. 当且仅当t ＝4t，即t ＝2，且此时x ＝1时，取等号， ∴y min ＝9.点评 求条件最值问题一般有两种思路：一是利用函数单调性求最值；二是利用基本不等式．在利用基本不等式时往往都需要变形，变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的条件，即“和”或“积”为定值．等号能够取得．变式训练1 已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋5y ＝20，(1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值；(2)求1x ＋1y的最小值． 解 (1)∵x ＞0，y ＞0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，即xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.(2)∵x ＞0，y ＞0，∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020， 当且仅当5y x ＝2x y时等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝10 10－203，y ＝20－4103. ∴1x ＋1y 的最小值为7＋2 1020. 题型二 基本不等式的综合应用例2 (1)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x 8天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件答案 B 解析 平均每件产品的费用为y ＝800＋x 28x ＝800x ＋x 8≥2 800x ×x 8＝20，当且仅当800x ＝x 8，即x ＝80时取等号，所以每批应生产产品80件，才能使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小．(2)某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S 的最大允许值是多少？为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？解 设铁栅长为x 米，一侧砖墙长为y 米，则顶部面积S ＝xy ，依题设，得40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得 3 200≥2 40x ·90y ＋20xy ＝120 xy ＋20xy ＝120 S ＋20S ，则S ＋6S －160≤0，即(S －10)·(S ＋16)≤0，故0＜S ≤10，从而0＜S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，取得此最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100，解得x ＝15，即铁栅的长应设计为15米．点评 基本不等式及不等式性质应用十分广泛，在最优化实际问题，平面几何问题，代数式最值等方面都要用到基本不等式，应用时一定要注意检验“三个条件”是否具备．变式训练2 (1)已知直线ax ＋by －6＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为25，则ab 的最大值是________．答案 92解析 圆的方程变形为(x －1)2＋(y －2)2＝5，由已知可得直线ax ＋by －6＝0过圆心O (1,2)，∴a ＋2b ＝6(a ＞0，b ＞0)，∴6＝a ＋2b ≥22ab ，∴ab ≤92(当且仅当a ＝2b 时等号成立)， 故ab 的最大值为92. (2)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)．当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x－1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完． ①写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；②当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解 ①当0＜x ＜80时， L (x )＝1 000x ×0.05－(13x 2＋10x )－250＝－13x 2＋40x －250. 当x ≥80时， L (x )＝1 000x ×0.05－(51x ＋10 000x －1 450)－250 ＝1 200－(x ＋10 000x)． ∴L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －13x 2＋40x －＜x ＜， 1 200－x ＋10 000x x②当0＜x ＜80时，L (x )＝－13x 2＋40x －250. 对称轴为x ＝60，即当x ＝60时，L (x )最大＝950(万元)．当x ≥80时，L (x )＝1 200－(x ＋10 000x) ≤1 200－2 10 000＝1 000(万元)，当且仅当x ＝100时，L (x )最大＝1 000(万元)，综上所述，当x ＝100时，年获利最大．高考题型精练1．已知x ＞1，y ＞1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，则xy () A ．有最大值e B ．有最大值 eC ．有最小值eD ．有最小值 e答案 C解析 ∵x ＞1，y ＞1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，∴ln x ·ln y ＝14≤⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋ln y 22，∴ln x ＋ln y ＝ln xy ≥1⇒xy ≥e.2．若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )A.245B.285C ．5D ．6答案 C解析 方法一 由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )(15y ＋35x )＝95＋45＋3x5y ＋12y5x ≥135＋125＝5(当且仅当3x 5y ＝12y5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立)，∴3x ＋4y 的最小值是5.方法二 由x ＋3y ＝5xy 得x ＝3y5y －1，∵x ＞0，y ＞0，∴y ＞15，∴3x ＋4y ＝9y5y －1＋4y＝135＋95·15y －15＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －15 ≥135＋2 3625＝5， 当且仅当y ＝12时等号成立， ∴3x ＋4y 的最小值是5.3．若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值是( ) A ．1 B ．6C ．9D ．16答案 B解析 ∵正数a ，b 满足1a ＋1b＝1， ∴b ＝a a －1＞0，解得a ＞1.同理可得b ＞1， ∴1a －1＋9b －1＝1a －1＋9a a －1－1 ＝1a －1＋9(a －1)≥2 1a －1a －＝6， 当且仅当1a －1＝9(a －1)，即a ＝43时等号成立， ∴最小值为6.故选B.4．已知a ＞0，b ＞0，若不等式m 3a ＋b －3a －1b≤0恒成立，则m 的最大值为( ) A ．4 B ．16 C ．9 D ．3答案 B解析 因为a ＞0，b ＞0，所以由m 3a ＋b －3a －1b ≤0恒成立得m ≤(3a ＋1b )(3a ＋b )＝10＋3b a ＋3a b恒成立．因为3b a ＋3a b ≥23b a ·3a b＝6， 当且仅当a ＝b 时等号成立，所以10＋3b a ＋3a b≥16， 所以m ≤16，即m 的最大值为16，故选B.5．已知x ，y ∈(0，＋∞)，2x －3＝(12)y ，若1x ＋m y(m ＞0)的最小值为3，则m 等于( ) A ．2 B ．2 2 C ．3 D ．4答案 D解析 由2x －3＝(12)y 得x ＋y ＝3， 1x ＋m y ＝13(x ＋y )(1x ＋m y) ＝13(1＋m ＋y x ＋mx y) ≥13(1＋m ＋2m )(当且仅当y x ＝mx y时取等号) ∴13(1＋m ＋2m )＝3，解得m ＝4，故选D. 6．已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c ＞0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c的最小值是( )A ．9B ．8C ．4D ．2答案 A解析 圆x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程，得x 2＋(y －1)2＝6，所以圆心为C (0,1)，因为直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ，所以a ×0＋b ×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1.因此4b ＋1c ＝(b ＋c )(4b ＋1c)＝4c b ＋b c ＋5. 因为b ，c ＞0，所以4c b ＋b c ≥24cb ·b c＝4. 当且仅当4c b ＝b c时等号成立． 由此可得b ＝2c ，且b ＋c ＝1，即b ＝23，c ＝13时，4b ＋1c取得最小值9. 7．已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．答案 6解析 由已知得x ＝9－3y 1＋y.方法一 (消元法)∵x ＞0，y ＞0，∴0＜y ＜3，∴x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝121＋y＋3(y ＋1)－6 ≥2121＋y y ＋－6＝6，当且仅当121＋y＝3(y ＋1)， 即y ＝1，x ＝3时，(x ＋3y )min ＝6.方法二 ∵x ＞0，y ＞0,9－(x ＋3y )＝xy ＝13x ·(3y )≤13·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y 时等号成立．设x ＋3y ＝t ＞0，则t 2＋12t －108≥0，∴(t －6)(t ＋18)≥0，又∵t ＞0，∴t ≥6.故当x ＝3，y ＝1时，(x ＋3y )min ＝6.8．已知三个正数a ，b ，c 成等比数列，则a ＋cb ＋b a ＋c 的最小值为________． 答案 52解析 由条件可知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且b 2＝ac ，即b ＝ac ，故a ＋cb ≥2ac b ＝2，令a ＋c b ＝t ，则t ≥2，所以y ＝t ＋1t在[2，＋∞)上单调递增， 故其最小值为2＋12＝52. 9．已知x ，y ∈R 且满足x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则z ＝x 2＋4y 2的取值范围为________． 答案 [4,12]解析 ∵2xy ＝6－(x 2＋4y 2)，而2xy ≤x 2＋4y 22， ∴6－(x 2＋4y 2)≤x 2＋4y 22， ∴x 2＋4y 2≥4(当且仅当x ＝2y 时取等号)，又∵(x ＋2y )2＝6＋2xy ≥0，即2xy ≥－6，∴z ＝x 2＋4y 2＝6－2xy ≤12(当且仅当x ＝－2y 时取等号)，综上可知4≤x 2＋4y 2≤12.10．当x ∈(0,1)时，不等式41－x ≥m －1x 恒成立，则m 的最大值为________． 答案 9解析 方法一 (函数法)由已知不等式可得 m ≤1x ＋41－x， 设f (x )＝1x ＋41－x ＝1－x ＋4x x －x ＝3x ＋1－x 2＋x ，x ∈(0,1)．令t ＝3x ＋1，则x ＝t －13，t ∈(1,4)，则函数f (x )可转化为g (t )＝t－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132＋t －13＝t －19t 2＋59t －49＝9t －t 2＋5t －4＝9－t ＋4t＋5， 因为t ∈(1,4)，所以5＞t ＋4t≥4， 0＜－(t ＋4t )＋5≤1，9－t ＋4t ＋5≥9， 即g (t )∈[9，＋∞)，故m 的最大值为9.方法二 (基本不等式法)由已知不等式可得m ≤1x ＋41－x，因为x ∈(0,1)，则1－x ∈(0,1)，设y ＝1－x ∈(0,1)，显然x ＋y ＝1.故1x ＋41－x ＝1x ＋4y ＝x ＋y x ＋x ＋y y＝5＋(y x ＋4x y)≥5＋2y x ·4x y ＝9， 当且仅当y x ＝4x y ，即y ＝23，x ＝13时等号成立． 所以要使不等式m ≤1x ＋41－x恒成立，m 的最大值为9. 11．运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值． 解 (1)设所用时间为t ＝130x(小时)， y ＝130x ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360＋14×130x ，x ∈[50,100]． 所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是 y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50,100]．(2)y ＝2 340x ＋1318x ≥2610， 当且仅当2 340x ＝13x 18， 即x ＝1810时等号成立．故当x ＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元．12．某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．解 (1)设每件定价为t 元，依题意，有⎝ ⎛⎭⎪⎫8－t －251×0.2t ≥25×8， 整理得t 2－65t ＋1 000≤0，解得25≤t ≤40.∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．(2)依题意，x ＞25时，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋15x 有解， 等价于x ＞25时，a ≥150x ＋16x ＋15有解， ∵150x ＋16x ≥2150x ·16x ＝10(当且仅当x ＝30时，等号成立)，∴a ≥10.2， ∴当该商品明年的销售量a 至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．。

考前回扣回扣1集合与常用逻辑用语1.集合(1)集合的运算性质：①A∪B＝A⇔B⊆A；②A∩B＝B⇔B⊆A；③A⊆B⇔∁U A⊇∁U B.(2)子集、真子集个数计算公式：对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n，2n－1，2n－1，2n－2.(3)数轴和Venn图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘记集合本身和空集这两种特殊情况.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题.2.四种命题及其相互关系(1)(2)互为逆否命题的两命题同真同假.3.含有逻辑联结词的命题的真假(1)命题p∨q：若p、q中至少有一个为真，则命题为真命题，简记为：一真则真.(2)命题p∧q：若p、q中至少有一个为假，则命题为假命题，p、q同为真时，命题才为真命题，简记为：一假则假，同真则真.(3)命题綈p与命题p真假相反.4.全称命题、特称命题及其否定(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)，其否定为特称命题綈p：∃x0∈M，綈p(x0).(2)特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，其否定为全称命题綈p：∀x∈M，綈p(x).5.充分条件和必要条件(1)若p⇒q且q⇏p，则p是q的充分不必要条件；(2)若p⇏q且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件；(3)若p⇔q，则称p是q的充要条件；(4)若p⇏q且q⇏p，则称p是q的既不充分也不必要条件.1.描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素.如：{x|y＝lg x}——函数的定义域；{y|y＝lg x}——函数的值域；{(x，y)|y＝lg x}——函数图象上的点集.2.易混淆0，∅，{0}：0是一个实数；∅是一个集合，它含有0个元素；{0}是以0为元素的单元素集合，但是0∉∅，而∅⊆{0}.3.集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性.4.空集是任何集合的子集.由条件A⊆B，A∩B＝A，A∪B＝B求解集合A时，务必分析研究A ＝∅的情况.5.区分命题的否定与否命题，已知命题为“若p，则q”，则该命题的否定为“若p，则綈q”，其否命题为“若綈p，则綈q”.6.在对全称命题和特称命题进行否定时，不要忽视对量词的改变.7.对充分、必要条件问题，首先要弄清谁是条件，谁是结论.1.已知集合A＝{1，3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于()A.0或 3B.0或3C.1或 3D.1或3答案 B解析∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴m∈{1，3，m}，∴m＝1或m＝3或m＝m，由集合中元素的互异性易知m＝0或m＝3.2.设集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则a的取值范围是()A.{a|a≥2}B.{a|a≤1}C.{a|a≥1}D.{a|a≤2}答案 A解析若A⊆B，则a≥2，故选A.3.已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N等于()A.{x|－3<x<5}B.{x|－5<x<5}C.{x|x<－5或x>－3}D.{x|x<－3或x>5}答案 C解析在数轴上表示集合M、N，则M∪N＝{x|x<－5或x>－3}，故选C.4.满足条件{a }⊆A ⊆{a ，b ，c }的所有集合A 的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 D解析 满足题意的集合A 可以为{a }，{a ，b }，{a ，c }，{a ，b ，c }，共4个.5.已知集合U ＝R (R 是实数集)，A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |x 2－2x <0}，则A ∪(∁U B )等于( ) A.[－1，0] B.[1，2] C.[0，1] D.(－∞，1]∪[2，＋∞) 答案 D解析 B ＝{x |x 2－2x <0}＝(0，2)，A ∪(∁UB )＝[－1，1]∪(－∞，0]∪[2，＋∞)＝(－∞，1]∪[2，＋∞)，故选D. 6.下列命题正确的是( )(1)命题“∀x ∈R ，2x >0”的否定是“∃x 0∈R ，2x ≤0”；(2)l 为直线，α，β为两个不同的平面，若l ⊥β，α⊥β，则l ∥α； (3)给定命题p ，q ，若“p ∧q 为真命题”，则綈p 是假命题； (4)“sin α＝12”是“α＝π6”的充分不必要条件.A.(1)(4)B.(2)(3)C.(1)(3)D.(3)(4) 答案 C解析 命题“∀x ∈R ，2x >0”的否定是“∃x 0∈R ，2x ≤0”；l 为直线，α，β为两个不同的平面，若l ⊥β，α⊥β，则l ∥α或l ⊂α；给定命题p ，q ，若“p ∧q 为真命题”；则p 且q 是真命题，綈p 且綈q 是假命题；“sin α＝12”是“α＝π6”的必要不充分条件，因此(1)(3)为真，选C.7.设命题p ：∃x 0∈R ，使x 20＋2x 0＋a ＝0(a ∈R )，则使得p 为真命题的一个充分不必要条件是( )A.a >－2B.a <2C.a ≤1D.a <0 答案 D解析 设f (x )＝x 2＋2x ＋a ，则p 为真命题⇔f (x )在R 内有零点⇔Δ≥0⇔a ≤1.8.已知命题p ：在△ABC 中，若AB <BC ，则sin C <sin A ；命题q ：已知a ∈R ，则“a >1”是“1a <1”的必要不充分条件.在命题p ∧q ，p ∨ q ，(綈p )∨q ，(綈p )∧q 中，真命题的个数为( )A.1B.2C.3D.4 答案 A解析 由题意得，在△ABC 中，若AB <BC ，即c <a ，由正弦定理可得sin C <sin A ，所以p 真，又已知a ∈R ，则“a >1”是“1a <1”的充分不必要条件，所以q 假，只有p ∨q 为真命题，故选A.9.已知命题p ：∀m ∈[0，1]，x ＋1x ≥2m ，则綈p 为( )A.∀m ∈[0，1]，x ＋1x <2mB.∃m 0∈[0，1]，x ＋1x≥20mC.∃m 0∈(－∞，0)∪(1，＋∞)，x ＋1x ≥20mD.∃m 0∈[0，1]，x ＋1x <20m答案 D解析 根据全称命题与特称命题的关系，可知命题p ：∀m ∈[0，1]，x ＋1x ≥2m ，则綈p 为“∃m 0∈[0，1]，x ＋1x <20m”，故选D.10.下列结论正确的是________.(1)f (x )＝a x －1＋2(a >0，且a ≠1)的图象经过定点(1，3)； (2)已知x ＝log 23，4y ＝83，则x ＋2y 的值为3；(3)若f (x )＝x 3＋ax －6，且f (－2)＝6，则f (2)＝18； (4)f (x )＝x (11－2x －12)为偶函数； (5)已知集合A ＝{－1，1}，B ＝{x |mx ＝1}，且B ⊆A ，则m 的值为1或－1. 答案 (1)(2)(4)解析 (1)当x ＝1时，f (1)＝a 0＋2＝1＋2＝3，则函数的图象经过定点(1，3)，故(1)正确；(2)已知x ＝log 23，4y ＝83，则22y ＝83，2y ＝log 283，则x ＋2y ＝log 23＋log 283＝log 2(83×3)＝log 28＝3，故(2)正确；(3)若f (x )＝x 3＋ax －6，且f (－2)＝6，则(－2)3－2a －6＝6，即a ＝－10，则f (2)＝23－2×10－6＝－18，故(3)错误；(4)函数的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称， f (x )＝x (11－2x －12)＝x ·1＋2x 2(1－2x )，则f (－x )＝－x ·1＋2－x 2(1－2－x )＝－x ·2x ＋12(2x －1)＝x ·1＋2x2(1－2x )＝f (x )，即有f (x )为偶函数，则f (x )＝x (11－2x －12)为偶函数，故(4)正确；(5)已知集合A ＝{－1，1}，B ＝{x |mx ＝1}，且B ⊆A ，当m ＝0时，B ＝∅，也满足条件，故(5)错误，故正确的是(1)(2)(4).11.已知M 是不等式ax ＋10ax －25≤0的解集且5∉M ，则a 的取值范围是________________.答案 (－∞，－2)∪[5，＋∞)解析 若5∈M ，则5a ＋105a －25≤0，∴(a ＋2)(a －5)≤0且a ≠5，∴－2≤a ＜5，∴5∉M 时，a <－2或a ≥5.12.若三个非零且互不相等的实数a ，b ，c 满足1a ＋1b ＝2c ，则称a ，b ，c 是调和的；若满足a ＋c＝2b ，则称a ，b ，c 是等差的.若集合P 中元素a ，b ，c 既是调和的，又是等差的，则称集合P 为“好集”，若集合M ＝{x ||x |≤2 014，x ∈Z }，集合P ＝{a ，b ，c }⊆M ，则(1)“好集”P 中的元素最大值为________；(2)“好集”P 的个数为________. 答案 2 012 1 006解析 因为a ＝－2b ，c ＝4b ，若集合P 中元素a 、b 、c 既是调和的，又是等差的，则1a ＋1b ＝2c且a ＋c ＝2b ，故满足条件的“好集”为形如{－2b ，b ，4b }(b ≠0)的形式，则－2 014≤4b ≤2 014，解得－503≤b ≤503，且b ≠0，P 中元素的最大值为4b ＝4×503＝2 012.符合条件的b 值可取1 006个，故“好集”P 的个数为1 006.13.设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0；命题q ：实数x 满足x 2＋2x －8>0，若q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________. 答案 (－∞，－4]解析 由命题q ：实数x 满足x 2＋2x －8>0，得x <－4或x >2，由命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0，得(x －3a )(x －a )<0，∵a <0，∴3a <x <a ， ∵q 是p 的必要不充分条件， ∴a ≤－4，∴a ∈(－∞，－4].14.已知命题p ：⎪⎪⎪⎪1－x ＋12≤1，命题q ：x 2－2x ＋1－m 2<0(m >0)，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________. 答案 (2，＋∞)解析 ∵⎪⎪⎪⎪1－x ＋12≤1⇔－1≤x ＋12－1≤1⇔0≤x ＋12≤2⇔－1≤x ≤3，∴p ：－1≤x ≤3； ∵x 2－2x ＋1－m 2<0(m >0)⇔[x －(1－m )][x －(1＋m )]<0 ⇔1－m <x <1＋m ， ∴q ：1－m <x <1＋m . ∵p 是q 的充分不必要条件，∴[－1，3]是(1－m ，1＋m )的真子集，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－1，1＋m >3， 解得m >2.。

五、考前练透组热身题 考前热身训练(一) 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式 [学生用书(独立成册)] ．设集合＝{－－≤}，＝{．{－} ．{} ．{－，} ．{，} [解析]依题意得＝{(＋)(－)≤}＝{－≤≤}，因此∩＝{－≤<，∈}＝{－，}，选. ．对于原命题：“已知、、∈，若>，则>”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，真命题的个数为( ) ． ． ． ． [解析]原命题显然是真命题，所以逆否命题也是真命题．原命题的逆命题是“已知、、∈，若>，则>”，是假命题，因为当＝时，命题不成立，所以否命题也是假命题，所以这个命题中，真命题的个数为，选. ．“>”是“＋>”的( ) ．充分不必要条件 ．必要不充分条件 ．充要条件 ．既不充分也不必要条件 [解析]当>时，＋>， 当＋>时，(＋)>，即>或<－， 故“>”是“＋>”的充分不必要条件． ．已知函数()＝且()＝，则实数的值为( ) ．－ ． ．－或 ．－或－ [解析]由条件可知，当≥时，()＝＋＝，所以＝；当的值为－或，故选. ．已知是坐标原点，若点(，)为平面区域上的一个动点，则目标函数＝－＋的最大值是( ) ． ． ． ． [解析]作出点(，)满足的平面区域，如图所示，由图知当点为点(，)时，目标函数＝－＋取得最大值，即为－×＋×＝，故选. ．函数()＝的图象在点(，())处的切线方程是( ) ．＝(－) ．＝－ ．＝(－) ．＝－ [解析]′()＝＋，所以′()＝，又()＝，所以所求切线方程为－＝(－)，即＝(－)． ．如图，直线和圆，当从开始在平面上绕按逆时针方向匀速转动(转动角度不超过°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数，这个函数的大致图象是( )

[解析]随着时间的增加，直线被圆截得的弦长先慢慢增加到直径，再慢慢减小，所以圆内阴影部分的面积增加速度先越来越快，然后越来越慢，反映在图象上面，则先由平缓变陡，再由陡变平缓，结合图象知，选. ．若函数＝(>，且≠)的图象如图所示，则下列函数与其图象相符的是( )

专题三 高考易错点分类例析——最后的查缺补漏集合、逻辑用语、函数与导数易错点1 遗忘空集致误例1 已知A ＝{x ∈R |x <－1或x >4}，B ＝{x ∈R |2a ≤x ≤a ＋3}，若A ∪B ＝A ，则实数a 的取值范围是________． 错解 由A ∪B ＝A 知，B ⊆A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤a ＋32a >4或a ＋3<－1，解得a <－4或2<a ≤3.∴实数a 的取值范围是a <－4或2<a ≤3.错因分析 由并集定义容易知道，对于任何一个集合A ，都有A ∪∅＝A ，所以错解忽视了B ＝∅时的情况．正解 由A ∪B ＝A 知，B ⊆A .①当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤a ＋32a >4或a ＋3<－1，解得a <－4或2<a ≤3；②当B ＝∅时，由2a >a ＋3，解得a >3. 综上可知，实数a 的取值范围是a <－4或a >2.易错突破 造成本题错误的根本原因是忽视了“空集是任何集合的子集”这一性质．当题目中出现A ⊆B ，A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B 时，注意对A 进行分类讨论，即分为A ＝∅和A ≠∅两种情况讨论．补偿练习1 (1)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，B ＝{x |mx －1＝0}，若A ∩B ＝B ，则所有实数m 组成的集合是( )A ．{0，－1,2} B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，0，1 C ．{－1,2}D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12答案 A解析 当m ＝0时，B ＝∅，符合题意；当m ≠0时，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1m ，若B ⊆A ，则1m ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，∴m ＝－1或m ＝2.故m ＝0，或m ＝－1，或m ＝2.(2)已知集合A ＝{x |x 2＋(p ＋2)x ＋1＝0，p ∈R }，若A ∩R *＝∅，则实数p 的取值范围为____________． 答案 (－4，＋∞)解析 由于A ∩R *＝∅，先求A ∩R *≠∅的情况有 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝p ＋2－4≥0，－p ＋22>0，即⎩⎪⎨⎪⎧p ≥0或p ≤－4，p <－2，解得p ≤－4.故当A ∩R *＝∅时，p 的取值范围是(－4，＋∞)． 易错点2 忽视元素互异性致误例2 已知集合A ＝{1，x,2}，B ＝{1，x 2}，若A ∪B ＝A ，则x 的不同取值有________种情况．( )A ．1B ．2C ．3D ．4错解 由x 2＝2，解得x 1＝2，x 2＝－ 2. 由x 2＝x ，解得x 3＝0，x 4＝1. ∴选D.错因分析 当x ＝1时，集合A 、B 中元素不满足互异性，错解中忽视了集合中元素的互异性，导致错误． 正解 ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .∴x 2＝2或x 2＝x .由x 2＝2，解得x ＝±2，由x 2＝x ，解得x ＝0或x ＝1.当x ＝1时，x2＝1，集合A 、B 中元素不满足互异性，所以符合题意的x 为2或－2或0，共3种情况，选C.易错突破 由集合的关系求参数的值应注意元素性质的具体情况，对求出的参数值要进行验证．补偿练习2 若A ＝{1,3，x }，B ＝{x 2,1}，且A ∪B ＝{1,3，x }，则这样的x 为________．答案 ±3或0解析 由已知得B ⊆A ，∴x 2∈A 且x 2≠1. ①x 2＝3，得x ＝±3，都符合．②x 2＝x ，得x ＝0或x ＝1，而x ≠1，∴x ＝0. 综合①②，共有3个值．易错点3 忽视区间的端点致误例3 记f (x )＝ 2－x ＋3x ＋1的定义域为A ，g (x )＝lg[(x －a －1)(2a －x )] (a <1)的定义域为B .若B ⊆A ，则实数a 的取值范围是________．错解 由2－x ＋3x ＋1≥0，得x <－1或x ≥1.∴A ＝(－∞，－1)∪[1，＋∞)．由(x －a －1)(2a －x )>0得(x －a －1)(x －2a )<0. 且a <1，∴2a <x <a ＋1.∴B ＝(2a ，a ＋1)，∵B ⊆A ，∴2a >1或a ＋1<－1，∴a >12或a <－2.∴a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(－∞，－2)． 错因分析 从B ⊆A 求字母a 的范围时，没有注意临界点，区间的端点搞错．正解 ∵2－x ＋3x ＋1≥0，得x －1x ＋1≥0，∴x <－1或x ≥1，即A ＝(－∞，－1)∪[1，＋∞)． ∵(x －a －1)(2a －x )>0，得(x －a －1)(x －2a )<0. ∵a <1，∴a ＋1>2a ，∴B ＝(2a ，a ＋1)． ∵B ⊆A ，∴2a ≥1或a ＋1≤－1， 即a ≥12或a ≤－2，而a <1，∴12≤a <1或a ≤－2. 故所求实数a 的取值范围是(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1. 补偿练习3 设A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x >a }，若A B ，则a 的取值范围是__________．答案 (－∞，1]解析 因为A ⊆B 且A ≠B ，利用数轴可知：a ≤1. 易错点4 对命题否定不当致误例4 命题“若x ，y 都是奇数，则x ＋y 是偶数”的逆否命题是( )A ．若x ，y 都是偶数，则x ＋y 是奇数B ．若x ，y 都不是奇数，则x ＋y 不是偶数C ．若x ＋y 不是偶数，则x ，y 都不是奇数D ．若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是奇数 错解 C错因分析 “x ，y 都是奇数”的否定中包含三种情况：“x 是奇数，y 不是奇数”，“x 不是奇数，y 是奇数”，“x ，y 都不是奇数”，误把“x ，y 都不是奇数”作为“x ，y 都是奇数”的否定而错选C.正解 “都是”的否定是“不都是”，答案选D.易错突破 对条件进行否定时，要搞清条件包含的各种情况，全面考虑；对于和参数范围有关的问题，可以先化简再否定．补偿练习4 已知集合M ＝{x |a 2x ＋2x －3ax －1<0}，若2D ∈/M ，则实数a 的取值范围是________．答案 a ≥12解析 若2∈M ，则2a 2＋12a －1<0，即(2a －1)(2a 2＋1)<0，∴a <12，∴当2D ∈/M 时，a 的取值范围为a ≥12.易错点5 充分条件、必要条件颠倒致误例5 若p ：a ∈R ，|a |<1，q ：关于x 的二次方程x 2＋(a ＋1)x ＋a －2＝0的一个根大于零，另一个根小于零，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 错解 B错因分析 由p ⇒q 应得p 是q 的充分条件，错解颠倒了充分条件、必要条件． 正解 将两条件化简可得p ：－1<a <1，q ：a <2， 易知p ⇒q ，且qD ⇒/p ，故p 是q 的充分不必要条件，选A.易错突破 在解题时熟练运用以下几种方法即可减少失误： (1)定义法：直接利用定义进行判断；(2)逆否法(等价法)：“p ⇔q ”表示p 等价于q .要证p ⇒q ，只需证它的逆否命题綈q ⇒綈p 即可，同理要证p ⇐q ，只需证綈q ⇐綈p 即可，所以p ⇔q ，只需綈q ⇔綈p . (3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p 和结论q 都是集合，那么若p ⊆q ，则p 是q 的充分不必要条件；若p ⊇q ，则p 是q 的必要不充分条件；若p ＝q ，则p 是q 的充要条件，尤其对于数的集合，可以利用小范围的数一定在大范围中，即小⇒大，会给我们的解答带来意想不到的惊喜．(4)举反例：要说明p 是q 的不充分条件，只要找到x 0∈{x |p }，但x 0∉{x |q }即可． 补偿练习5 已知条件p ：|x ＋1|＞4，条件q ：x ＞a ，且綈p 是綈q 的充分不必要条件，则a的取值范围是( )A ．(－3，＋∞)B ．[3，＋∞)C ．(－∞，3)D ．(－∞，－3]答案 B解析 由题意知，条件p ：x ＜－5或x ＞3，条件q ：x ＞a ，所以綈p ：－5≤x ≤3，綈q ：x ≤a .因为綈p 是綈q 的充分不必要条件，所以a ≥3.易错点6 忽视函数定义域致误例6 函数y ＝log (x 2－5x ＋6)的单调递增区间为____________．错解 ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，52 错解分析 忽视了函数定义域，应加上条件x 2－5x ＋6>0. 正解 由x 2－5x ＋6>0知{x |x >3或x <2}． 令u ＝x 2－5x ＋6，则u ＝x 2－5x ＋6在(－∞，2)上是减函数，∴y ＝log (x 2－5x ＋6)的单调递增区间为(－∞，2)．易错突破 在研究函数问题时，不论什么情况，首先要考虑函数的定义域，这是研究函数的最基本原则．补偿练习6 若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A ．(12，32)B ．(1，32)C ．(12，32]D ．[1，32)答案 D解析 由题意，知函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝4x －1x，由f ′(x )＝0，解得x＝12. 所以函数f (x )在(0，12]上单调递减，在[12，＋∞)上单调递增．故有⎩⎪⎨⎪⎧0≤k －1＜12，k ＋1＞12，解得1≤k ＜32.易错点7 忽视二次项系数为0致误例7 函数f (x )＝(k －1)x 2＋2(k ＋1)x －1的图象与x 轴只有一个交点，则实数k 的取值集合是__________．错解 由题意知Δ＝4(k ＋1)2＋4(k －1)＝0. 即k 2＋3k ＝0，解得k ＝0或k ＝－3. ∴k 的取值集合是{－3,0}．错因分析 未考虑k －1＝0的情况而直接令Δ＝0求解导致失解．1212正解 当k ＝1时，f (x )＝4x －1，其图象与x 轴只有一个交点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0. 当k ≠1时，由题意得Δ＝4(k ＋1)2＋4(k －1)＝0， 即k 2＋3k ＝0，解得k ＝0或k ＝－3. ∴k 的取值集合是{－3,0,1}．易错突破 对多项式函数或方程、不等式，如果含有参数，一定首先考虑最高次项系数为0的情况．补偿练习7 函数f (x )＝mx 2－2x ＋1有且仅有一个正实数零点，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，0]∪{1}C ．(－∞，0)∪{1}D ．(－∞，1)答案 B解析 当m ＝0时，x ＝12为函数的零点；当m ≠0时，若Δ＝0，即m ＝1时，x ＝1是函数唯一的零点，若Δ≠0，显然x ＝0不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程f (x )＝mx 2－2x ＋1＝0有一个正根一个负根，即mf (0)＜0，即m ＜0.故选B. 易错点8 分段函数意义不明致误例8 已知：x ∈N *，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －5 x f x ＋x，求f (3)．错解 ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －5 x fx ＋x，∴f (x ＋2)＝(x ＋2)－5＝x －3，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －5x x －x ，∴f (3)＝3－3＝0.错因分析 没有理解分段函数的意义，f (x )＝x －5在x ≥6的前提下才成立，f (3)应代入x <6化为f (5)，进而化成f (7)．正解 ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －5x f x ＋ x ，∴f (3)＝f (3＋2)＝f (5)＝f (5＋2)＝f (7)＝7－5＝2.补偿练习8 定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2－x ，x ≤0f x －－f x －，x >0，则f (2 013)的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2答案 B解析 f (2 013)＝f (2 012)－f (2 011)＝f (2 011)－f (2 010)－f (2 011)＝－f (2 010)＝f (2 007)＝f (3)＝－f (0)＝0.易错点9 函数单调性考虑不周致误例9 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋1，x ≥0，a 2－ax，x <0在(－∞，＋∞)上单调，则a 的取值范围是________．错解 (－∞，1)∪(1，＋∞)错因分析 忽视了函数在定义域分界点上函数值的大小．正解 若函数在R 上单调递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧a <0，a 2－1>0，a 2－0≥1，解之得a ≤－2；若函数在R 上单调递增，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－1>0，a 2－0≤1，解得1<a ≤2，故a 的取值范围是(－∞，－2]∪(1，2]．易错突破 分段函数的单调性不仅要使函数在各个段上具有单调性，还要考虑分界点上函数值大小．补偿练习9 已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 答案 A解析 f (x )是偶函数，其图象关于y 轴对称， 又f (x )在[0，＋∞)上递增，∴f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13⇔|2x －1|<13⇔13<x <23. 易错点10 混淆“过点”与“切点”致误例10 求过曲线y ＝x 3－2x 上的点(1，－1)的切线方程．错解 ∵y ′＝3x 2－2， ∴k ＝y ′|x ＝1＝3×12－2＝1，∴切线方程为：y ＋1＝x －1，即x －y －2＝0.错因分析 混淆“过某一点”的切线和“在某一点处”的切线，错把(1，－1)当做切点．正解 设P (x 0，y 0)为切点，则切线的斜率为y ′|x ＝x 0＝3x 20－2.∴切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0)， 即y －(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(x －x 0)．又知切线过点(1，－1)，把它代入上述方程，得 －1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)， 整理，得(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0，解得x 0＝1，或x 0＝－12.故所求切线方程为y －(1－2)＝(3－2)(x －1)，或y －(－18＋1)＝(34－2)(x ＋12)，即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0.易错突破 过曲线上的点(1，－1)的切线与曲线的切点可能是(1，－1)，也可能不是(1，－1)．本题错误的根本原因就是把(1，－1)当成了切点．解决这类题目时，一定要注意区分“过点A 的切线方程”与“在点A 处的切线方程”的不同．虽只有一字之差，意义完全不同，“在”说明这点就是切点，“过”只说明切线过这个点，这个点不一定是切点．补偿练习10 已知曲线S ：y ＝－23x 3＋x 2＋4x 及点P (0,0)，则过点P 的曲线S 的切线方程为____________． 答案 y ＝4x 或y ＝358x解析 设过点P 的切线与曲线S 切于点Q (x 0，y 0)，则过点P 的曲线S 的切线斜率y ′|x ＝x 0＝－2x 20＋2x 0＋4，又k PQ ＝y 0x 0，所以－2x 20＋2x 0＋4＝y 0x 0，① 点Q 在曲线S 上，y 0＝－23x 30＋x 20＋4x 0，②将②代入①得－2x 20＋2x 0＋4＝－23x 20＋x 0＋4，化简得43x 20－x 0＝0，所以x 0＝0或x 0＝34，若x 0＝0，则y 0＝0，k ＝4，过点P 的切线方程为y ＝4x ； 若x 0＝34，则y 0＝10532，k ＝358，过点P 的切线方程为y ＝358x .所以过点P 的曲线S 的切线方程为y ＝4x 或y ＝358x .易错点11 函数极值点概念不清致误例11 已知f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值为10，则a ＋b ＝________.错解 －7或0错因分析 忽视了条件的等价性，“f ′(1)＝0”是“x ＝1为f (x )的极值点”的必要不充分条件．正解 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由x ＝1时，函数取得极值10，得 错误!联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3.当a ＝4，b ＝－11时，f ′(x )＝3x 2＋8x －11＝(3x ＋11)(x －1)在x ＝1两侧的符号相反，符合题意．当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3(x －1)2在x ＝1两侧的符号相同，所以a ＝－3，b ＝3不符合题意，舍去．综上可知a ＝4，b ＝－11，∴a ＋b ＝－7.易错突破 对于可导函数f (x )：x 0是极值点的充要条件是在x 0点两侧导数异号，即f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根x 0的左右的符号：“左正右负”⇔f (x )在x 0处取极大值；“左负右正”⇔f (x )在x 0处取极小值，而不仅是f ′(x 0)＝0.f ′(x 0)＝0是x 0为极值点的必要而不充分条件．对于给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑f ′(x 0)＝0，又考虑检验“左正右负”或“左负右正”，防止产生增根． 补偿练习11 已知函数f (x )＝x 44＋b 3x 3－2＋a 2x 2＋2ax 在点x ＝1处取极值，且函数g (x )＝x 44＋b 3x 3－a －12x 2－ax 在区间(a －6,2a －3)上是减函数，求实数a 的取值范围． 解 f ′(x )＝x 3＋bx 2－(2＋a )x ＋2a ， 由f ′(1)＝0，得b ＝1－a ，当b ＝1－a 时，f ′(x )＝x 3＋(1－a )x 2－(2＋a )x ＋2a ＝(x －1)(x ＋2)(x －a )，如果a ＝1，那么x ＝1就只是导函数值为0的点而非极值点，故b ＝1－a 且a ≠1.g ′(x )＝x 3＋bx 2－(a －1)x －a ＝x 3＋(1－a )x 2－(a －1)x －a ＝(x －a )(x 2＋x ＋1)．当x <a 时，g ′(x )<0，g (x )在(－∞，a )上单调递减， ∴(a －6,2a －3)⊆(－∞，a )， ∴a －6<2a －3≤a ， 故所求a 的范围为－3<a ≤3.综上可知a 的取值范围应为－3<a ≤3且a ≠1. 易错点12 导数与函数单调性关系不准致误例12 函数f (x )＝x 3－ax 2－3x 在[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．错解 (－∞，94)错因分析 求函数的单调递增区间就是解导数大于零的不等式，受此影响，容易认为函数f (x )的导数在区间[2，＋∞)上大于零，忽视了函数的导数在[2，＋∞)上个别的点处可以等于零，这样的点不影响函数的单调性． 正解 由题意，知f ′(x )＝3x 2－2ax －3，令f ′(x )≥0(x ≥2)，得a ≤32(x －1x )．记t (x )＝32(x －1x)，当x ≥2时，t (x )是增函数，所以t (x )min ＝32×(2－12)＝94，所以a ∈(－∞，94]．经检验，当a ＝94时，函数f (x )在[2，＋∞)上是增函数．补偿练习12 已知函数f (x )＝mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为__________．答案 [12，＋∞)解析 f ′(x )＝2mx ＋1x －2≥0在(0，＋∞)上恒成立，m ≥－12x 2＋1x，所以m ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 2＋1x max ，所以m ≥12. 三角函数与平面向量易错点13 忽视角的范围致误例13 已知sin α＝55，sin β＝1010，且α，β为锐角，则α＋β＝________.错解 ∵α、β为锐角，∴cos α＝1－sin 2α＝255，cos β＝1－sin 2β＝31010.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝55×31010＋255×1010＝22. 又0<α＋β<π.∴α＋β＝π4或α＋β＝34π.错因分析 错解中没有注意到sin α＝55，sin β＝1010本身对角的范围的限制，造成错解．正解 因为α，β为锐角，所以cos α＝1－sin 2α＝255，cos β＝1－sin 2β＝31010. 所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝255×31010－55×1010＝22，又因为0<α＋β<π，所以α＋β＝π4.易错突破 对三角函数的求值问题，不仅要看已知条件中角的范围，还要挖掘隐含条件，根据三角函数值缩小角的范围；本题中(0，π)中的角和余弦值一一对应，最好在求角时选择计算cos(α＋β)来避免增解．补偿练习13 已知方程x 2＋4ax ＋3a ＋1＝0 (a >1)的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则tan α＋β2的值是________． 答案 －2解析 因为a >1，tan α＋tan β＝－4a <0，tan α·tan β＝3a ＋1>0，所以tan α<0，tan β<0.又α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以α＋β∈(－π，0)， 则α＋β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0. 又tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－4a 1－a ＋＝43，又tan(α＋β)＝2tanα＋β21－tan2α＋β2＝43，整理，得2tan 2α＋β2＋3tan α＋β2－2＝0，解得tan α＋β2＝－2或tan α＋β2＝12(舍去)．易错点14 图象变换混乱致误例14 要得到y ＝sin(－3x )的图象，需将y ＝22(cos 3x －sin 3x )的图象向______平移______个单位(写出其中的一种特例即可)．错解 右 π4或右 π12错因分析 y ＝22(cos 3x －sin 3x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－3x＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12. 题目要求是由y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－3x ＋π4→y ＝sin(－3x )． 右移π4平移方向和平移量都错了；右移π12平移方向错了．正解 y ＝22(cos 3x －sin 3x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－3x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12， 要由y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12到y ＝sin(－3x )只需对x 加上π12即可， 因而是对y ＝22(cos 3x －sin 3x )向左平移π12个单位． 易错突破 函数图象的左右平移是自变量x 发生变化，如ωx →ωx ±φ(φ>0)这个变化的实质是x →x ±φω，所以平移的距离并不是φ.补偿练习14 将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π10 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π5 C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π20 答案 C解析 将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，所得函数图象的解析式为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π10；再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10.故选C.易错点15 解三角形多解、漏解致误例15 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 且a ＝1，c ＝ 3.(1)若C ＝π3，求A ；(2)若A ＝π6，求b ，c .错解 (1)在△ABC 中，a sin A ＝csin C，∴sin A ＝a sin C c ＝12，∴A ＝π6或5π6.(2)由a sin A ＝c sin C 得sin C ＝c sin A a ＝32，∴C ＝π3，由C ＝π3知B ＝π2，∴b ＝a 2＋c 2＝2.错因分析 在用正弦定理解三角形时，易出现漏解或多解的错误，如第(1)问中没有考虑c 边比a 边大，在求得sin A ＝a sin C c ＝12后，得出角A ＝π6或5π6；在第(2)问中又因为没有考虑角C 有两解，由sin C ＝c sin A a ＝32，只得出角C ＝π3，所以角B ＝π2，解得b ＝2.这样就出现漏解的错误．正解 (1)由正弦定理得asin A ＝csin C，即sin A ＝a sin C c ＝12.又a <c ，∴A <C ，∴0<A <π3，∴A ＝π6.(2)由a sin A ＝c sin C ，得sin C ＝c sin A a ＝3·sinπ61＝32，∴C ＝π3或2π3.当C ＝π3时，B ＝π2，∴b ＝2；当C ＝2π3时，B ＝π6，∴b ＝1.综上所述，b ＝2或b ＝1.易错突破 已知两边及其中一边的对角解三角形时，注意要对解的情况进行讨论，讨论的根据一是所求的正弦值是否合理，当正弦值小于等于1时，还应判断各角之和与180°的关系；二是两边的大小关系．补偿练习15 在△ABC 中，B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，求△ABC 的面积．解 由正弦定理得sin C ＝AB ·sin B AC ＝32.又因为AB >AC ，所以C ＝60°或C ＝120°.当C ＝60°时，A ＝90°，于是S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝12×23×2×1＝2 3.当C ＝120°时，A ＝30°，于是 S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝12×23×2×12＝ 3.故△ABC 的面积是23或 3. 易错点16 向量夹角定义不明致误例16 已知等边△ABC 的边长为1，则BC →·CA →＋CA →·AB →＋AB →·BC →＝________.错解 ∵△ABC 为等边三角形，∴|BC →|＝|CA →|＝|AB →|＝1，向量AB →、BC →、CA →间的夹角均为60°.∴BC →·CA →＝CA →·AB →＝AB →·BC →＝12.∴BC →·CA →＋CA →·AB →＋AB →·BC →＝32.错因分析 数量积的定义a·b ＝|a|·|b |·cos θ，这里θ是a 与b 的夹角，本题中BC →与CA →夹角不是∠C .两向量的夹角应为平面上同一起点表示向量的两条有向线段间的夹角，如图BC →与CA →的夹角应是∠ACD .正解 如图BC →与CA →的夹角应是∠ACB 的补角∠ACD ，即180°－∠ACB ＝120°. 又|BC →|＝|CA →|＝|AB →|＝1，所以BC →·CA →＝|BC →||CA →|cos 120°＝－12.同理得CA →·AB →＝AB →·BC →＝－12.故BC →·CA →＋CA →·AB →＋AB →·BC →＝－32.易错突破 在判断两向量的夹角时，要注意把两向量平移到共起点，这样才不至于判断错误．平面向量与三角函数的结合，主要是指题设条件设置在向量背景下，一旦脱去向量的“外衣”，实质上就变成纯三角问题．补偿练习16 在正三角形ABC 中，D 是边BC 上的点，AB ＝3，BD ＝1，则AB →·AD →＝________.答案 152解析 方法一 在△ABD 中，由余弦定理得AD 2＝32＋12－2×3×1×cos 60°＝7，∴AD ＝7，cos∠BAD ＝32＋72－122×3×7＝5714，∴AB →·AD →＝|AB →|·|AD →|·cos∠BAD＝3×7×5714＝152.方法二 ∵AD →＝AB →＋BD →，∴AB →·AD →＝AB →·(AB →＋BD →)＝AB →2＋AB →·BD →＝|AB →|2＋|AB →||BD →|·cos 120°＝9＋3×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝152.易错点17 忽视向量共线致误例17 已知a ＝(2,1)，b ＝(λ，1)，λ∈R ，a 与b 的夹角为θ.若θ为锐角，则λ的取值范围是__________．错解 ∵cos θ＝a·b |a|·|b |＝2λ＋15·λ2＋1. 因θ为锐角，有cos θ>0，∴2λ＋15·λ2＋1>0⇒2λ＋1>0， 得λ>－12，λ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞. 错因分析 当向量a ，b 同向时，θ＝0，cos θ＝1满足cos θ>0，但不是锐角． 正解 ∵θ为锐角，∴0<cos θ<1.又∵cos θ＝a·b |a|·|b |＝2λ＋15·λ2＋1， ∴0<2λ＋15·λ2＋1且2λ＋15·λ2＋1≠1，∴⎩⎨⎧2λ＋1>0，2λ＋1≠5·λ2＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ>－12，λ≠2.∴λ的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫λ|λ>－12且λ≠2.易错突破 在解决两向量夹角问题时，一般地，向量a ，b 为非零向量，a 与b 的夹角为θ，则①θ为锐角⇔a·b >0且a ，b 不同向；②θ为直角⇔a·b ＝0；③θ为钝角⇔a·b <0且a ，b 不反向．补偿练习17 设两个向量e 1，e 2，满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1与e 2的夹角为π3.若向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的范围． 解 ∵2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0且2t e 1＋7e 2≠λ(e 1＋t e 2)(λ<0)． 由(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0得2t 2＋15t ＋7<0，∴－7<t <－12.若2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)(λ<0)， ∴(2t －λ)e 1＋(7－t λ)e 2＝0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧2t －λ＝07－t λ＝0，即t ＝－142，∴t 的取值范围为－7<t <－12且t ≠－142.数列与不等式易错点18 运用公式“a n ＝S n －S n －1”不当致误例18 已知数列{a n }对任意的n ∈N *都满足a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝8－5n ，则数列{a n }的通项公式为________． 错解 ∵a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝8－5n ，∴a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －2a n －1＝8－5(n －1)，两式相减，得2n －1a n ＝－5，∴a n ＝－52n －1.错因分析 当n ＝1时，由题中条件可得a 1＝3，而代入错解中所得的通项公式可得a 1＝－5，显然是错误的．其原因是：两式相减时，所适用的条件是n ≥2，并不包含n ＝1的情况．只有所求的通项公式对n ＝1时也成立，才可以这样写，否则要分开写． 正解 当n ≥2时，由于a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝8－5n ，那么a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －2a n －1＝8－5(n －1)，两式对应相减可得2n －1a n ＝8－5n －[8－5(n －1)]＝－5，所以a n ＝－52n －1.而当n ＝1时，a 1＝3≠－521－1＝－5，所以数列{a n }的通项公式为 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3， n ＝1，－52n －1， n ≥2.易错突破 本题实质上已知数列{a n }的前n 项和S n ，求通项a n 与S n 的关系中，a n ＝S n －S n －1，成立的条件是n ≥2，求出的a n 中不一定包括a 1，而a 1应由a 1＝S 1求出，然后再检验a 1是否在a n 中，这是一个典型的易错点．补偿练习18 已知数列{a n }的前n 项之和为S n ＝n 2＋n ＋1，则数列{a n }的通项公式为__________．答案 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，a n ＝n 2＋n ＋1－(n －1)2－(n －1)－1＝2n ，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.易错点19 忽视等比数列公比的条件致误例19 各项均为实数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝10，S 30＝70，则S 40等于( )A ．150B ．－200C ．150或－200D ．400或－50错解 C错因分析 数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30的公比q 10>0.忽略了此隐含条件，就产生了增解－200.正解 记b 1＝S 10，b 2＝S 20－S 10，b 3＝S 30－S 20，b 4＝S 40－S 30，b 1，b 2，b 3，b 4是以公比为r ＝q 10>0的等比数列．∴b 1＋b 2＋b 3＝10＋10r ＋10r 2＝S 30＝70， ∴r 2＋r －6＝0， ∴r ＝2，r ＝－3(舍去)， ∴S 40＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＝－241－2＝150.易错突破 在等比数列中，公比的条件在使用中要注意隐含条件，S n 中q ≠1；构造新数列要注意新数列的公比和原公比的关系，如等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30的公比为q 10>0.补偿练习19 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝S 9，则数列的公比q ＝________.答案 1或－1解析 ①当q ＝1时，S 3＋S 6＝9a 1，S 9＝9a 1， ∴S 3＋S 6＝S 9成立．②当q ≠1时，由S 3＋S 6＝S 9，得a 1－q 31－q ＋a 1－q 61－q ＝a 1－q 91－q∴q 9－q 6－q 3＋1＝0，即(q 3－1)(q 6－1)＝0. ∵q ≠1，∴q 3－1≠0，∴q 6＝1，∴q ＝－1. 易错点20 数列最值意义不清致误例20 已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a n n的最小值为________．错解 233－1错因分析 忽视了n 为正整数，直接利用基本不等式求最值，要注意和函数最值的区别． 正解 a n ＝n 2－n ＋33， ∴a n n ＝n ＋33n－1.又f (x )＝x ＋33x－1(x >0)在[33，＋∞)上为增函数，在(0，33]上为减函数．又n ∈N *，f (5)＝535，f (6)＝212，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a n n min ＝f (6)＝212. 易错突破 研究数列的最值问题时，往往借助函数的思想利用导数研究数列的单调性来解决．关于正整数n 的对勾函数，使其取最值的点就是在离单调区间分界点距离最近的那两个点中取得，代入检验，便可确定最值．补偿练习20 若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n (n ＝1,2,3，…)，则数列{na n }中数值最小的项是第________项． 答案 3解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－9；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－10n －(n －1)2＋10(n －1)＝2n －11. 可以统一为a n ＝2n －11(n ∈N *) 故na n ＝2n 2－11n ，该关于n 的二次函数的对称轴是n ＝114，考虑到n 为正整数，且对称轴离n ＝3较近，故数列{na n }中数值最小的项是第3项． 易错点21 数列递推关系转化不当致误例21 已知函数f (x )＝2x x ＋1，数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1＝f (a n )，b n ＝a n 1－a n，n ∈N *，求数列{b n }的通项公式． 错解 ∵f (x )＝2x x ＋1，∴a n ＋1＝f (a n )＝2a na n ＋1，∴a n ＋1a n ＋a n ＋1－2a n ＝0，a n (a n ＋1－2)＋a n ＋1＝0. 错因分析 递推关系转化不当，无法求出b n . 正解 ∵f (x )＝2x x ＋1，∴a n ＋1＝f (a n )＝2a na n ＋1，∴1a n ＋1＝12＋12a n . ∴1a n ＋1－1＝12(1a n －1)，又b n ＝a n 1－a n ， ∴1b n ＝1a n －1，∴1b n ＋1＝12·1b n ， ∴b n ＋1＝2b n ，又b 1＝a 11－a 1＝2，∴{b n }是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴b n ＝2n.易错突破 解决递推数列问题的基本原则是根据递推数列的特征进行转化．掌握以下几类递推关系的转化，可极大地提高解题效率．①a n ＋1＝qa n ＋k 形式可用待定系数法：a n ＋1＋λ＝q (a n ＋λ)； ②a n ＋1＝ma na n ＋n形式可用取倒数法；③观察法，如a n ＋1＝2(1＋1n)2a n ⇒a n ＋1n ＋2＝2·a n n2.补偿练习21 已知数列{a n }满足a 1＝13，a n ＋1a n ＝2a n ＋1－a n ，S n 表示数列{a n }前n 项和．求证：S n <1.证明 由a 1＝13≠0，易知对于任意的n ，a n ≠0.a n ＋1a n ＝2a n ＋1－a n 可化为2a n －1a n ＋1＝1，1a n ＋1－1＝2⎝⎛⎭⎪⎫1an－1. 令b n ＝1a n－1，则b 1＝2，b n ＋1＝2b n .所以数列{b n }是首项为2，公比为2的等比数列．b n ＝1a n －1＝2n ，所以a n ＝12n ＋1，则S n ＝121＋1＋122＋1＋123＋1＋…＋12n ＋1 <121＋122＋…＋12n ＝1－12n <1.易错点22 忽视基本不等式的应用条件致误例22 函数y ＝x ＋2x －1的值域是________．错解 [22＋1，＋∞)错因分析 错解中直接使用基本不等式，而忽视了应用条件x －1>0时的情况被忽视．正解 当x >1时，y ＝x ＋2x －1＝x －1＋2x －1＋1≥2 x －2x －1＋1＝22＋1，当且仅 当x －1＝2x －1， 即x ＝1＋2时等号成立；当x <1时，－y ＝－x ＋21－x ＝1－x ＋21－x －1≥2－x21－x－1＝22－1，∴y ≤1－22； 当且仅当1－x ＝21－x ，即x ＝1－2时等号成立．∴原函数的值域为(－∞，1－22]∪[1＋22，＋∞)．易错突破 利用基本不等式求最值时，无论怎样变形，均需满足“一正，二定，三相等”的条件．本例由于忽视了x －1的正、负问题，导致结果错误．在应用基本不等式a ＋b2≥ab 时，首先应考虑a ，b 是否为正值．补偿练习22 函数f (x )＝1＋log a x (a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny－2＝0上，其中mn ＞0，则1m ＋1n的最小值为________．答案 2解析 因为log a 1＝0，所以f (1)＝1，故函数f (x )的图象恒过定点A (1,1)， 由题意，知点A 在直线mx ＋ny －2＝0上，所以，m ＋n －2＝0，即m ＋n ＝2. 而1m ＋1n ＝12(1m ＋1n )×(m ＋n ) ＝12(2＋n m ＋m n)， 因为mn ＞0，所以n m＞0，mn ＞0. 由基本不等式，可得n m ＋m n ≥2 n m ×mn＝2(当且仅当m ＝n 时等号成立)，所以1m ＋1n ＝12×(2＋n m ＋m n )≥12×(2＋2)＝2，即1m ＋1n的最小值为2.易错点23 解含参数不等式讨论不当致误 例23 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.错解 原不等式化为a (x －1a)(x －1)<0.∴当a >1时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，1.当a <1时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫1，1a .错因分析 解本题容易出现的错误是：(1)认定这个不等式就是一元二次不等式，忽视了对a ＝0时的讨论；(2)在不等式两端约掉系数a 时，若a <0，忘记改变不等号的方向； (3)忽视了对根的大小的讨论，特别是等根的讨论；(4)分类讨论后，最后对结论不进行整合．正解 当a ＝0时，不等式的解集为{x |x >1}． 当a ≠0时，不等式化为a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0.当a <0时，原不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0，不等式的解集为{x |x >1或x <1a}；当0<a <1时，1<1a ，不等式的解集为{x |1<x <1a}；当a >1时，1a <1，不等式的解集为{x |1a<x <1}；当a ＝1时，不等式的解集为∅.综上所述，当a <0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1a ∪(1，＋∞)；当a ＝0时，不等式的解集为(1，＋∞)；当0<a <1时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1a ；当a ＝1时，不等式的解集为∅； 当a >1时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，1.易错突破 解形如ax 2＋bx ＋c >0的不等式，应对系数a 分a >0，a ＝0，a <0进行讨论，还要讨论各根的大小，最后根据不同情况分别写出不等式的解集．补偿练习23 设不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为M ，如果M ⊆[1,4]，求实数a 的取值范围．解 设f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2，有Δ＝(－2a )2－4(a ＋2)＝4(a 2－a －2)． ①当Δ<0，即－1<a <2时，M ＝∅，∅⊆[1,4]； ②当Δ＝0，即a ＝－1或2时，若a ＝－1，则M ＝{－1}[1,4]，若a ＝2，则M ＝{2}⊆[1,4]；③当Δ>0，即a <－1或a >2时，设方程f (x )＝0的两根为x 1，x 2，且x 1<x 2， 那么M ＝[x 1，x 2]，则M ⊆[1,4]⇔1≤x 1<x 2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧f ，f ，1<a <4，Δ>0，解得2<a ≤187.综上，可得M ⊆[1,4]时，a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，187. 易错点24 线性规划问题最值意义不明致误 例24 设双曲线x 2－y 2＝1的两条渐近线与直线x ＝22围成的三角形区域(包含边界)为D ，点P (x ，y )为D 内的一个动点，则目标函数z ＝x －2y 的最小值为________．错解 322错因分析 没有理解线性规划中目标函数的几何意义，认为目标函数一定在最高点处取到最大值，最低点时取到最小值．正解 －22易错突破 对于线性规划问题中的目标函数z ＝ax ＋by ，可以化成y ＝－ab x ＋z b 的形式，z b是直线的纵截距，当b <0时，z 的最小值在直线最高时取得．补偿练习24 已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是______． 答案 (3,8)解析 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1<x ＋y <42<x －y <3表示的可行域(如图)，在可行域内平移直线z ＝2x －3y ，当直线经过x －y ＝2与x ＋y ＝4的 交点A (3,1)时，有z min ＝2×3－3×1＝3；当直线经过x ＋y ＝ －1与x －y ＝3的交点B (1，－2)时，有z max ＝2×1＋3×2＝8， 故z 的取值范围为(3,8)．立体几何易错点25 三视图识图不准确致误例25 已知某个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是________．错解4 0003错因分析 没有理解几何体的三视图的意义，不能正确从三视图还原成几何体，不清楚几何体中的几何关系．正解 如图所示，作几何体S －ABCD 且知平面SCD ⊥平面ABCD ， 四边形ABCD 为正方形，作SE ⊥CD 于点E ，得SE ⊥平面ABCD 且SE ＝20.∴V S －ABCD ＝13S 正方形ABCD ·SE ＝8 0003；∴这个几何体的体积是8 0003.易错突破 在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线．在还原空间几何体实际形状时一般是以正(主)视图和俯视图为主，结合侧(左)视图进行综合考虑．补偿练习25 (2013·浙江)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于________ cm 3.答案 24解析 由三视图可知，其直观图为：AB ＝4，AC ＝3，∠BAC ＝90°，∴BC ＝5.作AH ⊥BC 于H ，AH ＝AB ·AC BC ＝125.作A 1M ⊥BB 1于M ，A 1N ⊥CC 1于N .连接MN . V ＝13×(5×3)×125＋(3×4)×12×2＝24. 易错点26 线面关系定理条件把握不准致误例26 在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为DD 1、DB 的中点．(1)求证：EF ∥平面ABC 1D 1； (2)求证：EF ⊥B 1C . 错解 (1)连接BD 1，∵E 、F 分别为DD 1、DB 的中点．∴EF ∥D 1B ， ∴EF ∥平面ABC 1D 1. (2)AC ⊥BD ，又AC ⊥D 1D ， ∴AC ⊥平面BDD 1，∴EF ⊥AC .错因分析 推理论证不严谨，思路不清晰． 正解 (1)连接BD 1，如图所示，在△DD 1B 中，E 、F 分别为DD 1、DB 的中点，则EF ∥D 1B .⎭⎪⎬⎪⎫EF ∥D 1BD 1B ⊂平面ABC 1D 1EF ⊄平面ABC 1D 1 ⇒EF ∥平面ABC 1D 1.(2)ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体⇒AB ⊥面BCC 1B 1⎭⎪⎬⎪⎫⇒B 1C ⊥ABB 1C ⊥BC 1AB ，BC 1⊂平面ABC 1D 1AB ∩BC 1＝B⎭⎪⎬⎪⎫⇒B 1C ⊥平面ABC 1D 1 BD 1⊂平面ABC 1D 1⎭⎪⎬⎪⎫⇒B 1C ⊥BD 1 EF ∥BD 1⇒EF ⊥B 1C . 易错突破 证明空间线面位置关系的基本思想是转化与化归，根据线面平行、垂直关系的判定和性质，进行相互之间的转化，如本题第(2)问是证明线线垂直，但分析问题时不能只局限在线上，要把相关的线归结到某个平面上(或是把与这些线平行的直线归结到某个平面上)，通过证明线面的垂直达到证明线线垂直的目的，但证明线面垂直又要借助于线线垂直，在不断的相互转化中达到最终目的．解这类问题时要注意推理严谨，使用定理时找足条件，书写规范等．补偿练习26 如图，在四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，D 1D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，AB ＝2AD ，AD ＝A 1B 1，∠BAD ＝60°.(1)证明：AA 1⊥BD ； (2)证明：CC 1∥平面A 1BD .证明 (1)方法一 因为D 1D ⊥平面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ，所以D 1D ⊥BD . 在△ABD 中，由余弦定理，得BD 2＝AD 2＋AB 2－2AD ·AB cos∠BAD .又因为AB ＝2AD ，∠BAD ＝60°，所以BD 2＝3AD 2. 所以AD 2＋BD 2＝AB 2，所以AD ⊥BD . 又AD ∩D 1D ＝D ，所以BD ⊥平面ADD 1A 1. 又AA 1⊂平面ADD 1A 1，所以AA 1⊥BD .方法二 因为DD 1⊥平面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ， 所以BD ⊥D1D .如图，取AB 的中点G ，连接DG . 在△ABD 中，由AB ＝2AD ， 得AG ＝AD .又∠BAD ＝60°，所以△ADG 为等边三角形， 所以GD ＝GB ，故∠DBG ＝∠GDB . 又∠AGD ＝60°，所以∠GDB ＝30°，所以∠ADB ＝∠ADG ＋∠GDB ＝60°＋30°＝90°， 所以BD ⊥AD .又AD ∩D 1D ＝D ，所以BD ⊥平面ADD 1A 1. 又AA 1⊂平面ADD 1A 1，所以AA 1⊥BD . (2)如图，连接AC 、A 1C 1.设AC ∩BD ＝E ，连接EA 1.因为四边形ABCD 为平行四边形，所以EC ＝12AC .由棱台的定义及AB ＝2AD ＝2A 1B 1 知，A 1C 1∥EC 且A 1C 1＝EC ，所以四边形A 1ECC 1为平行四边形，因此CC 1∥EA 1. 又因为EA 1⊂平面A 1BD ，CC 1⊄平面A 1BD ， 所以CC 1∥平面A 1BD .易错点27 空间向量概念不清致误例27 在△ABC 中，已知AB →＝(2,4,0)，BC →＝(－1,3,0)，则∠ABC ＝________.错解 cos 〈AB →，BC →〉＝AB →·BC →|AB →||BC →|＝－2＋1225·10＝22.∴∠ABC ＝45°.错因分析 概念混淆，没有搞清〈AB →，BC →〉和∠ABC 的区别．正解 ∵BA →＝(－2，－4,0)，BC →＝(－1,3,0)，cos 〈BA →，BC →〉＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝2－1225·10＝－22，∴∠ABC ＝135°.易错突破 弄清向量夹角与几何图形中的角的区别与联系．在用向量表示角的时候，一定要特别注意向量的起点是否相同，以此决定二者是相等还是互补．补偿练习27 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，且a≠b ，记|a －b |＝m ，求a －b 与x 轴正方向的夹角的余弦值．解 设a －b 与x 轴正方向的夹角为θ，取x 轴上一点P ，令OP →＝(1,0,0)，则由题意可得：cos θ＝a －b OP→|a －b |·|OP →|＝a 1－b 1m， 所以a －b 与x 轴正方向的夹角的余弦值为a 1－b 1m. 易错点28 混淆空间角与两向量夹角致误例28 如图所示，四棱锥P －ABCD 中，底面四边形ABCD 是正方形，侧面PDC 是边长为a 的正三角形，且平面PDC ⊥底面ABCD ，E 为PC 的中点．(1)求异面直线PA 与DE 所成角的余弦值； (2)求AP 与平面ABCD 所成角的正弦值．错解 如图所示，取DC 的中点O ，连接PO ， ∵△PDC 为正三角形， ∴PO ⊥DC .又∵平面PDC ⊥平面ABCD ， ∴PO ⊥平面ABCD .建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz ，则P (0,0，32a )，A (a ，－a 2，0)，B (a ，a 2，0)，C (0，a2，0)，。