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专题16 平行四边形、矩形、菱形、正方形学校：___________姓名：___________班级：___________1.【湖南益阳2015年中考数学试卷】如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是（）A.∠ABC=90°B.AC=BDC.OA=OBD.OA=AD【答案】D【解析】考点：矩形的性质2.【2015届浙江省杭州市5月中考模拟】用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（）A．一组邻边相等的四边形是菱形B．四边相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形【答案】B.【解析】试题解析：由图形作法可知：AD=AB=DC=BC ，∴四边形ABCD 是菱形，故选：B ．考点：菱形的判定；作图—复杂作图．3.【2015届浙江省金华市外国语学校联考中考模拟】如图，在周长为20cm 的▱ABCD 中，AB ≠AD ，对角线AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥BD 交AD 于E ，则△ABE 的周长为（ ）A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm【答案】D ．【解析】考点：1． 线段垂直平分线的性质；2．平行四边形的性质．4.【黑龙江绥化2015年中考数学试卷】如图□ABCD 的对角线AC,BD 交于点O ,AE 平分∠BAD 交BC 于点E ,且∠ADC=600，AB=21BC ,连接OE .下列 结论：①∠CAD=300 ② S □ABCD =AB •AC ③ OB=AB ④ OE=41BC 成立的个数有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】考点：1.平行四边形的性质；2.等边三角形的判定与性质；3.直角三角形的性质；4.三角形的中位线. 5.【黑龙江牡丹江2015年中考数学试题】如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AO=CO，请添加一个条件（只添一个即可），使四边形ABCD是平行四边形．【答案】BO=DO．【解析】试题分析：条件中已给出AO=CO，因为对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以只要添加BO=DO就可以了.考点：平行四边形的判定.6.【黑龙江省黑河市、齐齐哈尔市、大兴安岭2015年中考数学试题】菱形ABCD的对角线AC=6cm，BD=4cm，以AC为边作正方形ACEF，则BF长为．【答案】5cm．【解析】试题分析：∵AC=6cm，BD=4cm，∴AO=12AC=12×6=3cm，BO=12BD=12×4=2m，如图1，正方形ACEF在AC的上方时，过点B作BG⊥AF交FA的延长线于G，BG=AO=3cm，FG=AF+AG=6+2=8cm，在Rt△BFG中，BF，如图2，正方形ACEF在AC的下方时，过点B作BG⊥AF于G，BG=AO=3cm，FG=AF﹣AG=6﹣2=4cm，在Rt△BFG中，BF cm，综上所述，BF长为5cm．故答案为：5cm．考点：1．菱形的性质；2．正方形的性质；3．分类讨论．7．【2015届山东省青岛市李沧区中考一模】如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是．【解析】则AM=BC+CE=1+3=4，FM=EF﹣AB=3﹣1=2，∠AMF=90°，∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，∴∠ACD=∠GCF=45°，∴∠ACF=90°，∵H 为AF 的中点，∴CH=12AF ，在Rt △AMF 中，由勾股定理得：=∴ 考点：1.正方形的性质；2.直角三角形斜边上的中线；3.勾股定理．8．【2015届河北省邯郸市武安七中中考模拟】如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n 个矩形的面积为 ．【答案】11()4n -．【解析】考点：1.矩形的性质；2.菱形的性质．9．【2015届江苏省盐城市亭湖区新洋实验学校中考模拟】如图，将▱ABCD 的边DC 延长到点E ，使CE=DC ，连接AE ，交BC 于点F ．（1）求证：△ABF ≌△ECF ；（2）若∠AFC=2∠ABC ，连接AC 、BE ．求证：四边形ABEC 是矩形．【答案】（1）【解析】考点：1.矩形的判定；2.全等三角形的判定与性质；3.平行四边形的性质．10.【黑龙江牡丹江2015年中考数学试题】已知四边形ABCD是正方形，等腰直角△AEF的直角顶点E在直线BC上（不与点B，C重合），FM⊥AD，交射线AD于点M．（1）当点E在边BC上，点M在边AD的延长线上时，如图①，求证：AB+BE=AM；（提示：延长MF，交边BC的延长线于点H．）（2）当点E在边CB的延长线上，点M在边AD上时，如图②；当点E在边BC的延长线上，点M在边AD上时，如图③．请分别写出线段AB，BE，AM之间的数量关系，不需要证明；（3）在（1），（2）的条件下，若BE=，∠AFM=15°，则AM= ．【答案】（1）参见解析；（2）图②：AB=EB+AM，图③：BE=AM+AB；（3）3．【解析】试题解析：（1）如图①，构建全等三角形，延长MF，交边BC的延长线于点H，∵四边形ABCD是正方形，FM⊥AD，∴∠ABE=90°，∠EHF=90°，四边形ABHM为矩形，∴AM=BH=BE+EH,∵△AEF为等腰直角三角形，∴AE=EF，∠AEB+∠FEH=90°，∵∠EFH+∠FEH=90°，∴∠AEB=∠EFH（同角的余角相等），∴△AB E≌△EHF （AAS），∴AB=EH，∵AM=BH=BE+EH，∴AM=BE+AB，即AB+BE=AM；（2）同上题思路一样，找到全等三角形，利用全等三角形的性质把已知线段进行等量代换，如图②，设BC与MF交于H，∵∠AEB+∠FEH=90°，∠AEB+∠EAB=90°，∴∠FEH=∠E AB（同角的余角相等），又∵AE=FE，∠ABE=∠EHF=90°，∴△ABE≌△EHF（AAS），∴AB=EH=EB+BH,又BH=AM；∴AB=EB+AM.如图③，设BC与MF交于H，∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠HEF=90°，∴∠BAE=∠HEF（同角的余角相等），在△ABE与△EHF中，∵∠ABE=∠EHF=90°，AE=EF，∴△ABE≌△EHF （AAS），∴AB=EH，∵BH=AM，∴BE=BH+EH=AM+EH=AM+AB，即BE=AM+AB；（3）根据（1）（2)图形进行分类讨论：如图①，∵∠AFM=15°，∠AFE=45°，∴∠EFM=45°＋15°=60°，∴∠EFH=180°-60°=120°，在△EFH中，∵∠FHE=90°，∠EFH=120°，这与三角形内角和定理矛盾，∴此情况不存在；如图②，∵∠AFM=15°，考点：1.矩形与正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.等腰直角三角形的性质；4.锐角三角函数.。
浙江省2016年中考数学总复习全程考点训练20 矩形、菱形和正方形（含解析）编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（浙江省2016年中考数学总复习全程考点训练20 矩形、菱形和正方形（含解析））的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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全程考点训练20 矩形、菱形和正方形一、选择题1．下列关于矩形的说法中，正确的是(D）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相平分的四边形是矩形C．矩形的对角线互相垂直且平分D．矩形的对角线相等且互相平分(第2题)2．如图，在矩形ABCD中,对角线AC，BD交于点O。
已知∠AOB＝60°，AC＝16，则图中长为8的线段有(D）A．2条 B．4条C．5条 D．6条【解析】OA＝OC＝OB＝OD＝AB＝CD＝8.3．如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示的方式摆放，点A1，A2,…，A n分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（B)（第3题)A．n B．n－1C.错误!错误! D。
错误!n【解析】由题意可得，每两个相邻的正方形重叠部分（阴影部分)的面积等于正方形面积的错误!，即错误!×22＝1，∴n个正方形重叠部分（阴影部分）的面积之和为：1×（n－1）＝n－1.故选B。
4．若顺次连结四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是（C)A．矩形B．等腰梯形C．对角线相等的四边形D．对角线互相垂直的四边形【解析】如解图．根据题意，得四边形EFGH是菱形，E,F，G，H分别是边AD，AB,BC，CD的中点，（第4题解）∴EF＝FG＝GH＝EH，BD＝2EF，AC＝2FG，∴BD＝AC.∴原四边形一定是对角线相等的四边形．故选C.5．如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH(不重叠,无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14 cm2，四边形ABCD的面积是11 cm2，则①②③④四个平行四边形周长的和为（A）A．48 cm B．36 cmC．24 cm D．18 cm【解析】由已知得S菱形EFGH＝S四边形ABCD＋错误!（S①＋S②＋S③＋S④)＝18。
专题16 平行四边形、矩形、菱形、正方形学校：___________姓名：___________班级：___________一、选择题：（共4个小题）1．【2015资阳】若顺次连接四边形ABCD四边的中点，得到的图形是一个矩形，则四边形ABCD一定是（）A．矩形 B．菱形 C．对角线相等的四边形 D．对角线互相垂直的四边形【答案】D．【解析】【考点定位】中点四边形．2．【2015南充】如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为3cm，则对角线AC长和BD长之比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：2D．1：3【答案】D．【解析】【考点定位】菱形的性质．3．【2015内江】如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形AB CD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A．3B．23C．26D．6【答案】B．【解析】试题分析：连接BD，与AC交于点F．∵点B与D关于AC对称，∴PD=PB，∴PD+PE=PB+PE=BE最小．∵正方形ABCD的面积为12，∴AB=23．又∵△ABE是等边三角形，∴BE=AB=23．故所求最小值为23．故选B．【考点定位】1．轴对称-最短路线问题；2．最值问题；3．正方形的性质．4．【2015攀枝花】如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE=DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．给出如下几个结论：①△AED ≌△DFB ；②S 四边形BCDG =232CG ；③若AF =2DF ，则BG =6GF ；④CG 与BD 一定不垂直；⑤∠BGE 的大小为定值． 其中正确的结论个数为（ ）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B．【解析】③过点F 作FP ∥AE 于P 点（如图2），∵AF =2FD ，∴FP ：AE =DF ：DA =1：3，∵AE =DF ，AB =AD ，∴BE =2AE ，∴FP ：BE =FP ：12AE =1：6，∵FP ∥AE ，∴PF ∥BE ，∴FG ：BG =FP ：BE =1：6，即BG =6GF ，故本选项正确； ④当点E ，F 分别是AB ，AD 中点时（如图3），由（1）知，△ABD ，△BDC 为等边三角形，∵点E ，F 分别是AB ，AD 中点，∴∠BDE =∠DBG =30°，∴DG =BG ，在△GDC 与△BGC 中，∵DG =BG ，CG =CG ，CD =CB ，∴△GDC ≌△BGC ，∴∠DCG =∠BCG ，∴CH ⊥BD ，即CG ⊥BD ，故本选项错误；⑤∵∠BGE =∠BDG +∠DBF =∠BDG +∠GDF =60°，为定值，故本选项正确；综上所述，正确的结论有①③⑤，共3个，故选B．【考点定位】四边形综合题．二、填空题：（共4个小题）5．【2015成都】如图，在平行四边形ABCD 中，AB =13，AD =4，将平行四边形ABCD 沿AE 翻折后，点B 恰好与点C 重合，则折痕AE 的长为________．【答案】3．【解析】【考点定位】1．翻折变换（折叠问题）；2．勾股定理；3．平行四边形的性质．6．【2015凉山州】菱形ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B （2，0），∠DOB =60°，点P 是对角线OC 上一个动点，E （0，﹣1），当EP +BP 最短时，点P 的坐标为 ．【答案】（33-，23-）．【解析】试题分析：连接ED ，如图，【考点定位】1．菱形的性质；2．坐标与图形性质；3．轴对称-最短路线问题；4．动点型．7．【2015成都】已知菱形1111A B C D 的边长为2，111A B C =60°，对角线11A C ，11B D 相交于点O ．以点O 为坐标原点，分别以1OA ，1OB 所在直线为x 轴、y 轴，建立如图所示的直角坐标系．以11B D 为对角线作菱形1212B C D A ∽菱形1111A B C D ，再以22A C 为对角线作菱形2222A B C D ∽菱形1212B C D A ，再以22B D 为对角线作菱形2323B C D A ∽菱形2222A B C D ，…，按此规律继续作下去，在x 轴的正半轴上得到点1A ，2A ，3A ，．．．．．．，n A ，则点n A 的坐标为________．【答案】（3n－1，0）．【解析】【考点定位】1．相似多边形的性质；2．菱形的性质；3．规律型．8．【2015内江】如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，O是EG的中点，∠EGC的平分线GH过点D，交BE于点H，连接OH，FH，EG与FH交于点M，对于下面四个结论：①GH⊥BE；②HO 12BG；③S正方形ABCD：S正方形ECGF=1：2；④EM：MG=1：（12），其中正确结论的序号为．【答案】①②④．【解析】试题分析：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC =DC ，∠BCE =90°，同理可得CE =CG ，∠DCG =90°，在△BCE 和△DCG 中，∵BC =DC ，∠BCE =∠DCG =90°，CE =CG ，∴△BCE ≌△DCG ，∴∠BEC =∠DGC ，∵∠EDH =∠CDG ，∠DGC +∠CDG =90°，∴∠EDH +∠BEC =90°，∴∠EHD =90°，∴GH ⊥BE ，则故①正确；在△BGH 和△EGH 中，∵∠EHG =∠BHG ，HG =HG ，∠EGH =∠BGH ，∴△BGH ≌△EGH ，∴BH =EH ，又∵O 是EG 的中点，∴HO 12BG ，故②正确； 设EC 和OH 相交于点N ．设HN =a ，则BC =2a ，设正方形ECGF 的边长是2b ，则NC =b ，CD =2a ，∵OH ∥BC ，∴△DHN ∽△DGC ，∴DN HN DC CG =，即222b a a a b-=，即2220a ab b +-=，解得：(12)a b =-+或(12)a b =--（舍去），则21a b=-，则S 正方形ABCD ：S 正方形ECGF =2(21)-=322-，故③错误；∵EF ∥OH ，∴△EFM ∽△OMH ，∴2EM EF b OM OH a b ==+，∴23EM b OE a b =+，3EM b EG a b =+，∴2EM b MG a b =+=(21)2b b -+=21+=1:(21)+．故④正确． 故正确的是①②④．故答案为：①②④．【考点定位】四边形综合题．三、解答题：（共2个小题）9．【2015眉山】如图，在矩形ABCD 中，E 是AB 边的中点，沿EC 对折矩形ABCD ，使B 点落在点P 处，折痕为EC ，连结AP 并延长AP 交CD 于F 点，（1）求证：四边形AECF 为平行四边形；（2）若△AEP 是等边三角形，连结BP ，求证：△APB ≌△EPC ；（3）若矩形ABCD 的边AB =6，BC =4，求△CPF 的面积．【答案】（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析；（3）42 25．【解析】试题分析：（1）由折叠的性质得到BE=PE，EC⊥PB，根据E为AB中点，得到AE=PE，利用等角对等边得到两对角相等，利用外角性质得到∠AEP=2∠EPB，设∠EPB=x，则∠AEP=2x，表示出∠APE，由∠APE+∠EPB得到∠APB为90°，进而得到AF与EC平行，再由AE与FC平行，利用两对边平行的四边形为平行四边形即可得证；（2）∵△AEP为等边三角形，∴∠BAP=∠AEP=60°，AP=AE=EP=EB，∵∠PEC=∠BEC，∴∠P EC=∠BEC=60°，∵∠BAP+∠ABP=90°，∠ABP+∠BEQ=90°，∴∠BAP=∠BEQ，在△ABP和△EBC中，∵∠APB=∠EBC=90°，∠BAP=∠BEQ，AP=EB，∴△ABP≌△EBC（AAS），∵△EBC ≌△EPC，∴△ABP≌△EPC；（3）过P作PM⊥DC，交DC于点M，在Rt△EBC中，EB=3，BC=4，根据勾股定理得：EC=2234+=5，∵S△EBC=12EB•BC=12EC•BQ，∴BQ=345⨯=125，由折叠得：BP=2BQ=245，在Rt△ABP中，AB=6，BP=245，根据勾股定理得：AP=22AB BP-=185，∵四边形AECF为平行四边形，∴AF =EC =5，FC =AE =3，∴PF =1855-=75，∵PM ∥AD ，∴PF PM AF AD =，即7554PM =，解得：PM =2825，则S △PFC =12FC •PM =1283225⨯⨯=4225．【考点定位】1．四边形综合题；2．翻折变换（折叠问题）．10．【2015甘孜州】已知E ，F 分别为正方形ABCD 的边BC ，CD 上的点，AF ，DE 相交于点G ，当E ，F 分别为边BC ，CD 的中点时，有：①AF =DE ；②AF ⊥DE 成立．试探究下列问题：（1）如图1，若点E 不是边BC 的中点，F 不是边CD 的中点，且CE =DF ，上述结论①，②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”），不需要证明）（2）如图2，若点E ，F 分别在CB 的延长线和DC 的延长线上，且CE =DF ，此时，上述结论①，②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）如图3，在（2）的基础上，连接AE 和BF ，若点M ，N ，P ，Q 分别为AE ，EF ，FD ，AD 的中点，请判断四边形MNPQ 是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并证明你的结论．【答案】（1）成立；（2）成立，理由见试题解析；（3）正方形，证明见试题解析．【解析】（3）设MQ，DE分别交AF于点G，O，PQ交DE于点H，因为点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，可得MQ=PN=12DE，PQ=MN=12AF，MQ∥DE，PQ∥AF，然后根据AF=DE，可得四边形MNPQ是菱形，又因为AF⊥DE即可证得四边形MNPQ是正方形．试题解析：（1）上述结论①，②仍然成立，理由是：∵四边形ABCD为正方形，∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°，在△ADF和△DCE中，∵DF=CE，∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴AF=DE，∠DAF=∠CDE，∵∠ADG+∠E DC=90°，∴∠ADG+∠DAF=90°，∴∠AGD=90°，即AF⊥DE；（2）上述结论①，②仍然成立，理由是：∵四边形ABCD为正方形，∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°，在△ADF和△DCE中，∵DF=CE，∠A DC=∠BCD=90°，AD=CD，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴AF=DE，∠E=∠F，∵∠ADG+∠EDC=90°，∴∠ADG+∠DAF=90°，∴∠AGD=90°，即AF⊥DE；【考点定位】1．四边形综合题；2．存在型；3．探究型．。
中考数学总复习《矩形、菱形、正方形》专题测试卷及答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________A组·考点过关1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABD=60∘，AB=2则AC的长为（）第1题图A．6 B．5 C．4 D．32．顺次连接矩形四边中点得到的四边形是（）A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形3．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E为边BC的中点，连接OE.若AC=6，BD=8，则OE的长为（）第3题图C．3 D．4A．2 B．524．在菱形ABCD中AC=6，BD=8，则菱形ABCD的面积为__.5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件：____________________________，使得菱形ABCD为正方形.第5题图6．如图，两张宽度均为3cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60∘，则重合部分构成的四边形ABCD的周长为________cm.第6题图7．如图，四边形ABCD是矩形，点E和点F在边BC上，且BE=CF，求证：AF=DE.8．如图，点O是▱ABCD对角线的交点，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F.（1）求证：△ODE≅△OBF；（2）当EF⊥BD时DE=15cm，分别连接BE，DF.求此时四边形BEDF的周长. B组·素养提升9．[2024常州]如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线分别交边AB，CD 于点E，F.若AD=8，BE=10，则tan∠ABD=________.10．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABC=90∘.（1）求证：AC=BD；（2）点E在BC边上，满足∠CEO=∠COE.若AB=6，BC=8，求CE的长及tan∠CEO的值.11．如图，在正方形ABCD中，点G是对角线BD上的一点（与点B，D不重合）GE⊥CD，GF⊥BC，E，F分别为垂足.连接EF，AG，并延长AG交EF于点H.（1）求证：∠DAG=∠EGH；（2）判断AH与EF是否垂直，并说明理由.参考答案A组·考点过关1．C 2．B 3．B4．245．AC=BD（答案不唯一）6．8√37．证明：∵四边形ABCD为矩形∴AB=CD，∠B=∠C=90∘.∵BE=CF∴BE+EF=CF+EF即BF=CE.在△ABF和△DCE中{AB=CD,∠B=∠C,BF=CE,∴△ABF≅△DCE(SAS)∴AF=DE.8．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD//CB ∴∠OED=∠OFB.∵点O是▱ABCD对角线的交点∴OD=OB.在△ODE和△OBF中{∠OED=∠OFB,∠DOE=∠BOF, OD=OB,∴△ODE≅△OBF(AAS).（2）解：连接BE，DF，如答图.第8题答图由（1）得△ODE≌△OBF∴DE=BF.∵DE//BF∴四边形BEDF是平行四边形.∵EF⊥BD∴四边形BEDF是菱形∴DF=BF=BE=DE=15cm∴DF+BF+BE+DE=4DE=4×15=60(cm)∴四边形BEDF的周长为60cm.B组·素养提升9．1210．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∠ABC=90∘∴四边形ABCD是矩形∴AC=BD.（2）作OH⊥BC于点H，则∠OHE=∠OHC=90∘，如答图.第10题答图∵∠ABC=90∘，AB=6，BC=8∴AC=√AB2+BC2=√62+82=10∴OC=OA=12AC=5.∵∠CEO=∠COE∴CE=OC=5.∵OC=OA=12AC，OB=OD=12BD且AC=BD∴OC=OB∴HC=HB=12BC=4∴EH=CE−HC=5−4=1.∵OHHC=ABBC=tan∠ACB∴OH=ABBC⋅HC=68×4=3∴tan∠CEO=OHEH=31=3∴CE的长为5，tan∠CEO的值为3.11．（1）证明：在正方形ABCD中AD⊥CD，GE⊥CD∴AD//GE∴∠DAG=∠EGH.（2）解：AH⊥EF，理由如下:如答图，连接GC交EF于点O.第11题答图∵BD为正方形ABCD的对角线∴∠ADG=∠CDG=45∘.又∵DG=DG，AD=CD∴△ADG≅△CDG(SAS)∴∠DAG=∠DCG.在正方形ABCD中∠ECF=90∘.又∵GE⊥CD，GF⊥BC∴四边形FCEG是矩形∴OE=OC∴∠OEC=∠OCE∴∠DAG=∠OEC.由（1）得∠DAG=∠EGH∴∠EGH=∠OEC∴∠EGH+∠GEH=∠OEC+∠GEH=∠GEC=90∘∴∠GHE=90∘即AH⊥EF.。
xx学校xx学年xx学期xx试卷姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题（每空xx 分，共xx分）试题1:已知平行四边形ABCD，AC，BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是( )A．∠BAC＝∠DCA B．∠BAC＝∠DACC．∠BAC＝∠ABD D．∠BAC＝∠ADB试题2:如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝30°，AB＝4，则OC＝( )A．5 B．4 C．3.5 D．3试题3:如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝2，∠ABC＝60°，则BD的长为( ) A．2 B．3 C.D．2评卷人得分试题4:如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是( )A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠BAC＝∠DAC试题5:下列说法：①四边相等的四边形一定是菱形；②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形；③对角线相等的四边形一定是矩形；④经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分．其中正确的有( )A．4个 B．3个 C．2个 D．1个试题6:如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF.若EF＝，BD＝2，则菱形ABCD 的面积为( )A．2 B.C．6D．8试题7:如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD＝2，DE＝2，则四边形OCED的面积( )A．2B．4 C．4D．8试题8:如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC＝2，∠AEO＝120°，则FC的长度为( )A．1 B．2 C. D.试题9:如图，矩形纸片ABCD中，AD＝4 cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点O，若AO＝5 cm，则AB的长为( )A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm试题10:如图，在△ABC中，点D是边BC上的点，(与B，C两点不重合)，过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是( )A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形试题11:如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CE＝2DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于G，连接AG、CF.下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③EG＝DE＋BG；④AG∥CF；⑤S△FGC＝3.6.其中正确结论的个数是( )A．2个B．3个C．4个D．5个试题12:在菱形ABCD中，∠A＝30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE，则∠EBC的度数为_______________________．试题13:在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD.其中正确的序号是___________．试题14:如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝10，则菱形ABCD的面积为_______．试题15:如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上一点，且FC＝2BF，连接AE，EF.若AB＝2，AD＝3，则cos∠AEF 的值是____．试题16:如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF＝2DE，连接CE，AF.(1)证明：AF＝CE；(2)当∠B＝30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．试题1答案:C试题2答案:B试题3答案:D试题4答案:C试题5答案:C试题6答案:A试题7答案:A试题8答案:A试题9答案:C试题10答案:D试题11答案:D试题12答案:45°或105°试题13答案:①③④试题14答案:30试题15答案:试题16答案:解：(1)在△ABC中，点D，E分别是边BC，AB上的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AC，DE＝AC，∵EF＝2DE，∴EF∥AC，EF＝AC，∴四边形ACEF是平行四边形，∴AF＝CE(2)当∠B＝30°时，四边形ACEF为菱形．理由：在△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝60°，AC＝AB＝AE，∴△AEC为等边三角形，∴AC＝CE，又∵四边形ACEF为平行四边形．∴四边形ACEF为菱形。
中考数学专题训练：矩形、菱形、正方形（附参考答案）1．下列命题正确的是( )A ．正方形的对角线相等且互相平分B ．对角互补的四边形是平行四边形C ．矩形的对角线互相垂直D ．一组邻边相等的四边形是菱形2．如图，D ，E ，F 分别是△ABC 各边的中点，则以下说法错误的是( )A ．△BDE 和△DCF 的面积相等B ．四边形AEDF 是平行四边形C ．若AB ＝BC ，则四边形AEDF 是菱形D ．若∠A ＝90°，则四边形AEDF 是矩形3．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，CE ，DF 交于点G ，连接AG .下列结论：①CE ＝DF ；②CE ⊥DF ；③∠AGE ＝∠CDF .其中正确的结论是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③4．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为BC 的中点，连接EO 并延长交AD 于点F ，∠ABC ＝60°，BC ＝2AB .下列结论：①AB ⊥AC ；②AD ＝4OE ；③四边形AECF 是菱形；④S △BOE ＝14S △ABC .其中正确结论的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．15．如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝9 cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝2 cm，BD，EF交于点G.若G是EF的中点，则BG的长为______cm.6．如图，在菱形ABCD中，AC，BD为菱形的对角线，∠DBC＝60°，BD＝10，点F为BC的中点，则EF的长为_____．7．已知四边形ABCD是正方形，点E在边DA的延长线上，连接CE交AB于点G，过点B作BM⊥CE，垂足为点M，BM的延长线交AD于点F，交CD的延长线于点H.(1)如图1，求证：CE＝BH；(2)如图2，若AE＝AB，连接CF，在不添加任何辅助线情况下，请直接写出图2中的四个三角形(△AEG除外)，使写出的每个三角形都与△AEG全等．8．如图，在菱形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD上的点，且BE ＝BF＝CG＝AH.若菱形的面积等于24，BD＝8，则EF＋GH＝_____．9．如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，DE＝BE，AC与BD相交于点O，BE与AC相交于点F.(1)若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC；(2)找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由；(3)若OF＝3，EF＝2，求DE的长度．10．(1)如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G.求证：△ADE∽△DCF.【问题解决】(2)如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC 到点H，使CH＝DE，连接DH.求证：∠ADF＝∠H.【类比迁移】(3)如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长．参考答案1．A 2．C 3．A 4．D5．√13 6．5 7．(1)证明略 (2)略8．6解析：如图，连接AC ，交BD 于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，BD ＝8，∴AB ＝BC ＝AD ＝CD ，AC ⊥BD ，AO ＝OC ＝12AC ，BO ＝OD ＝12BD ＝4. ∵S 菱形ABCD ＝12AC ·BD ＝24，∴AC ＝6，∴AO ＝3，∴AB ＝√AO 2+BO 2＝5＝AD .∵BE ＝BF ＝CG ＝AH ，∴AE ＝CF ＝DH ＝DG ，∴BE AE ＝BF CF ，∴EF ∥AC .同理可得GH ∥AC ，设BE ＝BF ＝CG ＝AH ＝a ，则有DH ＝5－a ，∵EF ∥AC ，∴△BEF ∽△BAC ，∴BE AB ＝EF AC ，即a 5＝EF 6，∴EF ＝65a ，同理可得DH DA ＝GH CA ，即5−a 5＝GH 6，∴GH ＝6－65a ，∴EF ＋GH ＝6.9．(1)证明略(2)与△OBF相似的三角形有△ECF，△BAF，理由略(3)DE＝3＋√1910．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠ADE＝90°，∴∠CDF＋∠DFC＝90°.∵AE⊥DF，∴∠DGE＝90°，∴∠CDF＋∠AED＝90°，∴∠AED＝∠DFC，∴△ADE∽△DCF.(2)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，AD∥BC，∠ADE＝∠DCF＝90°.∵AE＝DF，∴Rt△ADE≌Rt△DCF(HL)，∴DE＝CF.∵CH＝DE，∴CF＝CH.∵点H在BC的延长线上，∴∠DCH＝∠DCF＝90°.又∵DC＝DC，∴△DCF≌△DCH(SAS)，∴∠DFC＝∠H.∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠DFC，∴∠ADF＝∠H.(3)解：如图3，延长BC至点G，使CG＝DE＝8，连接DG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝DC，AD∥BC，∴∠ADE＝∠DCG，∴△ADE≌△DCG(SAS)，∴∠DGC＝∠AED＝60°，AE＝DG. ∵AE＝DF，∴DG＝DF，∴△DFG是等边三角形，∴FG＝DF＝11.∵CF＋CG＝FG，∴CF＝FG－CG＝11－8＝3，即CF的长为3.。
矩形的习题精一、性质1、下列性质中，矩形具有而平行四边形不一定具有的是（）A 、对边相等B 、对角相等C 、对角线相等D 、对边平行2.在矩形ABCD 中，∠AOD=130°，则∠ACB=_25度__3.已知矩形的一条对角线长是8cm 为4.矩形ABCD ---cm ，对角线是----cm5.如图所示，矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于那么DE 的长为上的中线，若∠A=35°，那么∠DBC=。
O 点，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥BD 于F. 求证：BE=CF. ACB=90度，点D 、E 分别为AC 、AB 的且∠CDF=∠A ，求证：四边形DECF10.已知:如图，在△ABC 中，∠BAC ≠90°∠ABC=2∠C ，AD ⊥AC ，交BC 或CB 的延长线D 。
试说明:DC=2AB.11、在△ABC 中，∠C=90O ，AC=BC ，AD=BD ，PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BC 于点F 。
求证：DE=DF二、判定1、下列检查一个门框是否为矩形的方法中正确的是（）A ．测量两条对角线，是否相等B ．测量两条对角线，是否互相平分C ．用曲尺测量门框的三个角，是否都是直角D ．用曲尺测量对角线，是否互相垂直2、平行四边形ABCD ，E 是CD 的中点，△ABE 是等边三角形，求证：四边形ABCD是矩形3、在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，EF 过点O ，且AF ⊥BC ，求证：四边形4、平行四边形ABCD 中，对角线AC 、PA ⊥PC ，PB ⊥PD 1，，A C 、小明错误，小亮正确D 、小明、（A C ）对角线相等（D ）对角线互相垂直3．如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论不正确的是（）A.当AB=BC 时，它是菱形；B.当AC ⊥BD 时，它是菱形；C.当∠ABC=90°时，它是矩形；D.当AC=BD 时，它是菱形。
矩形、菱形与正方形一、选择题1．矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行 B．对角线相等C．对角线互相平分D．两组对角分别相等2．如图，在△ABC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是（）A．矩形 B．菱形 C．正方形D．梯形3．如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，点M、N分别在边AD、BC上，连接BM、DN．若四边形MBND是菱形，则等于（）A．B．C．D．4．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于G，则GH=（）A． cm B． cm C． cm D． cm5．如图所示，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB=S四边形DEOF中，错误的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题6．若菱形的两条对角线分别为2和3，则此菱形的面积是．7．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB=60°，AC=10，则AB= ．8．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°），若∠1=110°，则∠α=．9．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是．10．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．其中正确的序号是（把你认为正确的都填上）．三、解答题（共40分）11．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．（1）线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．12．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．13．如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE．（1）求证：AF=BE；（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等？并说明理由．14．如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，BE=1，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分线CP于点P，交边CD于点F，（1）的值为；（2）求证：AE=EP；（3）在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．矩形、菱形与正方形参考答案与试题解析一、选择题1．矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行 B．对角线相等C．对角线互相平分D．两组对角分别相等【考点】矩形的性质；菱形的性质．【分析】根据矩形与菱形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、矩形与菱形的两组对边都分别平行，故本选项错误；B、矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故本选项正确；C、矩形与菱形的对角线都互相平分，故本选项错误；D、矩形与菱形的两组对角都分别相等，故本选项错误．故选B．【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，熟记两图形的性质是解题的关键．2．如图，在△ABC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是（）A．矩形 B．菱形 C．正方形D．梯形【考点】旋转的性质；矩形的判定．【分析】根据旋转的性质可得AE=CE，DE=EF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断出四边形ADCF是平行四边形，然后利用等腰三角形三线合一的性质求出∠ADC=90°，再利用有一个角是直角的平行四边形是矩形解答．【解答】解：∵△ADE绕点E旋转180°得△CFE，∴AE=CE，DE=EF，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AC=BC，点D是边AB的中点，∴∠ADC=90°，∴四边形ADCF是矩形．故选：A．【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的判定，主要利用了对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形的判定方法，熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键．3．如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，点M、N分别在边AD、BC上，连接BM、DN．若四边形MBND是菱形，则等于（）A．B．C．D．【考点】勾股定理；菱形的性质；矩形的性质．【分析】首先由菱形的四条边都相等与矩形的四个角是直角，即可得到直角△ABM中三边的关系．【解答】解：∵四边形MBND是菱形，∴MD=MB．∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°．设AB=x，AM=y，则MB=2x﹣y，（x、y均为正数）．在Rt△ABM中，AB2+AM2=BM2，即x2+y2=（2x﹣y）2，解得x=y，∴MD=MB=2x﹣y=y，∴==．故选：C．【点评】此题考查了菱形与矩形的性质，以及直角三角形中的勾股定理．解此题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用．4．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于G，则GH=（）A． cm B． cm C． cm D． cm【考点】菱形的性质；勾股定理；解直角三角形．【分析】先求出菱形的边长，然后利用面积的两种表示方法求出DH，在Rt△DHB中求出BH，然后得出AH，利用tan∠HAG的值，可得出GH的值．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，∴AO=4cm，BO=3cm，在Rt△AOB中，AB==5cm，∵BD×AC=AB×DH，∴DH=cm，在Rt△DHB中，BH==cm，则AH=AB﹣BH=cm，∵tan∠HAG===，∴GH=AH=cm．故选：B．【点评】本题考查了菱形的性质、解直角三角形及三角函数值的知识，注意菱形的面积等于对角线乘积的一半，也等于底乘高．5．如图所示，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB=S四边形DEOF中，错误的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】正方形的性质．【分析】根据四边形ABCD是正方形及CE=DF，可证出△ADE≌△BAF，则得到：①AE=BF，以及△ADE 和△BAF的面积相等，得到；④S△AOB=S四边形DEOF；可以证出∠ABO+∠BAO=90°，则②AE⊥BF一定成立．错误的结论是：③AO=OE．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴CD=AD∵CE=DF∴DE=AF∴△ADE≌△BAF∴AE=BF（故①正确），S△ADE=S△BAF，∠DEA=∠AFB，∠EAD=∠FBA∵S△AOB=S△BAF﹣S△AOF，S四边形DEOF=S△ADE﹣S△AOF，∴S△AOB=S四边形DEOF（故④正确），∵∠ABF+∠AFB=∠DAE+∠D EA=90°∴∠AFB+∠EAF=90°∴AE⊥BF一定成立（故②正确）．假设AO=OE，∵AE⊥BF（已证），∴AB=BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），∵在Rt△BCE中，BE＞BC，∴AB＞BC，这与正方形的边长AB=BC相矛盾，∴，假设不成立，AO≠OE（故③错误）；故错误的只有一个．故选：A．【点评】本题考查了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，全等三角形的判定与性质，综合题但难度不大，求出△ADE≌△BAF是解题的关键，也是本题的突破口．二、填空题6．若菱形的两条对角线分别为2和3，则此菱形的面积是 3 ．【考点】菱形的性质．【分析】菱形的面积是对角线乘积的一半，由此可得出结果即可．【解答】解：由题意，知：S菱形=×2×3=3，故答案为：3．【点评】本题考查了菱形的面积两种求法：（1）利用底乘以相应底上的高；（2）利用菱形的特殊性，菱形面积=×两条对角线的乘积；具体用哪种方法要看已知条件来选择．7．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB=60°，AC=10，则AB= 5 ．【考点】含30度角的直角三角形；矩形的性质．【分析】根据矩形的性质，可以得到△AOB是等边三角形，则可以求得OA的长，进而求得AB的长．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB又∵∠AOB=60°∴△AOB是等边三角形．∴AB=OA=AC=5，故答案是：5．【点评】本题考查了矩形的性质，正确理解△AOB是等边三角形是关键．8．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°），若∠1=110°，则∠α=20°．【考点】旋转的性质；矩形的性质．【分析】根据矩形的性质得∠B=∠D=∠BAD=90°，根据旋转的性质得∠D′=∠D=90°，∠4=α，利用对顶角相等得到∠1=∠2=110°，再根据四边形的内角和为360°可计算出∠3=70°，然后利用互余即可得到∠α的度数．【解答】解：如图，∵四边形ABCD为矩形，∴∠B=∠D=∠BAD=90°，∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AB′C′D′，∴∠D′=∠D=90°，∠4=α，∵∠1=∠2=110°，∴∠3=360°﹣90°﹣90°﹣110°=70°，∴∠4=90°﹣70°=20°，∴∠α=20°．故答案为：20°．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了矩形的性质．9．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是10 ．【考点】轴对称﹣最短路线问题；正方形的性质．【分析】由正方形性质的得出B、D关于AC对称，根据两点之间线段最短可知，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小，进而利用勾股定理求出即可．【解答】解：如图，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小．∵四边形ABCD是正方形，∴B、D关于AC对称，∴PB=PD，∴PB+PE=PD+PE=DE．∵BE=2，AE=3BE，∴AE=6，AB=8，∴DE==10，故PB+PE的最小值是10．故答案为：10．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，解此题通常是利用两点之间，线段最短的性质得出．10．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．其中正确的序号是①②④（把你认为正确的都填上）．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【专题】压轴题．【分析】根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180°判断②的正误；根据线段垂直平分线的知识可以判断③的正误，利用解三角形求正方形的面积等知识可以判断④的正误．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF，在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF，∵BC=DC，∴BC﹣BE=CD﹣DF，∴CE=CF，∴①说法正确；∵CE=CF，∴△ECF是等腰直角三角形，∴∠CEF=45°，∵∠AEF=60°，∴∠AEB=75°，∴②说法正确；如图，连接AC，交EF于G点，∴AC⊥EF，且AC平分EF，∵∠CAF≠∠DAF，∴DF≠FG，∴BE+DF≠EF，∴③说法错误；∵EF=2，∴CE=CF=，设正方形的边长为a，在Rt△ADF中，AD2+DF2=AF2，即a2+（a﹣）2=4，解得a=，则a2=2+，S正方形ABCD=2+，④说法正确，故答案为：①②④．【点评】本题主要考查正方形的性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的证明以及辅助线的正确作法，此题难度不大，但是有一点麻烦．三、解答题（共40分）11．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．（1）线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角边”证明△AEF和△DEC全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=CD，再利用等量代换即可得证；（2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可知∠A DB=90°，由等腰三角形三线合一的性质可知必须是AB=AC．【解答】解：（1）BD=CD．理由如下：依题意得AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE，∵E是AD的中点，∴AE=DE，在△AEF和△DEC中，，∴△AEF≌△DEC（AAS），∴AF=CD，∵AF=BD，∴BD=CD；（2）当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形．理由如下：∵AF∥BD，AF=BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵AB=AC，BD=CD（三线合一），∴∠ADB=90°，∴▱AFBD是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．12．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．【考点】菱形的判定与性质；三角形中位线定理．【分析】从所给的条件可知，DE是△ABC中位线，所以DE∥BC且2DE=BC，所以BC和EF平行且相等，所以四边形BCFE是平行四边形，又因为BE=FE，所以是菱形；∠BCF是120°，所以∠EBC为60°，所以菱形的边长也为4，求出菱形的高面积就可求．【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC且2DE=BC，又∵BE=2DE，EF=BE，∴EF=BC，EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形，又∵BE=FE，∴四边形BCFE是菱形；（2）解：∵∠BCF=120°，∴∠EBC=60°，∴△EBC是等边三角形，∴菱形的边长为4，高为2，∴菱形的面积为4×2=8．【点评】本题考查菱形的判定和性质以及三角形中位线定理，以及菱形的面积的计算等知识点．13．如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE．（1）求证：AF=BE；（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等？并说明理由．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据正方形的性质可得AB=AD，∠BAE=∠D=90°，再根据同角的余角相等求出∠ABE=∠DAF，然后利用“角边角”证明△ABE和△DAF全等，再根据全等三角形的证明即可；（2）过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，然后与（1）相同．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°，∴∠DAF+∠BAF=90°，∵AF⊥BE，∴∠ABE+∠BAF=90°，∴∠ABE=∠DAF，∵在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（ASA），∴AF=BE；（2）解：MP与NQ相等．理由如下：如图，过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形AMPF与四边形BNQE是平行四边形，∴AF=PM，BE=NQ，∵在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°，∴∠DAF+∠BAF=90°，∵AF⊥BE，∴∠ABE+∠BAF=90°，∴∠ABE=∠DAF，∵在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（ASA），∴AF=BE；∴MP=NQ．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，主要利用了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，同角的余角相等的性质，利用三角形全等证明相等的边是常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用．14．如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，BE=1，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分线CP于点P，交边CD于点F，（1）的值为；（2）求证：AE=EP；（3）在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定．【分析】（1）由正方形的性质可得：∠B=∠C=90°，由同角的余角相等，可证得：∠BAE=∠CEF，根据同角的正弦值相等即可解答；（2）在BA边上截取BK=BE，连接KE，根据角角之间的关系得到∠AKE=∠ECP，由AB=CB，BK=BE，得AK=EC，结合∠KAE=∠CEP，证明△AKE≌△ECP，于是结论得出；（3）作DM⊥AE于AB交于点M，连接ME、DP，易得出DM∥EP，由已知条件证明△ADM≌△BAE，进而证明MD=EP，四边形DMEP是平行四边形即可证出．【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠D，∵∠AEP=90°，∴∠BAE=∠FEC，在Rt△ABE中，AE==，∵sin∠BAE==sin∠FEC=，∴=，解法二：由上得∠BAE=∠FEC，∵∠BAE=∠FEC，∠B=∠DCB，∴△ABE∽△ECF，∴=，（2）证明：在BA边上截取BK=BE，连接KE，∵∠B=90°，BK=BE，∴∠BKE=45°，∴∠AKE=135°，∵CP平分外角，∴∠DCP=45°，∴∠ECP=135°，∴∠AKE=∠ECP，∵AB=CB，BK=BE，∴AB﹣BK=BC﹣BE，即：AK=EC，由第一问得∠KAE=∠CEP，∵在△AKE和△ECP中，，∴△AKE≌△ECP（ASA），∴AE=EP；（3）答：存在．证明：作DM⊥AE交AB于点M，则有：DM∥EP，连接ME、DP，∵在△ADM与△BAE中，，∴△ADM≌△BAE（ASA），∴MD=AE，∵AE=EP，∴MD=EP，∴MD EP，∴四边形DMEP为平行四边形．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及正方形的性质等知识．此题综合性很强，图形比较复杂，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的准确选择．。
初三中考数学复习矩形、菱形与正方形专项练习题1．正方形具有而菱形不一定具有的性质是()A．四条边都相等B．对角线互相垂直平分C．对角线相等D．对角线平分一组对角2．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF 的周长为()A．14B．15C．16D．173. 若矩形ABCD的邻边长分别是1，2，则BD的长是()A. 3 B． 5 C. 3 D．2 54. 在下列性质中，矩形具有而平行四边形不一定具有的是( )A．对边相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对边平行5. 如果矩形的一个内角的平分线把矩形的一边分成了3cm和5cm的两部分，则矩形的较短边长为()A．3cm B．5cm C．3cm或5cm D．以上都不对6. 如图所示，菱形ABCD中，E，F，G，H分别是菱形四边形的中点，连结EG与FH交于点O，则图中的菱形共有()A．4个B．5个C．6个D．7个7．如图所示，已知菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，若S菱形ABCD＝24，且AE＝4，则CD等于()A．12 B．8 C．6 D．28. 如图，▱ABCD的周长为16cm，AC，BD相交于点O，OE⊥AC交AD于点E，则△DCE的周长为()A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm9.已知菱形的周长为16 cm，一条对角线长为4 cm，则菱形的四个角分别为()A．30°，150°，30°，150°B．60°，120°，60°，120°C．45°，135°，45°，135°D．以上都不对10. 如图，F为正方形ABCD的边AD上一点，CE⊥CF交AB的延长线于点E，若正方形ABCD的面积为64，△CEF的面积为50，则△CBE的面积为()A．20 B．24 C．25 D．2611．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，不添加任何辅助线，请添加一个条件________，使四边形ABCD是正方形(填一个即可)．12．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD 于点F，连结EF.给出下列五个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP；⑤PD＝2EC.其中正确结论的序号是________．13．矩形的对角线相交成的角中，有一个角是60°，这个角所对的边长为20cm，则其对角线长为________，矩形的面积为________．14．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC＝4cm，BD＝8cm，则这个菱形的面积是________cm2.15．如图，矩形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，连结DE和BF，分别取DE，BF的中点M，N，连结AM，CN，MN，若AB＝22，BC＝23，则图中阴影部分的面积为________．16．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件________，使▱ABCD 是矩形．17．如图所示，在菱形ABCD中，∠C＝108°，AD的垂直平分线交对角线BD 于点P，垂足为E，连结AP，则∠APB＝________度．18．如图所示，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，E，F分别是BC，CD的中点，连结AE，EF，AF，则△AEF的周长为________．19. 如图所示，将两条宽度相同的纸条交叉重叠放在一起，则重叠部分ABCD 是________形，若纸条宽DE＝4cm，CE＝3cm，则四边形ABCD的面积为________．20. 如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上任意一点，过点E作EF⊥BC 于点F，作EG⊥CD于点G，若正方形ABCD的周长为a，则四边形EFCG的周长为________．21. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B的平分线相交于点D，过点D作DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F.求证：四边形CEDF是正方形．22. 如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC，BD的长分别为a，b，AC，BD 相交于点O.(1) 用含a，b的代数式表示菱形ABCD的面积S；(2) 若a＝3cm，b＝4cm，求菱形ABCD的面积和周长．23. 如图所示，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD 交AD的延长线于点F.请你猜想CE与CF的大小有什么关系，并说明理由．24. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是点E，F，并且DE＝DF，求证：(1)△ADE≌△CDF；(2)四边形ABCD是菱形．25. 如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，BF平分∠CBE交CD于点F.求证：BE＝CF＋AE.参考答案：1---10 CCBCC BCDBB 11. ∠BAD＝90°12．①②④⑤13．40 cm4003cm214. 1615. 2616. AO＝BO17. 7218. 3319. 菱20 cm220. a 221. 证明：过点D作DG⊥AB于点G，∵∠C＝90°，DE⊥BC，DF⊥AC，∴四边形DECF是矩形，∵BD平分∠ABC，DG⊥AB，DE⊥BC，∴DE＝DG.同理：DG＝DF，∴DE＝DF，∴四边形CEDF是正方形22. 解：(1) S＝ab(2) 菱形ABCD的面积为6 cm2，周长为10 cm23. 解：CE＝CF.理由如下：∵S菱形ABCD＝CE·AB＝CF·AD，且AD＝AB，∴CE＝CF.24. 证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，又∵DE＝DF，DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠DEA＝∠DFC＝90°，∴△ADE≌△CDF(AAS)(2)由(1)知AD＝DC，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形25. 证明：延长DC至点E′，使CE′＝AE，连结BE′，易证△ABE≌△CBE′，∴BE ＝BE′，AE＝CE′，∠CBE′＝∠ABE.再证∠BFC＝∠E′BF＝∠ABE＋∠EBF，∴BE′＝E′F，∴BE＝E′F＝CF＋CE′＝CF＋AE。
矩形菱形与正方形一、选择题1. （2016·云南省昆明市·4分）如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC分别交于点G，F，H为CG的中点，连接DE，EH，DH，FH．下列结论：①EG=DF；②∠AEH+∠ADH=180°；③△EHF≌△DHC；④若=，则3S△EDH=13S△DHC，其中结论正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】①根据题意可知∠ACD=45°，则GF=FC，则EG=EF﹣GF=CD﹣FC=DF；②由SAS证明△EHF≌△DHC，得到∠HEF=∠HDC，从而∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC=180°；③同②证明△EHF≌△DHC即可；④若=，则AE=2BE，可以证明△EGH≌△DFH，则∠EHG=∠DHF且EH=DH，则∠DHE=90°，△EHD为等腰直角三角形，过H点作HM垂直于CD于M点，设HM=x，则DM=5x，DH=x，CD=6x，则S△DHC=×HM×CD=3x2，S△EDH=×DH2=13x2．【解答】解：①∵四边形ABCD为正方形，EF∥AD，∴EF=AD=CD，∠ACD=45°，∠GFC=90°，∴△CFG为等腰直角三角形，∴GF=FC，∵EG=EF﹣GF，DF=CD﹣FC，∴EG=DF，故①正确；②∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，∴FH=CH，∠GFH=∠GFC=45°=∠HCD，在△EHF和△DHC中，，∴△EHF≌△DHC（SAS），∴∠HEF=∠HDC，∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC=∠AEF+∠ADF=180°，故②正确；③∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，∴FH=CH，∠GFH=∠GFC=45°=∠HCD，在△EHF和△DHC中，，∴△EHF≌△DHC（SAS），故③正确；④∵=，∴AE=2BE，∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，∴FH=GH，∠FHG=90°，∵∠EGH=∠FHG+∠HFG=90°+∠HFG=∠HFD，在△EGH和△DFH中，，∴△EGH≌△DFH（SAS），∴∠EHG=∠DHF，EH=DH，∠DHE=∠EHG+∠DHG=∠DHF+∠DHG=∠FHG=90°，∴△EHD为等腰直角三角形，过H点作HM垂直于CD于M点，如图所示：设HM=x，则DM=5x，DH=x，CD=6x，则S△DHC=×HM×CD=3x2，S△EDH=×DH2=13x2，∴3S△EDH=13S△DHC，故④正确；故选：D．2．（2016·山东省东营市·3分）如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边的中点，BE ⊥AC ，垂足为点F ，连接DF ，分析下列四个结论：①△AEF ∽△CAB ；②CF ＝2AF ；③DF ＝DC ；④tan ∠CAD ＝2．其中正确的结论有( )A.4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个第10题图F DA【知识点】特殊平行四边形——矩形的性质、相似三角形——相似三角形的判定与性质、锐角三角函数——锐角三角函数值的求法【答案】B.【解析】∵矩形ABCD 中，∴AD ∥BC .∴△AEF ∽△CAB ….......................①正确；∵△AEF ∽△CAB ，∴AF CF ＝AE BC ＝12，∴CF ＝2AF ……………………………②正确； 过点D 作DH ⊥AC 于点H .易证△ABF ≌△CDH (AAS ).∴AF ＝CH . ∵EF ∥DH ,∴AF FH ＝AE ED＝1.∴AF ＝FH .∴FH ＝CH . ∴DH 垂直平分CF .∴DF ＝DC . ……………………………………………③正确；第10题答案图GHF DA设EF ＝1，则BF ＝2.∵△ABF ∽△EAF .∴AF EF ＝BF AF .∴AF ＝EF •BF ＝1×2＝ 2. ∴tan ∠ABF ＝AF BF ＝22.∵∠CAD ＝∠ABF ，∴tan ∠CAD ＝tan ∠ABF ＝22.…………④错误. 故选择B.【点拨】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质，图形面积的计算，锐角三角函数值的求法，正确的作出辅助线是解本题的关键．3．（2016·山东省菏泽市·3分）在▱ABCD 中，AB=3，BC=4，当▱ABCD 的面积最大时，下列结论正确的有（ ）①AC=5；②∠A+∠C=180°；③AC ⊥BD ；④AC=BD ．A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④【考点】平行四边形的性质．【分析】当▱ABCD 的面积最大时，四边形ABCD 为矩形，得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AC=BD ，根据勾股定理求出AC ，即可得出结论．【解答】解：根据题意得：当▱ABCD 的面积最大时，四边形ABCD 为矩形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AC=BD ，∴AC==5， ①正确，②正确，④正确；③不正确；故选：B ．【点评】本题考查了平行四边形的性质、矩形的性质以及勾股定理；得出▱ABCD 的面积最大时，四边形ABCD 为矩形是解决问题的关键．4．（2016贵州毕节3分）如图，正方形ABCD 的边长为9，将正方形折叠，使顶点D 落在BC 边上的点E 处，折痕为GH ．若BE ：EC=2：1，则线段CH 的长是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【考点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）．【分析】根据折叠的性质可得DH=EH ，在直角△CEH 中，若设CH=x ，则DH=EH=9﹣x ，CE=3cm ，可以根据勾股定理列出方程，从而解出CH 的长．【解答】解：由题意设CH=xcm，则DH=EH=（9﹣x）cm，∵BE：EC=2：1，∴CE=BC=3cm∴在Rt△ECH中，EH2=EC2+CH2，即（9﹣x）2=32+x2，解得：x=4，即CH=4cm．故选（B）5．（2016海南3分）如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．75°【考点】矩形的性质；平行线的性质．【分析】首先过点D作DE∥a，由∠1=60°，可求得∠3的度数，易得∠ADC=∠2+∠3，继而求得答案．【解答】解：过点D作DE∥a，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ADC=90°，∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣60°=30°，∵a∥b，∴DE∥a∥b，∴∠4=∠3=30°，∠2=∠5，∴∠2=90°﹣30°=60°．故选C．【点评】此题考查了矩形的性质以及平行线的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．6.(2016河北3分）关于ABCD的叙述，正确的是（）A．若AB⊥BC，则是菱形B．若AC⊥BD，则ABCD是正方形C．若AC=BD，则ABCD是矩形D．若AB=AD，则ABCD是正方形答案：B解析：A项应是矩形；B项应是菱形；D项应是菱形。
一、图形的相似与位似选择题1、（2016齐河三模）如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是()A.AB=24mB. MN∥ABC.△CMN∽△CABD.CM:MA=1:2答案：D2、（2016齐河三模）如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为()A．P1 B．P2 C．P3 D．P4答案：B3、（2016泰安一模）小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m，那么小刚举起的手臂超出头顶（）A．0.5m B．0.55m C．0.6m D．2.2m【考点】相似三角形的应用；比例的性质．【专题】应用题．【分析】在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可解答． 【解答】解：设小刚举起的手臂超出头顶是xm根据同一时刻物高与影长成比例，得，x =0.5．故选：A ．4.(2016·浙江金华东区·4月诊断检测下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是（ ）答案：B5、（2016齐河三模）如图，A ，B 两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A 、B 间的距离：先在AB 外选一点C ，然后测出AC ，BC 的中点M ，N ，并测量出MN 的长为12m ，由此他就知道了A 、B 间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是( ) A.AB =24m B. MN ∥AB C.△CMN ∽△CAB D.CM :MA =1:2 答案：D6、（2016齐河三模）如图，在方格纸中，△ABC 和△EPD 的顶点均在格点上，要使△ABC ∽△EPD ，则点P 所在的格点为( )A ．P 1B ．P 2C ．P 3D ．P 4 答案：B7、（2016泰安一模）小刚身高1.7m ，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m ，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m ，那么小刚举起的手臂超出头顶（ ） A ．0.5m B ．0.55mC ．0.6mD ．2.2m【考点】相似三角形的应用；比例的性质．A ．B ．C ．D ．ACB【专题】应用题．【分析】在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可解答． 【解答】解：设小刚举起的手臂超出头顶是xm根据同一时刻物高与影长成比例，得，x =0.5．故选：A ．8．（2016·天津北辰区·一摸）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ，19ADE ABC S S ∆∆=，BC =3.6， 则DE 等于（ ） （A ）0.4 （B ）0.9 （C ）1.2 （D ） 答案：C9.（2016·天津市南开区·一模）如图，△OAB 与△OCD 是以点O 为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD =90°，CO =CD ，若B （1，0），则点C 的坐标为（ ）A ．（1，﹣2）B ．（﹣2，1） C．（） D ．（1，﹣1）【考点】位似变换；坐标与图形性质．【分析】首先利用等腰直角三角形的性质得出A 点坐标，再利用位似是特殊的相似，若两个图形△ABC 和△A ′B ′C ′以原点为位似中心，相似比是k ，△ABC 上一点的坐标是（x ，y ），则在△A ′B ′C ′中，它的对应点的坐标是（kx ，ky ）或（﹣kx ，ky ），进而求出即可． 【解答】解：∵∠OAB =∠OCD =90°，AO =AB ，CO =CD ，等腰Rt △OAB 与等腰Rt △OCD 是位似图形，点B 的坐标为（1，0）， ∴BO =1，则AO =AB=，∴A（，﹣），∵等腰Rt △OAB 与等腰Rt △OCD 是位似图形，O 为位似中心，相似比为1：2， ∴点C 的坐标为：（1，﹣1）． 故选：D ．第（6）题DCA BE【点评】此题主要考查了位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．10.（2016·天津市南开区·一模）将一副三角尺（在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =60°，在Rt △EDF 中，∠EDF =90°，∠E =45°）如图摆放，点D 为AB 的中点，DE 交AC 于点P ，DF 经过点C ，将△EDF 绕点D 顺时针方向旋转α（0°＜α＜60°），DE ′交AC 于点M ，DF ′交BC 于点N ，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】旋转的性质． 【专题】压轴题．【分析】先根据直角三角形斜边上的中线性质得CD =AD =DB ，则∠ACD =∠A =30°，∠BCD =∠B =60°，由于∠EDF =90°，可利用互余得∠CPD =60°，再根据旋转的性质得∠PDM =∠CDN =α，于是可判断△PDM ∽△CDN ，得到=，然后在Rt △PCD 中利用正切的定义得到tan ∠PCD =tan 30°=，于是可得=．【解答】解：∵点D 为斜边AB 的中点， ∴CD =AD =DB ，∴∠ACD =∠A =30°，∠BCD =∠B =60°， ∵∠EDF =90°， ∴∠CPD =60°， ∴∠MPD =∠NCD ，∵△EDF 绕点D 顺时针方向旋转α（0°＜α＜60°）， ∴∠PDM =∠CDN =α， ∴△PDM ∽△CDN ，∴=，在Rt △PCD 中，∵tan ∠PCD =tan 30°=，∴=tan 30°=．故选C ．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了相似三角形的判定与性质． 11．(2016·重庆巴南 ·一模）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在A B 、AC 边上，DE ∥B C．若=，AD =9，则AB 等于（ ） A ．10B ．11C ．12D ．16【分析】根据平行线分线段成比例定理得到=，代入计算即可得到答案．【解答】解：∵DE ∥BC ，∴==，又AD =9，∴AB =12， 故选：C ．12．(2016·山西大同 ·一模）如图所示，已知E （-4，2）和F （-1，1），以原点O 为位似中心，按比例尺2：1把△EFO 缩小，则点E 的对应点E ′的坐标为（ ） A ．（2，1）B ．（12，12） C ．（2，-1）D ．（2，1-2）答案：C13．(2016·上海普陀区·一模)如图，B D 、CE 相交于点A ，下列条件中，能推得DE ∥BC 的条件是（ ）A ．AE ：EC =AD ：DB B ．AD ：AB =DE ：BC C ．AD ：DE =AB ：BC D ．BD ：AB =AC ：EC第12题图【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据比例式看看能不能推出△ABC∽△ADE即可．【解答】解：A、∵AE：EC=AD：DB，∴=，∴都减去1得：=，∵∠BAC=∠EAD，∴△ABC∽△ADE，∴∠D=∠B，∴DE∥BC，故本选项正确；B、根据AD：AB=DE：BC不能推出△ABC∽△ADE，即不能得出内错角相等，不能推出DE∥BC，故本选项错误；C、根据AD：DE=AB：BC不能推出△ABC∽△ADE，即不能得出内错角相等，不能推出DE∥BC，故本选项错误；D、根据BD：AB=AC：EC不能推出△ABC∽△ADE，即不能得出内错角相等，不能推出DE∥BC，故本选项错误；故选A．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能理解平行线分线段成比例定理的内容是解此题的关键．14．(2016·山东枣庄·模拟)如图，在△ABC中，点D、E分别在边A B、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（）A．∠AED=∠B B．∠ADE=∠C C．=D．=【考点】相似三角形的判定．【分析】由于两三角形有公共角，则根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对A、B选项进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对C、D选项进行判断．【解答】解：∵∠DAE=∠CAB，∴当∠AED=∠B或∠ADE=∠C时，△ABC∽△AED；当= 时，△ABC∽△AE D．故选D．【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．15．(2016·上海普陀区·一模)如图，在△ABC中，D是AB的中点，DE∥BC，若△ADE的面积为3，则△ABC的面积为（）A．3 B．6 C．9 D．12【考点】相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．【分析】由平行可知△ADE∽△ABC，且=，再利用三角形的面积比等于相似比的平方可求得△ABC的面积．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵D是AB的中点，∴=，∴=（）2=，且S△ADE=3，∴=，∴S△ABC=12，故选D．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．16. (2016·陕西师大附中·模拟)如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，BD=3，AE =4，则EC 的长为（ ） A.1 B.2 C.3 D. 4【答案】B17．(2016·上海浦东·模拟)如图，△ABC 和△AMN 都是等边三角形，点M 是△ABC 的重心，那么AMNABCS S ∆∆的值为（ B ） （A ）23； （B ）13；（C ）14； （D ）49．18.（2016·河北石家庄·一模）按如图所示的方法折纸，下面结论正确的个数（ ）①∠2=90°；②∠1=∠AEC ；③△ABE ∽△ECF ；④∠BAE =∠3．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【考点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质． 【分析】根据翻折变换的性质、相似三角形的判定定理解答即可． 【解答】解：由翻折变换的性质可知，∠AEB +∠FEC =×180°=90°， 则∠AEF =90°，即∠2=90°，①正确； 由图形可知，∠1＜∠AEC ，②错误； ∵∠2=90°，∴∠1+∠3=90°，又∠1+∠BAE =90°， ∴∠BAE =∠3，④正确； ∵∠BAE =∠3，∠B =∠C =90°， ∴△ABE ∽△ECF ，③正确． 故选：C ．【点评】本题考查的是翻折变换的性质，翻折变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．19.（2016·河大附中·一模）如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，按如下步骤作图：第一步，ABCM N第17题图分别以点A.D 为圆心，以大于21AD 的长为半径在AD 两侧作 弧，交于两点M 、N ;第二步，连接MN 分别交A B 、AC 于点E 、F ;第三步，连接DE 、DF .若BE =8，ED =4，CD =3，则BD 的长是 ( )A ．4B ．6C ．8D ．12答案：B20.（2016·湖北襄阳·一模）如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC =2cm ，∠ABC =60°.若动点P 以2cm /s 的速度从B 点出发沿着B →A 的方向运动，点Q 从A 点出发沿着A →C 的方向运动，当点P 到达点A 时，点Q 也随之停止运动．设运动时间为t (s )，当△APQ 是直角三角形时，t 的值为（ ）A.34 B. 33- C. 34或33- D. 34或33-或3答案：C21. （2016·广东河源·一模）如图，已知D ，E 分别是△ABC 的AB ， AC 边上的点，,DE BC //且:ADE S △S 四边形DBCE ＝1∶8，那么:AE AC 等于( )A ．1∶9B ．1∶3C ．1∶8D ．1∶2 答案：B22. （2016·广东深圳·联考）如图，在同一时刻，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2.5米，一棵大树的影长为5米，则这棵树的高度为A ．7.8米B ．3.2米C ．2.3米D ．1.5米答案：B23.（2016·河南三门峡·一模）如图，在△ABC 中，∠C =90°，BC =3，D ，E 分别在 A B 、 AC 上，将△ADE 沿DE 翻折后，点A 正好落在点A ′处，若A ′为CE 的中点，则折痕DE 的 长为( ) A.21B. 3C. 2D. 1答案：D二、填空题1．(2016·浙江杭州萧山区·模拟)如图，已知Rt △AOB 中，∠AOB =90°，AO =5，BO =3，点E 、M 是线段AB 上的两个不同的动点（不与端点重合），分别过E 、M 作AO 的垂线，垂足分别为K 、L ．①△OEK 面积S 的最大值为；②若以OE 、OM 为边构造平行四边形EOMF ，当EM ⊥OF 时，OK +OL =．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】①根据条件证明△OBA ∽△KEA ，得到比例式，用含OK 的式子表示KE ，根据三角形的面积公式，列出关于OK 的关系式即可；②根据菱形的性质和勾股定理，利用一元二次方程根与系数的关系，求出答案． 【解答】解：①∵EK ⊥OA ，∠AOB =90°，A'ED ABC∴△OBA∽△KE A．∴=，∴，∴KE=，∴S=×OK•KE=，设OK=x，则S==﹣，∴当x=时，S有最大值，最大值为；②解：当EM⊥OF时，平行四边形EOMF为菱形，OE的取值范围为＜OE＜3，设OK=a，OL=b，由（1）得，KE=，ML=，由OE=OM得a2+[]2=b2+[]2．设y=x2+[]2=x2﹣x+9，则当x1=a，x2=b时，函数y的值相等．函数y的对称轴为直线x即=解得a+b=，即OK+OL=．故答案为：，．【点评】本题综合考查了菱形的性质、相似三角形的判定和性质、一元二次方程、二次函数的知识，综合性很强，属于较难题，需要学生有综合运用知识的能力．2．(2016·浙江镇江·模拟)在直角坐标系中有两点A(6，3)、B(6，0)．以原点O为位似中心，把线段AB按相似的1:3缩小后得到线段CD，点C在第一象限（如图），则点C的坐标为▲ ．答案：（2，1）3.（2016枣庄41中一模）如图，边长为6的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是AB上一点．点F关于直线DE的对称点G恰好在BC延长线上，FG交DE于点H．点M为AD的中点，若MH=，则EG．【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】连接DF，DG，过H作HP⊥AB于P，HQ⊥AD于Q，由点F，点G关于直线DE 的对称，得到DF=DG，根据正方形的性质得到AD=CD，∠ADC=∠A=∠BCD=90°，推出Rt△AFD≌Rt△CDG，证得△FDG是等腰直角三角形，推出四边形APHQ是矩形，证得△HPF≌△DHQ，根据全等三角形的性质得到HP=HQ，推出△MHQ≌△DHQ，根据全等三角形的性质得到DH=MH=，DQ=QM=，求得CH=DH=，通过△DQH∽△CEH，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：连接DF，DG，过H作HP⊥AB于P，HQ⊥AD于Q，∵点F，点G关于直线DE的对称，∴DF=DG，正方形ABCD中，∵AD=CD，∠ADC=∠A=∠BCD=90°，∴∠GCD=90°，在Rt△AFD与Rt△CDG中，，∴Rt△AFD≌Rt△CDG，∴∠ADF=∠CDG，∴∠FDG=∠ADC=90°，∴△FDG是等腰直角三角形，∵DH⊥CF，∴DH=FH=FG，∵HP⊥AB，HQ⊥AD，∠A=90°，∴四边形APHQ是矩形，∴∠PHQ=90°，∵∠DHF=90°，∴∠PHF=∠DHQ，在△PFF与△DQH中，，∴△HPF≌△DHQ，∴HP=HQ，∵∠PHF=90°﹣∠FHM，∠QHM=90°﹣∠FHM，∴∠PHF=∠QHM，∴∠QHM=∠DHQ，在△MHQ与△DHQ中，，∴△MHQ≌△DHQ，∴DH=MH=，DQ=QM=，∴CH=DH=，∵点M为AD的中点，∴DM=3，∴DQ=QM=，∴HQ==，∵∠QDH=∠HEG，∴△DQH∽△CEH，∴，即，∴EG=．故答案为：．4.（2016齐河三模）如图，光源P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB=2m，CD=6m，点P到CD的距离是2.7m，则______m．答案：1.85.（2016·天津市南开区·一模）如图，在正方形ABCD内有一折线段，其中AE丄EF，EF 丄FC，并且AE=6，EF=8，FC=10，则正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为80π﹣160．【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．【专题】压轴题．【分析】首先连接AC，则可证得△AEM∽△CFM，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得EM与FM的长，然后由勾股定理求得AM与CM的长，则可求得正方形与圆的面积，则问题得解．【解答】解：连接AC，∵AE丄EF，EF丄FC，∴∠E=∠F=90°，∵∠AME=∠CMF，∴△AEM∽△CFM，∴，∵AE=6，EF=8，FC=10，∴，∴EM=3，FM=5，在Rt△AEM中，AM==3，在Rt△FCM中，CM==5，∴AC=8，在Rt△ABC中，AB=AC•sin45°=8•=4，∴S正方形ABCD=AB2=160，圆的面积为：π•（）2=80π，∴正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为80π﹣160．故答案为：80π﹣160．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，正方形与圆的面积的求解方法，以及勾股定理的应用．此题综合性较强，解题时要注意数形结合思想的应用．6．(2016·重庆巴蜀·一模）如图，E是▱ABCD边AB延长线上的一点，AB=4BE，连接DE 交BC于点F，则△DCF与四边形ABFD面积的比是．【分析】由平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥CD，AD∥BC，得出△BEF∽△DCF，得出S△DCF =16S△BEF，同理：S△ACD=25S△BEF，即可得出结果．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，AD∥BC，∴△BEF∽△DCF，∴=（）2，∵AB =4BE ， ∴CD =4BE ，∴∴=（）2，∴S △DCF =16S △BEF ， 同理：S △ACD =25S △BEF ，∴=，∴==，即△DCF 与四边形ABFD 面积的比是2：3，故答案为．7．(2016·重庆铜梁巴川·一模）如图，已知D 、E 分别是△ABC 的边AB 和AC 上的点，DE ∥BC ，BE 与CD 相交于点F ，如果AE =1，CE =2，那么EF ：BF 等于 ．【分析】由DE ∥BC ，证得△ADE ∽△ABC ，根据相似三角形的性质得到=，由于△DEF ∽△BCF ，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：∵AE =1，CE =2， ∴AC =3， ∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC ，∴=，∵DE ∥BC ， ∴△DEF ∽△BCF ，∴=，故答案为：1：3．8．(2016·重庆铜梁巴川·一模）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，4），直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于点A，B，点M是直线AB上的一个动点，则PM长的最小值为．【分析】认真审题，根据垂线段最短得出PM⊥AB时线段PM最短，分别求出P B、O B、O A、AB的长度，利用△PBM∽△ABO，即可求出本题的答案．【解答】解：如图，过点P作PM⊥AB，则：∠PMB=90°，当PM⊥AB时，PM最短，因为直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于点A，B，可得点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，﹣3），在Rt△AOB中，AO=4，BO=3，AB==5，∵∠BMP=∠AOB=90°，∠B=∠B，PB=OP+OB=7，∴△PBM∽△ABO，∴=，即：，所以可得：PM=．9．(2016·云南省曲靖市罗平县·二模)如图，在△ABC中点D、E分别在边A B、AC上，请添加一个条件：∠AEB=∠B（答案不唯一），使△ABC∽△AE D．【考点】相似三角形的判定．【专题】开放型．【分析】根据∠AEB=∠B和∠A=∠A可以求证△AED∽△ABC，故添加条件∠AEB=∠B即可以求证△AED∽△AB C．【解答】解：∵∠AEB=∠B，∠A=∠A，∴△AED∽△ABC，故添加条件∠AEB=∠B即可以使得△AED∽△ABC，故答案为：∠AEB=∠B（答案不唯一）．【点评】本题考查了相似三角形的判定，等边三角形对应角相等的性质，本题中添加条件∠AEB=∠B并求证△AED∽△ABC是解题的关键．10．(2016·上海普陀区·一模)如果，那么=．【考点】比例的性质．【分析】根据比例设x=2k，y=5k，然后代入比例式进行计算即可得解．【解答】解：∵ =，∴设x=2k，y=5k，则===．故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质，利用“设k法”表示出x、y可以使计算更加简11．(2016·上海普陀区·一模)已知点P把线段分割成AP和PB两段（AP＞PB），如果AP是AB和PB的比例中项，那么AP：AB的值等于．【考点】黄金分割．【分析】根据黄金分割的概念和黄金比是解答即可．【解答】解：∵点P把线段分割成AP和PB两段（AP＞PB），AP是AB和PB的比例中项，∴点P是线段AB的黄金分割点，∴AP：AB=，故答案为：．【点评】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．12．(2016·山东枣庄·模拟)如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，若AD=OA，则△ABC与△DEF的面积之比为1：4．【考点】位似变换．【分析】由AD=OA，易得△ABC与△DEF的位似比等于1：2，继而求得△ABC与△DEF 的面积之比．【解答】解：∵以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，AD=OA，∴AB：DE=OA：OD=1：2，∴△ABC与△DEF的面积之比为：1：4．故答案为：1：4．【点评】此题考查了位似图形的性质．注意相似三角形的面积比等于相似比的平方．13．(2016·上海普陀区·一模)已知在Rt△ABC中，∠C=90°，点P、Q分别在边A B、AC上，AC=4，BC=AQ=3，如果△APQ与△ABC相似，那么AP的长等于或．【考点】相似三角形的性质．【分析】根据勾股定理求出AB的长，根据相似三角形的性质列出比例式解答即可．【解答】解：∵AC=4，BC=3，∠C=90°，∴AB==5，当△APQ∽△ABC时，=，即=，解得，AP=；当△APQ∽△ACB时，=，即，解得，AP=，故答案为：或．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等、正确运用分情况讨论思想是解题的关键．14．(2016·上海普陀区·一模)已知A（3，2）是平面直角坐标中的一点，点B是x轴负半轴上一动点，联结AB，并以AB为边在x轴上方作矩形ABCD，且满足BC：AB=1：2，设点C的横坐标是a，如果用含a的代数式表示D点的坐标，那么D点的坐标是（2，）．【考点】相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质．【分析】如图，过C作CH⊥x轴于H，过A作AF⊥x轴于F，AG⊥y轴于G，过D作DE⊥AG 于E，于是得到∠CHB=∠AFO=∠AED=90°，根据余角的性质得到∠DAE=∠FAB，推出△BCH∽△ABF，根据相似三角形的性质得到，求得BH=AF=1，CH=BF=，通过△BCH≌△ADE，得到AE=BH=1，DE=CH=，求得EG=3﹣1=2，于是得到结论．【解答】解：如图，过C作CH⊥x轴于H，过A作AF⊥x轴于F，AG⊥y轴于G，过D作DE⊥AG于E，∴∠CHB=∠AFO=∠AED=90°，∴∠GAF=90°，∴∠DAE=∠FAB，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∴∠BCH=∠ABF，∴△BCH∽△ABF，∴，∵A（3，2），∴AF=2，AG=3，∵点C的横坐标是a，∴OH=﹣a，∵BC：AB=1：2，∴BH=AF=1，CH=BF=，∵△BCH∽△ABF，∴∠HBC=∠DAE，在△BCH与△ADE中，，∴△BCH≌△ADE，∴AE=BH=1，DE=CH=，∴EG=3﹣1=2，∴D（2，）．故答案为：（2，）．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，正确的画出图形是解题的关键．15.（2016·吉林长春朝阳区·一模）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3于点A、B、C；过点B的直线DE分别交l1、l3于点D、E．若AB=2，BC=4，BD=1.5，则线段BE 的长为3．【考点】平行线分线段成比例．【专题】计算题．【分析】根据平行线分线段成比例定理得到=，然后把A B、B C、BD的值代入后利用比例的性质可计算出BE的长．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴=，即=，∴BE=3．故答案为3．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．16.（2016·河北石家庄·一模）如图，正方形ABCD与正方形EFGH是位似形，已知A（0，5），D（0，3），E（0，1），H（0，4），则位似中心的坐标是（0，），（﹣6，13）．【考点】位似变换；坐标与图形性质．【分析】分别利用待定系数法求出一次函数解析式，再利用当B与F是对应点，以及当B 与E是对应点分别求出位似中心．【解答】解：设当B与F是对应点，设直线BF的解析式为：y=kx+b，则，解得：，故直线BF的解析式为：y=﹣x+，则x=0时，y=，即位似中心是：（0，），设当B与E是对应点，设直线BE的解析式为：y=ax+c，则，解得：，故直线BE的解析式为：y=﹣2x+1，设直线HF的解析式为：y=dx+e，则，解得：，故直线HF的解析式为：y=﹣x+5，则，解得：即位似中心是：（﹣6，13），综上所述：所述位似中心为：（0，），（﹣6，13）．故答案为：（0，），（﹣6，13）．【点评】此题主要考查了位似图形的性质以及待定系数法求一次函数解析式，正确分类讨论得出是解题关键．17.（2016·广东东莞·联考）将正方形与直角三角形纸片按如图所示方式叠放在一起，已知正方形的边长为20cm，点O为正方形的中心，AB=5cm，则CD的长为20cm．【考点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】根据题意四边形BOCE是正方形，且边长等于大正方形的边长的一半，等于10cm，再根据△DCE和△DOA相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．【解答】解：如图，∵点O为正方形的中心，∴四边形BOCE是正方形，边长=20÷2=10cm，∵CE∥AO，∴△DCE∽△DOA，∴，即，解得DC=20cm．故答案为：20．【点评】本题主要考查正方形各边都相等，每个角都是直角的性质和相似三角形对应边成比例的性质，需要熟练掌握并灵活运用．18.（2016·广东深圳·联考）如图，已知矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，若点B的坐标为（2，4），点E的坐标为（﹣1，2），则点P的坐标为答案：（-2，0）19.（2016·河南三门峡·一模）如图，在平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，分别连结AE、BD相交于点O，若AD=5，35BODO，则EC=__________答案：2三、解答题1．(2016·浙江杭州萧山区·模拟)平面直角坐标系中，有A、B、C三点，其中A为原点，点B和点C的坐标分别为（5，0）和（1，2）．（1）证明：△ABC为Rt△．（2）请你在直角坐标系中找一点D，使得△ABC与△ABD相似，写出所有满足条件的点D 的坐标，并在同一坐标系中画出所有符合要求的三角形．（3）在第（2）题所作的图中，连接任意两个直角三角形（包括△ABC）的直角顶点均可得到一条线段，在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，求取到长度为无理数的线段的概率．【考点】相似形综合题；勾股定理；勾股定理的逆定理；概率公式．【专题】综合题；分类讨论．【分析】（1）过点C作CH⊥x轴于H，如图1，只需运用勾股定理求出AB2、AC2、BC2，然后运用勾股定理的逆定理就可解决问题；（2）△ABC与△ABD相似，对应关系不确定，故需分六种情况（①若△ABC∽△ABD，②若△ABC∽△BAD，③若△ABC∽△ADB，④若△ABC∽△DAB，⑤若△ABC∽△BDA，⑥若△ABC∽△DBA）讨论，然后运用相似三角形的性质就可解决问题；（3）图中的直角三角形的直角顶点有A、B、C、D1、D2、D3，只需求出任意两直角顶点的连线段的条数和长度为无理数的线段的条数，就可解决问题．【解答】解：（1）过点C作CH⊥x轴于H，如图1，∵A（0，0），B（5，0），C（1，2），∴AC2=12+22=5，BC2=（5﹣1）2+22=20，AB2=52=25，∴AB2=AC2+BC2，∴△ABC为Rt△；（2）①若△ABC∽△ABD，则有D1（1，﹣2）；②若△ABC∽△BAD，则有D2（4，﹣1），D3（4，1）；③若△ABC∽△ADB，则有D4（5，﹣10），D5（5，10）；④若△ABC∽△DAB，则有D6（5，﹣2.5），D7（5，2.5）；⑤若△ABC∽△BDA，则有D8（0，﹣10），D9（0，10）；⑥若△ABC∽△DBA，则有D10（0，﹣2.5），D11（0，2.5）；所有符合要求的三角形如图所示．（3）图中的直角三角形的直角顶点有A 、B 、C 、D 1、D 2、D 3．任意两直角顶点的连线段共有=15条，其中AB =5，CD 1=D 2D 3=4，CD 2=D 1D 3=5，CD 3=D 1D 2=3， 故长度为有理数的线段共7条，长度为无理数的线段共8条， 则取到长度为无理数的线段的概率为p=．【点评】本题主要考查了勾股定理及其逆定理、相似三角形的性质、概率公式等知识，运用分类讨论的思想是解决第（2）小题的关键． 3．(2016·浙江镇江·模拟)（本小题满分9分） 如图，AB 为⊙O 的直径，AB =2，点在M 在QO 上，MC 垂直平分OA ，点N 为直线AB 上一动点（N 不与A 重合），若△MNP ∽△MAC ，PC 与直线AB 所夹锐角为α．（1）若AM =AC ，点N 与点O 重合，则α= ▲ °； （2）若点C 、点N 的位置如图所示，求α的度数；（3）当直线PC 与⊙O 相切时，则MC 的长为 ▲ ． （1）如图 ，α= 30 °； （2）连接MO ，∵MC 垂直平分AO ，∴MA =MO =AO ∴∠AMO =60°，则∠AMC =30°． ∵△MAQ ∽△MNP ，A A∴MPMQMN MA =，NMP AMQ ∠=∠， ∴∠AMN =∠QMP ， ∴△AMN ∽△QMP ， ∴∠MAN =∠MQP ， ∴α=∠AMQ =30°； （3）334． 4.（2016青岛一模）把Rt △ABC 和Rt △DEF 按如图（1）摆放（点C 与E 重合），点B 、C （E ）、F 在同一条直线上．已知：∠ACB =∠EDF =90°，∠DEF =45°，AC =8cm ，BC =6cm ，EF =10cm ．如图（2），△DEF 从图（1）的位置出发，以1cm /s 的速度沿CB 向△ABC 匀速移动，在△DEF 移动的同时，点P 从△ABC 的顶点A 出发，以2cm /s 的速度沿AB 向点B 匀速移动；当点P 移动到点B 时，点P 停止移动，△DEF 也随之停止移动．DE 与AC 交于点Q ，连接PQ ，设移动时间为t （s ）．（1）用含t 的代数式表示线段AP 和AQ 的长，并写出t 的取值范围； （2）连接PE ，设四边形APEQ 的面积为y （cm 2），试探究y 的最大值； （3）当t 为何值时，△APQ 是等腰三角形．【考点】相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；等腰三角形的性质． 【专题】动点型．【分析】（1）根据题意以及直角三角形性质表达出CQ 、AQ ，从而得出结论， （2）作PG ⊥x 轴，将四边形的面积表示为S △ABC ﹣S △BPE ﹣S △QCE 即可求解， （3）根据题意以及三角形相似对边比例性质即可得出结论． 【解答】（1）解：AP =2t ∵∠EDF =90°，∠DEF =45°， ∴∠CQE =45°=∠DEF ， ∴CQ =CE =t ，∴AQ=8﹣t，t的取值范围是：0≤t≤5；（2）过点P作PG⊥x轴于G，可求得AB=10，SinB=，PB=10﹣2t，EB=6﹣t，∴PG=PBSinB=（10﹣2t）∴y=S△ABC﹣S△PBE﹣S△QCE===（cm2）∴当（在0≤t≤5内），y有最大值，y最大值（3）若AP=AQ，则有2t=8﹣t解得：（s）若AP=PQ，如图①：过点P作PH⊥AC，则AH=QH=，PH∥BC∴△APH∽△ABC，∴，即，解得：（s）若AQ=PQ，如图②：过点Q作QI⊥AB，则AI=PI=AP=t∵∠AIQ=∠ACB=90°∠A=∠A，∴△AQI∽△ABC∴即，解得：（s）综上所述，当或或时，△APQ 是等腰三角形．5．（2016·天津北辰区·一摸）（本小题10分）如图（1），在平面直角坐标系中，已知点A （4，0），点B （0，）. 沿x 轴向右平移Rt △ABO ，得Rt △A B O '''，直线O B ''与AB 或BA 的延长线相交于点D .设D （x ，y ）（0x >），以点A ，A '，B '，D 为顶点的四边形面积记为S . （Ⅰ）求y 与x 的函数关系式； （Ⅱ）用含x （4x ≠）的式子表示S ；（Ⅲ）当103S =，求点D 的坐标（直接写出结果）. （图2.解：（Ⅰ）当点O ' ∴ △ADO' 如图（1）有AO AO '= ∴434y x -=如图（2）有4AO O O AO x ''=-=-. ∴434y x --=. 即334y x =-+. 当点O '与点A 重合时，D 与A 重合，此时，0x =，3y =.∴ y 与x 的关系是：334y x =-+.（Ⅱ）① 如图（1），当 4x 0<<时，点D 在AB 上，有 四边形A B O ADO AA B D S S S ''''''∆∆=-. ∴ 1122S A O B O AO DO ''''''=⋅⋅-⋅⋅ 把 334DO y x '==-+，代入，得11343(4)(3)224S x x =⨯⨯-⨯--+. ∴ 2338S x x =-+（4x 0<<）.图（2）② 如图（2），当4x >时，点D 在BA 延长线上，∵ 平移△AOB 得到△A O B '''，∴ OO AA x ''==，||O D y y '==-.∵ AA D AA B ADA B S S S '''''∆∆=+四边形∴ 1122AA B AA D S S S AA B O AA DO '''∆∆'''''=+=⋅⋅+⋅⋅. 把 334y x =-+代入，得 21131333()(3)222248S x x y x x x x =⋅⋅+⋅⋅-=--+=. 综上，2233838， 04，， 4. x x S x x ⎧-+<<⎪⎪= ⎨⎪>⎪⎩ （Ⅲ）D （43，2）. 把103S =代入2338S x x =-+，得 143x =，22043x =>，舍. 把43x =，代入334y x =-+，得2y =. 103S =代入238S x =，得10x =<(舍)，24x =<（舍）. 6．（2016·天津市南开区·一模）如图，AB 是⊙O 的直径，C ，P是上两点，AB =13，AC =5．（1）如图（1），若点P是的中点，求PA 的长； （2）如图（2），若点P是的中点，求PA 的长．【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．【专题】几何综合题．【分析】（1）根据圆周角的定理，∠APB =90°，P 是弧AB 的中点，所以三角形APB 是等腰三角形，利用勾股定理即可求得．（2）根据垂径定理得出OP垂直平分BC，得出OP∥AC，从而得出△ACB∽△0NP，根据对应边成比例求得ON、AN的长，利用勾股定理求得NP的长，进而求得P A．【解答】解：（1）如图（1）所示，连接PB，∵AB是⊙O的直径且P是的中点，∴∠PAB=∠PBA=45°，∠APB=90°，又∵在等腰三角形△APB中有AB=13，∴PA===．（2）如图（2）所示：连接B C．OP相交于M点，作PN⊥AB于点N，∵P点为弧BC的中点，∴OP⊥BC，∠OMB=90°，又因为AB为直径∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠OMB，∴OP∥AC，∴∠CAB=∠POB，又因为∠ACB=∠ONP=90°，∴△ACB∽△0NP∴=，又∵AB=13 AC=5 OP=，代入得ON=，∴AN=OA+ON=9∴在Rt△OPN中，有NP2=0P2﹣ON2=36在Rt△ANP中有PA===3∴PA=3．【点评】本题考查了圆周角的定理，垂径定理，勾股定理，等腰三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，作出辅助线是本题的关键．7.（2016·天津市南开区·一模）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（﹣4，0），点B的坐标是（0，b）（b＞0）．P是直线AB上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C．记点P关于y轴的对称点为P′（点P′不在y轴上），连接PP′，P′A，P′C．设点P的横坐标为a．（1）当b=3时，①求直线AB的解析式；②若点P′的坐标是（﹣1，m），求m的值；（2）若点P在第一象限，记直线AB与P′C的交点为D．当P′D：DC=1：3时，求a的值；（3）是否同时存在a，b，使△P′CA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a，b的值；若不存在，请说明理由．【考点】相似三角形的判定与性质；待定系数法求一次函数解析式；等腰直角三角形．【专题】压轴题．【分析】（1）①利用待定系数法即可求得函数的解析式；②把（﹣1，m）代入函数解析式即可求得m的值；（2）可以证明△PP′D∽△ACD，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解；。
