江苏省苏锡常镇四市2018-2019学年高三教学情况调研考试数学试题Word版含答案

2017-2018 学年度苏锡常镇四市高三教课状况调研（一）数学Ⅰ试题一、填空题：本大题共14 个小题，每题 5分，共 70 分.请把答案填写在答题．．卡相应地点上．．．．．．.1.已知会合A{ 1,1}， B{ 3,0,1} ，则会合A I B．2.已知复数z知足z i 34i （ i 为虚数单位），则 z．x2y2．3.双曲线1的渐近线方程为434.某中学共有1800人，此中高二年级的人数为600.现用分层抽样的方法在全校抽取n 人，此中高二年级被抽取的人数为21 ，则n．5.将一颗质地平均的正四周体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4）先后投掷 2次，察看其朝下一面的数字，则两次数字之和等于 6 的概率为．6.如图是一个算法的流程图，则输出S 的值是．7.若正四棱锥的底面边长为2cm，侧面积为8cm2，则它的体积为cm3．8.设S n是等差数列{ a n}的前n项和，若a2a4 2 ， S2 S41，则 a10．9.已知a23．0 ， b 0 ，且ab ，则 ab 的最小值是a btan A3c b10.设三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则tan B bcos A．a e x, x111.已知函数f ( x)4（ e 是自然对数的底）.若函数 y f (x) 的最小值是 4 ，则x, x 1x实数 a 的取值范围为．12.在uuur uuur4，ACB2ABC 中，点 P 是边 AB 的中点，已知CP3， CA3，则uuur uuurCP CA．13.已知直线l：x y 20 与 x 轴交于点A，点P在直线l上，圆C：( x 2)2y2 2 上有且仅有一个点B知足 AB BP ，则点 P 的横坐标的取值会合为．14.若二次函数 f (x) ax 2bx c (a 0)在区间 [1,2] 上有两个不一样的零点，则 f (1)的取a值范围为．二、解答题：本大题共 6 小题，合计 90 分.请在答题卡指定地区内作答，解答应．．．．．．．写出文字说明、证明过程或演算步骤 .r( 2 sin r)) .15.已知向量a,1) ，b (1,sin(4（1）若角的终边过点(3, 4)，求a b的值；（2）若a / /b，求锐角的大小 .16.如图，正三棱柱ABC A1B1C1的高为 6 ，其底面边长为2.已知点M，N分别是棱A1C1，AC的中点，点D 是棱CC1上凑近 C 的三平分点.求证：（ 1）B1M / /平面A1BN；（2）AD平面A1BN.17.已知椭圆C ：x2y2 1 ( a b 0) 经过点 (3,1)， (1,3)，点A是椭圆的下极点.a2b222（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点A且相互垂直的两直线l1， l 2与直线y x 分别订交于 E ， F 两点，已知OE OF ，求直线l1的斜率.18.如图，某景区内有一半圆形花园，其直径AB为6，O是圆心，且 OC AB.在 OC 上有一座赏析亭 Q ，此中AQC 2.计划在BC上再建一座赏析亭P，记3POB(02) .（1）当时，求OPQ 的大小；3（2）当OPQ 越大，旅客在赏析亭P 处的赏析成效越佳，求旅客在赏析亭P 处的赏析效果最正确时，角的正弦值 .19.已知函数 f ( x)x3ax2bx c ， g ( x) ln x .（1）若a0 ， b2，且 f ( x)g( x) 恒成立，务实数 c 的取值范围；（2）若b 3 ，且函数y f (x)在区间 ( 1,1) 上是单一递减函数.①务实数 a 的值；f (x), f (x)g( x)②当 c 2 时，求函数 h( x)g( x)g (x), f (x)的值域 .20.已知S n是数列{ a n}的前n项和，a13，且 2S n a n 1 3 (n N * ) .（1）求数列{ a n}的通项公式；（2）关于正整数i ， j ，k (i j k) ，已知 a j， 6a i，a k成等差数列，求正整数，的值；（3）设数列 { b n } 前 n 项和是 T n ，且知足：对随意的正整数 n ，都有等式a 1b n a 2bn 1a 3bn 2a nb 13n 13n 3 成立 .求知足等式T n1 的全部正整数 n .a n32017-2018 学年度苏锡常镇四市高三教课状况调研（一）数学Ⅱ（附带题）21.【选做题】在 A ，B ， C ， D 四小题中只好选做两题，每题10 分，合计 20分 .请在答题卡指定地区内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A. 选修 4-1：几何证明选讲如图， AB 是圆 O 的直径， D 为圆 O 上一点，过点 D 作圆 O 的切线交 AB 的延伸线于点 C ，且知足 DADC .（1）求证：（2）若 ABAB 2BC ；2 ，求线段 CD 的长 .B. 选修 4-2：矩阵与变换4 0 1 2 a 已知矩阵 A1， B，列向量 X.0 0 5b（1）求矩阵 AB ；（2）若 B1A1X5，求 a ， b 的值 .1C. 选修 4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C经过点(22,)，圆心为直线sin()3 与极轴的交P34点，求圆 C 的极坐标方程 .D. 选修 4-5：不等式选讲已知 x ， y 都是正数，且 xy 1，求证： (1 x y 2 )(1 y x 2 ) 9.【必做题】第22 题、第 23 题，每题 10 分，合计 20 分.请在答题卡指定地区内．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.如图，在四棱锥P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PD 垂直于底面ABCD ，PD AD 2 AB ，点Q为线段 PA （不含端点）上一点.（1）当Q是线段PA的中点时，求CQ 与平面PBD所成角的正弦值；2 ，求PQ的值.（2）已知二面角Q BD P 的正弦值为3PA23.在含有n个元素的会合A n{1,2,, n}中，若这n 个元素的一个摆列（ a1， a2，， a n）知足a i i (i1,2,, n)，则称这个摆列为会合A n的一个错位摆列（比如：关于会合A3{1,2,3}，摆列(2,3,1)是A3的一个错位摆列；摆列(1,3,2) 不是A3的一个错位摆列）.记会合 A n的全部错位摆列的个数为D n.（1）直接写出D1，D2，D3，D4的值；（2）当n 3时，试用D n 2，D n 1表示D n，并说明原因；（3）试用数学概括法证明：D2n (n N * ) 为奇数.2017-2018 学年度苏锡常镇四市高三教课状况调研（一）数学Ⅰ试题参照答案一、填空题1.{1}2.53.y 3 x4.635.32166.257.438.89.2610.1 3311.a e412.613.1,514. [0,1) 3二、解答题15.解：（ 1）由题意sin 43， cos，55因此a b 2 sin sin(a) 2 sin sin cos cos sin44442423232 55252.2（2）由于a / /b，因此 2 sin sin(a) 1 ，即 2 sin(sin cos4cos sin) 1 ，44因此 sin 2sin cos1，则22cos0tan1 sin cos1sin cos，对锐角有，因此，因此锐角.416.证明：（ 1）连结MN，正三棱柱ABC A1 B1C1中， AA1/ /CC1且 AA1CC1，则四边形AAC1 1C 是平行四边形，由于点M 、 N 分别是棱A1C1， AC 的中点，因此MN / / AA1且MN AA1，又正三棱柱 ABC A1B1C1中 AA1 / / BB1且 AA1BB1，因此 MN / / BB1且 MN BB1，所以四边形 MNBB 1是平行四边形，因此B1M / / BN ，又 B1M平面 A1BN ，BN平面A1BN ，因此 B1M / / 平面 A1BN ；（2）正三棱柱ABC A1 B1C1中， AA1平面ABC，BN平面 ABC ，因此BN AA1，正ABC 中， N 是 AB 的中点，因此 BN AC ，又AA1、 AC平面 AAC1 1C ，AA1 I AC A ，因此 BN平面 AAC1 1C ，又AD平面 AAC1 1C ，因此 AD BN ，由题意， AA6， AC 2， AN 1，CD 6AA1AN3，因此，13AC CD2又A1 AN ACD，因此A1AN 与ACD 相像，则AA1N CAD ，2因此ANA1CAD ANA1AAN1，2则 AD A1N ，又 BN I A1N N，BN， A1N平面 A1BN ，因此 AD平面A1BN.31111a24b2a2 4 ，17.解：（ 1）由题意得，解得13111a24b2b2因此椭圆 C 的标准方程为x2y2 1 ；4（2）由题意知A(0,1) ，直线 l1， l2的斜率存在且不为零，设直线 l1： y k1x1，与直线y x 联立方程有y k1 x 1，得 E(1,1y x k1) ，1 k11设直线 l2： y1x 1 ，同理 F (1,1) ，k11111k1k1由于 OE OF ，因此|1|1| ，|1k111k1①11， k110无实数解；11k1k11k1②11，k112， k122k110 ，解得k112，k1111k1k1综上可得，直线l1的斜率为 1 2 .18.解：（ 1）设OPQ，由题， Rt OAQ 中，OA 3 ，AQO AQC 2，33因此 OQ 3 ，在OPQ 中，OP 3 ，POQ23，26由正弦定理得OQ OP，OPQ sinsin OQP即33，因此3sin sin()sin(5) ，sin sin()666则 3sin sin 5cos cos5sin1cos3sin，因此 3 sin cos ，6622由于为锐角，因此 cos0 ，因此tan33，得6；（2）设OPQ，在OPQ 中，OP 3 ，POQ，2 2 36由正弦定理得OQ OP，即33，OPQ sin OQP sinsin sin(())2因此3sinsin(())sin(()) cos()22cos cos sin sin，进而 ( 3 sin )sin cos cos，此中 3 sin0 ，cos0 ，cos因此 tan，3 sin记 f ()cos， f'( )1 3 sin，(0,) ；3sin( 3sin) 22令 f '()0 ， sin 3(0, ) 使得 sin3 3，存在独一00，23当(0, 0 ) 时 f '()0 ， f () 单一增，当( 0 ,2) 时f '() 0， f () 单一减，因此当0时， f () 最大，即 tan OPQ 最大，又OPQ 为锐角，进而OPQ 最大，此时 sin3 3.答：赏析成效达到最正确时，的正弦值为3. 319.解：（）函数y g (x)的定义域为(0,) .当a 0，b2， f (x) x32x c ，1∵ f (x)g ( x) 恒成立，∴x3 2 x c ln x 恒成立，即 c ln x x32x .令 ( x)ln x x 32x ，则 '(x)13x2212x3x3(1x)(13x3x2 )x x x，令'(x)0，得x1，∴( x) 在 (0,1] 上单一递加，令'(x)0，得x1，∴( x) 在 [1,) 上单一递减，∴当 x 1时，[( x)] max(1)1.∴ c 1 .（2）①当b 3 时， f ( x)x3ax23x c ， f '(x)3x22ax 3 .由题意， f '( x)3x22ax30 对 x(1,1)恒成立，f '(1) 32a300 .∴，∴ a 0，即实数a的值为f '( 1) 3 2a 3 0②函数 y h(x)的定义域为 (0,) .当 a 0， b 3 ， c 2 时， f (x) x33x 2 .f '(x)3x23，令 f '(x)3x230 ，得x 1 .x(0,1)1(1,)f '( x)-0+f ( x)]极小值 0Z∴当 x(0,1) 时， f ( x) 0，当 x1 时， f ( x)0 ，当 x(1,) 时， f ( x)0 .关于 g(x)ln x ，当 x(0,1) 时， g(x)0，当x 1 时，g ( x)0 ，当 x(1,) 时，g( x) 0 .∴当 x(0,1) 时， h( x) f ( x)0 ，当x1时， h( x)0 ，当 x(1,) 时， h( x)0 .故函数 y h(x)的值域为 [0,).20.解：（ 1）由2S n a n1 3 (n N * ) 得 2S n1a n 2 3 ，两式作差得 2a n1an 2a n 1，即 a n 23a n 1 (n N*).a1 3 ， a22S139 ，因此 a n 13a n(n N * ) ， a n 0 ，则an 13(n N*)，所a n以数列 { a n} 是首项为3公比为3的等比数列，因此 a n3n(n N*)；（2）由题意a j a k 2 6a i，即 3 j3k 2 6 3i，因此 3j i3k i12 ，此中 j i1，k i 2 ，因此 3j i33 ， 3k i9 9 ，123 j i3k i 12 ，因此 j i 1 ， k i 2 ， 1；（3）由 a 1b na 2bn 1a 3bn 2a nb 1 3n 1 3n 3 得， a 1b n 1 a 2b n a 3b n 1 a n b 2 a n 1b 13n 23(n 1) 3， a 1bn 13(a 1b n a 2bn 1a n 1b2a nb 1 ) 3n 2 3(n1) 3，a 1bn 13(3n13n 3) 3n23(n 1) 3 ，因此 3b n 13n 23(n 1) 3 3(3n13n 3) ，即 3b n 16n 3 ，因此 b n 1 2n 1 ( n N * ) ，又由于 a 1b 131 13 1 3 3 ，得 b 1 1，因此 b n2n 1 ( n N *)，进而 T n 1 3 5(2 n 1)12n 12*T nn 2 *) ，n n ( n N) ，n (n N2a n3当 n 1 时T 11；当 n2时T24；当 n3时T31 ；a 1 3a 29a 3 3下边证明：对随意正整数nT n1，3 都有 a n3(n 1)21n 1n 2 1 nn 1n 1Tn 1T n1(( n 1)2 3n 2) 1 ( 2n 22n 1) ，an 1a n3333当 n3 时， 2n22n1 (1 n 2)n(2 n)0 ，即T n1T n 0 ，a n 1a n因此当 n3 时，T n递减，因此对随意正整数 n3都有T nT 3 1 ；a na na 33综上可得，知足等式 T n1的正整数 n 的值为 1 3 .a n3 和2017-2018 学年度苏锡常镇四市高三教课状况调研（一）数学Ⅱ（附带题）参照答案21.【选做题】A.选修 4-1：几何证明选讲证明：（ 1）连结OD，BD .由于AB是圆O的直径，因此ADB 90o，AB 2OB.由于 CD 是圆 O 的切线，因此CDO 90o，又由于 DA DC ，因此 A C ，于是 ADB CDO ，获得AB CO，因此 AO BC ，进而 AB2BC .（2）解：由AB2及 AB 2BC 获得 CB1， CA 3 .由切割线定理，CD 2CB CA13 3，因此 CD3.B.选修 4-2：矩阵与变换401248解：（ 1）AB1050；05（2）由B1A1X 5，解得X548528，又由于Xa1AB0515，因此1ba 28，b 5 .C.选修 4-4：坐标系与参数方程解：在 sin() 3 中，令0 ，得 2 ，3因此圆 C 的圆心的极坐标为(2,0) .由于圆 C 的半径 PC(2 2) 222 2 2 2 2 cos 2 ，4于是圆 C 过极点，因此圆的极坐标方程为4cos .D. 选修 4-5：不等式选讲证明：由于 x ， y 都是正数，因此 1 x y 233 xy 2 0 ， 1 y x 2 33 yx 2 0，(1 xy 2 )(1 y x 2 ) 9xy ，又由于 xy1，因此 (1 x y 2 )(1y x 2 ) 9 .【必做题】22.解：（ 1）以 D 为原点， DA ， DC ， DP 为坐标轴，成立以下图空间直角坐标系；设AB t ，则 D (0,0,0) ， A(2t,0,0) ， B(2 t,t ,0) ， C (0, t ,0) ， P(0,0,2 t ) ， Q (t,0, t) ；uuur uuuruuur(0,0, 2t ) ，因此 CQ (t , t, t ) ， DB(2t ,t ,0) ， DP uruuur urDB n 1 0设平面 PBD 的法向量 n 1( x, y, z) ，则 uuur ur ，DP n 1 02tx ty2x y 0ur2,0) ，即，解得，因此平面 PBD 的一个法向量n 1 (1, 2tzzur uuurur uuur 3t 15 cosn 1 CQn 1 ,CQur uuur53t5 ，n 1CQ则 CQ 与平面 PBD 所成角的正弦值为15 .5（2）由（ 1）知平面 PBD 的一个法向量为ur (1, 2,0) ，设PQ(01) ，则n 1 uuuruuur uuur uuur uuurPA(0,0,2 t ) (2t ,0, 2t)(2t ,0,2 t (1 )) ， PQPA ，DQ DP PQuuur uur uuur uur 0(2t, t,0)( x, y, z) ，则 DQ n 2 DB ，设平面 QBD 的法向量 n 2 uuur uur ，即DB n 2 0 2t x 2t (1 ) z 0x (1 )z 02tx ty 0，解得2x y 0，因此平面 QBD 的一个法向量uurn 2 (1 ,2 2,) ，由题意得 1 (2)2ur uurcos n 1, n 23ur uurn 1 n 25(1) ，uruurn 1 n 25(1 )2(22)2( )2因此5 5(1)2 ，即 ( 2)(2 9 62105) 0 ，3由于 01，因此2 PQ 23，则.PA323. 解：（ 1） D 1 0，D 21，D 3 2 ，D 49 ，（2） D n (n 1)( D n 1 D n 2 ) ，原因以下：对 A n 的元素的一个错位摆列（ a 1 ， a 2 ， ， a n ），若 a 1k(k 1) ，分以下两类：若 a k 1，这类摆列是 n 2 个元素的错位摆列，共有 D n2 个；若 a k1 ，这类错位摆列就是将 1，2 ， ， k 1， k1 ， ， n 摆列到第2 到第 n 个位1 k个地点， 其余元素也不在原来的地点，这类摆列相当于n 1个元素的错位置上， 不在第摆列，共有 D n 1 个；依据 k 的不一样的取值，由加法原理获得 D n (n 1)(D n 1 D n 2 ) ；（3）依据（ 2）的递推关系及（ 1）的结论， D n 均为自然数；当 n3 ，且 n 为奇数时， n 1为偶数，进而 D n (n 1)(D n 1 D n 2 ) 为偶数，又 D 1 0 也是偶数，故对随意正奇数 n ，有 D n 均为偶数 .下边用数学概括法证明D 2n （此中 n N * ）为奇数 .当 n1 时， D2 1为奇数；假定当 nk 时，结论成立，即 D 2 k 是奇数，则当 n k 1时，D2( k 1)(2 k1)(D2 k 1 D 2k ) ，注意到 D2k1为偶数，又 D 2 k是奇数，因此D2 k 1D2 k为奇数，又 2k 1 为奇数，因此D2( k 1) (2k1)(D2 k 1 D2k ) ，即结论对n k 1 也成立；依据前方所述，对随意n N *，都有 D 2 n为奇数.。

2018-2019学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学试卷一、 填空题， 本大题共 14 题， 每小题 5 分， 共 70 分， 不需要写出解答过程， 请把答案直接填在答题卡相应位置上1、已知集合 A = {0，1，2}， B = {x | -1 < x < 1}， 则 A ∩B = ．答案：{}=0A B ⋂。

2、i 为虚数单位， 复数(1- 2i )2 的虚部为 ．答案：2312()4i i =---，即虚部为-4。

3、抛物线 y 2 = 4x 的焦点坐标为 ．答案：()1,0。

4、箱子中有形状、 大小相同的 3只红球、 1只白球， 一次摸出 2 只球， 则摸到的2 只球颜色相同的概率为 ．答案：12解析：232412C C =。

5、如图是抽取某学校160 名学生的体重频率分布直方图， 已知从左到右的前 3组的频率成等差数列， 则第 2 组的频数为 ．答案：406、如图是一个算法流程图， 则输出的 S 的值是 ．答案：7、已知函数2log (3),0()21,0x x x f x x -≤⎧=⎨->⎩，若1(1)2f a -=， 则实数a = ．答案：2log 3 解析：222133(1)1log 1log log 3222f a a a -=⇒-=⇒=+= 8、中国古代著作《张丘建算经》 有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半， 七天一共行走了 700 里， 那么这匹马在最后一天行走的里程数为 ． 答案：700127解析：设第七天走的路程为x ，那么七天总共走的路程为76127002270012127x x x x x -+++==⇒=-。

9、已知圆柱的轴截面的对角线长为 2， 则这个圆柱的侧面积的最大值为 ． 答案：2π解析：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，那么2244r h +=，圆柱的侧面积为224222r h rh πππ+≤=。

江苏省苏锡常镇四市2018届高三教学情况调研（二） 数学Ⅰ试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．函数y =A ，函数()lg 2y x =-的定义域为B ，则A B = ▲ ．2．设2iz =-（i是虚数单位），则||z =▲ ． 3．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2219x y m-=的一个焦点为（5，0），则实数m =▲ ． 4．样本容量为100的频率分布直方图如右图所示，由此估计 样本数据落在[6，10]内的频数为 ▲ ．（第4题）5． “π2ϕ=”是“函数()sin y x ϕ=+的图象关于y的▲ 条件．（在“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中选一个合适的填空） 6．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1 = -1，S 3 6，则S 6 = ▲ ． 7． 函数()1e ln y x x=≥的值域是 ▲ ． 8． 执行右面的程序图，那么输出n 的值为 ▲ ．9．在1，2，3，4四个数中随机地抽取一个数记为a ，再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b ，则“a b是整数”的概率为 ▲ ．10． 已知△ABC 为等腰直角三角形，斜边BC 上的中线AD = 2，将△ABC 沿AD 折成60°的二面角，连结BC ，则三棱锥C - ABD 的体积为 ▲ ．11． 直线y = kx 与曲线2e x y =相切，则实数k = ▲ ．12． 已知平面内的四点O ，A ，B ，C 满足2OA BC ⋅=，3OB CA ⋅=，则OC AB ⋅= ▲ ．13． 已知奇函数()f x 是R 上的单调函数，若函数2()()y f x f k x =+-只有一个零点，则实数k 的值是 ▲ ． 14． 已知x ，y ∈R ，满足24y x -≤≤，x ≥1，则222221x y x y xy x y ++-+-+-的最（第8题）大值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足A = B + 30°．（1）若c = 1，sin b B =，求B ． （2）若22212a c acb +-=，求sin A 的值．16．（本小题满分14分）如图，正四棱锥P - ABCD 的高为PO ，PO = AB = 2．E ，F 分别是棱PB ，CD 的中点，Q 是棱PC 上的点． （1）求证：EF ∥平面PAD ；（2）若PC ⊥平面QDB ，求PQ ．17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2214x y +=的左、右焦点分别为F '与F ，圆F：(225x y +=．C（第16题）（1）设M 为圆F 上一点，满足1MF'MF ⋅=，求点M 的坐标； （2）若P 为椭圆上任意一点，以P 为圆心，OP 为半径的圆P 与圆F 的公共弦为QT ，证明：点F 到直线QT 的距离FH18．（本小题满分16分）如图，O 为总信号源点，A ，B ，C 是三个居民区，已知A ，B 都在O 的正东方向上，OA = 10 km ，OB = 20 km ，C 在O 的北偏西45° 方向上，CO =km ．（1）求居民区A 与C 的距离；（2）现要经过点O 铺设一条总光缆直线EF （E 在直线OA 的上方），并从A ，B ，C 分别铺设三条最短分光缆连接到总光缆EF ．假设铺设每条分光缆的费用与其长度的平方成正比，比例系数为m （m 为常数）．设∠AOE = θ（0≤θ <π），铺设三条分光缆的总费用为w （元）．（第17题）①求w关于θ的函数表达式；②求w的最小值及此时tan 的值．19．（本小题满分16分）若存在实数x 0与正数a ，使0x a +，0x a -均在函数()f x 的定义域内，且()()00f x a f x a +=-成立，则称“函数f （x ）在x = x 0处存在长度为a 的对称点”．（1）设32()321f x x x x =-+-，问是否存在正数a ，使“函数f （x ）在x = 1处存在长度为a 的对称点”？试说明理由．（2）设()b g x x x=+（x > 0），若对于任意x 0∈（3，4），总存在正数a ，使得“函数()g x 在x = x 0处存在长度为a 的对称点”，求b 的取值范围．20．（本小题满分16分）已知常数λ≥0，设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足：a 1 = 1，()11131n n n n n na S S a a λ+++=+⋅+（*n ∈N ）． （1）若λ = 0，求数列{a n }的通项公式；（2）若112n n a a +<对一切*n ∈N 恒成立，求实数λ的取值范围．江苏省苏锡常镇四市2018届高三5月教学情况调研（二）数学Ⅱ（附加题） 命题单位：苏州市教育科学研究院 A521．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲如图，△ABC 中，∠ACB = 90°，以边AC 上的点O 为圆心，OA 为半径作圆，与边AB ，AC 分别交于点E ，F ，EC 与⊙O 交于点D ，连结AD 并延长交BC 于P ，已知AE = EB = 4，AD = 5，求AP 的长．PB ．选修4—2：矩阵与变换已知点M （3，-1）绕原点按逆时针旋转90°后，且在 矩阵02a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 对应的变换作用下，得到点N (3，5)，求a ，b 的值．C ．选修4—4：坐标系与参数方程如图，在极坐标系中，设极径为ρ（0ρ>），极角为θ（02πθ<≤）．⊙A 的极坐标方程为2cos ρθ=，点C 在极轴的上方，∠AOC =π6．△OPQ 是以OQ 为斜边的等腰直角三角形，若C 为OP 的中点，求点Q 的极坐标．D ．选修4—5：不等式选讲已知不等式222|2|23a x y z -++≤对满足1x y z ++= 的一切实数x ，y ，z 都成立，求实数a 的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡．．．指定区域．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在空间直角坐标系A - xyz 中，已知斜四棱柱ABCD - A 1B 1C 1D 1的底面是边长为3的正方形，点B ，D ，B 1分别在x ，y ，z 轴上，B 1A = 3，P 是侧棱B 1B 上的一点，BP = 2PB 1 ． （1）写出点C 1，P ，D 1的坐标；（2）设直线C 1E ⊥平面D 1PC ，E 在平面ABCD 内，求点E 的坐标．23．（本小题满分10分）如图，圆周上有n 个固定点，分别为A 1，A 2，…，A n （n *∈N ，n ≥2），在每一个点上分别标上1，2，3中的某一个数字，但相邻的两个数字不相同，记所有的标法总数为a n ． （1）写出a 2，a 3，a 4的值；（2）写出a n 的表达式，并用数学归纳法证明．1DA A。

2018-2019学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅰ2019.03一、 填空题， 本大题共 14 题， 每小题 5 分， 共 70 分， 不需要写出解答过程， 请把答案直接填在答题卡相应位置上1、已知集合 A = {0，1，2}， B = {x | -1 < x < 1}， 则 A ∩B = ．2、i 为虚数单位， 复数(1- 2i )2 的虚部为 ．3、抛物线 y 2 = 4x 的焦点坐标为 ．4、箱子中有形状、 大小相同的 3只红球、 1只白球， 一次摸出 2 只球， 则摸到的 2 只球颜色相同的概率为 ．5、如图是抽取某学校160 名学生的体重频率分布直方图， 已知从左到右的前 3组的频率成等差数列， 则第 2 组的频数为 ．6、如图是一个算法流程图， 则输出的 S 的值是 ．7、已知函数2log (3),0()21,0x x x f x x -≤⎧=⎨->⎩，若1(1)2f a -=， 则实数a = ． 8、中国古代著作《张丘建算经》 有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半， 七天一共行走了 700 里， 那么这匹马在最后一天行走的里程数为 ．9、已知圆柱的轴截面的对角线长为 2， 则这个圆柱的侧面积的最大值为 ．10、设定义在区间 (0，2π)上的函数 y =x 的图像与 y = 3cos 2x + 2 的图像交于点P ， 则点 P 到 x 轴的距离为 ．11、在△ABC 中 ， 角 A ， B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知5a = 8b ，A = 2B ， 则 sin （A -4π）＝ ． 12、若直线 l : ax + y - 4a = 0 上存在相距为 2 的两个动点 A ，B ，圆 O : x 2 + y 2 =1上存在 点 C ， 使得△ABC 为等腰直角三角形（C 为直角顶点）， 则实数 a 的取值范围为 ．13、在△ABC 中， 已知 AB = 2， AC = 1，∠BAC = 90º， D ，E 分别为 BC ，AD 的中点， 过点 E 的直线交 AB 于点 P ，交 AC 于点 Q ， 则BQ CP ⋅u u u r u u r 的最大值为 ．14、已知函数 f (x ) =2||x x a +-， g (x ) = (2a -1)x + a ln x ， 若函数 y = f (x ) 与函数 y = g (x ) 的图像恰好有两个不同的交点， 则实数 a 的取值范围为 ．二、 解答题： 共 6 小题， 共 90 分、请在答题卡指定区域内作答， 解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤．15．（ 本小题满分 14 分）如图，三棱锥 D - ABC 中，已知 AC ⊥ BC ， AC ⊥ DC ， BC = DC ， E ，F 分别为BD ， CD 的中点， 求证：（1） EF // 平面 ABC ;（2） BD ⊥平面 ACE .16．（ 本小题满分 14 分）已知向量 a = (2cos α，2sin α )，b = (cos α - sin α，cos α + sin α ).（1） 求向量a 与b 的夹角；（2） 若(λb - a ) ⊥ a ，求实数 λ的值.17．（ 本小题满分 14 分）某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化. 已知空地的一边是直路 AB ，余下的外围是抛 物线的一段弧， 直路 AB 的中垂线恰是该抛物线的对称轴（ 如图） . 拟在这个空地上划出 一个等腰梯形 ABCD 区域种植草坪， 其中 A ， B ，C ， D 均在该抛物线上. 经测量， 直路 AB 长为 40 米， 抛物线的顶点 P 到直路 AB 的距离为 40 米. 设点C 到抛物线的对称轴的距离为m 米， 到直路AB 的距离为 n 米.（1） 求出 n 关于 m 的函数关系式；（2） 当m 为多大时， 等腰梯形草坪 ABCD 的面积最大？并求出其最大值.18．（ 本小题满分 16 分）已知椭圆E : 22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2， 焦点到相应准线的距离为3. （1） 求椭圆 E 的标准方程；（2） 已知 P (t ，0) 为椭圆 E 外一动点， 过点 P 分别作直线 l 1和 l 2 ， l 1和 l 2 分别交椭圆 E 于点 A ， B 和点C ，D ， 且 l 1和 l 2 的斜率分别为定值k 1 和k 2，求证：PA PB PC PD为定值.。

江苏省苏锡常镇四市2018届高三教学情况调研（二）数学试题一、填空题1. 若复数满足是虚数单位，则的虚部为____．2. 设集合，其中，若，则实数____．3. 在平面直角坐标系中，点到抛物线的准线的距离为____．4. 一次考试后，从高三（1）班抽取5人进行成绩统计，其茎叶图如图所示，则这五人成绩的方差为____．5. 下图是一个算法流程图，若输入值，则输出值的取值范围是____．6. 欧阳修在《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径4厘米，中间有边长为1厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是____．7. 已知函数在时取得最大值，则____．8. 已知公差为的等差数列的前项和为，若，则____．9. 在棱长为2的正四面体中，，分别为，的中点，点是线段上一点，且，则三棱锥的体积为____．10. 设△的内角，，的对边分别是，且满足，则____．11. 在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，则点的纵坐标的取值范围是____．12. 如图，扇形的圆心角为90°，半径为1，点是圆弧上的动点，作点关于弦的对称点，则的取值范围为____．13. 已知函数若存在实数，满足，则的最大值是____．14. 已知为正实数，且，则的最小值为____．二、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. 如图，在四棱锥中，，，点为棱的中点．（1）若，求证：；（2）求证：//平面．16. 在△中，三个内角，，的对边分别为，设△的面积为，且.（1）求的大小；（2）设向量，，求的取值范围．17. 下图（I）是一斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重情况，研究小组将其抽象成图（II）所示的数学模型．索塔，与桥面均垂直，通过测量知两索塔的高度均为60m，桥面上一点到索塔，距离之比为，且对两塔顶的视角为．（1）求两索塔之间桥面的长度；（2）研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比（比例系数为正数），且与该处到索塔的距离的平方成反比（比例系数为正数）．问两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小？并求出最小值．（I）（II）18. 如图，椭圆的离心率为，焦点到相应准线的距离为1，点，，分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点的直线交椭圆于点，交轴于点，直线与直线交于点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若，求直线的方程；（3）求证：为定值．19. 已知函数R．（1）若，①当时，求函数的极值（用表示）；②若有三个相异零点，问是否存在实数使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由；（2）函数图象上点处的切线与的图象相交于另一点，在点处的切线为，直线的斜率分别为，且，求满足的关系式．20. 已知等差数列的首项为1，公差为，数列的前项和为，且对任意的，恒成立．（1）如果数列是等差数列，证明数列也是等差数列；（2）如果数列为等比数列，求的值；（3）如果，数列的首项为1，，证明数列中存在无穷多项可表示为数列中的两项之和．数学Ⅱ（附加题）21. 【选做题】在A，B，C，D 四小题中只能选做两题．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1：几何证明选讲如图所示，为⊙的直径，平分交⊙于点，过作⊙的切线交于点，求证．B．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵的一个特征值为3，求．C．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，圆的参数方程为为参数．以原点为极点，以轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为，已知圆心到直线的距离等于，求的值．D．选修4—5：不等式选讲已知实数满足，，求证：．【必做题】第22题、第23题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. 甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲做对该题的概率为，乙、丙做对该题的概率分别为，且三位学生能否做对相互独立，设为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：（1）求的值；（2）求的数学期望．23. 已知函数．（1）当时，若，求实数的值；（2）若，求证：．【参考答案】一、填空题1.【答案】.【解析】先求出复数z，再求复数z的虚部.详解：由题得所以复数z的虚部为-1.故答案为：-12.【答案】【解析】：根据集合相等的概念得到a的方程，解方程即得解.详解：因为A=B,所以故答案为：3.【答案】4【解析】先写出抛物线的准线方程，再求点到抛物线的准线的距离.详解：由题得抛物线的准线方程为x=2,所以点P(-2，4)到准线的距离为2-（-2）=4.故答案为:44. 【答案】【解析】先计算出数据的平均数,再求数据的方差得解.详解：由题得所以成绩的方差为故答案为：20.85. 【答案】.【解析】先根据程序框图写出函数的解析式，再根据解析式求函数的值域即得输出值的取值范围.详解：由题得所以当x∈[0,1]时，S=1；当x∈[1,2]时，综上所述输出值的取值范围是.故答案为：6. 【答案】.【解析】根据几何概型的概率公式解答即可.详解：由几何概型的概率公式得所以油恰好落入孔中的概率是.故答案为：.7.【答案】.【解析】解方程即得解.详解：由题得故答案为：8.【答案】2【解析】先化简已知,得到再代入化简即得.详解：由题得，故答案为：29.【答案】.【解析】先把体积转化，再求三棱锥M-BDC的高和底面积，最后代三棱锥的体积公式即得解.详解：由题得,由题得AN=所以.所以三棱锥M-BDC的高为.因为所以故答案为：10.【答案】4【解析】利用正弦定理化边为角，整理后两边同除以cos A cos B可得解.详解：a cos B﹣b cos A=c，由正弦定理得sin A cos B﹣sin B cos A=sinC=sin（A+B）=（sin A cos B+cos A sin B），整理得sin A cos B=4cos A sin B，两边同除以cos A cos B，得tan A=4tan B，故.故答案为：411.【答案】【解析】分析:先设，化简得到再利用函数求点的纵坐标的取值范围.详解：设点，因为，所以即，因为，所以，所以，化简得因为，所以故答案为：12. 【答案】【解析】先建立直角坐标系，再设出点P,Q的坐标，利用已知条件求出P,Q的坐标，再求出的函数表达式，求其最值，即得其取值范围.详解:以点O为坐标原点,以OA所在直线作x轴，以OB所在直线作y轴，建立直角坐标系.则A(1，0),B(0，1),直线AB的方程为x+y-1=0,设P，，所以PQ的中点，由题得所以=设，所以，所以=，所以当t=1时函数取最大值1，当t=时函数取最小值.故答案为：13.【答案】.【解析】根据函数f（x）图象判断a，b，c关系即范围，用c表示出af（a）+bf（b）+cf（c），根据函数单调性求出最大值．详解: 作出f（x）的函数图象如图所示：∵存在实数a＜b＜c，满足f（a）=f（b）=f（c），∴a+b=﹣6，∴af（a）+bf（b）+cf（c）=（a+b+c）f（c）=（c﹣6）ln c，由函数图象可知：＜c＜e2，设g（c）=（c﹣6）ln c，则=lnc+1﹣，显然在（，e2]上单调递增，∵=2﹣＜0，=3﹣＞0，∴在（，e2]上存在唯一一个零点，不妨设为c0，在g（c）在（，c0）上单调递减，在（c0，e2]上单调递增，又g（）=（﹣6）＜0，g（e2）=2（e2﹣6）＞0，∴g（c）的最大值为g（e2）=2e2﹣12．故答案为：2e2﹣1214.【答案】.【解析】先通过结合基本不等式求出，再开方得到的最小值. 详解：由题得，代入已知得，两边除以得当且仅当ab=1时取等.所以即的最小值为.故答案为：二、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. 证明：（1）取的中点，连结，因为，所以△为等腰三角形，所以．因为，所以△为等腰三角形，所以．又，所以平面．因为平面，所以．（2）由为中点，连，则，又平面，所以平面．由，以及，所以，又平面，所以平面．又，所以平面平面，而平面，所以平面．16. 解：（1）由题意，有，则，所以．因为，所以，所以．又，所以．（2）由向量，，得．由（1）知，所以，所以．所以．所以．所以．即取值范围是．17. 解：（1）设，，记，则，由，化简得，解得或（舍去），所以，．答：两索塔之间的距离AC=500米．（2）设AP=x，点P处的承重强度之和为.则，且，即记，则，令，解得，当，，单调递减；当，，单调递增；所以时，取到最小值，也取到最小值.答：两索塔对桥面AC中点处的“承重强度”之和最小，且最小值为.18. 解：（1）由椭圆的离心率为，焦点到对应准线的距离为1.得解得所以，椭圆的标准方程为.（2）由（1）知，设，因为，得，所以，代入椭圆方程得或，所以或，所以或.所以的方程为：或.（3）设D坐标为(x3，y3）,由，M(x1，0)可得直线的方程，联立椭圆方程得：解得,.由，得直线BD的方程：，因为点在直线BD上，所以，①直线AC方程为，因为点在直线AC上，所以，②联立①②得，从而=2为定值.19. 解：（1）①由及，得，令，解得或.由知，，单调递增，，单调递减，，单调递增，因此，的极大值为，的极小值为.②当时，，此时不存在三个相异零点；当时，与①同理可得的极小值为，的极大值为. 要使有三个不同零点，则必须有，即.不妨设的三个零点为，且，则，，①，②，③②-①得，因为，所以，④同理，⑤⑤-④得，因为，所以，又，所以.所以，即，即，因此，存在这样实数满足条件.（2）设A（m，f(m)）,B(n，f(n))，则，，又，由此可得，化简得，因此，，所以，，所以.20. 解：（1）设数列的公差为，由，①，②①-②得，③即，所以为常数，所以为等差数列．（2）由③得，即，所以是与n无关的常数，所以或为常数．①当时，，符合题意；②当为常数时，在中令，则，又，解得，所以，此时，解得．综上，或．（3）当时，，由（2）得数列是以为首项，公比为3的等比数列，所以，即．当时，，当时，也满足上式，所以．设，则，即，如果，因为为3的倍数，为3的倍数，所以2也为3的倍数，矛盾．所以，则，即．所以数列中存在无穷多项可表示为数列中的两项之和．数学Ⅱ（附加题）21. A．解：连接OE，因为ED是⊙O切线，所以OE⊥ED.因为OA＝OE，所以∠1＝∠OEA.又因为∠1＝∠2，所以2＝∠OEA，所以OE∥AC，∴AC⊥DE．B.解：由，得的一个解为3，代入得，因为，所以.C.解：消去参数t，得到圆的普通方程为,由，得,所以直线的直角坐标方程为.依题意，圆心C到直线的距离等于，即解得.D.证明：因为a＋2b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1，所以a＋2b＝1－c，a2＋b2＝1－c2.由柯西不等式：(12＋22)(a2＋b2)≥(a＋2b)2，5(1－c2)≥(1－c)2，整理得，3c2－c－2≤0，解得：≤c≤1.所以：≤c≤1.【必做题】第22题、第23题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. 解：（1）由题意，得又，解得，（2）由题意，所以23. 解：（1）当时，，所以，所以.（2）因为，所以，由题意，首先证明对于固定的，满足条件的是唯一的.假设，则，而，，矛盾.所以满足条件的是唯一的.下面我们求及的值：因为，显然.又因为，故，即.所以令，，则，又，所以.。

江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调研（3月）数学试题一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1.已知集合{1,1}A =-，{3,0,1}B =-，则集合A B = ． 2.已知复数z 满足34z i i ⋅=-（i 为虚数单位），则z = ．3.双曲线22143x y -=的渐近线方程为 ． 4.某中学共有1800人，其中高二年级的人数为600.现用分层抽样的方法在全校抽取n 人，其中高二年级被抽取的人数为21，则n = ．5.将一颗质地均匀的正四面体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4）先后抛掷2次，观察其朝下一面的数字，则两次数字之和等于6的概率为 ．6.如图是一个算法的流程图，则输出S 的值是 ．7.若正四棱锥的底面边长为2cm ，侧面积为28cm ，则它的体积为 3cm ． 8.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若242a a +=，241S S +=，则10a = ．9.已知0a >，0b >，且23a b+=，则ab 的最小值是 ．10.设三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan 3tan A c bB b -=，则cos A = ．11.已知函数,1()4,1x a e x f x x x x ⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩（e 是自然对数的底）.若函数()y f x =的最小值是4，则实数a的取值范围为 ．12.在ABC ∆中，点P 是边AB 的中点，已知3CP =4CA =，23ACB π∠=，则CP CA ⋅= ．13.已知直线l ：20x y -+=与x 轴交于点A ，点P 在直线l 上，圆C ：22(2)2x y -+=上有且仅有一个点B 满足AB BP ⊥，则点P 的横坐标的取值集合为 ． 14.若二次函数2()f x ax bx c =++(0)a >在区间[1,2]上有两个不同的零点，则(1)f a的取值范围为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量(2sin ,1)a α=，(1,sin())4b πα=+.（1）若角α的终边过点(3,4)，求a b ⋅的值； （2）若//a b ，求锐角α的大小.16.如图，正三棱柱111ABC AB C -，其底面边长为2.已知点M ，N 分别是棱11AC ，AC 的中点，点D 是棱1CC 上靠近C 的三等分点.求证：（1）1//B M 平面1A BN ； （2）AD ⊥平面1A BN .17.已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>经过点1)2，(1,2，点A 是椭圆的下顶点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点A 且互相垂直的两直线1l ，2l 与直线y x =分别相交于E ，F 两点，已知OE OF =，求直线1l 的斜率.18.如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB 为6，O 是圆心，且OC AB ⊥.在OC 上有一座观赏亭Q ，其中23AQC π∠=.计划在BC 上再建一座观赏亭P ，记(0)2POB πθθ∠=<<.（1）当3πθ=时，求OPQ ∠的大小；（2）当OPQ ∠越大，游客在观赏亭P 处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭P 处的观赏效果最佳时，角θ的正弦值.19.已知函数32()f x x ax bx c =+++，()ln g x x =.（1）若0a =，2b =-，且()()f x g x ≥恒成立，求实数c 的取值范围； （2）若3b =-，且函数()y f x =在区间(1,1)-上是单调递减函数. ①求实数a 的值；②当2c =时，求函数(),()()()(),()()f x f x g x h x g x f x g x ≥⎧=⎨<⎩的值域.20.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，13a =，且123n n S a +=-*()n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对于正整数i ，j ，()k i j k <<，已知j a λ，6i a ，k a μ成等差数列，求正整数λ，μ的值； （3）设数列{}n b 前n 项和是n T ，且满足：对任意的正整数n ，都有等式12132n n n a b a b a b --++113n n a b ++⋅⋅⋅+=33n --成立.求满足等式13n n T a =的所有正整数n .数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A. 选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过点D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点C ，且满足DA DC =.（1）求证：2AB BC =； （2）若2AB =，求线段CD 的长. B. 选修4-2：矩阵与变换已知矩阵4001A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1205B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，列向量a X b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. （1）求矩阵AB ；（2）若1151B A X --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求a ，b 的值.C. 选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C经过点)4P π，圆心为直线sin()3πρθ-=圆C 的极坐标方程. D. 选修4-5：不等式选讲已知x ，y 都是正数，且1xy =，求证：22(1)(1)9x y y x ++++≥.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PD 垂直于底面ABCD ，2PD AD AB ==，点Q 为线段PA （不含端点）上一点.（1）当Q 是线段PA 的中点时，求CQ 与平面PBD 所成角的正弦值； （2）已知二面角Q BD P --的正弦值为23，求PQPA的值. 23.在含有n 个元素的集合{1,2,,}n A n =⋅⋅⋅中，若这n 个元素的一个排列（1a ，2a ，…，n a ）满足(1,2,,)i a i i n ≠=⋅⋅⋅，则称这个排列为集合n A 的一个错位排列（例如：对于集合3{1,2,3}A =，排列(2,3,1)是3A 的一个错位排列；排列(1,3,2)不是3A 的一个错位排列）.记集合n A 的所有错位排列的个数为n D .（1）直接写出1D ，2D ，3D ，4D 的值；（2）当3n ≥时，试用2n D -，1n D -表示n D ，并说明理由； （3）试用数学归纳法证明：*2()n D n N ∈为奇数.江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调研（3月）数学试题参考答案一、填空题1. {1}2. 53. y x =4. 635. 3166. 257.38. 8 9. 10. 1311. 4a e ≥+ 12. 6 13. 1,53⎧⎫⎨⎬⎩⎭14. [0,1)二、解答题15.解：（1）由题意4sin 5α=，3cos 5α=，所以sin()4a b a πα⋅=++sin cos 4παα=+cos sin 4πα+4552=+⨯3522+⨯=（2）因为//a b ，所以sin()14a πα+=α(sin cos cos sin )144ππαα+=，所以2sin sin cos 1ααα+=，则2sin cos 1sin ααα=-2cos α=，对锐角α有cos 0α≠，所以tan 1α=， 所以锐角4πα=.16.证明：（1）连结MN ，正三棱柱111ABC A B C -中，11//AA CC 且11AA CC =，则四边形11AAC C 是平行四边形，因为点M 、N 分别是棱11AC ，AC 的中点，所以1//MN AA 且1MN AA =， 又正三棱柱111ABC A B C -中11//AA BB 且11AA BB =，所以1//MN BB 且1MN BB =，所以四边形1MNBB 是平行四边形，所以1//B M BN ，又1B M ⊄平面1A BN ，BN ⊂平面1A BN ， 所以1//B M 平面1A BN ；（2）正三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，BN ⊂平面ABC ，所以1BN AA ⊥，正ABC ∆中，N 是AB 的中点，所以BN AC ⊥，又1AA 、AC ⊂平面11AAC C ，1AA AC A =，所以BN ⊥平面11AAC C ，又AD ⊂平面11AAC C ，所以AD BN ⊥，由题意，1AA =，2AC =，1AN =，CD =1AA AN AC CD == 又12A AN ACD π∠=∠=，所以1A AN ∆与ACD ∆相似，则1AA N CAD ∠=∠，所以1ANA CAD ∠+∠112ANA AA N π=∠+∠=，则1AD A N ⊥，又1BNA N N =，BN ，1A N ⊂平面1A BN ，所以AD ⊥平面1A BN .17.解：（1）由题意得222231141314a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2211411a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=；（2）由题意知(0,1)A -，直线1l ，2l 的斜率存在且不为零，设直线1l ：11y k x =-，与直线y x =联立方程有11y k x y x=-⎧⎨=⎩，得1111(,)11E k k --，设直线2l ：111y x k =--，同理1111(,)1111F k k ----， 因为OE OF =，所以1111||||111k k =---， ①1111111k k =---，1110k k +=无实数解； ②1111111k k =---，1112k k -=，211210k k --=，解得11k = 综上可得，直线1l的斜率为1±18.解：（1）设OPQ α∠=，由题，Rt OAQ ∆中，3OA =，AQO AQC π∠=-∠233πππ=-=，所以OQ =OPQ ∆中，3OP =，2POQ πθ∠=-236πππ=-=，由正弦定理得sin sin OQ OPOPQ OQP=∠∠，3sin()6ππα=--sin()6παπα=--5sin()6πα=-，5sincos 6παα=5cos sin 6πα-1cos 2αα=cos αα=， 因为α为锐角，所以cos 0α≠，所以tan α=，得6πα=；（2）设OPQ α∠=，在OPQ ∆中，3OP =，2POQ πθ∠=-236πππ=-=，由正弦定理得sin sin OQ OPOPQ OQP=∠∠3sin(())2ππαθ=---，sin(())2παπαθ=---sin(())2παθ=--cos()αθ=-cos cos sin sin αθαθ=+，从而sin )sin θαcos cos αθ=sin 0θ≠，cos 0α≠，所以tanα=，记()f θ=，'()f θ=，(0,)2πθ∈；令'()0f θ=，sin θ=0(0,)2πθ∈使得0sin θ=，当0(0,)θθ∈时'()0f θ>，()f θ单调增，当0(,)2πθθ∈时'()0f θ<，()f θ单调减，所以当0θθ=时，()f θ最大，即tan OPQ ∠最大，又OPQ ∠为锐角，从而OPQ ∠最大，此时sin 3θ=答：观赏效果达到最佳时，θ. 19.解：（1）函数()y g x =的定义域为(0,)+∞.当0a =，2b =-，3()2f x x x c =-+， ∵()()f x g x ≥恒成立，∴32ln x x c x -+≥恒成立，即3ln 2c x x x ≥-+.令3()ln 2x x x x ϕ=-+，则21'()32x x x ϕ=-+3123x x x +-=2(1)(133)x x x x-++=，令'()0x ϕ≥，得1x ≤，∴()x ϕ在(0,1]上单调递增， 令'()0x ϕ≤，得1x ≥，∴()x ϕ在[1,)+∞上单调递减， ∴当1x =时，max [()](1)1x ϕϕ==. ∴1c ≥.（2）①当3b =-时，32()3f x x ax x c =+-+，2'()323f x x ax =+-. 由题意，2'()3230f x x ax =+-≤对(1,1)x ∈-恒成立，∴'(1)3230'(1)3230f a f a =+-≤⎧⎨-=--≤⎩，∴0a =，即实数a 的值为0.②函数()y h x =的定义域为(0,)+∞.当0a =，3b =-，2c =时，3()32f x x x =-+.2'()33f x x =-，令2'()330f x x =-=，得1x =.∴当(0,1)x ∈时，()0f x >，当1x =时，()0f x =，当(1,)x ∈+∞时，()0f x >.对于()ln g x x =，当(0,1)x ∈时，()0g x <，当1x =时，()0g x =，当(1,)x ∈+∞时，()0g x >. ∴当(0,1)x ∈时，()()0h x f x =>，当1x =时，()0h x =，当(1,)x ∈+∞时，()0h x >. 故函数()y h x =的值域为[0,)+∞.20.解：（1）由123n n S a +=-*()n N ∈得1223n n S a ++=-，两式作差得1212n n n a a a +++=-，即213n n a a ++=*()n N ∈.13a =，21239a S =+=，所以13n n a a +=*()n N ∈，0n a ≠，则13n na a +=*()n N ∈，所以数列{}n a 是首项为3公比为3的等比数列， 所以3n n a =*()n N ∈；（2）由题意26j k i a a a λϕ+=⋅，即33263j k i λμ+=⋅⋅， 所以3312j i k i λμ--+=，其中1j i -≥，2k i -≥， 所以333j i λλ-≥≥，399k i μμ-≥≥，123312j i k i λμ--=+≥，所以1j i -=，2k i -=，1λμ==； （3）由12132n n n a b a b a b --++113n n a b ++⋅⋅⋅+=33n --得，11231n n n a b a b a b +-++211n n a b a b ++⋅⋅⋅++233(1)3n n +=-+-， 111213(n n n a b a b a b +-++121)n n a b a b -+⋅⋅⋅++233(1)3n n +=-+-，1113(333)n n a b n +++--233(1)3n n +=-+-，所以21333(1)n n b n ++=-+133(333)n n +----，即1363n b n +=+，所以121n b n +=+*()n N ∈，又因为111133133a b +=-⋅-=，得11b =，所以21n b n =-*()n N ∈，从而135(21)n T n =+++⋅⋅⋅+-21212n n n +-==*()n N ∈，2*()3n n n T n n N a =∈， 当1n =时1113T a =；当2n =时2249T a =；当3n =时3313T a =； 下面证明：对任意正整数3n >都有13n n T a <， 11n n n n T T a a ++-121(1)3n n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭121133n n n +⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1221((1)3)3n n n +⎛⎫+-= ⎪⎝⎭2(221)n n -++，当3n ≥时，22221(1)n n n -++=-(2)0n n +-<，即110n n n nT T a a ++-<， 所以当3n ≥时，n nT a 递减，所以对任意正整数3n >都有3313n n T T a a <=； 综上可得，满足等式13n n T a =的正整数n 的值为1和3. 2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅱ（附加题）参考答案21.【选做题】A. 选修4-1：几何证明选讲证明：（1）连接OD ，BD .因为AB 是圆O 的直径，所以90ADB ∠=，2AB OB =. 因为CD 是圆O 的切线，所以90CDO ∠=，又因为DA DC =，所以A C ∠=∠，于是ADB CDO ∆≅∆，得到AB CO =，所以AO BC =，从而2AB BC =.（2）解：由2AB =及2AB BC =得到1CB =，3CA =.由切割线定理，2133CD CB CA =⋅=⨯=，所以CD =.B. 选修4-2：矩阵与变换解：（1）401248010505AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦； （2）由1151B A X --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，解得51X AB ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦485280515⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，又因为a X b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以28a =，5b =. C. 选修4-4：坐标系与参数方程解：在sin()3πρθ-=0θ=，得2ρ=， 所以圆C 的圆心的极坐标为(2,0).因为圆C 的半径PC 2==，于是圆C 过极点，所以圆的极坐标方程为4cos ρθ=.D. 选修4-5：不等式选讲证明：因为x ，y 都是正数，所以210x y ++≥>，210y x ++≥>，22(1)(1)9x y y x xy ++++≥，又因为1xy =，所以22(1)(1)9x y y x ++++≥.【必做题】22.解：（1）以D 为原点，DA ，DC ，DP 为坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系；设AB t =，则(0,0,0)D ，(2,0,0)A t ，(2,,0)B t t ，(0,,0)C t ，(0,0,2)P t ，(,0,)Q t t ；所以(,,)CQ t t t =-，(2,,0)DB t t =，(0,0,2)DP t =，设平面PBD 的法向量1(,,)n x y z =，则1100DB n DP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020tx ty tz +=⎧⎨=⎩，解得200x y z +=⎧⎨=⎩，所以平面PBD 的一个法向量1(1,2,0)n =-， 111cos ,n CQn CQ n CQ ⋅<>===， 则CQ 与平面PBD （2）由（1）知平面PBD 的一个法向量为1(1,2,0)n =-，设(01)PQ PA λλ=<<，则PQ PA λ=，DQ DP PQ =+(0,0,2)(2,0,2)t t t λ=+-(2,0,2(1))t t λλ=-，(2,,0)DB t t =，设平面QBD 的法向量2(,,)n x y z =，则2200D Q n D B n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22(1)020t x t z tx ty λλ+-=⎧⎨+=⎩，解得(1)020x z x y λλ+-=⎧⎨+=⎩，所以平面QBD 的一个法向量2(1,22,)n λλλ=---，12cos ,n n =<>1212n n n n ⋅==，所以2255(1)96105λλλ-=-+，即2(2)()03λλ--=， 因为01λ<<，所以23λ=，则23PQ PA =. 23. 解：（1）10D =，21D =，32D =，49D =，（2）12(1)()n n n D n D D --=-+，理由如下：对n A 的元素的一个错位排列（1a ，2a ，…，n a ），若1(1)a k k =≠，分以下两类：若1k a =，这种排列是2n -个元素的错位排列，共有2n D -个； 若1k a ≠，这种错位排列就是将1，2，…，1k -，1k +，…，n 排列到第2到第n 个位置上，1不在第k 个位置，其他元素也不在原先的位置，这种排列相当于1n -个元素的错位排列，共有1n D -个；根据k 的不同的取值，由加法原理得到12(1)()n n n D n D D --=-+；（3）根据（2）的递推关系及（1）的结论，n D 均为自然数；当3n ≥，且n 为奇数时，1n -为偶数，从而12(1)()n n n D n D D --=-+为偶数， 又10D =也是偶数，故对任意正奇数n ，有n D 均为偶数.下面用数学归纳法证明2n D （其中*n N ∈）为奇数. 当1n =时，21D =为奇数；假设当n k =时，结论成立，即2k D 是奇数，则当1n k =+时，2(1)212(21)()k k k D k D D ++=++，注意到21k D +为偶数，又2k D 是奇数，所以212k k D D ++为奇数，又21k +为奇数，所以2(1)212(21)()k k k D k D D ++=++，即结论对1n k =+也成立； 根据前面所述，对任意*n N ∈，都有2n D 为奇数.。

地理一、选择题（共60分）（一）单项选择题：本大题共18小题，每小题2分，共计36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

下图为一位旅游者于北京时间2018年7月30日13:31在巴厘岛面向大海拍摄的景观。

读图回答下面小题。

1. 根据光影可知该景观拍摄的地点位于()A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁2. 最能反映该地6月22日旗杆杆影端点移动轨迹的是()A. AB. BC. CD. D从开罗到开普敦，穿越整个非洲大陆的梦幻之旅。

某旅行者在日记中写道：“再向前行，树木越加稀疏，植被逐渐稀少，越来越多裸露的岩石将你带到漫无边际的沙漠……”左图为“非洲梦幻之旅路线图”，右图为“肯尼亚山植被垂直分布示意图”。

据此回答下列各题。

3. 与旅行者日记描述相符的路段是() A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁4. 该线路途经距赤道最近的雪山——肯尼亚山，关于肯尼亚山说法正确的是()A. 山地雨林受赤道低压影响降水多B. M坡为东北信风迎风坡降水多C. ①、②植被分别为森林、灌丛D. 山坡草甸比山麓草原湿润元阳哈尼梯田位于云南省哀牢山南部，哈尼梯田一般分布在海拔1000~1300米的坡地上，以种植水稻为主。

从山顶道山脚具有“森林—村寨—梯田—河流”垂直景观结构，构成了良好的梯田生态系统，其中，森林构成了巨大的天然南水库。

上图为元阳哈尼梯田局部等高线地形图，读图回答下面小题。

5. 下列描述可能与实地相符的是()A. ②地适合建村寨B. ②地分布原始森林C. ③地欣赏积雪冰川D. ④地适合建梯田的观景平台6. 关于梯田生态系统各要素的叙述，正确的是()A. 元阳梯田抵御旱涝灾害的能力较差B. 河流显著调节了当地的气温年较差C. 森林市维持梯田生态系统的关键D. 村寨在梯田上方有利于地下径流形成河谷底部超出一般洪水位以上，呈阶梯状分布于河流两侧的地形称为河流阶地。

一般情况下，阶地位置越高年代越老。

下图是北半球某河流平直河段的河谷及两岸阶地的东西向刨面图。

2018-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学Ⅰ试题 2018．5参考公式：圆锥的体积公式：V 圆锥=13Sh ，其中S 是圆锥的底面积，h 是高．圆锥的侧面积公式：S 圆锥=rl p ，其中r 是圆柱底面的半径， l 为母线长．样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中x =11n ii x n =∑．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知全集{}12345U =，，，，，{}12A =，，{}234B =，，，那么()UA B = ð ▲ ．2．已知2(i)2i a -=，其中i 是虚数单位，那么实数a =▲ ．3．从某班抽取5名学生测量身高（单位：cm ），得到的数据为160，162，159，160，159，则该组数据的方差2s = ▲ ．4．同时抛掷三枚质地均匀、大小相同的硬币一次，则至少有两枚硬币正面向上的概率为 ▲ ． 5．若双曲线221x my +=过点()2，则该双曲线的虚轴长为 ▲ ． 6．函数()2ln 2()1x x f x x -=-的定义域为 ▲ ．7．某算法流程图如右图所示，该程序运行后，若输出的15x =，则实数a 等 于 ▲ ．8．若1tan 2α=，1tan()3αβ-=-，则tan(2)βα-= ▲ ．9．若直线340x y m +-=与圆222440xy x y ++-+=始终有公共点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．10．设棱长为a 的正方体的体积和表面积分别为1V ，1S ，底面半径和高均为r 的圆锥的体积和侧面积分别为2V ，2S ，若123=VVp ，则12SS的值为 ▲ ． 11．已知函数3()2f x xx=+，若1(1)(log3)0af f +>（0a >且1a ≠），则实数a 的取值范围是 ▲ ．12．设公差为d （d 为奇数，且1d >）的等差数列{}na 的前n 项和为nS ，若19m S-=-，0m S =，其中3m >，且*m ∈N ，则n a =▲ ．13．已知函数2()f x x xa=-，若存在[]1,2x ∈，使得()2f x <，则实数a 的取值范围是 ▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，设点(1 0)A ，，(0 1)B ，，( )C a b ，，( )D c d ，，若不等式2(2)()()CDm OC OD m OC OB OD OA -⋅+⋅⋅⋅≥对任意实数a b c d，，，都成立，则实数m 的最大值是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 在△ABC中，角A B C，，的对边分别是a b c，，，已知向量(cos cos )B C =，m ，(4)a b c =-，n ，且∥m n ．（1）求cos C 的值； （2）若c =，△ABC的面积S ，求a b，的值．16．（本小题满分14分） 在直三棱柱111A B C A B C -中，C A C B =，1A A A B =，D 是AB 的中点．（1）求证：1BC ∥平面1A CD ；（2）若点P 在线段1BB 上，且114BP BB =，C B 1A 1PD CBA求证：AP 平面A CD．117．（本小题满分14分）某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场调研发现以下规律：当每台净化器的利润为x （单位：元，0x >）时，销售量()q x （单位：百台）与x 的关系满足：若x 不超过20，则1260()1q x x =+；若x 大于或等于180，则销售量为零；当20180x ≤≤时，()q x a =-a ，b 为实常数）．（1）求函数()q x 的表达式；（2）当x 为多少时，总利润（单位：元）取得最大值，并求出该最大值．18．（本小题满分16分） 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左，右焦点分别是1F ，2F ，右顶点、上顶点分别为A ，B ，原点O 到直线AB 的距离等于ab ﹒（1）若椭圆C C 的方程；（2）若过点(0,1)的直线l与椭圆有且只有一个公共点P，且P在第二象限，直线2PF交y轴于点Q﹒试判断以PQ为直径的圆与点F的位置关系，并说明理由﹒119．（本小题满分16分） 已知数列{}na 的前n 项和为nS ，13a=，且对任意的正整数n ，都有113n n n S S λ++=+，其中常数0λ>．设3nn na b =()n *∈N ﹒（1）若3λ=，求数列{}nb 的通项公式；（2）若1≠λ且3λ≠，设233n nn ca λ=+⨯-()n *∈N ，证明数列{}n c 是等比数列；（3）若对任意的正整数n ，都有3nb ≤，求实数λ的取值范围．20．（本小题满分16分） 已知函数2()exf x a x bx=⋅+-（a b ∈R ，，e 2.71828= 是自然对数的底数），其导函数为()y f x '=．（1）设1a =-，若函数()y f x =在R 上是单调减函数，求b 的取值范围；（2）设0b =，若函数()y f x =在R 上有且只有一个零点，求a 的取值范围；（3）设2b =，且0a ≠，点()m n ，（m ，n ∈R ）是曲线()y f x =上的一个定点，是否存在实数0x （0xm ≠），使得000()()()2x mf x f x m n +'=-+成立？证明你的结论．2018-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学Ⅱ（附加题） 2018．521．【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能．．选做两题．．．．，每小题10分，共计20分．请在答．题卡指定区域．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4 —1：几何证明选讲已知△ABC 内接于O ，BE 是O 的直径，AD 是BC 边上的高．求证：BA AC BE AD ⋅=⋅．（第21-A 题）B．选修4—2：矩阵与变换已知变换T把平面上的点(34)，分别变换成(21)-，，(1 2)-，，试求，，(5 0)-变换T对应的矩阵M．C．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系x O y中，直线l过点(12)M，，倾斜角为3π﹒以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆:6c o sCρθ=﹒若直线l与圆C相交于A B，两点，求M A M B⋅的值．D．选修4—5：不等式选讲设x为实数，求证：()()2242≤﹒++++131x x x x【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．题卡指定区域．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，若有3次摸到红球即停止．（1）求恰好摸4次停止的概率；（2）记4次之内（含4次）摸到红球的次数为X，求随机变量X的分布列．23．（本小题满分10分） 设实数12na a a ，，，满足120n aa a +++= ，且12||||||1n a aa +++ ≤(*n ∈N 且2)n ≥，令(*)n n a b n n =∈N ．求证：1211||22n b b b n+++-≤(*)n ∈N ．2018-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．{125}，， 2．1- 3．654．125．4 6．()()0,11,2 7．1 8．17-9． [010]，10 11．()()0,13,+∞ 12．312n - 13．(1,5)-14．1二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 解：（1）∵∥m n，∴cos (4)cos c B a b C =-， …………2分由正弦定理，得sin cos (4sin sin )cos C B A B C =-， 化简，得sin()4sin cos B C A C+=﹒ …………4分∵A B C ++=p ，∴sin sin()A B C =+﹒ 又∵()0,A ∈p ，∵sin 0A >，∴1cos 4C =． …………6分（2）∵()0,C ∈p ， 1cos 4C =，∴sin C =．∵1sin 2S ab C ==，∴2ab =﹒① …………9分∵c =，由余弦定理得22132a b ab =+-，∴224a b +=，② …………12分 由①②，得42440a a -+=，从而22a =，a =，所以b =， ∴a b ==．…………14分16．证明：（1）连结1AC ，设交1A C 于点O ，连结OD ．∵四边形11AA C C是矩形，∴O是1AC 的中点． …………2分在△1ABC 中， O ，D 分别是1AC ，AB 的中点，∴1OD BC ∥．…………4分 又∵OD ⊂平面1AC D，1BC ⊄平面1A C D ， ∴1BC ∥平面1A CD ．…………6分（2）∵CA CB =，D 是AB 的中点，∴CD AB ⊥﹒又∵在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ⊥侧面11AA B B ，交线为AB ，CD ⊂平面ABC，∴CD ⊥平面11AA B B﹒ …………8分 ∵AP ⊂平面11A B BA，∴CD AP ⊥．…………9分∵1BB ，11BB AA = ，114BP BB =，∴1BP ADBAAA =， ∴Rt △ABP ∽Rt △1AA D ，从而∠1AA D =∠BAP ，所以∠1AA D +∠1A AP =∠BAP +∠1A AP =90︒，∴1AP A D⊥．…………12分又∵1CD A D D = ，CD ⊂平面1A CD ，1A D ⊂平面1A CD∴AP⊥平面1A CD．…………14分17．解：（1）当20180x≤≤时，由60a ba b⎧-⎪⎨-=⎪⎩，，得90ab=⎧⎪⎨=⎪⎩，…………2分故1260,020,1()90180,0,180xxq x xx⎧<⎪+⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎪⎩≤＝≤…………4分（2）设总利润()()f x x q x=⋅，由（1）得126000020,1()9000201800180xxxf x x xx⎧<<⎪+⎪⎪-⎨⎪>⎪⎪⎩，＝≤≤，，…………6分当020x<≤时，126000126000()12600011xf xx x==-++，()f x在[020]，上单调递增，所以当20x=时，()f x有最大值120000．…………8分当20180x<≤时，()90005f x x x-＝()90005f x'-＝令()0f x'＝，得80x =． (10)分当2080x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当8080x <≤1时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以当80x =时，()f x 有最大值240000．…………12分当180x <时，()0f x =﹒答：当x等于80元时，总利润取得最大值240000元． …………14分 18．解：由题意，得点(,0)A a ，(0,)B b ，直线AB 的方程为1x ya b+=，即0ax by ab +-=﹒由题设，得ab=，化简，得221a b +=﹒① …………2分（1）∵c e a ==22223a b a -=，即223a b =﹒②由①②，解得223414a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，﹒ …………5分所以，椭圆C的方程为224413x y +=﹒ …………6分（2）点1F 在以PQ 为直径的圆上﹒由题设，直线l 与椭圆相切且l 的斜率存在，设直线l 的方程为：1y kx =+，由222211x y a b y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22222222()20b a k x ka x a a b +++-=，（*）…………8分 则22222222=(2)4()()0ka b a k a a b ∆-+-=，化简，得22210b a k --=，所以，22211b k a -==， ∵点P在第二象限，∴1k =﹒ …………10分把1k =代入方程（*） ，得22420x a x a ++=，解得2x a =-，从而2y b =，所以22(,)P a b -﹒ …………11分从而直线2PF 的方程为：2222()b y b x a a c -=+--，令x =，得22b c y a c=+，所以点22(0,)+b c Q a c﹒ …………12分从而221=(,)F P a c b -+，212=(,)+b c FQ c a c， …………13分从而42112()+b c F P FQ c a c a c⋅=-++22222424442222()()(+)()==0+++c b a b a c c a c b c a b c a c a c a c⎡⎤-++-+-++⎣⎦==，又∵221a b +=，222=+a b c ，∴110F P FQ ⋅=﹒ …………15分所以点1F 在以PQ为直径的圆上﹒ …………16分 19．解：∵113n n n SS λ++=+，n *∈N ，∴当2n ≥时，-13n nn S S λ=+，从而123n n n aa λ+=+⋅，2n ≥，n *∈N ﹒又在113n n n S S λ++=+中，令1n =，可得12123a a λ=+⋅，满足上式，所以123nn n a a λ+=+⋅，n *∈N ﹒ …………2分 （1）当3λ=时，1323n n n a a +=+⋅，n *∈N ，从而112333n n n n aa ++=+，即123n nb b +-=， 又11b =，所以数列{}n b 是首项为1，公差为23的等差数列，所以213n n b +=． …………4分（2）当0>λ且3λ≠且1≠λ时，1122323333n n n n n n c a a λλλ--=+⨯=+⨯+⨯-- 11111223(33)(3)33n n n n n a a c λλλλλλ-----=+⨯-+=+⨯=⋅--， (7)分又163(1)3033c-=+=≠--λλλ， 所以{}nc 是首项为3(1)3λλ--，公比为λ的等比数列，13(1)3n n c λλλ--=⋅-﹒…………8分（3）在（2）中，若1λ=，则0nc=也适合，所以当3λ≠时，13(1)3n n c λλλ--=⋅-．从而由（1）和（2）可知11(21)333(1)23333n n n n n a λλλλλλ--⎧+⨯=⎪=⎨-⋅-⨯≠⎪--⎩，，，．…………9分当3λ=时，213n n b +=，显然不满足条件，故3λ≠．…………10分 当3λ≠时，112()333n nbλλλλ--=⨯---． 若3λ>时，103λλ->-，1nn bb +<，n *∈N ，[1,)nb∈+∞，不符合，舍去． …………11分若01λ<<时，103λλ->-，203λ->-，1n n b b +>，n *∈N ，且0n b >． 所以只须11133a b ==≤即可，显然成立．故01λ<<符合条件； …………12分若1λ=时，1n b =，满足条件．故1λ=符合条件； …………13分若13λ<<时，103λλ-<-，203λ->-，从而1n n b b +<，n *∈N ，因为110b=>．故2[1)3n b λ∈--，， 要使3nb≤成立，只须233λ--≤即可．于是713λ<≤．…………15分综上所述，所求实数λ的范围是7(0]3，． …………16分20．解：（1）当1a =-时，2()exf x x bx =-+-，∴()e 2x f x x b '=-+-，由题意()e 20x f x x b '=-+-≤对x ∈R恒成立﹒ …………1分由e20xx b -+-≤，得e 2x b x +≥-，令()e2xF x x =+-，则()e 2x F x '=+-，令()0F x '=，得ln 2x =．当ln 2x <时，()0F x '>，()F x 单调递增，当ln 2x >时，()0F x '<，()F x 单调递减，从而当ln 2x =时，()F x 有最大值2ln22-， 所以2ln 22b -≥．…………3分（2）当0b =时，2()exf x a x =+，由题意2e 0x a x +=只有一解﹒由2e 0xa x +=，得2exx a -=，令2()ex x G x =，则(2)()e xx x G x -'=， 令()0G x '=，得x =或2x =．…………5分 当0x ≤时，()0G x '≤，()G x 单调递减，()G x 的取值范围为[)0+∞，，当02x <<时，()0G x '>，()G x 单调递增，()G x 的取值范围为240e⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 当2x ≥时，()0G x '≤，()G x 单调递减，()G x 的取值范围为240e ⎛⎤⎥⎝⎦，， 由题意，得0a -=或24e a ->，从而0a =或24e a <-，所以当a =或24e a <-时，函数()y f x =只有一个零点． …………8分 （3）2()e2xf x a x x =+-，()e 22x f x a x '=+-，假设存在，则有00000()()()()()()22x m x mf x f x m n f x m f m ++''=-+=-+， 即000()()()2f x f m x mf x m -+'=-，∵0002()e 2222x m x m x m f a +++'=+⋅-， 00220000000()()(e )()2()(e e )()2x m x m f x f m a e x m x m a x m x m x m x m--+----==++----， ∴0020(e e )ex mx m a a x m+-=-﹒……（*）﹒ …………10分∵0a ≠，∴0020e e e x m x m x m+-=-，不妨设00t x m =->，则2e e et t m m m t++-=﹒ 两边同除以em，得2e 1e t t t-=，即2e e 1t t t =-，…………12分令2()e e 1t tg t t =--，则2222()e (e e )e (e 1)22t t t t tt tg t '=-+=--， 令2()e 12t t h t =--，则22111()e (e 1)0222t th t '=-=->，∴()h t 在(0)+∞，上单调递增，又∵(0)0h =，∴()0h t >对(0)t ∈+∞，恒成立， …………14分即()0g t '>对(0)t ∈+∞，恒成立， ∴()g t 在(0)+∞，上单调递增，又(0)0g =， ∴()0g t >对(0)t ∈+∞，恒成立，即（*）式不成立， …………15分 ∴不存在实数x （0x m≠），使得000()()()2x mf x f x m n +'=-+成立． …………16分2013-2014学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅱ（附加题） 参考答案21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．A ．选修4—1：几何证明选讲 证明：连结AE ． ∵BE是O的直径，∴90BAE ∠=︒． …………2分∴BAE ADC∠=∠．…………4分又∵BEA ACD ∠=∠， ∴△BEA∽△ACD．…………7分 ∴BE ACBA AD=，∴BA AC BE AD ⋅=⋅．…………10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：设ab c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，由题意，得35214012a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦， …………3分∴342513415 2.a b a c d c -=⎧⎪=-⎪⎨-=-⎪⎪=⎩，，，…………5分解得1,513,202,51120a b c d ⎧=-⎪⎪⎪=-⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩. …………9分 即113520211520⎡⎤--⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦M ．…………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：直线l的参数方程为112(2x t ty ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，为参数)，…………2分圆C 的普通方程为22(3)9x y -+=﹒ …………4分直线l 的参数方程代入圆C的普通方程，得21)10t t +-=，…………6分设该方程两根为1t ，2t ，则121tt ⋅=-﹒ …………8分∴12==1MA MB t t ⋅⋅．…………10分 D ．选修4—5：不等式选讲证明：因为 右—左=432222xx x --+ …………2分=3222(1)(1)2(1)(1)x x x x x --=-++…………4分=22132(1)024x x ⎡⎤⎛⎫-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦≥，…………8分所以，原不等式成立． …………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．解：（1）设事件“恰好摸4次停止”的概率为P ，则2231319()444256P C =⨯⨯⨯=．…………4分（2）由题意，得=0123，，，X ， 044381(=0)()4256P C =⨯=X ，1341327(=1)()()4464P C =⨯⨯=X ， 22241327(=2)()()44128P C =⨯⨯=X ， 81272713(=3)125664128256P =---=X ， (8)分∴X 的分布列为………10分23．证明：（1）当2n =时，12aa =-，∴1122||||||1a a a =+≤，即11||2a ≤， ∴21121||111||||224222a ab b a +=+==-⨯≤，即当2n =时，结论成立． …………2分（2）假设当n k =(*k ∈N 且2)k ≥时，结论成立，即当120k a a a +++= ，且12||||||1k a a a +++ ≤时，有1211||22k b b b k+++-≤． …………3分则当1n k =+时，由1210k k aa a a +++++= ，且121||||||1k a a a ++++ ≤，∵11211212|||||||||||1k k k k a a a a a a a a +++=+++++++ ≤≤，∴11||2k a +≤， …………5分又∵1211()0k k k aa a a a -++++++= ，且1211121||||||||||||||1k k k k a a a a a a a a -++++++++++ ≤≤，由假设可得112111||22k k k a a b b b k k+-+++++- ≤， …………7分∴1121121|||1k k k k k a a b bb b b b b k k ++-++++=++++++ 1111112111|()(||1221k k k k k k k a a a a a a b b b k k k k k k+++++-+=+++++-+++ -)|≤- 111111111111()||()221221222(1)k a k k k k k k k +=-+-+⨯=-+++-≤-， 即当1n k =+时，结论成立．综上，由（1）和（2）可知，结论成立． …………10分。

江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（二）数学试题2019．5第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合A ＝{}1x x <，B ＝{}03x x <<，则A B ＝ ．2．已知复数34i5iz +=，其中i 是虚数单位，则z ＝ ． 3．已知双曲线C 的方程为2214x y -=，则其离心率为 ． 4．根据如图所示的伪代码，最后输出的i 的值为 ．5．某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：4：3，现按年级用分层抽样的方法抽取若千人，若抽取的高三年级的学生数为15，则抽取的样本容量为 ．6．口装中有形状大小完全相同的四个球，球的编号分别为1，2，3，4．若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之积大于6的概率为 ． 7．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若622a a =，则128S S ＝ ． 8．函数()cos()(0)3f x x πωω=->的图像关于直线2x π=对称，则ω的最小值为 ．9．已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则222124a b a b++-的最小值为 ． 10．已知偶函数()f x 的定义域为R ，且在[0，+∞)上为增函数，则不等式2(3)(2)f x f x >+的解集为 ．11．过直线l ：2y x =-上任意点P 作圆C ：221x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，当切线最小时，△PAB 的面积为 ． 12．已知点P 在曲线C ：212y x =上，曲线C 在点P 处的切线为l ，过点P 且与直线l 垂直的直线与曲线C 的另一交点为Q ，O 为坐标原点，若OP ⊥OQ ，则点P 的纵坐标为 ．13．如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝2，以AB 为直径在△ABC 外作半圆O ，P 为半圆弧AB 上的动点，点Q在斜边BC 上，若AB AQ ⋅＝83，则AQ CP ⋅的最小值为 ．14．已知e 为自然对数的底数，函数2()x f x e ax =-的图像恒在直线32y ax =上方，则实数a 的取值范围为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P —ABC 中，过点P 作PD ⊥AB ，垂足为D ，E ，F 分别是PD ，PC 的中点，且平面PAB ⊥平面PCD ．（1）求证：EF ∥平面PCD ； （2）求证：CE ⊥AB ．16．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 2cos A sin C-=． （1）求角A 的大小； （2）若cos(B ＋6π)＝14，求cosC 的值．17．（本小题满分14分）某工厂拟制造一个如图所示的容积为36π立方米的有盖圆锥形容器． （1）若该容器的底面半径为6米，求该容器的表面积； （2）当容器的高为多少米时，制造该容器的侧面用料最省？18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1(﹣2，0)，A 2(2，0)，右准线方程为x ＝4．过点A 1的直线交椭圆C 于x 轴上方的点P ，交椭圆C 的右准线于点D ．直线A 2D 与椭圆C 的另一交点为G ，直线OG 与直线A 1D 交于点H ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若HG ⊥A 1D ，试求直线A 1D 的方程；（3）如果11A H A P λ=，试求λ的取值范围．19．（本小题满分16分）已知函数2()(2)ln f x x a x a x =+--，其中a ∈R ．（1）如果曲线()y f x =在x ＝1处的切线斜率为1，求实数a 的值；（2）若函数()f x 的极小值不超过2a，求实数a 的最小值； （3）对任意1x ∈[1，2]，总存在2x ∈[4，8]，使得1()f x ＝2()f x 成立，求实数a 的取值范围． 20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 是各项都不为0的无穷数列，对任意的n ≥3，n N *∈，1223a a a a ++11(1)n n n a a n a a λ-+=-恒成立．（1）如果11a ，21a ，31a 成等差数列，求实数λ的值； （2）已知λ＝1．①求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；②已知数列{}n a 中，12a a ≠．数列{}n b 是公比为q 的等比数列，满足111b a =，221b a =，31i b a =(i N *∈)．求证：q 是整数，且数列{}n b 中的任意一项都是数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中的项．。