当前位置：文档之家 › 一元函数极值问题求解的几种初等方法

一元函数极值问题求解的几种初等方法

  • 格式：doc
  • 大小：378.50 KB
  • 文档页数：7

一元函数极值问题求解的几种初等方法 王淑红 指导老师:宋宗林 (河西学院数学与应用数学专业2010级5班64号, 甘肃张掖 734000)

摘要 在生活实践中,我们经常遇到在一定条件下,如何做到用料最省、质量最好、成本最低、效率最高这一类问题,相应的用面积一定的铁皮,做成怎样尺寸和形状的罐头盒,其容积最大？这又是最大的问题,在数学上称为极值问题.在不少情况下可以用初等方法求出,所谓初等方法,是指不用到微积分知识,而只用初等数学的知识来求出极值的方法,限于初等数学的范围及中学教材对极值问题的要求,以下归纳几种关于求函数极值问题求解的初等方法.

关键词 极大值；极小值；初等数学 中图分类号

（一） 基本概念 1设一元函数)(xf定义在区间],[ba上,),()(baxf,如果存在0,当00xxx时,均有)()(0xfxf,则称)(0xf为)(xf的一个极大值,0x称

为)(xf的极大点.

如果对于满足00xxx的一切0x均有: )()(0xfxf,则称)(0xf为)(xf的一个极小值,0x称为)(xf的极小点.

2设],[0bax,若对于一切],[bax均有： )()(0xfxf（或)()(0xfxf） 则)(0xf就称为：)(xf 在],[ba上的最大值或最小值,记为)(maxxf或)(minxf. 必须明确：函数的极值未必是函数的最大值或最小值,由上述定义,我们不难看到,函数的极大（小）值)(0xf只是在极大（小）点0x附近的一个局部范围内,函数)(xf

的最大（小）值,因而函数)(xf在],[ba的极值不一定是唯一的,而且某一极大值可能小于另一极小值,如图（1）,)()(32xfxf,可见极值的概念是就局部而言的,而最大（小）值是就函数的整个定义域而言的. （1） （二）求极值的几种初等方法 1配方法 考察二次函数)0()(2acbxaxxf直接配方可得：

abacabxaxf44)2()(22 从而对于一切),(x有: 22)2(44)(abxaabacxf



时当时当0000aa

等号当且仅当abx2时成立,所以在整个实数轴),(上讨论的话,二次函数cbxaxxf2)(在abx2时,若0a有最大值)2()(maxabfxf而无最小值,若0a有最小值)2()(minabfxf而无最大值,这里)(xf在),(上最大（小）值且有唯一的极值,事实上,由极值的定义也可直接得出这一点,至于在任一区间],[上讨论时,我们知道二次函数的图形是一条抛物线,若顶点不在],[内,

则极值不存在,而最大（小）值在端点达到,若顶点在开区间),(内,则极大（小）值存在且在顶点处达到,此时,极大（小）值也是最大（小）值,这不难从二次函数的图形上看出.

例1 求函数742xxy的极值 解 配方得： )0(3)2(2axy 当2x时,3miny. 配方的实质：在于利用了实数范围内平方项的非负性,灵活应运这一点,不难将配方法推广到任意一元函数的情形,而不仅局限于二次函数,实际上,对于任意函数)(xf,只要能化成

是常数其中A),()(2xgAxf

则在0)(xg的点x处)(xf有Axf)(min,若能化成 是常数其中B),()(2xhBxf

则在0)(xh的点x处)(xf有Bxf)(max 当然,)(xg与)(xh必须在)(xf的定义域内有零点,且零点还应较容易求得（否则这一方法用起来会显得比较繁杂）

例2 考察函数2)(sinsin26)(xxxf的极值 解 配方得： 2)1(sin7)(xxf

当01sinx,即)(22Znnx时,7maxf. 2三角函数法 三角函数法是针对三角函数或在)(xfy中含有三角函数式的这样一类函数的极值问题,它主要利用正弦函数和余弦函数的有界性来求极值.

正弦函数xysin,当)(22Znnx时,有7maxy 当)(232Znnx时,有1miny. 余弦函数xycos,当)(2Znnx时,有1maxy 当)()12(Znnx时,有1miny. 正切、余切函数在定义域内是无界函数,没有极值. 例3 求函数52cossin4xxy的最大值和最小值 解 8)1(sin28]1sin2)[(sin26-sin4)(sin25])(sin21[sin452cossin42222xxxxxxxxxy 当1sinx时,0maxy 当1sinx时,8miny. 3应用n个正数的算术平方数n个正数的几何平均数这个基本不等式来处理

例4 当x为何值时,函数42469xxy. 分析：函数解析式中被开方数含自变量的两项与倒数相联系,尝试用算术平均数和几何平均数的关系来处理

∵649)49(214242xxxx ∴124942xx 1864942xx (1)

(1)式两边皆为非负数,分别取算数平方根得 231846942xxy

∴23miny,即得36x. 4用判别式来处理 已知△ABC的边a、b、c满足关系式,如图（2）,若p是△ABC外接圆的劣弧BC上一动点,且BC=2,求2BP+CP的最大 值.图(2) 分析：把条件中的等式去分母整理后所得222acbbc ∴bccba222

由余弦定理得 212cos222bcacbA )

∴oA60,212)180cos(cos222PCBPBCPCBPABPCo (2) 欲求CPBP2的最值,此时仍然茫然,再观察（2）式分子与目标有所接近,不妨设xBP、yBC,则（2）式变成：

212422xyyx

化简得：422xyyx (3) 再令kCPBP2,即kyx2,xky2 把xky2代入（3）式,整理得043322kkxx这是一个关于x的一元二次方程,因Rx

故0483)4(12)3(222kkk 即0162k 解得44k ∴4maxk,即4)2(maxCPBP 5导数法 各种类型的函数求极值的问题都可以用导数作为有力的工具解决 5.1：函数的单调性判定定理,若对),(bax,0)('xf或（0)('xf）恒成立,则)(xf在),(ba内严格增加（或严格减小）.

5.2：稳定点概念,若对定义在),(ba上的可导函数)(xf,对],[ba,使0)('f的点叫做)(xf的稳定点.

5.3：求函数极值的步骤 5.3.1：求函数)(xf的导数； 5.3.2：令0)('xf,解出稳定点nxxx,,,21；

5.3.3：判别),,2,1(nix

i两侧的符号,找出局部极值点；

5.3.4：计算函数各局部极值和定义域两端点的极值,进行比较后,最大者即为极大值,最小者即为极小值;

例6 求函数y=的最大值和最小值

解 y/== 令y/=0得：x(x2+3)=0,解得x=0 函数的定义域为),(,列表如下： )0,( 0 ),0( )('xf

0 )(xf

∴25)0(minfy,maxy不存在.

例7 求函数4431)(3xxxf的极值 解 4431)(3xxxf, )2)(2(4)(2'xxxxf 令0)('xf,解得x=2或x=-2 下面分两种情况讨论： （1）当0)('xf,即x＞2,或x＜-2时； （2）当0)('xf,即-2＜x＜2时. 当x变化时,)('xf,)(xf的变化情况如下表： x () () 2 (2,)

)('xf 0 0 )(xf 328 34

因此,当2x时,)(xf有极大值,并且极大值为

328)2(f；

当)('xf时,)(xf有极小值,并且极小值为

34)2(f

以上讨论了极值的五种求法,中学生出现的极值问题,一般从以上的五个方面完全能解决,但也有一些特殊题型用其他方法更能迅速灵活的把问题解决.

参 考 文 献 [1] 人民版高级中学代数指导丛书[M] [2] 人民教育出版社,普通高中课程标准实验教科书,选修2—2 [3] 赵正民,中学数学解题教学研究[M] [4] 李万云,初等函数极值求法探究 [5] 陈慧珍,关于一元函数的极值问题 [6] 薛婷,关于一元函数极值点求法的几点考虑 [7] 陈忠玉,浅谈解析法求函数极值问题

合集下载

牛顿法求解一元函数的极值例题

牛顿法求解一元函数的极值例题

牛顿法求解一元函数的极值例题牛顿法是一种用于求解一元函数的极值的数值计算方法，它通过迭代逼近函数的极值点。

牛顿法的核心思想是在函数曲线上不断选择切线的交点，并根据交点的斜率信息来更新下一个切线的位置，从而逐渐逼近极值点。

为了更好地理解牛顿法的原理和应用，我们来看一个具体的例题。

假设我们要求解函数f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3的极小值点。

首先，我们需要选取一个初始点作为起始点。

在牛顿法中，我们可以选取任意一个起始点，但是初始点的选取会对最终的迭代结果产生影响。

通常情况下，我们会选取一个距离极值点较近的点作为起始点，这样可以减少迭代的次数。

假设我们选择初始点x0 = 2，然后根据牛顿法的迭代公式进行迭代。

迭代公式为：x1 = x0 - f(x0) / f'(x0)其中，f'(x0)表示函数f(x)在点x0处的导数。

首先，我们需要计算f(x0)和f'(x0)的值。

代入x0 = 2，可以得到：f(2) = 2^3 - 2 * 2^2 + 2 + 3 = 8 - 8 + 2 + 3 = 5f'(2) = 3 * 2^2 - 2 * 2 + 1 = 12 - 4 + 1 = 9然后，我们可以根据迭代公式求解x1的值：x1 = 2 - 5 / 9 = 2 - 0.5556 ≈ 1.4444接下来，我们继续迭代，计算f(x1)和f'(x1)的值，并根据迭代公式求解下一个点x2的值。

继续计算，我们可以得到：f(1.4444) ≈ -0.0714f'(1.4444) ≈ 0.9992根据迭代公式，可以求解x2的值：x2 ≈ 1.4444 - (-0.0714) / 0.9992 ≈ 1.5149通过重复上述步骤，我们可以继续迭代求解更接近极值点的近似解。

当迭代结果足够接近极值点时，我们可以认为已经找到了函数的极值点。

牛顿法的优点是收敛速度快，对于简单的函数可以在几次迭代后得到非常精确的极值解。

总结计算一元函数单调区间和极值的步骤

总结计算一元函数单调区间和极值的步骤

总结计算一元函数单调区间和极值的步骤以《总结计算一元函数单调区间和极值的步骤》为标题，本文将会总结计算一元函数单调区间和极值的步骤。

一元函数是一种最基本而且最常见的数学函数，如果是一元函数坐标系，存在两个变量，一个是x，一个是y。

其表示方法为y=f(x)，其中，f（x）用来表示x的函数，即y的变化方式，是一种解决形式。

一元函数的性质和特点很多，本文主要探讨的是一元函数中的单调区间和极值的计算步骤。

一元函数的单调性决定了它们的性质，而要判定一元函数的单调性，就必须要计算它的单调区间。

一元函数的单调区间是指在区间上，函数值都是单调递增或单调递减的区间。

首先，要计算一元函数单调区间，需要找到函数的正确表达式，并求出它的导数。

求出导数后，便可以开始确定单调区间。

在求解时，需要先画出函数的图像，以便捕捉函数的单调性，然后可以从函数图形上找出其单调区间。

在此之前，可以先判断一元函数的一阶导数单调增加或者单调减少，从而判断函数曲线的上升或下降。

这样就可以从函数图形上查看函数单调性，并进而确定单调区间。

在求解一元函数的极值问题时，首先也需要求出对应函数的一阶导数，并对该导数求解极值。

即，求出一阶导数的零点，即所有满足一阶导数为零的点，这些点就是函数的极值点，可以在此点处取得函数的最值，成为函数的极值。

这里，除了直接利用一阶导数求解极值，也可以用单调性判断法，在单调区间内对比函数值，也能判断出极值点，取得函数的最值。

以上为计算一元函数单调区间和极值的步骤。

通过本文，其实可以发现，计算一元函数的单调性和极值的思路是非常相似的，无论是求解单调性时，还是求解极值，都需要求出函数的一阶导数，由此可以将对函数的计算和对其导数的计算紧密结合，从而更加方便地求解单调性和极值。

求函数最值问题常用的10种方法

求函数最值问题常用的10种方法

分析 先求闭区间上的函数的极值，再与端点函数值比
较大小，确定最值．
解析 因为f′(x)＝3x2－3，所以令f′(x)＝0，得x＝
－1(舍正)．又f(－3)＝－17，f(－1)＝3，f(0)＝1，
比较得，f(x)的最大值为3，最小值为－17.故填3， －17. 点评 (1)利用导数法求函数最值的三个步骤：第一， 求函数在(a，b)内的极值；第二，求函数在端点的函 数值f(a)、f(b)；第三，比较上述极值与端点函数值 的大小，即得函数的最值．(2)函数的最大值及最小 值点必在以下各点中取得：导数为零的点，导数不存 在的点及其端点．
三、换元法 换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换 原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决 的一种数学方法．在学习中，常常使用的换元法有 两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体 问题及题目形式去灵活选择换元的方法，以便将复 杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从 而求出原函数的最值．如可用三角代换解决形如a2 ＋b2＝1及部分根式函数形式的最值问题．
【例 4】设 x，y，z 为正实数，x－2y＋3z＝0，则 y 2 xz
的最小值为________． 分析 先利用条件将三元函数化为二元函数，再利用基 本不等式求得最值．
解析 因为x－2y＋3z＝0，
x＋3z
y2 x2＋9z2＋6xz
所以y＝
2
，所以 ＝ xz
4xz
.
y2 6xz＋6xz
又x，z为正实数，所以由基本不等式，得 ≥
∴Δ＝(3y＋3)2－4(y－1)(4y4)≥0，11
解得7≤y≤7(y≠1)．综上得ymax＝7，ymin＝7.
点评 判别式法的应用，对转化的(y－1)x2＋(3y＋3)x ＋4y－4＝0来说，应该满足二次项系数不为0，对二次 项系数为0时，要另行讨论，对本题若y－1＝0，即 y＝1，有(3＋3)x＋4－4＝0，所以x＝0.一般来说， 利用判别式法求函数的最值，即根据g(y)x2＋h(y)x＋
函数求极值的方法总结

函数求极值的方法总结

函数求极值的方法总结函数求极值的方法总结数学主要以函数为研究对象,而函数极值无论在初等数学还是在高等数学里都是函数部分的一个重要问题，下文是函数求极值的方法，希望对同学们有帮助！一、利用二次方程的判别式求极值在求某一类分式函数的极值时，若其分子或分母是关于x的二次式，可将其变为关于x的一元二次方程，根据x在实数范围内有解，由判别式求的。

例1、求函数y=求函数极值的若干方法的极值。

解：将原函变形为关于x的二次方程(y-1)x 求函数极值的若干方法 -2yx-3y=0∵x∈R，且x≠3，x≠-1，∴上方程在实数范围内一定有解。

△= (-2y) 求函数极值的若干方法 -4 (-3y)(y-1)= 4y(4y-3)≥0解之得y≤0 或y≥ 求函数极值的若干方法这里虽然y无最大（小）值，但对应于y=0和y= 求函数极值的若干方法的x分别为x=0和x=-3，所以当x=0时，y有极大值0，当x=-3时，y有极小值求函数极值的若干方法。

例2、求函数y= 求函数极值的若干方法的值域。

解：将原函数变形得：y+yx 求函数极值的若干方法 =2x∵x∈R，∴△= 4-4y 求函数极值的若干方法≥0，解之得：-1≤y≤1∴函数y= 求函数极值的若干方法值域为[-1，1]由上面两例可以看出，用二次方程的判别式求函数的极值时，实际上就是将y看作x的系数，利用函数的定义域非空，即方程有解，将问题转化为解一元二次不等式。

但要注意的是：在变型过程中，可能会将x的取值范围扩大，但所求函数的极值一定在不等式的解集内，此时，要注意检验，即招2出y取极值时的x是否有意义，若无意义必须舍去，再重新考虑其极值。

二、利用倒数关系求极值对于有些分式函数，当其分子不含变量时，可由分母的极值来求整个函数的极值。

例3、求函数y=2- 求函数极值的若干方法的最小值。

解：∵x 求函数极值的若干方法 -2x+6 = (x-1) 求函数极值的若干方法 +5＞0∴函数的定义域为一切实数，又由x 求函数极值的若干方法-2x+6=(x-1) 求函数极值的若干方法 +5 知当x=1时，求函数极值的若干方法取最小值求函数极值的若干方法 ,∴ 求函数极值的若干方法取最大值求函数极值的若干方法 ,此时 y=2- 求函数极值的若干方法取最小值 2- 求函数极值的若干方法 ,即当x=1时，有y的最小值是 2- 求函数极值的若干方法。