高考选择志愿层次分析-数学建模

高考选择志愿
本论文针对中学毕业生填报高考志愿问题设计一个根据学校的和个人的若干因素排出各个大学志愿的名次模型。

对于志愿的选择排名，我们采用层次分析法给出各志愿的排名。

用层次分析法，我们先确定各因素的的权系数，再建立层次机构模型，最后进行层次分析，确定ABCD四个志愿的顺序。

关键词：层次分析、确定系数、层次结构模型
一、提出问题
建立数学模型，对各个高校的志愿进行排名。

排名的目的是根据考虑因素排出各个志愿的的一个顺序，所以说一个好的排名算法应满足下面的一些基本要求：保序性、稳定性、对数据可依赖程度给出较为精确的描述。

二、问题重述
某中学毕业生填报高考志愿，要考虑到报考学校的名声誉、教学、科研、文体及教学环境，同时又要结合本人的兴趣、考试成绩和毕业后的出路等因素。

在每一因素内还有若干子因素，如在教学因素中要考虑到教师的水平、学生的水平、深造条件等。

考生可填A、B、C、D四个志愿。

A B C D
名校自豪感0.8 0.75 0. 7 0.65
录取风险0.7 0.75 0.8 0.85
校誉奖学金0.6 0.8 0.7 0.75
就业前景0.8 0.77 0.81 0.75
科研成果0.7 0.65 0.7 0.71
实验室水平0.8 0.81 0.76 0.77
科研教师论文0.7 0.65 0.71 0.69
国家科学奖0.8 0.78 0.77 0.81
教师水平0.78 0.79 0.76 0.8
教学学生水平0.8 0.79 0.78 0.79
深造条件0.4 0.2 0.45 0.3
文体校园文化0.8 0.79 0.81 0.8
体育设施0.65 0.7 0.64 0.65
个人兴趣0.78 0.84 0.76 0.77
考试成绩0.7 0.75 0.8 0.85
毕业出路0.8 0.77 0.81 0.75
三、符号说明
A 学校选择
B1校誉
B2科研
B3教学
B4文体
B5个人兴趣
B6考试成绩
B7毕业出路
C1名校自豪感C2录取风险
C3年奖学金
C4就业前景
C5 科研成果
C6实验室水平C7教师论文
C8国家科学奖C9教师水平
C10学生水平
C11深造条件
C12校园文化
C13体育设施
CI 一致性指标
四、 建立模型
（二）构造成对比较阵
面临的决策问题是：要比较n 个因素x 1，x 2…，x n ，对目标A 的影响，我们要确定它们在A 中所占的比重，即这n 个因素对目标A 的相对重要性。

我们用两两比较的方法将各因素重要性的定性部分数量化。

设有因素x 1，x 2…，x n 每次取两个因素x i x j ，用正数a ij 表示x i 与x j 的重要性之比。

由全部比较结果得到矩阵A=（a ij ），称作成对比较阵A 。

⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡nm n n n n a a a a a a a a a ,,,,,,,21
2,2221112,11ΛM M M M ΛΛ 显然有n j i a a a ij ij
ij ≤≤>=
,1,0,1。

然后求出成对比较矩阵A 的最大特征值及其对应的特征向量 Y=(y 1,y 2,…,y n )T ， 定义标准化向量
T
n i i n n i i n i i Y Y Y Y Y Y Y ⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∑∑∑===11211
,,,'Λ。

用标准化向量Y ′来反应 {}n x x x x ,,,21Λ= 这n 个因素对目标A 的相对重要性，Y ′为同一层次中相应元素对于上一层次中某个因素相对重要性的排序权值。

（三）权向量
对于已知的成对比较阵A 来说，有A •Y=Y ⋅max λ。

由矩阵运算法则可知：当n 较大时，精确地计算成对比较A=（a ij ）的最大特征值m ax λ和特征向量比较麻烦，而又由于A 中的元素a ij 是重要性的比值，而重要性是人们根据目标推测出来的，精确度并不高，所以没有必要十分精确地计算出 m ax λ和特征向量。

因此，可以采用下述方法来近似计算m ax λ和相应的特征向量。

对成对比较阵A=（a ij ），令
),,,2,1(11
1n k a
a
U n
i n j ij
n
j kj
k Λ==
∑∑∑=== （*）
称U=（U 1，U 2，…，U n ）T 为X={x 1，x 2，…，x n }的权向量，它反映n 个因素
对目标A 的相对重要性。

经验证，U 与Y ′误差很小，所以一般都用U 代替Y ′。

对于公式（*），
对于一致性矩阵，,i
i
ij y x a =即满足a ij •a jk =a ik U k 可以简化为
,1
111∑∑∑∑=====
=
n
i i
k
n
j j
n
i i
n
j j
k k x
x x
x x x U
则
),,2,1(,,,11211
n i x x x x x x U T
n i i n n i i n i i ΛΛ=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∑∑∑===.
X i 代表第i 项因素的重要性指标。

五、 模型的改进与推广
（1）通过上面的分析与计算，我们已经将填报高考志愿这一问题，由不定
性的模糊判断转化为定量的分析，并最终通过建立数学模型，为两位学生各选择了四所最有希望考上的学校。

但这只是在理想状况下的结果，有很多问题还需要我们在填报志愿时进行考虑和分析。

例如在填报志愿时所报考的学校一定要拉开档次，这样即使第一志愿学校没被录取上，在档次相差较大的第二志愿会有更大希望被录取。

我们前面所做出的模型，只是将学生所选择的八个学校定量地排了个名次，所以学生在填报志愿时不能将得分前四名的学校全填在最前面，最终具体如何报考还要看学生当时的实际情况和侧重点。

（2）在前面的数学模型中，我并没有直接访问高三学生每两个因素之间的重要性之比（即a ij ），而是分别问了他们心目中的每个因素的重要性指标，然后再用
j
i
x x 做出矩阵。

这样做是因为直接询问高三学生每两个因素之间的重要性之比比较困难（人们很难马上将两个关联不大的因素用定量化的数字之比表示出他们之间的重要性，而用数字分别表示每个因素的重要性比较容易）。

如果我们直接询问高三学生每两个因素之间的重要性之比（即a ij ），而将其所构成的成对比较阵就可能会出现一致性问题。

下面简要说一下关于一致性问题的解决方法。

对于成对比较阵A 来说，其中的关系应满足 ,,,1,n k j i a a a ik jk ij ≤≤=⋅这样的成对比较阵A 为一致矩阵。

而由于人的思维活动的原因，人们用ij a 构成的成对比较阵A 往往不是一致矩阵，即ik jk ij a a a ≠⋅ ,所以在分析 X={x 1,x 2,…,x n }对目标A 的影响时，必须对A 进行一致性检验。

因为n 阶成对比较阵A 是一致矩阵，当且仅当A 的最大特征值 n =max λ，所以若A 不具有一致性，则n 〉max λ。

于是我们引入一致性指标
1
)(max --=
n n
A CI λ。

将CI 作为衡量成对比较阵A 不致程度的标准，当)(max A λ稍大于n 时，称A
具有满意的一致性。

此外，用这样的方法定义一致性是不严格的，还要给出量度。

令这里RI为平均随机一致性指标（查表可得），CR称为随机一致性比率，可以用CR代替CI 作为一致性检验的临界值。

当CR﹤0.1时，就认为A有满意的一致性，否则就必须重新调整成对比较阵A，直到达到满意的一致性为止。

（3）关于报考风险。

对于因素B
5
（报考风险）使用了正态分布的方法进行
估算，首先调查学生A
1，A
2
的平均成绩和最高成绩，然后调查出他们所报学校在
去年的录取分数线，最后利用正态分布计算出他们报考的风险（即考上的概率），然后按0%～10%记1，11%～20%记2……90%～100%记10，将百分比转化为重要性指标。

六、总结
本文通过层次分析法，将填报高考志愿这一问题由不定性的模糊判断转化成定量的分析，并最终通过建立数学模型，为两位学生各选择了四所最有希望考上的学校，对他们将来填报高考志愿有一定的参考价值。

七、参考文献
《数学建模实验》（第二版）周义仓赫孝良。