8-2走向高考数学章节
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第8章第2节一、选择题1．已知平面外一点P和平面内不共线三点A、B、C，A′、B′、C′分别在P A、PB、PC上，若延长A′B′、B′C′、A′C′与平面分别交于D、E、F三点，则D、E、F三点()A．成钝角三角形B．成锐角三角形C．成直角三角形D．在一条直线上[答案] D[解析]D、E、F为已知平面与平面A′、B′、C′的公共点，由公理3知，D、E、F 共线．2．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一条直线上”是“这四个点在同一个平面上”的()A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件[答案] A[解析]若有三点共线于l，当第四点在l上时共面，当第四点不在l上时，l与该点确定一个平面α，这四点共面于α；若四点共面，则未必有三点共线．3．已知m、n为异面直线，m 平面α，n 平面β，α∩β＝l，则l()A．与m、n都相交B．与m、n中至少一条相交C．与m、n都不相交D．与m、n中的一条直线相交[答案] B[解析]若m、n都不与l相交，∵m α，n β，∴m∥l、n∥l，∴m∥n∥l，这与m、n为异面直线矛盾，故l与m、n中至少一条相交．4．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F 分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE与FD1所成角的余弦值等于()A.105B.155C.45D.23[答案] B[解析] 取C 1D 1的中点G ，连OG ，GE ，易知∠GOE 就是两直线OE 与FD 1所成的角或所成角的补角．在△GOE 中由余弦定理知cos ∠GOE ＝OG 2＋OE 2－EG 22OG ·OE＝5＋3－22×5×3＝155. 5．(2010·江西文)如图，M 是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，给出下列四个命题：①过M 点有且只有一条直线与直线AB ，B 1C 1都相交；②过M 点有且只有一条直线与直线AB ，B 1C 1都垂直；③过M 点有且只有一个平面与直线AB ，B 1C 1都相交；④过M 点有且只有一个平面与直线AB ，B 1C 1都平行．其中真命题是( )A ．②③④B ．①③④C ．①②④D ．①②③[答案] C[解析] 本题考查了立体几何中点线面之间的位置关系的判定，在解题过程中采用了反证的思想，多做有益假设便于做出判断，如①若还能作一条线，则两相交线确定一平面，从而证明 AB ，B 1C 1共面与它们异面矛盾，从而假设不正确，①正确，②④也是同样的方法证明．6．将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面CBD ，E 是CD 的中点，则异面直线AE 、BC 所成角的正切值为( )A.2B.22 C ．2 D.12 [答案] A[解析] 取BD 中点F ，连AF 、EF ，∠AEF 是AE 、BC 所成的角，∵平面ABD ⊥平面CBD ，∴AF ⊥EF ，∴tan ∠AEF ＝ 2.7．(2008·浙江)对两条不相交的空间直线a 与b ，必存在平面α，使得( )A．a α，b αB．a α，b∥αC．a⊥α，b⊥αD．a α，b⊥α[答案] B[解析]a、b异面时，A错，C错；若D正确，则必有a⊥b，故排除A、C、D，选B.8．一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB⊥EF；②AB与CM成60°的角；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.其中正确的是()A．①②B．③④C．②③D．①③[答案] D[解析]如图，画出折叠后的正方体后，由正方体的性质知①③正确，故选D.二、填空题9．a，b，c是空间中的三条直线，下面给出五个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线；⑤若a，b与c成等角，则a∥b.上述命题中正确的命题是________．(只填序号)[答案]①[解析]①由平行公理知，①正确；②a与c的位置关系不确定，故②错误；③a与c 可能相交、平行、异面，故③错误；④由异面直线的定义知，④错误；⑤错误．10．两异面直线a、b所成角为60°，直线l与a、b所成角均为θ，则θ的取值范围是________．[答案][30°，90°][解析] 平移使它们均过同一点O ，当l 在60°角的平分线位置时，θ＝30°，将l 绕着O 点转动到与a ，b 都垂直时，θ＝90°.∴30°≤θ≤90°.11．如图，在四面体ABCD 中，E 、F 分别是AC 和BD 的中点，若CD ＝2AB ＝4，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成的角是________．[答案] 30°[解析] 取AD 的中点H .连接FH 、HE .则EH ∥CD ，FH ∥AB ，∴∠FEH 为EF 、CD 所成角，∴EF ⊥FH ，EH ＝2，又FH ＝1，∴∠FEH ＝30°.∴EF 与CD 所成的角为30°.三、解答题12．空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、AD 上的点，请回答下列问题：(1)满足什么条件时，四边形EFGH 为平行四边形？(2)满足什么条件时，四边形EFGH 为矩形？(3)满足什么条件时，四边形EFGH 为正方形？[分析] 四边形是平行四边形、矩形、正方形，首先转化为线线平行问题，而证线线平行或用平面几何的方法也可用公理4.[解析] 本题是一个开放性问题．(1)E 、F 、G 、H 为所在边的中点时，四边形EFGH 为平行四边形．证明如下： ∵E 、H 分别是AB 、AD 的中点，∴EH ∥BD ，且EH ＝12BD . 同理，FG ∥BD ，且FG ＝12BD ，从而EH ∥FG ，且EH ＝FG ，所以四边形EFGH 为平行四边形．一般地AE AB ＝AH AD ＝CF CB ＝CG CD时EFGH 为平行四边形． (2)AE AB ＝AH AD ＝CF CB ＝CG CD且BD ⊥AC 时，四边形EFGH 为矩形． (3)当E 、F 、G 、H 为所在边的中点且BD ⊥AC ，AC ＝BD 时，四边形EFGH 为正方形．[点评] 上述答案并不唯一，如当AE AB ＝AH AD ＝CF CB ＝CG CD 时，四边形EFGH 也为平行四边形．13．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1.求：(1)AB 与B 1C 所成的角；(2)AB 与B 1D 的距离．[解析] (1)∵AB ∥CD ，∴∠B 1CD 为AB 和B 1C 所成的角，∵DC ⊥平面BB 1C 1C ，∴DC ⊥B 1C ，于是∠B 1CD ＝90°，∴AB 与B 1C 所成的角为90°.(2)∵AB ∥CD ，AB ⊄平面B 1DC ，DC ⊂平面B 1DC ，∴AB ∥平面B 1DC ，从而AB 与B 1D 的距离即为AB 与平面B 1DC 的距离，连接BC 1交BC 于O 点，易知BO ⊥B 1C ，BO ⊥CD ，∴BO ⊥平面B 1DC ，∴BO 的长为B 到平面B 1DC 的距离，∵BO ＝22，∴AB 与B 1D 的距离为22. 14．如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为D 1C 1、B 1C 1的中点，AC ∩BD ＝P ，A 1C 1∩EF ＝Q ，若A 1C 交平面BDEF 于点R ，试确定点R 的位置．[解析] 如图，在正方体AC 1中，∵Q ∈A 1C 1，∴Q ∈平面A 1C 1CA .又Q ∈EF ，∴Q ∈平面BDEF ，即Q 是平面A 1C 1CA 与平面BDEF 的公共点．同理，P 也是平面A 1C 1CA 与平面BDEF 的公共点．∴平面A 1C 1CA ∩平面BDEF ＝PQ ，又A 1C ∩平面BDEF ＝R ，∴R ∈A 1C ，∴R ∈平面A 1C 1CA ，又R ∈平面BDEF ，∴R ∈PQ ，∴R 是A 1C 与PQ 的交点．15．(文)如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2，AD ＝1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点．求异面直线A 1E 与GF 所成角的大小．[解析] 连接B 1G ，EG ，B 1F ，CF .∵E 、G 是棱DD 1、CC 1的中点，∴A 1B 1綊EG .∴四边形A 1B 1GE 是平行四边形．∴B 1G ∥A 1E .∴∠B 1GF (或其补角)就是异面直线A 1E 与GF 所成的角．在Rt △B 1C 1G 中，B 1C 1＝AD ＝1，C 1G ＝12AA 1＝1， ∴B 1G ＝ 2.在Rt △FBC 中，BC ＝BF ＝1，∴FC ＝ 2.在Rt △FCG 中，CF ＝2，CG ＝1，∴FG ＝ 3.在Rt △B 1BF 中，BF ＝1，B 1B ＝2，∴B 1F ＝5，在△B 1FG 中，B 1G 2＋FG 2＝B 1F 2， ∴∠B 1GF ＝90°.因此，异面直线A 1E 与GF 所成的角为90°.(理)如右图，ABCD －A 1B 1C 1D 1是正四棱柱．(1)求证：BD ⊥平面ACC 1A 1；(2)已知二面角C 1－BD －C 的大小为60°，求异面直线BC 1与AC 所成角的余弦值．[解析] 解法一：(1)证明：∵ABCD －A 1B 1C 1D 1是正四棱柱，∴CC 1⊥平面ABCD ，∴BD ⊥CC 1，∵ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC ，又∵AC 、CC 1 平面ACC 1A 1，且AC ∩CC 1＝C ，∴BD ⊥平面ACC 1A 1.(2)设BD 与AC 相交于O ，连接C 1O .∵CC 1⊥平面ABCD ，BD ⊥AC ，∴BD ⊥C 1O ，∴∠C 1OC 是二面角C 1－BD －C 的平面角，∴∠C 1OC ＝60°. 连接A 1B ，∵A 1C 1∥AC ，∴∠A 1C 1B 是BC 1与AC 所成的角． 设BC ＝a ，则CO ＝22a ，CC 1＝CO ·tan60°＝62a ，A 1B ＝BC 1＝102a ，A 1C 1＝2a . 在△A 1BC 1中，由余弦定理得，cos ∠A 1C 1B ＝A 1C 12＋BC 12－A 1B 22A 1C 1·BC 1＝55， ∴异面直线BC 1与AC 所成角的余弦值为55.解法二：(1)证明：建立空间直角坐标系Dxyz ，如右图： 设AD ＝a ，DD 1＝b ，则有D (0,0,0)，A (a,0,0)，B (a ，a,0)，C (0，a,0)，C 1(0，a ，b )．∴BD →＝(－a ，－a,0)，AC →＝(－a ，a,0)，CC 1→＝(0,0，b )， ∴BD →·AC →＝0，BD →·CC 1→＝0，∴BD ⊥AC ，BD ⊥CC 1，又∵AC 1、CC 1⊂平面ACC 1A 1，且AC ∩CC 1＝C ， ∴BD ⊥平面ACC 1A .(2)设BD 与AC 相交于O ，连接C 1O ，则点O 坐标为(a 2，a 2，0)，OC 1→＝(－a 2，a 2，b )． ∵BD →·OC 1→＝0，∴BD ⊥C 1O ，又BD ⊥CO ，∴∠C 1OC 是二面角C 1－BD －C 的平面角，∴∠C 1OC ＝60°，∵tan ∠C 1OC ＝CC 1OC ＝b 22a ＝3，∴b ＝62a ， ∵AC →＝(－a ，a,0)，BC 1→＝(－a,0，b )，∴cos 〈AC →，BC 1→〉＝AC →·BC 1→|AC →|·|BC 1→|＝55. ∴异面直线BC 1与AC 所成的余弦值为55.。
