河北省2011届高三高考仿真试题

2011年高考全国卷I 理科数学试题详细解析（1）复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= （A ）2i - （B ）i - （C ）i（D ）2i【思路点拨】先求出的z 共轭复数,然后利用复数的运算法则计算即可。

【精讲精析】选B .1,1(1)(1)(1)1z i zz z i i i i =---=+----=-.（2）函数0)y x =≥的反函数为（A ）2()4x y x R =∈ （B ）2(0)4x y x =≥ （C ）24y x =()x R ∈（D ）24(0)y x x =≥【思路点拨】先反解用y 表示x,注意要求出y 的取值范围，它是反函数的定义域。

【精讲精析】选B .在函数0)y x =≥中，0y ≥且反解x 得24y x =，所以0)y x =≥的反函数为2(0)4x y x =≥.（3）下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是 （A ）1a b +＞ （B ）1a b -＞ （C ）22a b ＞ （D ）33a b ＞【思路点拨】本题要把充要条件的概念搞清，注意寻找的是通过选项能推出a>b ，而由a>b 推不出选项的选项.【精讲精析】选A .即寻找命题P 使P ,a b a b ⇒>>推不出P ，逐项验证可选A 。

（4）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k = （A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5【思路点拨】思路一：直接利用前n 项和公式建立关于k 的方程解之即可。

思路二： 利用221k k k k S S a a +++-=+直接利用通项公式即可求解，运算稍简。

【精讲精析】选D .22112(21)2(21)224 5.k k k k S S a a a k d k k +++-=+=++=++⨯=⇒=（5）设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 （A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）9 【思路点拨】此题理解好三角函数周期的概念至关重要，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了3π是此函数周期的整数倍。

2011年河北省石家庄市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的． 1. 已知i 是虚数单位，复数1−i 1+i的虚部为（ ）A −1B 1C iD −i2. 若A ={x ∈R||x|<2}，B ={x ∈R|3x <1}，则A ∩B =( ) A (−2, 2) B (−2, −1) C (0, 2) D (−2, 0)3. 抛物线y 2=4x 的焦点坐标为（ ）A (2, 0)B (1, 0)C (0, −4)D (−2, 0)4. 图中的小网格由等大的小正方形拼成，则向量a →−b →=( )A e 1+3e 2B −e 1−3e 2C e 1−3e 2D −e 1+3e 2 5. 已知α∈(0, π)，且sinα+cosα=√22，则sinα−cosα的值为（ ）A −√2B −√62C √2D √62 6. 已知椭圆x 216+y 225=1的焦点分别是F 1、F 2，P 是椭圆上一点，若连结F 1、F 2、P 三点恰好能构成直角三角形，则点P 到y 轴的距离是（ ） A 165B 3C 163D 2537. 若多项式x 10=a 0+a 1(x −1)+a 2(x −1)2+...+a 10(x −1)10，则a 8的值为（ ） A 10 B 45 C −9 D −458. 已知a 、b 、c 成等差数列，则直线ax −by +c =0被曲线x 2+y 2−2x −2y =0截得的弦长的最小值为（ ） A √2 B 1 C 2√2 D 29. 已知α,β∈[−π2，π2]，且αsinα−βsinβ>0，则下列结论正确的是（ ） A α3>β3 B α+β>0 C |α|<|β| D |α|>|β|10. 设x ，y 满足约束条件{x −y +2≥04x −y −4≤0x ≥0y ≥0，若目标函数z =ax +by(a >0, b >0)的最大值为6，则log 3(1a +2b )的最小值为（ ）A 1B 3C 2D 411. 对于非空数集A ，若实数M 满足对任意的a ∈A 恒有a ≤M ，则M 为A 的上界；若A 的所有上界中存在最小值，则称此最小值为A 的上确界，那么下列函数的值域中具有上确界的是（ ）A y=√x+2B y=(−√3，√2)C y=12x D y=lnx12. 在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=π2，AB=AC=AA1=1，D和E分别为棱AC、AB上的动点（不包括端点），若C1E⊥B1D，则线段DE长度的取值范围为（）A [√22，√32] B [√33，1) C [√22，1) D [√23，√22]13. 设函数f(x)={x−[x],x≥0f(x+1),x<0，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[−1.2]=−2，[1.2]=1，[1]=1，若直线y=kx+k(k>0)与函数y=f(x)的图象恰有三个不同的交点，则k的取值范围是（）A (14，13] B (0,14] C [14，13] D [14，13)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分；共20分．14. 已知直线l1:ax+2y+1=0与直线l2：(3−a)x−y+a=0，若l1⊥l2，则实数a的值为________．15. 在三棱锥P−ABC中，∠ABC=90∘，PB丄平面ABC，AB=BC=2√2，PB=2，则点B到平面PAC的距离是________．16. 用直线y=m和直线y=x将区域x2+y2≤6分成若干块．现在用5种不同的颜色给这若干块染色，每块只染一种颜色，且任意两块不同色，若共有120种不同的染色方法，则实数m的取值范围是________．17. 已知△ABC中，角A、B、C的对边长分别为a、b、c，且满足5a2=c2+b2，BE与CF分别为边AC、AB上的中线，则BE与CF夹角的余弦值为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文宇说明，证明过程或演算步骤．18. （理科）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若bcosC+(2a+c)cosB=0（1）求内角B的大小；（2）若b=2，求△ABC面积的最大值．19. 如图，五面体ABCDE中，正△ABC的边长为1，AE⊥平面ABC，CD // AE，且CD=12AE．（1）设CE与平面ABE所成的角为α，AE=k(k>0)，若α∈[π6，π4]，求k的取值范围；（2）在（1）和条件下，当k取得最大值时，求平面BDE与平面ABC所成角的大小．20. 已知函数f(x)=lnx+x2−ax(a∈R)．（I）求函数f(x)的单调区间；（II）若f(x)≤2x2，求a的取值范围．21. 在“环境保护低碳生活知识竞赛”第一环节测试中，设有A 、B 、C 三道必答题，分值依次为20分、30分、50分．竞赛规定：若参赛选手连续两道题答题错误，则必答题总分记为零分；否则各题得分之和记为必答题总分．已知某选手回答A 、B 、C 三道题正确的概率分别为12、13、14，且回答各题时相互之间没有影响．（1）若此选手可以自由选择答题顺序，求其必答题总分为50分的概率；（2）若此选手按A 、B 、C 的顺序答题，求其必答题总分ξ的分布列和数学期望． 22. 已知椭圆x 2+y 23=1的上、下顶点分别为A 1和A 2，M(x 1, y)和N(−x 1, y)是椭圆上两个不同的动点．（1）求直线A 1M 与A 2N 交点的轨迹C 的方程；（2）若过点F(0, 2)的动直线z 与曲线C 交于A 、B 两点，AF →=λFB →问在y 轴上是否存在定点E ，使得OF →⊥(EA →−λEB →)？若存在，求出E 点的坐标；若不存在，说明理由． 23. 已知数列{a n }中，a 1=1，a n+1=(1+1n2)a n +13n−1，n ∈N ∗．(1)求证：当n ≥2且n ∈N ∗时，a n ≥3；(2)求证：a n <e 3，n ∈N ∗(e 为自然对数的底数，参考数据ln3<1.1，ln4<1.4)．2011年河北省石家庄市高考数学一模试卷（理科）答案1. A2. D3. B4. C5. D6. A7. B8. D9. D 10. A 11. B 12. C 13. D 14. 1或215. √216. (−√3，√3) 17. 0 18. 解：（1）利用正弦定理化简已知的等式得：sinBcosC +(2sinA +sinC)cosB =0， 整理得：sinBcosC +cosBsinC =−2sinAcosB ，即sin(B +C)=sinA =−2sinAcosB ， ∵ A 为三角形的内角，即sinA ≠0， ∴ cosB =−12，又B 为三角形的内角，∴ B =2π3；（2）∵ b =2，cosB =−12，∴ 由余弦定理b 2=a 2+c 2−2accosB 得：4=a 2+c 2+ac =(a +c)2−ac ≥4ac −ac =3ac ，（当且仅当a =c 时取等号）， ∴ ac ≤4，∴ S △ABC =12acsinB ≤12×43×√32=√33， 则△ABC 面积的最大值为√33．19. 解：（1）如图以C 为坐标原点，CA 、CD 为y 、z 轴，垂直于CA 、CD 的直线CT 为x 轴，建立空间直角坐标系（如图），则设A(0, 1, 0)，D(0,0,k 2)，E(0, 1, k)，B(√32，12，0)．取AB 的中点M ，则M(√34，34，0)，则平面ABE 的一个法向量为CM→=(√34,34,0)， 由题意sinα=|CE|→⋅|CM →|˙=34⋅=√32√1+k 2． 由α∈[π6，π4]，则12≤sinα=√32√1+k 2≤√22， 得√22≤k ≤√2．…6分（2）由（1）知k 最大值为√2，则当k =√2时，设平面BDE 法向量为n →=(x, y, z)，则{n →⋅BE →=√32x +y2+√22z =0˙取n →=(−√3,−1,√2)，又平面ABC 法向量为m →=(0, 0, 1)，…10分 所以cos <n →，m →>=√2√2+3+1=√33， 所以平面BDE 与平面ABC 所成角大小arccos √33．…12分． 20. 解：(I)f(x)的定义域为(0, +∞)．…， f′(x)=1x +x 2−a =2x 2−ax+1x(x >0)，设g(x)=2x 2−ax +1，只需讨论g(x)在(0, +∞)上的符号．… （1）若a4≤0，即a ≤0，由g(x)过定点(0, 1)，知g(x)在(0, +∞)上恒正，故f ′(x)>0，f(x)在(0, +∞)上为增函数．… （2）若a4>0，当a 2−8≤0时，即0<a ≤2√2时，知g(x)≥0（当x =√22时，取“=”）， 故f ′(x)≥0，f(x)在(0, +∞)上为增函数；…（3）当a 2−8>0，a >2√2时，由2x 2−ax +1=0，得x =a±√a 2−84，当0<x <a−√a 2−84或x >a+√a 2−84时，g ′(x)>0，即f ′(x)>0，当a−√a 2−84<x <a+√a 2−84时，g ′(x)<0，即f ′(x)<0．则f(x)在(a−√a 2−84，a+√a 2−84)上为减函数，在(0,a−√a 2−84)，(a+√a 2−84，+∞)上为增函数．…综上可得：当a ≤2√2时，函数f(x)的单调增区间(0, +∞)； 当a >2√2时，函数f(x)的单调增区间为(0,a−√a 2−84)，(a+√a 2−84，+∞)；函数f(x)的单调减区间为(a−√a 2−84，a+√a 2−84)．…（II ）由条件可得lnx +x 2−ax ≤0(x >0)， 则当x >0时，a ≥lnx x−x 恒成立，…令ℎ(x)=lnx x−x(x >0)，则ℎ′(x)=1−x 2−lnxx，…方法一：令k(x)=1−x 2−lnx(x >0)，则当x >0时，k′(x)=−2x −1x <0，所以k(x)在(0, +∞)上为减函数．又ℎ′(1)=0，所以在(0, 1)上，ℎ′(x)>0；在(1, +∞)上，ℎ′(x)<0．… 所以ℎ(x)在(0, 1)上为增函数；在(1, +∞)上为减函数． 所以ℎ(x)max =ℎ(1)=−1，所以a ≥−1．…方法二：当0<x <1时，1−x 2>0，−lnx >0，ℎ′(x)>0； 当x >1时，1−x 2<0，−lnx <0，ℎ′(x)<0．…所以ℎ(x)在(0, 1)上为增函数；在(1, +∞)上为减函数． 所以ℎ(x)max =ℎ(1)=−1，所以a ≥−1．… 21. 解：（1）记总分得50分为事件D ，记A ，B 答对，C 答错为事件D 1， 记A ，B 答错，C 答对为事件D 2，则D =D 1+D 2，且D 1，D 2互斥 又P(D 1)=12×13×(1−14)=18，P(D 2)=12×(1−13)×14×A 22A 33=136．所以P(D)=P(D 1+D 2)=P(D 1)+P(D 2)=18+136=1172．所以此选手可自由选择答题顺序，必答题总分为50分的概率为1172．（2）ξ可能的取值是100，80，70，50，30，0．ξ=100表示A ，B ，C 三题均答对， 则P(ξ=100)=12×13×14=124，同理，P(ξ=80)=(1−12)×13×14=124， P(ξ=70)=12×(1−13)×14=112，P(ξ=50)=12×13×(1−14)=18，P(ξ=30)=(1−12)×13×(1−14)=18，P(ξ=0)=12×(1−13)×(1−14)+(1−12)×(1−13)=712，所以，ξ的分布列为所以ξ的数学期望Eξ=100×124+80×124+70×112+50×18+30×18=70322. 解：（1）设直线A 1M 与A 2N 的交点为P(x, y)， ∵ A 1，A 2是椭圆x 2+y 23=1的上、下顶点，∴ A 1(0,√3)，A 2(0,−√3)， A 1M:y −√3=y 1−√3x 1x ，A 2N:y +√3=y 1+√3−x 1x ，两式相乘得y 2−3=y 12−3−x 12x 2 ①． 而M(x 1, y 1)在椭圆x 2+y 23=1(x 1≠0)上，∴ x 12+y 123=1，即y 12−3−x 12=3，代入①得y 2−3=3x 2．又当x =0时，不合题意，去掉顶点． ∴ 直线A 1M 与A 2N 的交点的轨迹C 的方程是y 23−x 2=1(x ≠0)；（2）假设存在满足条件的直线，由已知可知其斜率一定存在，设其斜率为k ， 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，E(0, y 0)， 由{y =kx +2y 23−x 2=1，得(k 2−3)x 2+4kx +1=0(k 2≠3)，x 1+x 2=−4k k 2−3，x 1x 2=1k 2−3．AF →=(−x 1,2−y 1)，FB →=(x 2,y 2−2)，∵ AF →=λFB →，∴ −x 1=λx 2， ∵ x 2≠0，∴ λ=−x1x 2，∵ OF →=(0,2)，EA →=(x 1,y 1−y 0)，EB →=(x 2,y 2−y 0)， EA →−λEB →=(x 1−λx 2,y 1−y 0−λy 2+λy 0)， 又∵ OF →⊥(EA →−λEB →)，∴ OF →⋅(EA →−λEB →)=0， ∴ 0×(x 1−λx 2)+2×(y 1−y 0−λy 2+λy 0)=0， 即y 1−y 0−λy 2+λy 0=0．将y 1=kx 1+2，y 2=kx 2+2，λ=−x1x 2代入上式并整理得2kx 1x 2+2(x 1+x 2)=(x 1+x 2)y 0，当x 1+x 2≠0时，y 0=2kx 1x 2x 1+x 2+2=2k k 2−3−4k k 2−3+2=32，当x 1+x 2=0时，k =0，2kx 1x 2+2(x 1+x 2)=(x 1+x 2)y 0恒成立， 在y 轴上存在定点E ，使得OF →⊥(EA →−λEB →)，点E 的坐标为(0,32)． 23. (I)证明：方法一：∵ a 1=1>0，由a n+1=(1+1n 2)a n +13n−1得a 2>0， 于是易得a n >0．… 又a n+1−a n =a n n 2+13n−1>0(n ∈N ∗)，即a n+1>a n (n ∈N ∗)又∵ a 2=3，∴ a n ≥a 2=3(n ≥2)．…方法二：数学归纳法(1)当n =2时，a n =a 2=3≥3，命题成立．… (2)假设当n =k(n ≥2)时命题成立，即a k ≥3， 当n =k +1时，a k+1=(1+1k 2)a k +13k−1=a k +a k k 2+13k−1>a k ≥3∴ n =k +1时命题成立．…由(1)(2)可知，当n ≥2时，a n ≥3．… (II)证明：由(I)知a n+1=(1+1n2)a n +13n−1≤(1+1n 2)a n +a n 3n−1=(1+1n2+13n−1)a n ，…两边取自然对数得：lna n+1≤lna n +ln(1+1n 2+13n−1)．…令f(x)=ln(1+x)−x(x ≥0)，则当x >0时，f′(x)=11+x −1=−x1+x <0恒成立，∴ f(x)为[0．+∞)上的减函数，∴ f(x)≤f(0)=0∴ ln(1+x)<x 在x >0时恒成立，…lna n+1<lna n +1n 2+13n−1<lna n +1n(n−1)+13n−1=lna n +1n−1−1n +13n−1即lna n+1−lna n<1n−1−1n+13n−1(n≥2)，…故，lna n−lna n−1<1n−2−1n−1+13n−2，lna n−1−lna n−2<1n−3−1n−2+13n−3...lna3−lna2<1−12+13，以上各式相加得：lna n−lna2<1−1n−1+13[1−(13)n−2]1−13<1+12=32，(n≥3)…又∵ a2=3，∴ lna n<32+ln3<3，∴ a n<e3(n≥3)，…又∵ a1=1<e3，a2=3<e3，∴ a n<e3(n∈N∗)．…。

2011年河北省某校高考数学三模试卷B （理科）一．选择题（每小题5分，共60分．下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1. 设i 是虚数单位，则(1−i)3(1+i)2=( ) A 1一i B 一l +i C 1+i D 一1一i2. 已知函数y =√kx 2−6kx +9定义域为R ，则实数k 的取值范围是（ ） A k ≤0或k ≥1 B k ≥1 C 0≤k ≤1 D 0<k ≤13. 若变量x ，y 满足约束条件{x −y +2≥0x +y −1≥03x −y −3≥0，则实数z =2x +y( )A 有最小值，有最大值B 有最小值，无最大值C 无最小值，有最大值D 无最小值，无最大值4. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且9a 1，3a 2，a 3成等比数列．若a 1=3，则S 4=( ) A 7 B 8 C 12 D 165. 三棱锥A −BCD 的三条侧棱两两互相垂直，且AB =2，AD =√3，AC =1，则A 、B 两点在三棱锥的外接球的球面上的距离为（ ） A√2π2 B √2π4C 2√2πD √2π 6. θ是三角形的一个内角，且sinθ+cosθ=15，则方程x 2sinθ+y 2cosθ=1所表示的曲线为（ ） A 焦点在x 轴上的椭圆 B 焦点在y 轴上的椭圆 C 焦点在x 轴上的双曲线 D 焦点在y 轴上的双曲线7. 三棱锥P −ABC 中，PA =PB =PC =AC =1，△ABC 是等腰直角三角形，∠ABC =90∘．若E 为PC 中点，则BE 与平面PAC 所成的角的大小等于（ ） A 30∘ B 45∘ C 60∘ D 90∘8. 设e <x <10，记a =ln(lnx)，b =lg(lgx)，c =ln(lgx)，d =lg(lnx)，则a ，b ，c ，d 的大小关系（ ）A a <b <c <dB c <d <a <bC c <b <d <aD b <d <c <a9. 已知直线y =kx(k >0)与函数y =|sinx|的图象恰有三个公共点A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，C(x 3, y 3)其中x 1<x 2<x 3，则有（ ）A sinx 3=1B sinx 3=x 3cosx 3C sinx 3=x 3tanx 3D sinx 3=kcosx 310. 将A ，B ，C ，D ，E 五种不同的文件放入编号依次为1，2，3，4，5，6，7的七个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件，若文件A ，B 必须放入相邻的抽屉内，文件C ，D 也必须放在相邻的抽屉内，则文件放入抽屉内的满足条件的所有不同的方法有（ ） A 192 B 144 C 288 D 24011. 已知点G 是△ABC 的重心，AG →=λAB →+μAC →(λ, μ∈R)，若∠A =120∘，AB →⋅AC →=−2，则|AG →|的最小值是( ) A √33 B √22 C 23 D 3412. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AB // CD 且AB =2AD ，设∠DAB =θ，θ∈(0, π2)，若以A ，B 为焦点，且过点D 的双曲线的离心率为e 1，以C ，D 为焦点，且过点A 的椭圆的离心率为e 2，则（ ）A 当θ增大时，e 1增大，e 1⋅e 2为定值B 当θ增大时，e 1减小，e 1⋅e 2为定值C 当θ增大时，e 1增大，e 1⋅e 2增大D 当θ增大时，e 1减小，e 1⋅e 2减小二、填空题（每题5分，共20分，注意将答案写在答题纸上）13. 某医院近30天每天因患甲型H1N1流感而入院就诊的人数依次构成数列{a n }，己知a 1=1，a 2=2，且满足a n+2−a n =1+(−1)n ，则该医院30天内因患H1N1流感就诊的人数共有________．14. 设X ∼N(μ, σ2)，且总体密度曲线的函数表达式为：f(x)=2√π−x 2−2x+14，x ∈R ，求P(|x −1|<√2)的值________．(φ(1)=0.8413，φ(2)=0.9772)15. P 是△ABC 所在平面内一点，且满足PB →+PC →=2AB →，已知△ABC 的面积是1，则△PAB 的面积是________．16. 给出定义：若m −12<x ≤m +12（其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{x}，即{x}=m ．在此基础上给出下列关于函数f(x)=x −{x}的四个命题： ①y =f(x)的定义域是R ，值域是(−12, 12]；②点(k, 0)(k ∈Z)是y =f(x)的图象的对称中心； ③函数y =f(x)的最小正周期为1； ④函数y =f(x)在(−12, 32]上是增函数；则其中真命题是________．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 17. 已知向量m →=(sin x4, cos x4)，n →=(√3cos x4, cos x4)，记f(x)=m →⋅n →；（1）若f(x)=1，求cos(x +π3)的值；（2）若△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a −c)cosB =bcosC ，求函数f(A)的取值范围．18. 某公司有电子产品n 件，合格率为96%，在投放市场之前，决定对该产品进行最后检验，为了减少检验次数，科技人员采用打包的形式进行，即把x 件打成一包，对这x 件产品进行一次性整体检验，如果检测仪器显示绿灯，说明该包产品均为合格品；如果检测仪器显示红灯，说明该包产品至少有一件不合格，须对该包产品一共检测了x +1次 （1）探求检测这n 件产品的检测次数f(x)；（2）如果设0.96n≈1−0.04n，要使检测次数最少，则每包应放多少件产品？19. 如图，四棱锥P−ABCD的侧面PAD垂直于底面ABCD，∠ADC=∠BCD=90∘，PA=PD=AD=2BC=2，CD=√3，M在棱PC上，N是AD的中点，二面角M−BN−C为30∘．(1)求PMMC的值；(2)求直线PB与平面BMN所成角的大小．20. 已知函数f(x)=2x+alnx−2(a>0)．(Ⅰ)若曲线y＝f(x)在点P（1, f(1)）处的切线与直线y＝x+2垂直，求函数y＝f(x)的单调区间；(Ⅱ)若对于∀x∈(0, +∞)都有f(x)>2(a−1)成立，试求a的取值范围；(Ⅲ)记g(x)＝f(x)+x−b(b∈R)．当a＝1时，函数g(x)在区间[e−1, e]上有两个零点，求实数b的取值范围．21. 已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，过点F1斜率为正数的直线交Γ与A、B两点，且AB⊥AF2，|AF2|、|AB|、|BF2|成等差数列．（1）求Γ的离心率；（2）若直线y=kx(k<0)与Γ交于C、D两点，求使四边形ABCD面积S最大时k的值．22. 过曲线y=2x+1上的一点Q0(0, 2)作曲线的切线，交x轴于点P1，过P1作垂直于x轴的直线交曲线于Q1，过Q1作曲线的切线，交x轴于点P2；过P2作垂直于x轴的直线交曲线于Q2，过Q2作曲线的切线，交x轴于点P3；…如此继续下去得到点列：P1，P2，P3，…P n，…，设P n 的横坐标为x n(n∈N∗)（1）试用n表示x n；（2）证明：1x1+1x2+⋯+1x n<116；（3）证明：1x n >1x n+1+1x n+2+1x n+3+⋯．2011年河北省某校高考数学三模试卷B（理科）答案1. B2. C3. B4. C5. A6. C7. B8. C9. B10. D11. C12. B13. 25514. 0.682615. 12 16. ①③17. 解：（1）f(x)=m⋅n=√3sin x4cos x4+cos2x4=√32sin x2+12cos x2+12=sin(x2+π6)+12，∵ f(x)=1，∴ sin(x2+π6)=12，∴ cos(x+π3)=1−2sin2(x2+π6)=12．（2）∵ (2a−c)cosB=bcosC，∴ 由正弦定理得(2sinA−sinC)cosB=sinBcosC，∴ 2sinAcosB−sinCcosB=sinBcosC，∴ 2sinAcosB=sin(B+C)，∵ A+B+C=π，∴ sin(B+C)=sinA，且sinA≠0，∴ cosB=12，B=π3；∴ 0<A<2π3，∴ π6<A2+π6<π2，12<sin(A2+π6)<1∴ π6<A2+π6<π2，12<sin(A2+π6)<1；又∵ f(x)=sin(x2+π6)+12，∴ f(A)=sin(A2+π6)+12，故函数f(A)的取值范围是(1, 32)．18. 解：（1）因为每一件产品被检验的次数是一随机变量ξ，所以ξ的取值为1x 或1+1x则随机变量ξ的概率分布为所以每一件产品被检验的期望为Eξ=1x (96100)x+(1+1x)[1−(96100)x]=1+1x−0.96x于是，这n件产品被检验的次数为f(x)=n(1+1x−0.96x)…（2）由题设可知0.96x=1−0.04x，所以f(x)=n(1+1x −0.96x)=n[1+1x−(1−0.04x)]=n(1x+0.04x)≥n ⋅2√1x⋅0.04x =0.4n （当且仅当1x=0.04x 即x =5）时等号成立因此，要使检测的次数最少，每包应放5件．… （不验证等号扣1分）19. 解法一（几何法）：(I)作ME // CD ，ME ∩PD =E ．∵ ∠ADC =∠BCD =90∘，AD =2BC =2，N 是AD 的中点，∴ BN ⊥AD ，又平面PAD ⊥平面ABCD ， ∴ BN ⊥平面PAD ， ∴ BN ⊥NE ，∠DNE 为二面角M −BN −C 的平面角， 即∠DNE =30∘．… ∵ PA =PD =AD ， ∴ ∠PDN =60∘， ∴ ∠DEN =90∘， ∴ DE =14DP ，∴ CM =14CP ，故PM MC=3．…(II)连接BE ，由(I)的解答可知PE ⊥平面BMN ， 则∠PBE 为直线PB 与平面BMN 所成的角．连接PN ，则PN ⊥平面ABCD ，从而PN ⊥BN ， ∴ PB =√PN2+BN2=√PN2+CD2=√6，… 又PE =34PD =32，∴ sin∠PBE =PE PB=√64． 所以直线PB 与平面MBN 所成的角为arcsin √64．… 解法二（向量法）：(I)建立如图所示的坐标系N −xyz ，其中N(0, 0, 0)，A(1, 0, 0)，B(0, √3, 0)，C(−1, √3, 0)，D(−1, 0, 0)， P(0, 0, √3)．设PM →=λMC →(λ>0)，则M(−λ1+λ, √3λ1+λ, √31+λ)， 于是NB →=(0, √3, 0)，NM →=(−λ1+λ, √3λ1+λ, √31+λ)，…设n →=(x, y, z)为面MBN 的法向量，则NB →⋅n →=0，NM →⋅n →=0， ∴ √3y =0，−λx +√3λy +√3z =0，取n →=(√3, 0, λ)，又m →=(0, 0, 1)为面BNC 的法向量，由二面角M −BN −C 为30∘，得|cos <m →，n →>|=|m →||n →|˙=√3+λ2=cos30∘=√32， 解得λ=3， 故PMMC =3．…(II)由(I)，n →=(√3, 0, 3)为面MBN 的法向量，…设直线PB 与平面MBN 所成的角为θ，由PB →=(0, √3, −√3)，得 sinθ=|PB →||n|˙=√3√6×2√3=√64， 所以直线PB 与平面MBN 所成的角为arcsin√64．… 20. （1）直线y ＝x +2的斜率为1，函数f(x)的定义域为(0, +∞)， 因为f ′(x)=−2x2+ax，所以，f ′(1)=−212+a1=−1，所以，a ＝1． 所以，f(x)=2x+lnx −2，f ′(x)=x−2x 2． 由f ′(x)>0解得x >2；由f ′(x)<0，解得 0<x <2．所以f(x)的单调增区间是(2, +∞)，单调减区间是(0, 2)． (2) f ′(x)=−2x 2+ax =ax−2x 2，由f ′(x)>0解得 x >2a ； 由f ′(x)<0解得 0<x <2a ．所以，f(x)在区间(2a ,+∞)上单调递增，在区间(0,2a )上单调递减．所以，当x =2a时，函数f(x)取得最小值，y min =f(2a)．因为对于∀x ∈(0, +∞)都有f(x)>2(a −1)成立，所以，f(2a )>2(a −1)即可． 则22a+aln 2a −2>2(a −1)． 由aln 2a >a 解得 0<a <2e ．所以，a 的取值范围是 (0,2e)．(Ⅲ) 依题得 g(x)=2x +lnx +x −2−b ，则 g ′(x)=x 2+x−2x 2．由g ′(x)>0解得 x >1； 由g ′(x)<0解得 0<x <1．所以函数g(x)在区间(0, 1)为减函数，在区间(1, +∞)为增函数． 又因为函数g(x)在区间[e −1, e]上有两个零点，所以{g(e −1)≥0g(e)≥0g(1)<0 ，解得 1<b ≤2e +e −1． 所以，b 的取值范围是(1,2e +e −1]． 21. 解：（1）根据椭圆定义及已知条件，有 |AF 2|+|AB|+|BF 2|=4a ，① |AF 2|+|BF 2|=2|AB|，② |AF 2|2+|AB|2=|BF 2|2，③…由①、②、③，解得|AF 2|=a ，|AB|=43a ，|BF 2|=53a ，所以点A 为短轴端点，b =c =√22a ， Γ的离心率e =c a=√22．… （2）由（1），Γ的方程为x 2+2y 2=a 2． 不妨设C(x 1, y 1)、D(x 2, y 2)(x 1<x 2)， 则C 、D 坐标满足{x 2+2y 2=a 2y =kx ，由此得x 1=√1+2k 2，x 2=√1+2k 2．设C 、D 两点到直线AB:x −y +√22a =0的距离分别为d 1、d 2，因C 、D 两点在直线AB 的异侧，则d 1+d 2=(x −x )−(y −y )√2=21√2=√2(1−k)a√1+2k 2．… ∴ S =12|AB|（ d 1+d 2） =12⋅43a ⋅√2(1−k)a √1+2k 2=2√2a 23√1+2k 2．设t =1−k ，则t >1，(1−k)21+2k 2=t 22t 2−4t+3=12−4t +3t2，当1t =23，即k =−12时，(1−k)21+2k 2最大，进而S 有最大值．… 22. 解：（1）y ′=−2(x+1)2，----------- 所以曲线在Q n−1(x n−1,2x n−1+1)处的切线为：y −2x n−1+1=−2(x n−1+1)2(x −x n−1)−−−−−−−−−−−−−设直线和x 轴交点横坐标x n =2x n−1+1， 即x n +1=2(x n−1+1)，另可解x 1=1 则x n +1=2n ， ∴ x n =2n −1…（2）当n ≥3时，有2n >2n−1+1， ∴ 12n −1<12n−1−−−−−−−−−−则当n≥3时，S n=1+13+∑12i−1ni=3<43+∑12i−1ni=3=43+14[1−(12)n−2]1−12∧−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−另S1=1<116，S2=43<116，故S n<116…（3）∵ 1x n+1=12n+1−1<12n+1−2=12x n，---------------∴ 1x n+1+1x n+2+1x n+3+⋯<12(1x n+1x n+1+1x n+2+⋯)，即2(1x n+1+1x n+2+1x n+3+⋯)<1x n+1x n+1+1x n+2+⋯，移项得：1x n+1+1x n+2+1x n+3+⋯<1x n−−−−−−−−−−−−−−−−−−∴ 1x n >1x n+1+1x n+2+1x n+3+⋯．。

当 时，上述不等式显然成立，故只需考虑 的情况.………….. 5分
将 变形为 ，令 ，则 的导数 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 .从而 在 内单调递减，在 内单调增.所以，当 时， 取得最小值 ，
从而实数 的取值范围是 . .. 8分
（Ⅲ）证明：因
只需证明： . 10分
即 .即 ，（*）
由（Ⅰ）得，对于任意 ，都有 ，即 .…
直线 ，与曲线 交于不同的两点 ，与射线 分别交于点 ，试求出直线l的斜率的取值范围，并证明：｜PR｜＝｜QS｜。
（22）．（本小题满分12分）
已知函数 （e为自然对数的底数）
（Ⅰ）求 的最小值；
（Ⅱ）设不等式 的解集为P，且 ，求实数a的取值范围；
（20）．（本小题满分12分）已知数列｛an｝的前n项和为Sn，且 （n ）．数列｛bn｝是等差数列，且 ， ．
(Ⅰ)求数列｛an｝的通项公式；
(Ⅱ)求数列 的前n项和Tn；若不等式 （a>0且a≠1）对一切n 恒成立，求实数x的取值范围．
（21）．（本小题满分12分）
已知点 分别是射线 ， 上的动点， 为坐标原点，且 的面积为定值2．
则 1分∵ 的面积为定值2，
∴ .2分
，消去 ，得： ．4分
由于 ，∴ ，所以点 的轨迹方程为 （ ）．5分
（II）依题意，直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ．
由 消去 得： ，
设点 、 、 、 的横坐标分别是 、 、 、 ，
∴由 得 6分解之得： ．8分
由 消去 得： ，由 消去 得： ，（10分）
（3）．三角形ABC中，若2 ，且b=2，角A=300，则ΔABC的面积为：
A．1B． C．2D．
（4）．设 、 、 是三个不同的平面，a、b是两条不同的直线，给出下列4个命题：①若a∥ ，b∥ ，则a∥b；②若a∥ ，b∥ ，a∥b，则 ∥ ；