有理数总复习很实用

时间
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
盈利/万元
-6.8
-10.7
31.5
27.8
31.5> 27.8 > -6.8 > -10.7
6. 某年我国人均水资源比上年的增幅是 -5.6%. 后续
三年各年比上年的增幅分别是 -4.0%，13.0%，-9.6%.
这些增幅中哪个最小？增幅是负数说明什么？
-9.6%最小
（1）一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫作数 a 的绝对值，记作| a |，
读作“a的绝对值”.
（2）绝对值的性质（非负性）.
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是
0.
即： ①如果a>0，那么￨a￨= a；
②如果a=0，那么￨a￨= 0；
③如果a<0，那么￨a￨= -a.
7. 在数轴上表示下列各数、并将这些数按从小到大的顺序排列，
再用“<”连接起来.
3，-4，0，2，-2，-1
-4
-4
-3
-2
-1
0
-2
-1
0
-4 < -2 < -1 <
1
2
3
2
3
0 < 2 < 3
4
知识梳理
4. 相反数
（1）相反数：只有符号不同的两个数,互为相反数；
（2）相反数的几何意义：
在数轴上位于原点两侧并且到原点距离相等的两个点所表示
–(–2) > –|+2|
（3）+|–3| 和 |–(+5)|； （4）–(+ ) 和 –|–
（3）+|–3| = 3， |–(+5)| = 5；

第一讲 有理数的相关概念【教学目标】1. 通过实际例子，感受引入负数的必要性．会用正负数表示实际问题中的数量；2. 理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数；3. 借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值(绝对值符号内不含字母)，会比较有理数的大小；4. 通过上述内容的学习，体会从数与形两方面考虑问题的方法.【知识结构】【知识点精析】<一>．负数 1. 概念(1) 27，1.3，390，74…像这样大于0的数叫做正数；(2) -27，-1.3，-390，-74…像这样小于0的数叫做负数；(3) 0既不是正数也不是负数. 2. 正负数的表示方法① 在正数的前面加上负号“-”的数就是负数； ② 正数前面的“+”往往省略不写；③ 一个数前面的“+”、“-”号叫做它的符号. 3. 正负数的应用具有相反意义的两个量，如果规定一个量为正，那么另一个量就记为负.【例1】 某公车原先有22人，经过4个站点时上下车情况如下（上车为正，下车为负）： （+4，-8），（-5，+6），（ -3，+2），（+1，-7），则 ①“+4”，“-5”分别表示什么意义？ ②经过4个站点共上了多少人？ ③经过4个站点后，车上还有多少人？数与点对应相反数 绝对值 有理数比大小有理数 数轴正数和负数<二>．有理数 1. 概念（1）正整数、0、负整数统称为整数； （2）正分数、负分数统称为分数；（3）整数和分数统称为有理数；整数可以看作分母为1的分数，因此，能写成分数形式的数也称为有理数.2. 有理数的分类()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零自然数正整数整数【例2】 将下列各数填在相应的集合内： +3.2，-75，0，-21，30，3.999998，31，-4.1，-14正分数集合：{ }负分数集合：{ } 整数集合： { } 非负数集合：{ } 有理数集合：{ } 【例3】 填空(1)最大的负整数是________；(2)最小的正整数是________；(3)既不是正数，也不是负数的有理数是________； 【例4】 关于“零”，下面说法正确的是 ( )①是整数，也是有理数 ②不是正数，也不是负数③不是整数，是有理数 ④是整数，不是自然数A. ①④B.②③C.①②D.①③【例5】下列说法：①有最小的有理数；②没有最大的负整数；③有最小的非负有理数；其中正确的说法是（ ）A ． 0个B ． 1个C ． 2个D ． 3个<三>．数轴 1. 概念规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.2. 有理数可以用数轴表示，体现了数形结合的思想.3. 利用数轴比较大小① 数轴上，正数在原点的右边，负数在原点的左边； ② 数轴上表示的两个数，右边的数大于左边的数. 4. 有理数的大小比较法则① 正数都大于0； ② 负数都小于0； ③ 正数大于一切负数.【例6】 (1)在数轴上表示下列各数：-3、-1.5、21-、0、1、2；(2) 并用“<”把它们连接起来：【例7】 已知有理数a 、b 在数轴上对应点的位置如图，(1)写出a 、b 的值；(2)比较a 与a+b 的大小<四>．相反数 1. 概念只有符号不同的两个数互为相反数. 2. 相反数的表示在一个数的前面加“-”，即得到这个数的相反数，如a 相反数是a -. 3. 互为相反数的两个数在数轴上关于原点对称；它们到原点的距离相等. 4. ① 正数的相反数一定是负数；② 负数的相反数一定是正数； ③ 0的相反数仍是0； ④ 两个互为相反数的和为0. 【例8】 写出下列各数的相反数： 3，127，6.8，0，21-【例9】 –a 的相反数的相反数是 ( ) A ．a B.1aC. –aD. 1a-<五>．绝对值 1. 概念一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离，记作︱a ︱. 对任何有理数a ,总有︱a ︱≧0.2. ① 一个正数的绝对值是它本身，即若0>a ，则︱a ︱= ；② 一个负数的绝对值是它的相反数，即若0<a ，则︱a ︱= ； ③ 0的绝对值是0，即若0=a ，则︱a ︱= . 【例10】 填空(1)8-=____ -8-=____ -(-8)=_____ (2)数轴上表示－3．2的点离原点的距离是 【例11】 判断下列说法是否正确：(1)符号相反的数互为相反数. ( )(2)符号相反且绝对值相等的数互为相反数. ( ) (3)一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右. ( ) (4)一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远.( )【例12】–a 的相反数为5，b 的倒数c ， c 的负倒数是2，d 在数轴的左边且与原点的距离为3，求︱2a -（b-d ）︱-c【例13】已知a ，b 互为相反数，x 的绝对值为2，，c ，d 互为倒数，试求 X+（a+b+cd ）x+(a+b)+( -cd)【例14】（1）若有x ，y 满足2002(x-1)2 + │x-12y+1│=0，则x 2+y 2 = . （2）│2x+1│+2的最小值是 ，这时x= .（3）已知(x+5)2 + │y 2+y-6│=0，则y 2-51xy+x 2+x 3 = .（4）设a 、b 同时满足① (a-2b)2 +│b+1│=b+1；②│a+b-3│=0. 那么ab= .【例15】(1) 计算：7+13+19+25+…+601（2）计算：21+41+81+161+321+641【巩固练习】一．选择题1、任意数的绝对值一定是（ ）A 正数B 正数或零C 负数D 负数或零2、一个数的相反数是最大的负整数，则这个数为（ ） A 1 B-1 C 0 D 不存在这样的数3、如果上午3点记作+3，那么上午12点记作（ ） A +12 B+9 C -12 D-94、下列语句正确的是（ ）A 最小的数是-1；B 最小的有理数是0；C 绝对值最小的数是0；D 平方等于自身的数是1。

) ＋( 3 )］＋［ ( 4 )＋ ( )＋ (15 )］
37
37
37
4
4
2
=0
1 （2） 0.125 12 ( 16) ( 2 2 )
解：原式 =［－ 0.125× (－ 16) ］×［ 12× ( =2× (－ 30) =－ 60
三、解答题 (共 82 分 )
1. （ 12 分）计算：
10
15
5
1
9
（1） ( 12 37 ) 3 37 ( 4.25) ( 37 ) ( 15 2 ) ( 4 )
10
15
1
51
9
解：原式 =( 12
1307
)＋ (
3
5
37
)＋(
15
4
4 )＋ ( 137
)＋ (15
9
21)＋ (
4)
=［ ( 12 )＋ (
它跳第 100 次落下时，落点处离 O 点的距离是
个单位．
三、解答题 (共 82 分 )
1. （ 12 分）计算：
10
15
5
1
9
（1） ( 12 37 ) 3 37 ( 4.25) ( 37 ) ( 15 2 ) ( 4 )
1 （2） 0.125 12 ( 16) ( 2 2 )
2. （5 分）计算 1－ 3＋ 5－ 7＋ 9－ 11＋… ＋97－ 99．
值．其中 x 和 y 满足 (x 12)2 |1 3 y | 0 ．
1
1111
1
1
（4） 2 1 3 2 4 3 … 1000 999
5. （6 分） 已知 a 1 b 2 2 0 ，求 (a＋ b) 2016＋ a2017．

每年减少 10%的过度包装纸的用量，那么可减排二氧化碳 4 280 000
t．把数 4 280 000 用科学记数法表示为 4.28×106
．
用科学记数法将一个数表示成 a×10n 形式的方法：(1)确定 a， |a|大于或等于 1 且小于 10；(2)确定 n，当原数的绝对值大于或等于 10 时，n 为正整数，且等于原数的整数位数减 1.
1 解：(3)相反数分别为－0.5，2，－2.5，2.5，0，1.4，－4，3.
1 绝对值分别为 0.5，2，2.5，2.5，0，1.4，4，3.
13．(20 分)计算： (1)0.125×(－7)×8. 解：原式＝0.125×8×(－7) ＝1×(－7) ＝－7.
(2)－32－(－8)×(－1)5÷(－1)4. 解：原式＝－9－(－8)×(－1)÷1 ＝－9－8 ＝－17.
(2)如果振子每振动 1 mm 用时 0.02 s，那么完成 8 次振动共需要 多少秒？
【解答】 (2)|＋10|＋|－9|＋|＋8|＋|－6|＋|＋7.5|＋|－6|＋|＋8| ＋|－7|＝10＋9＋8＋6＋7.5＋6＋8＋7＝61.5(mm)．
61.5×0.02＝1.23(s)． 答：完成 8 次振动共需 1.23 s.
|a＋b| 当 m＝2 时，2m2＋1＋m－3cd＝0＋2－3＝－1；
|a＋b| 当 m＝－2 时，2m2＋1＋m－3cd＝0－2－3＝－5.
15．(14 分)如图，数轴上有 A，B，C 三点，它们分别表示数 a， b，c，已知|a＋24|＋(b＋10)2＝0，且 b，c 互为相反数．
(1)求 a，b，c 的值． 解：(1)因为|a＋24|＋(b＋10)2＝0， 所以 a＋24＝0，b＋10＝0，解得 a＝－24，b＝－10. 因为 b，c 互为相反数，所以 b＋c＝0.所以 c＝10.