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1.1 认识三角形◆三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.◆按边分类：三角形三边都不相等的三角形 等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形 ◆按角分类：三角形直角三角形斜三角形锐角三角形钝角三角形◆三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．◆三角形内角和定理：三角形内角和是180°．◆直角三角形的性质：直角三角形两个内角互余．◆三角形的外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．◆三角形的三边关系：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边.【注】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．◆三角形的高线：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．◆三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．◆三角形的中线：三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．【注】（1）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．（2）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．◆三角形的重心：三角形三条中线的交点叫重心．◆三角形的内心：三角形三条角平分线的交点叫内心．◆三角形的垂心：三角形三条高线所在直线的交点叫垂心．题型一认识三角形1.（2022秋•东平县期末）图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上都有可能【分析】三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形．【解答】解：从图中，只能看到一个角是锐角，其它的两个角中，可以都是锐角或有一个钝角或有一个直角．故选：D．【点评】此题考查了三角形的分类．2.（2023秋•临沭县期末）如图，在Rt ABCÐ=Ð，则CDED为( )BÐ=°，CED AD中，90A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．以上均有可能【分析】先求得90A C Ð+Ð=°，再由CED A Ð=Ð得到90CED C Ð+Ð=°，从而可得90CDE Ð=°，最后可得结论．【解答】解：Q 在Rt ABC D 中，90B Ð=°，90A C \Ð+Ð=°，CED A Ð=ÐQ ，90CED C \Ð+Ð=°，90CDE \Ð=°，即CDE D 为直角三角形，故选：B ．【点评】本题考查了直角三角形的性质，解决本题的关键是熟练掌握直角三角形的两个锐角互余．3.（2022秋•张店区期末）请同学们认真观察，图中共有( )三角形．A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个【分析】由三角形的概念，即可得到答案．【解答】解：图形中有三角形：ABC D ，ABD D ，BCD D ，BCO D ，COD D ，\图中共有5个三角形．故选：A ．【点评】本题考查三角形，关键是掌握三角形的概念．4.（2023秋•招远市期中）若三角形有两个内角的和是100°，那么这个三角形是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定【分析】由三角形有两个内角的和是100°，可得出这两个角中较大的角可以是钝角、直角、锐角，结合三角形的分类，可得出这个三角形可能是钝角三角形、直角三角形、锐角三角形，即不能确定．【解答】解：Q 三角形有两个内角的和是100°，\这两个角中较大的角可以是钝角、直角、锐角，\这个三角形可能是钝角三角形、直角三角形、锐角三角形，\这个三角形不能确定．故选：D ．【点评】本题考查了三角形的分类，牢记“三角形按角分类可以分成锐角三角形、直角三角形和钝角三角形”是解题的关键．题型二 三角形的内角和定理1.（2024春•文登区月考）如图，ABC D 中，AD 为ABC D 的角平分线，BE 为ABC D 的高，70C Ð=°，48ABC Ð=°，那么3Ð是( )A ．59°B ．60°C ．56°D ．22°【分析】根据高线的定义可得90AEC Ð=°，然后根据70C Ð=°，48ABC Ð=°求出CAB Ð，再根据角平分线的定义求出1Ð，然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．【解答】解：BE Q 为ABC D 的高，90AEB \Ð=°70C Ð=°Q ，48ABC Ð=°，62CAB \Ð=°，AF Q 是角平分线，11312CAB \Ð=Ð=°，在AEF D 中，180319059EFA Ð=°-°-°=°．359EFA \Ð=Ð=°，故选：A ．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，高线的定义，熟记概念与定理并准确识图是解题的关键．2.（2024•东昌府区二模）将一副三角板按如图放置，其中45EÐ=°，如果Ð=°，30DB CÐ=Ð=°，60Ð= )Ð=°，则4(150CADA．75°B．80°C．60°D．65°【分析】先计算360Ð=Ð，根据三角形内角和得Ð=Ð-Ð=°，根据对顶角相等得EFB AFDCAD CABB DÐ+Ð=Ð+Ð，即可得解．43【解答】解：如图，根据题意，90Ð=°，CABÐ=Ð=°，60DB CÐ=°，CADQ，45150Ð=°\Ð=Ð-Ð=°-°=°，CAD CAB31509060Q，Ð=ÐEFB AFDB EFB AFD D\Ð+Ð=°-Ð=°-Ð=Ð+Ð，41801803\Ð+°=°+°，4456060\Ð=°．475故选：A．【点评】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是掌握三角形的内角和是180°．3.（2024春•市中区期中）若一个三角形的三个内角度数的比为2:3:4，则这个三角形是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【分析】根据三角形的内角和定理和三个内角的度数比，即可求得三个内角的度数，再根据三个内角的度数进一步判断三角形的形状．【解答】解：Q 三角形三个内角度数的比为2:3:4，\三个内角分别是2180409°´=°，3180609°´=°，4180809°´=°．所以该三角形是锐角三角形．故选：A ．4.（2023秋•金乡县期末）如图，在ABC D 中，60ABC Ð=°，40ACB Ð=°，BE AC ^于点E ，AD 与BE交于点F ．（1）求ABE Ð的度数；（2）若AD 平分BAC Ð，DG 平分ADC Ð，试说明//DG BE ．【分析】（1）根据三角形内角和定理可得BAC Ð的度数，再由垂直的定义及作角性质可得答案；（2）由角平分线的定义和三角形内角和定理可得GDC EBC Ð=Ð．再根据平行线的判定方法可得结论．【解答】解：（1）180ABC BAC ACB Ð+Ð+Ð=°Q ，180180604080BAC ABC ACB \Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°．AC BE ^Q ，90AEB \Ð=°，90908010ABE BAC \Ð=°-Ð=°-°=°．（2）AD Q 平分BAC Ð，\11804022BAD BAC Ð=Ð=´°=°，6040100ADC ABC BAD \Ð=Ð+Ð=°+°=°．DGQ平分ADCÐ，\111005022GDC ADCÐ=Ð=´°=°．601050 EBC ABC ABEÐ=Ð-Ð=°-°=°Q，EBC GDC\Ð=Ð．//DG BE\．【点评】此题考查的是平行线的判定和三角形内角和定理，掌握其性质定理是解决此题的关键．题型三直角三角形的性质1.（2024春•市中区期中）如图，直线//a b，Rt ABCD的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若115Ð=°，225Ð=°，则ABCÐ的大小为( )A．40°B．45°C．50°D．55°【分析】如图，作//CK a利用平行线的性质可得1240ACBÐ=Ð+Ð=°，再利用直角三角形的性质即可解决问题．【解答】解：如图，作//CK a．//a bQ，//CK a，//CK b\，1315\Ð=Ð=°，4225Ð=Ð=°，12152540ACB\Ð=Ð+Ð=°+°=°，90CABÐ=°Q，904050ABC \Ð=°-°=°，故选：C ．【点评】本题考查直角三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．2.（2024春•市中区校级月考）如图，在ABC D 中，90ACB Ð=°，28A Ð=°，点D 在边AB 上，将ABCD 沿CD 折叠，使得点B 落在AC 边上的点B ¢处，则ADB Т的度数为 ．【分析】利用折叠及直角三角形的可求解DB C ¢Ð的度数，再利用三角形外角的性质可求解．【解答】解：由折叠可知：B DB C ¢Ð=Ð，90ACB Ð=°Q ，28A Ð=°，62DB C B ¢\Ð=Ð=°，DB C A ADB ¢¢Ð=Ð+ÐQ ，622834ADB ¢\Ð=°-°=°，故答案为：34°．【点评】本题主要考查三角形外角的性质，直角三角形的性质，翻折问题，求解DB C ¢Ð的度数是解题的关键．3.（2024春•市北区月考）【定义】如果两个角的差为30°，就称这两个角互为“伙伴角”，其中一个角叫做另一个角的“伙伴角”．例如：50a =°，20b =°，30a b -=°，则a 和b 互为“伙伴角”，即a 是b 的“伙伴角”， b 也是a 的“伙伴角”．（1）已知1Ð和2Ð互为“伙伴角”，且1290Ð+Ð=°，则1Ð= ．（2）如图1所示，在ABC D 中，90ACB Ð=°，过点C 作AB 的平行线CM ，ABC Ð的平分线BD 分别交AC ，CM 于D ，E 两点．①若A BEC Ð>Ð，且A Ð和BEC Ð互为“伙伴角”，求A Ð的度数；②如图2所示，ACM Ð的平分线CF 交BE 于点F ，当A Ð和BFC Ð互为“伙伴角”时，直接写出A Ð的度数．【分析】（1）考虑两种情况，即12Ð>Ð，12Ð<Ð，根据伙伴角的定义，再结合补角的定义即可解答；（2）①设A Ð的度数为x ，则90ABC x Ð=°-，根据角平分线的定义可得902x ABD °-Ð=，再利用平行线的性质得到ABE BEC Ð=Ð，利用伙伴角的概念，列方程即可解答；②考虑两种情况，即A BFC Ð<Ð和A BFC Ð>Ð，两种情况，设A Ð的度数为y ，利用角平分线的性质和三角形内角和定理，用y 表示BFC Ð，列方程，即可解答．【解答】解：（1）当12Ð>Ð时，2130Ð=Ð-°，12113090\Ð+Ð=Ð+Ð-°=°，160\Ð=°；当12Ð<Ð时，2130Ð=Ð+°，12113090\Ð+Ð=Ð+Ð+°=°，130\Ð=°，故答案为：60°或30°；（2）①设A Ð的度数为x ，90ACB Ð=°Q ，则90ABC x Ð=°-，ABC ÐQ 的平分线BD 分别交AC ，CM 于D ，E 两点，\902x ABE °-Ð=，//AB CM Q ，\902x BEC ABE °-Ð=Ð=，A BEC Ð>ÐQ ，30A bec \Ð-Ð=°，可得90302x x °--=°，解得50x =，50A \Ð=°；②设A Ð的度数为y ，//AB CM Q ，ACE y \Ð=，CF Q 平分ACE Ð，\2y ACF Ð=，根据①可得902y CBF °-Ð=，1809045BFC CBF ACF \Ð=°-Ð-Ð-°=°，当A BFC Ð>Ð时，可得75A Ð=°；当A BFC Ð<Ð时，可得15A Ð=°；综上所述，A Ð的度数为75°或15°．【点评】本题是关于新定义的问题，考查了角平分线定义，平行线的性质，三角形内角和定理等，注意分情况讨论，是解题的关键．4.（2024春•潍城区期中）在Rt ABC D 中，90C Ð=°，点M 为边AB 的中点，点D 在边BC 上．（1）若4AC =，8BC =，MD AB ^（如图①)，求MD 的长；（2）过点M 作ME MD ^与边AC 所在的直线交于点E （如图②)，试探究：线段AE 、ED 、DB 三者之间的数量关系，并证明你的结论．【分析】（1）连接AD ，先求出AB =证MD 为线段AB 的垂直平分线，则AD BD =，AM BM ==AD BD x ==，则8CD BC BD x =-=-，先由勾股定理求出5x =，进而再由勾股定理即可求出DM 的长；（2）在EM 的延长线上取一点F ，使MF ME =，连接BF ，DF ，ED ，证BMF D 和AME D 全等得MBF A Ð=Ð，BF AE =，MF ME =，则//AC BF ，MD 为线段EF 的垂直平分线，由此得ED FD =，然后即可得线段AE 、ED 、DB 三者之间的数量关系．【解答】解：（1）连接AD ，如图①所示：在Rt ABC D 中，90C Ð=°，4AC =，8BC =，有勾股定理得：AB ==Q 点M 为边AB 的中点，MD AB ^，MD \为线段AB 的垂直平分线，AD BD \=，12AM BM AB ===，设AD BD x ==，则8CD BC BD x =-=-，在Rt ACD D 中，由勾股定理得：222AC CD AD +=，即2224(8)x x +-=，解得：5x =，在Rt ADM D中，由勾股定理得：DM ==；（2）线段AE 、ED 、DB 之间的数量关系是：222AE BD ED +=，证明如下：在EM 的延长线上取一点F ，使MF ME =，连接BF ，DF ，ED ，如图②所示：Q 点M 为边AB 的中点，MB MA \=，在BMF D 和AME D 中，MB MA BMF AME MF ME =ìïÐ=Ðíï=î，()BMF AME SAS \D @D，MBF A \Ð=Ð，BF AE =，MF ME =，//AC BF \，90DBF C \Ð=Ð=°，ME MD ^Q ，MF ME =，MD \为线段EF 的垂直平分线，ED FD \=，在Rt BDF D 中，由勾股定理得：222BF BD FD +=，即222AE BD ED +=．【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键，难点是正确的作出辅助线构造全等三角形．题型四 三角形三条重要线段1.（2023秋•钢城区期末）如图，在ABC D 中，关于高的说法正确的是( )A ．线段AD 是AB 边上的高B ．线段BE 是AC 边上的高C ．线段CF 是AC 边上的高D ．线段CF 是BC 边上的高【分析】根据三角形的一个顶点到对边的垂线段叫做三角形的高对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：AD BC ^Q 于点D ，ABC\D中，AD是BC边上的高，故A不符合题意，^Q，线段BE是AC边上的高，B选项符合题意；BE ACQ于点F，^CF AB\是AB边上的高，故C选项不符合题意，D选项不符合题意．CF故选：B．【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线、高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，是基础题，熟记概念是解题的关键．2.（2023秋•河东区期末）王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段AD应该是ABCD的( )A．角平分线B．中线C．高线D．以上都不是【分析】根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分解答．【解答】解：由三角形的面积公式可知，三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分，D的中线，\他所作的线段AD应该是ABC故选：B．【点评】本题考查的是三角形的面积计算，掌握三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键．3.（2024春•即墨区期中）下列各图中，正确画出AC边上的高线的是( )A．B．C．D．【分析】根据三角形高的定义判断即可得到答案．【解答】解：ABCD中AC边上的高即为过点B作AC的垂线段，该垂线段即为AC边上的高，四个选项中只有选项D符合题意，故选：A．【点评】本题主要考查了三角形高线定义，解题的关键是熟知过三角形一个顶点作对边的垂线得到的线段叫三角形的高．4.（2024•德城区模拟）如图，CD ABÐ是钝角，则( )^于点D，已知ABCA．线段CD是ABCD的AC边上的高线B．线段CD是ABCD的AB边上的高线C．线段AD是ABCD的BC边上的高线D．线段AD是ABCD的AC边上的高线【分析】根据三角形的高的概念判断即可．【解答】解：A、线段CD是ABCD的AB边上的高线，故本选项说法错误，不符合题意；B、线段CD是ABCD的AB边上的高线，本选项说法正确，符合题意；D的BC边上高线，故本选项说法错误，不符合题意；C、线段AD不是ABCD、线段AD不是ABCD的AC边上高线，故本选项说法错误，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．5.（2024春•市中区校级期中）如图，用三角板作ABCD的边AB上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是( )A．B．C．D．【分析】根据高线的定义即可得出结论．【解答】解：A ，C ，D 都不是ABC D 的边AB 上的高，故选：B ．【点评】本题考查的是作图-基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．题型五 有关三角形三条重要线段的计算问题1.（2024春•历下区期中）如图所示，在ABC D 中，8AB =，6AC =，AD 是ABC D 的中线，则ABD D 与ADC D 的周长之差为( )A ．14B ．1C ．2D ．7【分析】由三角形中线的定义推知BD DC =；然后根据三角形的周长的定义知ABD D 与ADC D 的周长之差为()AB AC -．【解答】解：Q 如图，在ABC D 中，AD 是ABC D 的中线，BD CD \=．ABD D Q 的周长AB AD BD =++，ADC D 的周长AC AD CD AC AD BD =++=++，ABD \D 与ADC D 的周长之差为：862AB AC -=-=．故选：C ．【点评】本题考查了三角形的中线的定义，三角形周长的计算．解题时，根据三角形的周长的计算方法得到：ABD D 的周长和ADC D 的周长的差就是AB 与AC 的差．2.（2024春•历城区期中）如图，1AP 为ABC D 的中线，2AP 为△1APC 的中线，3AP 为△2AP C 的中线，¼，按此规律，1n AP +为△n AP C 的中线．若ABC D 的面积为16，则△n AP C 的面积为( )A ．22n +B ．22n -C ．32nD ．42n-【分析】根据三角形的面积公式，得△1APC 的面积是ABC D 的面积的一半，△2AP C 的面积是△1APC 的面积的一半．依此即可求解．【解答】解：1AP Q 为ABC D 的中线，_111682AP C ABC S S D \===V ．2AP Q 为△1APC 的中线，_2_11188422AP C AP C S S \===´=V V ．3AP Q 为△2AP C 的中线，_3_21114162228AP C AP C S S \==´=´=V V ．¼¼按此规律，n AP 为△1n AP C -的中线，则△n AP C 的面积为：411622n n -´=，故选：D ．【点评】考查了三角形的面积，此题主要是根据三角形的面积公式，得三角形的中线把三角形的面积分成了相等的两部分．3.（2024春•长清区期中）如图，在ABC D 中，BD 为AC 边上的中线，已知8BC =，5AB =，ABD D 的周长为15，则BCD D 的周长为 ．【分析】根据三角形的中线的概念得到AD DC =，再根据三角形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：BD Q 为AC 边上的中线，AD DC \=，ABD D Q 的周长为15，15AB BD AD \++=，5AB =Q ，10BD AD \+=，BCD \D 的周长81018BC BD CD =++=+=，故答案为：18．【点评】本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．4.（2024春•天桥区期中）如图，在ABC D 中，60B Ð=°，30C Ð=°，AD 和AE 分别是ABC D 的高和角平分线，求DAE Ð的度数．【分析】先根据三角形的内角和定理得到BAC Ð的度数，再利用角平分线的性质可求出12BAE BAC Ð=Ð，而90BAD B Ð=°-Ð，然后利用DAE BAE BAD Ð=Ð-Ð进行计算即可．【解答】解：在ABC D 中，60B Ð=°，30C Ð=°180180306090BAC B C \Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°AE Q 是的角平分线1452BAE BAC \Ð=Ð=°，AD Q 是ABC D 的高，90ADB \Ð=°\在ADB D 中，90906030BAD B Ð=°-Ð=°-°=°453015DAE BAE BAD \Ð=Ð-Ð=°-°=°【点评】本题考查了三角形内角和定理．关键是利用三角形内角和定理求解．题型六 三角形的三边关系1.（2023秋•岚山区期末）已知ABC D 中，其中有两边长是2和5，且ABC D 的第三边长是偶数，则此三角形的周长为( )A ．11B ．12C ．13D ．11或13【分析】三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，设第三边长x ，得到37x <<，由ABC D 的第三边长是偶数，得到4x =或6，于是得到此三角形的周长．【解答】解：设第三边长x ，5252x \-<<+，37x \<<，ABC D Q 的第三边长是偶数，4x \=或6，\此三角形的周长为25411++=或25613++=．故选：D ．【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．2.（2024春•商河县期中）AD 是ABC D 中BC 边上的中线，若5AB =，7AC =，则BD 的取值范围是( )A ．1BD >B ．5BD <C ．15BD <<D ．16BD <<【分析】由三角形的三边关系可求解．【解答】解：AD Q 为中线，BD CD \=，在ABC D 中，7557BC -<<+，即2212BD <<，16BD \<<，故选：D ．【点评】本题考查了三角形的三边关系，是基础题．3.（2024•郓城县校级一模）已知四边形ABCD ，2AB =，3BC =，4CD =，AD d =，则d 的取值范围为 ．【分析】连接AC 可得ABC D 、ACD D 利用三角形的三边关系与绝对值，即可求解．【解答】解：四边形ABCD ，连接AC 如图所示：在ABC D 中，BC AB AC BC AB -<<+，即15AC <<，在ACD D 中，||||AC CD AD AC CD -<<+，即|4||4|AC d AC -<<+，09d \<<，故答案为：09d <<．【点评】本题考查了三角形的三边关系，绝对值，解题关键是将四边形ABCD 分割为两个三角形．4.（2024春•薛城区期中）在ABC D 中，4a =，2b =，若第三边c 的长是偶数，则ABC D 的周长是 ．【分析】先根据已知两边求得第三边的范围，再根据第三边为偶数求得第三边的长，最后计算三角形的周长．【解答】解：在ABC D 中，4a =，2b =，4242c \-<<+，即26c <<，Q 第三边c 的长是偶数，4c \=，ABC \D 的周长为24410++=，故答案为：10．【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边是解题的关键．。
