双曲线及其标准方程

x2 y2 2 1 2 b a y (a b 0)
F1
图形
F1
F2
x
F2
x
a, b, c的关系
a b c
2 2
2
双曲线的定义
平面内与两个定点 F1 , F2的距离之差的绝对值 等于常数 (小于 | F1F2 |)的点M的轨迹叫做双曲线
| MF1 | | MF2 | 常数 含F1的一支 | MF2 | | MF1 | 常数 含F2的一支
选修 第二章 圆锥曲线与方程
双曲线及其标准方程
於慧锋 南宁三中
【F2的距离之和 (大于| F1F2 |) 定义
等于常数的点 P的轨迹 表达式 | MF1 | | MF2 | 2a
2 2 x y 标准方程 1 2 2 a b (a b 0)
y
两个定点叫双曲线的焦 点, 两焦点距离叫做双曲线 的焦距
常数 | F1 F2 | 常数 | F1 F2 |
M点轨迹为两条射线 轨迹不存在
双曲线的标准方程
焦点坐标在 x轴上
c b a
2 2
2
x y 2 1 (a, b 0) 2 a b
2
2
焦点坐标在 y轴上
y x 2 1 (a, b 0) 2 a b
题型一: 双曲线的标准方程的特 点
x2 y2 例1： 已 知 方 程 1 k 3 5 k (1)若 该 方 程 表 示 椭 圆 , 求k的 取 值 范 围 . ( 2)若 该 方 程 表 示 双 曲 线 , 求k的 取 值 范 围 .
题型二: 求双曲线的标准方程
例2 : 已 知 双 曲 线 两 个 焦 点 标 坐为 ( 3 ,0), ( 3 ,0), 并 且 经过点 ( 2,1),求 它 的 标 准 方 程

双曲线及其标准方程
学习目标】
① 了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． ②了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．
【考纲要求】
双曲线为A 级要求
【自主学习】
1．双曲线的定义
(1) 平面内与两定点F 1，F 2的 常数(小于 )的点的轨迹叫做双曲线．
注：①当2a ＝|F 1F 2|时，p 点的轨迹是 ．
②2a ＞|F 1F 2|时，p 点轨迹不存在．
2．双曲线的标准方程
(1) 标准方程：122
22
=-b y a x ，焦点在 轴上；122
22
=-b x a y ，焦点在 轴上．其中：a 0，
b 0，=2a ．
(2) 双曲线的标准方程的统一形式：
)0(122<=+nm ny mx
3．双曲线的几何性质(对0,0,122
22
>>=-b a b y a x 进行讨论)
(1) 范围：∈x ，∈y ．
(2) 对称性：对称轴方程为 ；对称中心为 ．
(3) 顶点坐标为 ，焦点坐标为 ，实轴长为 ，虚轴长为 ，渐近线方程为 ．
(4) 离心率e = ，且∈e ，e 越大，双曲线开口越 ，e 越小，双曲线开口越 ，焦准距P ＝ ．
(5) 具有相同渐近线x a b y ±=的双曲线系方程为
(6) 的双曲线叫等轴双曲线，等轴双曲线的渐近线为 ，离心率为 ． (7)
12222=-b y a x 的共轭双曲线方程为 ．。

(3)当 k<0 时，方程为y42－－x24k＝1，表示焦点在 y 轴上的双曲线；
(4)当 0<k<1 时，方程为x42＋y42＝1，表示焦点在 x 轴上的椭圆； k
(5)当 k>1 时，方程为x42＋y42＝1，表示焦点在 y 轴上的椭圆． k
[一点通] 解决这类题的基本方法是分类讨论，在分
类讨论的过程中应做到不重不漏，选择适当的分界点．在
(3)若|F1F2|<2a，动点的轨迹不存在．
2．通过双曲线方程xa22－by22＝1(焦点在 x 轴上)和ay22－xb22 ＝1(焦点在 y 轴上)(a>0，b>0)可以看出：如果 x2 项的系 数是正的，那么焦点在 x 轴上；如果 y2 项的系数是正的， 那么焦点在 y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于 b，但是无 论双曲线的焦点在哪个轴上，方程中的三个量都满足 c2 ＝a2＋b2.
[例3] 已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同 范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型．
[思路点拨] 解答本题可依据所学的各种曲线的标准形 式的系数应满足的条件进行分类讨论．
[精解详析] (1)当 k＝0 时，y＝±2，表示两条与 x 轴平行 的直线；
(2)当 k＝1 时，方程为 x2＋y2＝4，表示圆心在原点，半径 为 2 的圆；
72 b2 ＝1，
解得a12＝19， b12＝116，
即 a2＝9，b2＝16.
∴所求双曲线的标准方程为y92－1x62 ＝1.
法二：∵双曲线的焦点位置不确定，
∴设双曲线方程为 mx2＋ny2＝1(mn<0)． ∵P1，P2 在双曲线上，所以
4m＋445n＝1， 196×7m＋16n＝1，

双曲线及其标准方程一、要点精讲1．双曲线的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于21F F ）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.说明：⑴在双曲线定义中，如果常数212F F a =，则轨迹是以1F 、2F 为端点的两条射线；如果212F F a >，则轨迹不存在； 如果02=a ，则轨迹为线段21F F 的垂直平分线． ⑵双曲线的定义中，“差的绝对值”和“小于21F F ”都十分重要，不可忽视．如果没有“绝对值”，则动点的轨迹只能是双曲线的一支；若1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，则a MF MF 221=-表示双曲线的右支，a MF MF 221-=-表示双曲线的左支．2．双曲线的标准方程二、课前热身1．已知定点()0,21-F ，()0,22F ，在满足下列条件的平面内动点P 的轨迹中为双曲线的是（ ）(A) 321±=-PF PF (B) 421±=-PF PF (C) 521±=-PF PF (D) 42221±=-PF PF(A) 4 (B) 2 (C) 8 (D) 162. 设θ是第三象限角，方程θθcos sin 22=+y x 表示（ ）(A)焦点在x 轴上的椭圆 (B) 焦点在y 轴上的椭圆 (C)焦点在x 轴上的双曲线 (D) 焦点在y 轴上的双曲线3. 已知双曲线的焦距为26，且13252=c a ，则双曲线的标准方程是 (A)11692522=-y x (B) 11692522=-x y (C) 11442522=-y x (D) 11442522=-y x 或11442522=-x y 4．已知双曲线116922=-y x 上一点P 到双曲线的一个焦点的距离为3，则点P 到另一个焦点的距离为 ．5. 已知两点()0,51-F ，()0,52F ，动点P 满足621=-PF PF ，求动点P 的轨迹方程．6．求以椭圆192522=+y x 长轴端点作焦点，且过点()3,24的双曲线方程．三、典例精析题型一：双曲线的定义及应用1. 1F 、2F 是双曲线1922=-my x 的左、右焦点，AB 是过1F 的一条弦（A 、B 均在双曲线的左支上），若2ABF ∆的周长为30，则弦长|AB|＝ ．2. 双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的焦点为1F 、2F ，弦AB 过1F 且在双曲线的同一支上，若AB BF AF 222=+，则2ABF ∆的周长为（ ）。