概率统计公式大全

概率统计公式大全第1章随机事件及其概率行，而每次试验的可能结果不止一个， 但在进行一次试验之前却不能断言它出 现哪个结果，则称这种试验为随机试验。

试验的可能结果称为随机事件。

在一个试验下，不管事件有多少个，总 可以从其中找出这样一组事件，它具有 如下性质：① 每进行一次试验，必须发生且只能发 生这一组中的一个事件；② 任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。

这样一组事件中的每一个事件称为基本 事件，用”来表示。

基本事件的全体，称为试验的样本空间, 用°表示。

一个事件就是由"中的部分点（基本事 件小 组成的集合。

通常用大写字母儿 B,C,…表示事件，它们是©的子集。

为必然事件，0为不可能事件。

不可能事件（0）的概率为零，而概率为 零的事件不一定是不可能事件；同理， 必然事件（Q ）的概率为1,而概率为1随机试 验和随 机事件 （5）基本事件、样本空间和事件第二章随机变量及其分布设离散型随机变量X 的可能取值为 X(k=1,2,…)且取各个值的概率，即事件 (X=X<)的概率为P(X=x<)=p k , k=1,2,…，则称上式为离散型随机变量X 的概率 分布或分布律。

有时也用分布列的形式给出： x | X —X 2, ,x k ,P(X x k ) p 1, p 2, , p k,。

显然分布律应满足下列条件:p k 1(1) p k 0,k 1,2,, (2)k1。

1) 离型 机 量 分 律散 随 变 的 布对于离散型随机变量，F(x) pxk Xx对于连续型随机变量 ,F (x) f (x) dx4)分布 函数设X 为随机变量，x 是任意实数，则函 数F(x) P(X x)称为随机变量X 的分布函数，本质上是一 个累积函数。

P(a X b) F(b) F(a)可以得到X 落入区 间(a,b ］的概率。

分布函数F(x)表示随机变量 落入区间(-R, x ］的概率。

分布函数具有如下性质：1O0 F(x) 1, x；2° 是单调不减的函数，即时，有 F(X 1)F(X 2)；3° F( ) lim F(x) 0 ,F( ) lim F(x) 1:774°F(x 0) F(x),即F(x)是右连续的；5°P(X x) F(x) F(x 0)。

第三章二维随机变量及其分布如果二维随机向量 =（X ，Y ） 的所有可能取值为至多可列个有 序对（x,y ），则称为离散型随机 向量。

设=（X ， 为（x ,,y j）（i, j 1,2,的概率为P ij,P ｛（X,Y ） （x ，y j ）｝为=（X ，Y ）的分布律或称为X 和Y 的联合分布律。

联合分布有 时也用下面的概率分布表来表 示：这里P ij 具有下面两个性质： (1) p y >0 (i,j=1,2,…);Y ）的所有可能取值 ），且事件｛ =（x「y j）｝ ,称P ij （i, j 1,2,）（1 ） 联合 分布离 散型(2)P j 1.j(3 )联合分布函数设(X, Y)为二维随机向量，对于任意实数x,y,二元函数F(x,y) P{X x,Y y}称为二维随机向量(X，Y)的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。

分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件{( 1，2)l x( 1)x, Y( 2)y}的概率为函数值的一个实值函数。

联合分布函数F(x,y)具有以下的基本性质：(1)0 F(x, y) 1;(2)F(x,y )分别对x和y是非减的，即当X2>X1 时，有F(X2,y ) > F(X1,y);当肿屮时，有F(x,y 2) > F(x,y 1)；(3)F (x,y )分别对x和y是右连续的, 即F(x, y) F(x 0, y),F(x,y) F(x,y 0)；(4) F( , ) F( ,y) F(x, ) 0,F( , ) 1.(5)对于x X2， y1 y2,F(X2, y2) F(X2，yj F(X1，y?) Fg yj 0.第四章随机变量的数字特征离散型续型征①对于正整数①对于正整数k，称随机变量X 称随机变量X的k次幂的数学次幂的数学期期望为X的k阶为X的k阶原原点矩，记为矩，记为V k,即V k,即vv k=E(X> k = E(X)= x k f (xkX i P i , k=1,2,…矩ik=1,2,…②对于正整数k，称随机变量X与E (X)差的k次幂的数学期望为X的k阶中心矩，记为k, ②对于正整数称随机变量X (X)差的k次的数学期望为的k阶中心矩为k，即k E(X E(X即=(X E(X))k f(k E(X E(X))k k=1,2,・k=(X i E(X)) P i ,i设随机变量X 的数学期望E ( 卩，方差D(X )=u 2,则对于任 正数&，有下列切比雪夫不等式2P(|x | ) P切比雪夫不等式给出了在未知 分布的情况下，对概率P(|x I )的一种估计，它在理论上有重要 义。

(1) E(C)=C(2) E(CX)=CE(X)n n(3) E(X+Y)=E(X)+E(Y)，E ( GX 」GE (XJi 1i 1(4) E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：X 和丫独立;充要条件:切比雪夫不等 式(2) 期望 的性 质的字数特对于随机变量X与丫，如果D （X）>0, D（Y）>0，则称_ XYXY何刃征为X与丫的相关系数，XY有时可简记为，且1当| 1=1 时，称X与丫完全相关:P(X aY b)相关系数完全相关正相关,当1时(a1时(a0)，0)，而当0时，称X与丫不相关。

以下五个命题是等价的：①XY 0；②cov(X,Y)=0;③E(XY)=E(X)E(Y);④D(X+Y)=D(X)+D(Y);⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y).协方差矩阵XX XYYX YY对于随机变量X与Y，如果有E（X w存在, 则称之混合矩与丫的k+l阶混合原点矩，记为ki、/ j;k+l阶混合中心为.U ki E[(X E(X))k(Y E(Y))1] （6）协方(i ) cov (X, Y) =cov(Y, X);差的性质(ii) cov(aX, bY) =abcov(X, Y);(込) cov(X 1+X2, Y) =cov(X 1, Y)+cov(X 2, Y);(iv) cov(X, Y) = E(XY)-E(X)E(Y).（7）独立和不相关(i ) 若随机变量X与丫相互独立，则XY 0；反之不成立。

(i) 若（X, 丫〜N ( 1 , 2， 1 2 , 2 , ），则X与丫相互独立等价于X和丫不相关。

第五章大数定律和中心极限定理设随机变量X i, X2,…相互独立，均具有有限万差，即D (X) <C(i=1,2,…)，则对于任意& > 0,有(1) 大数定律X 切比雪夫大数定律伯努利大数定律辛钦大数定律lim PnX in i 1“Eg1.特殊情形：若X, X2,…具有相同的数学期望 E(X)=卩，则上式成为lim PnX i 1.设卩是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事件A 在每次试验中发生的概率，则对于任意的正数£,有lim Pn n1.伯努利大数定律说明，当试验次数n很大时，事件A 发生的频率与概率有较大判别的可能性很小，即lim P 0.这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。

设X , X2,…，X，…是相互独立同分布的随机变量序列,且E (X) = □，则对于任意的正数&有lim PnX in i 11.设随机变量X, X?，…相互独立，服从同一分布，且具有相同的数学期望和方差：2E(X k) ,D(X k) 0(k 1,2,)，则随机变量(2)中心极限定理_ 2X N(,——)n 林德伯格一列维定理Y nX k n的分布函数F n(X)对任意的实数X，有nX k nlim F n x lim P k 1 - xn n. n1 X —(x) e 2dt.此定理也称为独立同分布的中心极限定理第六章样本及抽样分布第七章参数估计当总体X为连续型随机变量时，设其分布密度为f(兀 1 , 2, , m)，其中1,2, , m为未知参数。

又设X1 ,X2, ,X n为总体的一个样本，称L( 1 , 2,n,m) f (X i ； 1 , 2i 1,,m )为样本的似然函数，简记为L n.当总体X为离型随机变量时，设其分布律为P{ X x} p(x; 1 , 2, ,m），则称L(X1,X2, ,X n； 1 n,2 , ,m)P(X i ；1, 2 , ,m)为样本的似然函数。

若似然函数L（X1，X2 ,,X n ； 1 , 2 , , m)在1 , 2 , , m处取到最大值，则称1, 2 ,,m分别为1 , 2 , ,m的最大似然估计值，相应的统计量称为最大似然估计量。

In L ni0,1 1,2, ,mi i若为的极大似然估计，g（X）为单调函数, 则g( ?)为g() 极大的极大似然估计。

似然估计设（X1，X2， ,X n）为未知参数的估计量。

若E（）=，(2) 则称为的无偏估计量。

E（X）=E（X），E（S ）=D（X）估计无量偏性。