概率统计公式、符号汇总表

排列、组合、概率与统计排列与组合1．分类计数原理: 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有N = n 1+n 2+n 3+…+n M 种不同的方法．2.分步计数原理:完成一件事,需要分成n 个步骤,做第一步有1m 种不同的方法,做第二步有2m 种不同的方法,……,做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有N =n 1·n 2·n 3·…n M 种不同的方法．注：分类计数原理和分步计数原理是排列组合的基础和核心，既可用来推导排列数、组合数公式，也可用来直接解题。

它们的共同点都是把一个事件分成若干个分事件来进行计算。

只不过利用分类计算原理时，每一种方法都独立完成事件；如需连续若干步才能完成的则是分步。

利用分类计数原理，重在分“类”，类与类之间具有独立性和并列性；利用分步计数原理，重在分步；步与步之间具有相依性和连续性.比较复杂的问题，常先分类再分步。

3.⑪排列的定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.⑫排列数的定义: 从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数， 用符号m n A 表示. 其中n ，m ∈N *，并且m ≤n ．⑬排列数公式: !(1)(1)(,,)()!m n n A n n n m m n n m N n m =--+=∈- ≤当m =n 时，排列称为全排列，排列数为nn A =(1)21n n ⨯-⨯⨯⨯ 记为n !, 且规定O!=1.注：!(1)!!n n n n ⋅=+- ; 11--=m n m n nA A 4.⑪组合的定义: 从n 个不同的元素中任取m (m ≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合. ⑫组合数的定义: 从n 个不同的元素中取出m (m ≤n )个元素的所有组合数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．用符号mn C 表示.⑬组合数公式: (1)(1)!!!()!m mn nm m A n n n m n C A m m n m --+===- . 规定01n C =，其中m ，n ∈N +，m ≤n.注: 排列是“排成一排”，组合是“并成一组”, 前者有序而后者无序. 排列与组合 ⑭组合数的两个性质:①;m n mn n C C -= 从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n -m 个元素，因此从n 个不同元素中取出 n -m 个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的.②11m m m n n n C C C -++= 根据组合定义与加法原理得；在确定n +1个不同元素中取m 个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n 个元素中再取m -1个元素，所以有C 1-m n ，如果不取这一元素，则需从剩余n 个元素中取出m 个元素，所以共有C m n 种，依分类原理有m n m n m n C C C 11+-=+.5．解排列、组合题的基本策略与方法 (Ⅰ)排列、组合问题几大解题方法： ①直接法; ②排除法;③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”;④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则. ⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n 个元素进行全排列有n n A 种，()m m n <个元素的全排列有m m A 种，由于要求m 个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n 个元素排成一列，其中m 个元素次序一定，共有m mn n A A 种排列方法.(Ⅱ)排列组合常见解题策略：①特殊元素优先安排策略； ②合理分类与准确分步策略；③排列、组合混合问题先选后排的策略（处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列）； ④正难则反，等价转化策略； ⑤相邻问题插空处理策略； ⑥不相邻问题插空处理策略； ⑦定序问题除法处理策略；⑧分排问题直排处理的策略； ⑨ “小集团”排列问题中先整体后局部的策略； ⑩构造模型的策略.6.二项式定理:⑪对于n N *∈，00110()n n n r n r r n nn n n n a b C a b C ab C a b C a b --+=+++++ ,这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做()na b +的展开式.注:展开式具有以下特点： 项数：共有1+n 项；系数：依次为组合数;,,,,,,210n n rn n n n C C C C C且每一项的次数是一样的，即为n 次，展开式依a 的降幂排列，b 的升幂排列展开. ⑫二项展开式的通项：()n a b +的展开式第r+1为1(0,)r n r r r n T C a b r n r Z -+=∈≤≤.⑬二项式系数的性质.①二项展开式中的(0,1,2,,)r n C r n = 叫做二项式系数．．．．．②在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；即011,,,.n n r n r n n n n n n C C C C C C --===排列与组合 ③二项展开式的中间项二项式系数．．．．．最大 且当12n +k <时，二项系数是逐渐增大，当12n +k >时，二项式系数是逐渐减小的． (Ⅰ)当n 是偶数时,中间项是第12n+项,它的二项式系数2nn C 最大;(Ⅱ)当n 是奇数时,中间项为两项,即第12n +项和第112n ++项,它们的二项式系数1122n n nnC C-+=最大. ④系数和：所有二项式系数的和：012nn n n n C C C +++= ;奇数项二项式系数的和＝偶数项而是系数的和:0241312n n n n n n C C C C C -+++=++= . ⑤1121m m m mm m m m m nm n C C C CC ++++++++=⑭如何来求()na b c ++展开式中含p q r a b c 的系数呢？其中,,,p q r N ∈且p q r n ++=把()[()]n n a b c a b c ++=++视为二项式，先找出含有r c 的项()rn r r n C a b c -+，另一方面在()n r a b -+中含有qb 的项为q n r q q q p qn r n rC a b C a b ----=，故在()n a b c ++中含pqra b c 的项为r q p q r n n r C C a b c -.其系数为!()!!!()!!()!!!!r qp q rn n rn n p rn n r n C C C C C r n r q n r q r q p ---=⋅==---.⑮二项式定理的应用：解决有关近似计算、整除问题，运用二项展开式定理并且结合放缩法证明与指数有关的不等式。

统计学公式汇总（1） αβδμσνπρυt u F X s 2χ（2） 均数（mean ）：nX nX X X X n∑=+⋅⋅⋅++=21式中X 表示样本均数，X 1，X 2，Xn为各观察值。

（3） 几何均数（geometric mean, G ）：)lg (lg )lg lg lg (lg 121121nX n X X X X X X G n nn ∑--=+⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅∙=式中G 表示几何均数，X 1，X 2，X n 为各观察值。

（4） 中位数（median, M ）n 为奇数时，)21(+=n X Mn 为偶数时，2/][)12()2(++=n n XX M式中n 为观察值的总个数。

（5） 百分位数 )%(L xx f x n f iL P ∑-⋅+= 式中Ｌ为Ｐx 所在组段的下限，f x 为其频数，i 为其组距，L f ∑为小于Ｌ各组段的累计频数。

（6） 四分位数(quartile, Q ) 第25百分位数P 25，表示全部观察值中有25%（四分之一）的观察值比它小，为下四分位数，记作Q L；第75百分位数P 75，表示全部观察值中有25%（四分之一）的观察值比它大，为上四分位数，记作Q U。

（7） 四分位数间距 等于上、下四分位数之差。

（8） 总体方差 NX 22)(μσ-∑=（9） 总体标准差 NX 2)(μσ-∑=（10）样本标准差 1/)(1)(222-∑-∑=--∑=n nX X n X X s （11）变异系数(coefficient of variation, CV ) %100⨯=X sCV （12）样本均数的标准误 理论值nX σσ=估计值ns s X =式中σ为总体标准差，s为样本标准差，n 为样本含量。

（13）样本率的标准误 理论值np )1(ππσ-=估计值np p s p )1(-=式中π为总体率，p 为样本率，n 为样本含量。

（14）总体率的估计：正态分布法，（n p p u p n p p u p /)1(,/)1(-⋅+-⋅-αα） 式中p为样本均数，s 为样本标准差，n 为样本含量。

概率统计模型自然界中存在两种现象：确定性现象和不确定性现象．同一实验或者试验在不同次重复中，可能出现不同的结果的现象称为随机现象．随机现象的结果尽管是不确定的，但是，同一随机现象的多次重复却表现出某种规律性，即同一事件在不同次试验或者实验中出现的概率是确定的、唯一的．因此，随机现象中包含确定性现象．对随机现象的研究可以通过对随机现象的某些事件的发生概率来研究．变量之间也存在两种关系：确定性关系和不确定性关系．确定性关系：可用一个表达式确切描述，如圆的面积与半径之间的关系．描述确定性关系的数学模型有函数，微分方程，差分方程等．不确定性关系：不可用一个表达式确切描述，如人的体重与身高等．不确定性关系在现实生活中大量存在，即使许多看来是确定性关系的变量，在实际中也会受到各种不同随机因素的影响而变得不确定，确定性关系只是它们的一种近似，如自然科学的很多规律．本章主要介绍利用概率统计知识分析随机现象和随机数据，建立随机模型，求解随机模型，并对得到的结果进行分析，最后运用于实际．第一节介绍几个直接利用概率知识的建模问题，如赌博问题，巴拿赫(Banach)火柴盒问题，信与信封的配对问题，切割机的收益问题；第二节回归分析模型，主要介绍施肥效果分析问题；第三节判别分析模型，主要介绍螨虫分类问题；第四节时间序列分析，主要介绍Chesapeake 海湾的收成预测问题；第五节随机模拟模型，主要介绍利用随机模拟方法产生随机数据及模拟随机现象的方法；第六节排队论模型，主要介绍用排队论的方法分析，处理等候问题．通过以上这些模型和方法的学习，使读者了解和掌握一些处理随机问题的一般思想和方法，如果读者想进一步学习和了解随机数学的专业理论与方法，可阅读随机数学的一些分支的专门著作，如：随机过程，时间序列分析，回归分析，多元统计分析等．§4-1 几个直接利用概率知识的建模问题对随机现象的研究可以通过对随机现象的某些事件的发生概率来研究．本节就来介绍几个概率模型，主要利用的基本知识就是古典概率模型的概率计算及其相关问题，随机变量的概率分布及其计算．可以参看任意一本大学理工科的《概率论与数理统计》教科书[7]，也可以参考周义仓、赫孝良两位老师编写的教科书[6]． 问题描述问题1：赌博问题均匀正方体骰子的六个面分别编号1，2，3，4，5，6．现将一对骰子抛掷6次以决定胜负，请问将赌注押在“出现两个１点”和“完全不出现两个１点”哪个更有利？问题2：巴拿赫(Banach)火柴盒问题波兰数学家巴拿赫随身带着两盒火柴，分别放在两个衣袋里，每盒有n 根火柴．使用时，每次随机地从其中一盒中取出一根．试求他将一盒火柴用完时，另一盒剩余火柴根数的分布律．问题3：信与信封的配对问题某人给它的N 个朋友写信，写好后，分别将这些信装入N 个信封中，并在信封上随机、不重复地写上N 个收信人的地址．问他一个都没写正确和恰有r 个写正确的概率各是多少？问题4：切割机的收益问题[3]一台线切割机把金属线切割成规定的长度．由于切割机的某种不准确性，切割线的长度X 可以看作是在区间[11.5,12.5]上的均匀分布的随机变量．规定的长度是12cm ．如果11.712.2X ≤<，该种线能卖出去而获利润0.25元．如果12.2X ≥，可以重切，并且最后得到0.10元的利润，而如果11.7X <，则以0.02元的损失丢弃．试计算：如果切割N 段金属线，那么，请估计平均每根金属线为老板贡献的利润是多少？ 问题求解1. 问题１的求解问题１是一个古典概率模型的概率计算问题．解决这样的问题的关键就是事件的表示．为此，我们令k i A 分别表示第i 次抛掷骰子时第k 枚骰子（1,2k =）出现１点的事件．那么，在第i 次抛掷中，两枚骰子都出现１点的事件i A 表示为12i i i A A A = (4.1.1)而6次抛掷中至少出现一次两个１点的事件B 可以表示为()6121i i i B A A == (4.1.2)这样，事件B 的对立事件是()661211iii i i B A AA ===+=∏∏ (4.1.3)所以()()1P B P B =- (4.1.4)由于事件12,,1,2,3,4,5,6i i A A i --=相互独立，于是有()()()6111i i P B P B P A ==-=-∏ (4.1.5)而()()()()()212125553566636i iiiiP A P A P A P A P A ⎛⎫=+-=+-=⎪⎝⎭所以()()()661351110.155536i i P B P B P A =⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭∏ (4.1.6)这样，出现两个一点的概率是0.1555，大大小于完全不出现两个一点的概率0.8445．因此，应将赌注押在＂完全不出现两个一点＂上．2. 问题2的求解设巴拿赫总共取出的火柴根数为Z ，而分别来自于两个火柴盒，设从左右口袋的两个火柴盒中分别取出的火柴根数分别是,X Y ，于是Z X Y =+ (4.1.7)而用U 表示总共剩余的火柴根数，于是()()(),,U k X k Y n Y k X n ====== (4.1.8) 那么，我们要计算的随机变量U 的分布列．设巴拿赫发现左口袋火柴刚好取完时，右口袋里还剩Y k =根火柴，因此，右口袋已经被取了n k -根．这样，当巴拿赫首次发现左口袋没有火柴时，已经进行了2n k n n k -+=-次随机试验．在这2n k -次试验中，事件A ，即火柴取自左口袋出现了n 次，事件A ，即火柴取自右口袋出现了n k -次．对右口袋先取完，我们又类似的讨论．这样，这个问题实际上是一个二项分布的概率计算问题．于是()()()()()()()2222,,||111111112222221,0,1,2,,2n knn knn n n kn k n kn n kP U k P X k Y n P Y k X n P X k Y n P Y n P Y k X n P X n C C Ck n------====+======+===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫== ⎪⎝⎭(4.1.9) 3. 问题3的求解经过分析，问题相当于将N 封写好的信放到写着正确地址的信封．问题要求，计算所有的信都没有正确放到该放的信封的事件的概率，以及计算恰有r 封信正确放到该放的信封的概率．这是一个古典概型问题．我们分别用,r A B 表示没有正确放到该放的信封的事件以及恰有r 封信正确放到该放的信封的事件．用i A 表示第i 封信能正确放对信封的事件，1,2,,i N = ，那么12N A A A A = (4.1.10)这里特别要注意：1,,N A A 不是相互独立的，而事件121r r N i i i i i A A A A A + 是互不相容（12,,,N i i i 是1,2,,N 的一个排列）的．因此，不能利用下式计算概率()P A()()()()12N P A P A P A P A = (4.1.11)但是，注意到公式()()111N i i P A P A P A =⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭(4.1.12)而()()()()()()()()()()()()()()111,1,,,1,1,1,,,1,1112112311|||1|...1111111112N N N NN i i i j i j k N i i j i j i j k i j k i N Ni j i i j i k i j i j i j i j k i j kN N N N NN P A P A P A A P A A A P A A N P A P A A P A P A A P A A A N P A P A A A A C C N N N N N -==<=<<==<=<<---⎛⎫=-+++- ⎪⎝⎭=⋅-+++-=-⋅+⋅⋅++----∑∑∑∑∑()11111111!k Nk N N k -=⋅--=∑(4.1.13)所以，由(4.1.12)，有()()01!kNk P A k =-=∑(4.1.1４)用r C 表示恰好指定的r 封信装对信封，则由乘法原理，r B 中的样本点数为（这里()r n B 和()r n C 分别是事件,r r B C 的基本事件个数，或称样本点数）()()rr N r n B C n C = (4.1.15) 而()()()!!r r rr Nn B n C P B C N N == (4.1.16)根据前面的分析和结论，有()()01!kN rr k P C k -=-=∑(4.1.17)而由古典概率的计算公式，有()()()()01!!kN rr r k n C P C k N r -=-==-∑(4.1.18)于是，得到()()()01!!kN rr k n C N r k -=-=-∑(4.1.19)()()011,0,1,2,,!!kN r r k P B k N r k -=-==∑ (4.1.20) 4. 问题4的求解我们只要知道了在三类区间的线段的数目，就可以计算出总的收益．设长度在区间11.712.2X ≤<、区间12.2X ≥和区间11.7X <上的切割线的数目分别是,,p g l N N N ，而总数目为N ，则p g l N N N N =++ (4.1.21)如果总利润是I ，那么平均每根金属线的利润为0.250.100.02p g l N N N Iw N N N N==+- (4.1.22)我们知道，,,p g l N N NN N N分别是随机变量X 落在如上三个区间的频率，而频率具有稳定性，当N 充分大时，频率近似等于相应的概率值，即()()()12.211.712.512.211.711.5111.711.20.512.511.5112.20.312.511.5111.70.212.511.5p g l N P X dx N N P X dx N N P X dx N≈≤<==-≈≥==-≈<==-⎰⎰⎰ 所以，平均来说，单根金属线的利润为0.250.50.100.30.020.20.151w =⨯+⨯-⨯=（元） (4.1.23)研究性问题4-2-1 供电问题：设某车间有200台车床相互独立地工作，由于经常需要维修、测量、调换刀具、变换位置等种种原因要停车．若每台车床有60%的时间在开动，而每台车床在开动时要耗电1KW ，问应供给这个车间多少电力才能保证在８h 生产中大约仅有0.5min 因电力不足而影响生产？4-2-2 钓鱼问题：为了估计湖中鱼的数量，先从湖中钓出r 条鱼做上记号，并放回湖中过一段时间后再从湖中钓出S 条鱼，结果发现其中有x 条鱼标有记号．问应该如何估计湖中鱼的数量N ．§4-2 农作物施肥量与产量的关系问题描述某地区农作物生长所需的营养素主要是氮（N ）、磷（P ）、钾（K ），农作物研究所在该地区对土豆与生菜做了一定数量的实验，实验数据如表4.2.1，其中：ha 表示公顷，t 表示吨，kg 表示公斤．当一个营养素的施肥量变化时，将另二个营养素的施肥量保持在第七水平，如对土豆关于N 的施肥量做实验时，P 与K 的施肥量分别取196kg/ha(第七水平)与372kg/ha(第七水平) ．表4.2.1 施肥量与产量实验数据土豆NPK施肥量(kg/ha) 产量 (t/ha) 施肥量 (kg/ha) 产量 (t/ha) 施肥量 (kg/ha) 产量 (t/ha) 0 15.18 0 33.46 0 18.98 3421.362432.474727.3567 25.72 49 36.06 96 34.86 101 32.29 73 37.96 140 38.52 135 34.03 98 41.04 186 38.44 202 39.45 147 40.09 279 37.73 259 43.15 196 41.26 372 38.43 336 43.46 245 42.17 465 43.87 404 40.83 294 40.36 558 42.77 471 30.75 342 42.73 651 46.22N P K施肥量(kg/ha) 产量(t/ha)施肥量(kg/ha)产量(t/ha)施肥量(kg/ha)产量(t/ha)0 11.02 0 6.39 0 15.7528 12.70 49 9.48 47 16.7656 14.56 98 12.46 93 16.8984 16.27 147 14.33 140 16.24112 17.25 195 17.10 185 17.56168 22.59 294 21.94 279 19.20224 21.63 391 22.64 372 17.97280 19.34 489 21.34 465 15.84336 16.12 587 22.07 558 20.11392 14.11 685 24.53 651 19.40 试建立模型分析施肥量与产量的关系，并对所得结果从应用价值与如何改进等方面作出分析．问题分析农作物的产量与施肥量之间存在密切的关系，但很难用一个确定的函数关系来表达，故可考虑用回归分析方法来研究其相关关系，建立回归方程近似描述产量与施肥量之间的相关关系.模型假设1. 实验中，只考虑施肥量对农作物产量的影响，其它因素：如温度，湿度，其它微量元素的含量，均处于相同水平，不预考虑.2. 各次实验相互独立，结果互不影响，观测误差独立同分布，服从()20,,0Nσσ>，N，P，K的用量可精确控制，误差忽略不计.变量及符号说明n : 实验总次数，本问题中为10.1i Q : 对土豆而言，第i 次实验的产量，1,2,,i n = 2i Q : 对生菜而言，第i 次实验的产量，1,2,,i n =1Ni Q : 对土豆而言，与1i N 对应的第i 次实验的产量，1,2,,i n = 1Pi Q : 对土豆而言，与1i P 对应的第i 次实验的产量，1,2,,i n =1Ki Q : 对土豆而言，与1i K 对应的第i 次实验的产量，1,2,,i n = 2Ni Q : 对生菜而言，与2i N 对应的第i 次实验的产量，1,2,,i n = 2Pi Q : 对生菜而言，与2i P 对应的第i 次实验的产量，1,2,,i n = 2Ki Q : 对生菜而言，与2i K 对应的第i 次实验的产量，1,2,,i n = 1i N : 对土豆而言，第i 次实验的N 的用量，1,2,,i n = 2i N : 对生菜而言，第i 次实验的N 的用量，1,2,,i n = 1i P : 对土豆而言， 第i 次实验的P 的用量，1,2,,i n = 2i P : 对生菜而言， 第i 次实验的P 的用量，1,2,,i n = 1i K : 对土豆而言， 第i 次实验的K 的用量，1,2,,i n = 2i K : 对生菜而言， 第i 次实验的K 的用量，1,2,,i n = .模型建立1. 先对实验数据，作出散点图，直观分析产量与施肥量的变化趋势及关系. 从散点图来看，三种营养素的施肥量与产量之间存在非线性关系，尤其，氮肥的施用量与产量之间存在明显的二次关系，故可考虑建立三种营养素的施肥量与产量之间的一元二次回归模型．2. 三种营养素的施肥量与产量之间的一元二次回归模型21101111211,1,2,,Ni i i Ni Q a a N a N i n ε=+++=21101111211,1,2,,Pi i i Pi Q b b P b P i n ε=+++= 21101111211,1,2,Ki i i Ki Q c c K c K i n ε=+++= 22202112212,1,2,,Ni i i Ni Q a a N a N i nε=+++=22202112212,1,2,,Pi i i Pi Q b b P b P i n ε=+++= 22202112212,1,2,,Ki i i Ki Q c c K c K i n ε=+++=对上述模型，由已知实验数据，利用Mathematica 软件编程计算可得回归方程．但是，考虑到作物的产量是各种营养素综合作用的结果，而以上建立的仅仅是一元回归模型，故须对模型进行改进．3. 包含所有变量的全回归模型21011111121111111i N i P i K i NN i NP i iNK i i PP i PK i i KK i iQ a a N a P a K a N a N P a N K a P a P K a K ε=++++++++++由全回归模型的求解结果(如表4.2.7)及残差可看出，残差均匀分布在零点两侧，无系统偏差，模型基本合适．但注意到，作物产量受各种营养素的影响不是同样的，且营养素两两之间的交互作用对产量的影响也不是同等的，故需对变量进行选择，进行逐步回归．4. 逐步回归模型利用MA TLAB 中的逐步回归函数stepwise 对变量进行逐步回归，回归结果表明：① 对于土豆，首先进入模型的是N 与K 的交互作用项，其次是NN 项； ② 对于生菜，首先进入模型的是P ，其次是NN 项． 模型求解对以上三个模型的求解，采用MA TLAB 软件进行．结果如下：1. 一元回归模型的结果及分析对土豆而言，N的施肥量与产量的回归方程系数：表4.2.2常数项一次项二次项14.7416 0.1972 -0.0003对土豆而言，P的施肥量与产量的回归方程系数：表4.2.3常数项一次项二次项32.9161 0.0719 -0.00013783对土豆而言，K的施肥量与产量的回归方程系数：表4.2.4常数项一次项二次项24.4144 0.0749752 -7*10^(-5)对生菜而言，N的施肥量与产量的回归方程系数：表4.2.5常数项一次项二次项79.2501 3.516472 -0.0106883对生菜而言，P的施肥量与产量的回归方程系数：表4.2.6常数项一次项二次项6.87795 0.0606347 -5.5*10^(-5)对生菜而言，K的施肥量与产量的回归方程系数：表4.2.7常数项一次项二次项16.2329 0.00511548 -7.2*10^(-7)以上一元回归模型结果表明：二次项系数较小且为负值，说明产量先随施肥量增加而增加，达到一个峰值，然后，随施肥量增加而下降．说明，在一定范围内，施肥量对产量有促进作用，这对我们在生产管理中，科学、有效、经济地确定施肥量具有指导意义．2. 对土豆的全回归模型的结果及分析表4.2.8常数项一次项交互作用项 二次项N P K NP NK P KNNPPKK15.20930.07497520.02654780.02844310.0002224940.0001738970 -000325779-0.00017 1209-0.000067809结果表明：一次项系数由大到小依次是N ，K ，P ，交互作用项依次是NP ，NK ，说明我们在生产管理中，不但要重视每中肥料的单独作用，还要充分重视肥料间的交互作用，这样才能在生产中充分发挥肥料对产量的促进作用．3. 逐步回归模型的结果对于土豆，首先进入模型的是N 与K 的交互作用项，其次是NN 项;对于生菜，首先进入模型的是P ，其次是NN 项．回归结果表明，对土豆等块茎类作物，NK 的交互作用对作物的生长起显著作用，对生菜等叶类作物，P 的作用非常显著，其次，N 的作用对各种作物都是重要的．得到的结果符合作物栽培学原理与实际经验． 研究性问题以上是从产量的角度考虑其与施肥量的关系．对此问题，还可以从经济学的角度考虑以下问题：1. 研究产量与肥料用量的变化关系，确定各种肥料的边际用量；2. 考虑到各种肥料的成本不同，为了达到最大效益，确定各种肥料用量的 最佳组合．§4-3 AF 螨虫和APF 螨虫的区分问题问题描述现有9只AF 螨虫和6只APF 螨虫的触角长与翼长数据： AF ：（1.24，1.72），（1.36，1.74），（1.38，1.64），（1.38，1.82），（1.38，1.90），（1.40，1.70），（1.48，1.82），（1.54，1.82），（1.56，2.08）．APF ：（1.14，1.78），（1.18，1.96），（1.20，1.86），（1.26，2.00），（1.28，2.00），（1.30，1.96）．对以上数据，制定一种方法正确区分螨虫；依据确立的方法，判别新样品（1.4，1.80），（1.28，1.84），（1.40，2.04）的归属；若AF 是宝贵的益虫，APF 是某疾病的载体，是否修改分类方法． 问题分析此问题属于判别分析问题，即根据样本的指标（螨虫的触角长与翼长），建立判别规则，来判断样本来自哪个总体（AF ，APF ）．判别分析的一般模型可这样描述：设有k 个总体12,,,k G G G ，它们的分布分别是()()12,,,F x F x ()k F x ，均为p 维分布，制定判别规则，对给定的新样品，确定它来自哪个总体．判别分析的方法有很多，如距离判别，Bayes 判别，Fisher 判别等．这里，我们采用距离判别． 模型假设1. 两种螨虫的触角长与翼长服从二维正态分布()211,N μ∑，()222,N μ∑，1212,μμ≠∑≠∑；2. 判别时仅考虑触角长与翼长两项指标，不考虑其它指标． 模型建立设AF 螨虫为总体1G ，APF 螨虫为总体2G ，()1211,G N μ∑ ，()2222,G N μ∑ ．1. 首先对两总体的均值进行显著性检验，即检验：12μμ=，当其有显著性差异时再进行判别．2. 给出样品X 到总体i G 的距离（这里采用马氏距离）()()21',1,2i i i i d X X i μμ-=-∑-=3. 建立判别函数及判别规则 判别函数为()2221W X d d =-判别规则为()()1200W X X G W X X G ⎧>∈⎪⎨<∈⎪⎩若,则若,则模型求解1. 首先，对两总体的均值进行显著性检验，即检验：12μμ=，利用MATLAB软件统计工具箱中的kstest2函数检验两总体分布是否相同，利用ttest2检验均值是否相同，检验结果表明：两总体分布相同，均值存在显著性差异，故可继续进行判别．2. 利用已知样本数据，计算判别函数值．由于两总体均值与方差未知，采用极大似然估计，即()1ˆˆ,,1,21i i i ixx i X L i n μ=∑==- 最终的判别函数为：()1212, 2.935829.1128190.293W x x x x =-+-．对最初的两类样本，代入，回判结果如下：表4.3.1样本序号样本值 原属类别 判别函数值 判定类别 1 （1.24，1.72） AF 0.433676 AF 2 （1.36，1.74） AF 3.54663 AF 3 （1.38，1.64） AF 6.03181 AF 4 （1.38，1.82） AF 2.60654 AF 5 （1.38，1.90） AF 1.08419 AF 6 （1.40，1.70） AF 5.47231 AF 7 （1.48，1.82） AF 5.51782 AF 8 （1.54，1.82） AF 7.26459 AF 9 （1.56，2.08） AF 2.89922 AF 10 （1.14，1.78） APF -3.61936APF 11 （1.18，1.96） APF -5.88012APF 12 （1.20，1.86） APF -3.39494 APF 13 （1.26，2.00） APF -4.31227 APF 14 （1.28，2.00） APF -3.73002 APF 15（1.30，1.96）APF-2.38659APF对新样品的判别结果：表4.3.2样本序号 样本值 判别函数值 判定类别 16 （1.4，1.80） 3.56938AF 17 （1.28，1.84） -0.685328 APF 18（1.40，2.04）-0.997652APF结果分析对制定的判别函数及判别规则，用已知的经验样本进行计算，验证，结果表明，回判正确率100%，判别规则及方法有效． 研究性问题在判别分析中，应考虑误判损失，若AF 是宝贵的益虫，APF 是某疾病的载体，则本属于APF 而误判为AF 的损失要大于本属于AF 而误判为APF 的损失，则应提高进入AF 的阀值（即判别样本落入某一类的判别函数临界值，如 以上判别样本属于AF 的阀值为0）．§4-4 Chesapeake 海湾的收成预测问题时间序列分析的方法来源人们对生产实践中所产生的历史数据的分析．人们期望通过这些数据获得对未来某个较近时间的数据的估计．一般地，我们所得到的数据可以写为下面的数据序列()()()1122,,,,,,n n x y x y x y （4.4.1）这里，i x 是n 维向量，i y 实值标量．我们可以这样想象：历史数据（4.1.1）是按照某种具有固定生产程序的机器所产生，对于同一个x ，所对应的y 是按照一个条件分布密度函数 ()|f t x （4.4.2）产生的，因而y 的期望值为()()|y tf t x dt x ϕ==⎰ （4.4.3）因此，从理论上，我们要寻找的依赖关系应当是这个函数关系(4.4.3)．这个函数关系称为回归函数．我们的目的是借助于概率统计的方法给出实值变量y 与n 维向量x 之间的回归函数或者估计，并且给出这个函数或者估计的误差限．寻找这样的函数关系或者估计的方法是较多的．时间序列预测[4,8]的一些方法：如回归估计、平稳时间序列的滑动平均、自回归、自回归滑动平均模型、Markov链等可以用来处理预测预报问题，也可以使用现代基于支持向量机[5-6]的非参数统计的线性回归或非线性回归的方法．本节将利用一般的基于最小二乘法的参数回归估计方法、以及基于支持向量机回归的非参数统计学习等方法来解决Chesapeake 海湾的收成预测问题，并主要介绍非平稳时间序列的预测问题．在这里我们不过多地拘泥于理论的陈述，具体的细节，请读者参阅相关资料．问题描述1992年《每日评论》（Daily Press）报告了过去50年中收集到的Chesapeake 海湾海产品收成方面的数据．我们将考察几种场合，并使用Chesapeake海湾的商贸行业提供的如下数据：（a）收获蓝鱼的观测数据表4.4.1，（b）收获蓝蟹的观测数据表4.4.1，回答下面两个问题：问题1：请预测1995年收获的蓝鱼磅数；问题2：请预测1995年收获的蓝蟹磅数．表4.4.1 Chesapeake海湾海产品收成方面的数据[11]年蓝鱼（磅）蓝蟹（磅）年蓝鱼（磅）蓝蟹（磅）1940 15000 100000 1970 290000 4400000 1945 15000 850000 1975 650000 4660000 1950 250000 133**** **** 1200000 4800000 1955 275000 2500000 1985 1500000 4420000 1960 270000 3000000 1990 2750000 5000000 1965 280000 3700000（注1磅＝453.6g．）问题分析直观上，这不是一个平稳时间序列．因此，我们不能采用处理平稳时间序列的模型[8]进行预测．但是，我们可以使用多项式回归估计的方法．另外，我们也可以使用支持向量机回归[9,10]的方法来解决问题1和问题2.因为，支持向量机的方法对于具有小样本的数据估计问题也具有很好的效果．由这样，我们就可以采用相应的方法，分别求解这两个问题． 模型假设（1）假设对于固定的年度x 所收获的两类海产品都是按照一定的概率密度函数产生的．（2）在未来的年度，这样的统计规律也不发生太大的变化． 模型建立为了能够对问题的中数据变化趋势有一个清楚地直观感觉，我们将这些数据用Excel 画在坐标系中进行观察．可以看出，我们不能用线性回归的方法来求解．下面，根据我们刚才的分析，首先采用多项式回归的方法来建模，然后再用支持向量机回归的方法来建模．模型1 为了讨论问题的方便，我们对年度重新编号为1211,,,x x x ，另外，给蓝鱼和蓝蟹分别编号为1，2．我们采用五次多项式回归估计（当然，可以采用其它阶数的回归多项式）．设回归函数的近似形式是如下k J 次多项式()0,1,2kJ k j j j y a x k ===∑ (4.4.4)模型2 由于这里的数据较少，用支持向量机回归的方法是最合适的．就是要寻找一个回归函数()()*1,,1,2kl k k k k kxj j j j y K x x b k αα==-+=∑ (4.4.5)这里，k l 是第k 类海产品的样本数，()()()12,K x x 是称为核函数，其选择方法可以参考文献[9-10]，这里，我们选择径向基核函数()()()()()21212,x x K x x eσ--= (4.4.6)而()*,1,2,1,2,,11k kj j k j αα== 都是非负数，其意义见参考文献[10]．其中，()*,,1,2,1,2,,11k k k j j bk j αα== 是下面优化问题的最优解()()()()()()***,,1**11*1*1min,2..00,,1,2,,1,2,,k l li i kkkl k k k ki i j j i j R R i j l l k k k k iii ii i i l k k ii i k k i i k kK x x y s tCk i j l l ααααααεαααααααα∈∈====--++---=≤≤==∑∑∑∑ (4.4.7)ε是事先选定的一个正数，它确定了回归函数(4.4.5)与样本函数的差别大小．详细的思想请参看文献[9,10]．我们选定的支持向量方法是解决模式识别和回归估计问题的通用方法，是建立在三大统计定律上的现代非参数统计学习方法（见文献[9,10]）．我们不需要回归函数或者识别函数的太多的信息，只要这些数据就可以了，算法会将包含在数据中的信息提取出来而用于预测或者模式识别．这种方法对于小样本问题同样适用． 模型求解模型１的求解 我们关键是如何选择(),1,2,,,1,2k j k a j J k == ．显然，最小二乘法的思想是一个不错的选择．建立下面的最优化问题()()()2,0,1,,01min ,1,2kl k k k j J k L k t a j j J l j l j y k a t ===⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑∑ (4.4.8) 根据极值的必要条件，我们得到，回归多项式满足的代数方程为()011,0,1,,,1,2k k kJ L L k i j ij l ll k j l l a t y t i J k +===⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑∑ (4.4.9) 我们通过MA TLAB 编程，运行后，得到蓝鱼和蓝蟹的预测多项式分别是23454.8424 6.8984 2.44240.40360.03250.0012y x x x x x =-+-+-+ (4.4.10)23451.1729 1.75720.63320.16140.01750.0006y x x x x x =-+-+-+ (4.4.11)用指数函数和多项式拟合的方法，可以得到蓝鱼和蓝蟹的预测公式分别是()5.28571 1.4635,1,2,,11,xy x =⋅= （4.4.12）1,2,,11,.y x == （4.4.13）将原始数据与预测值分别画在同一坐标系中，可以观察到一些现象．结果发现，用多项式预测具有随机波动的数值具有很大的偏离实际问题的本意（如对蓝蟹的多项式预测函数），在后面的时段的预测效果可能让人难以接受，即对于长期预测的效果可能比较差．但是对于短期的预测效果还是比较好的．为此，我们可以采用用于处理预测的当前的流行方法，即基于支持向量机的回归预测的方法[9,10]．这就是我们采用模型2的原因之一．模型2的求解 模型2涉及一个高级的模式识别和回归估计的方法[9-10]．我们直接求解优化问题，并将上述的两种方法预测的结果与支持向量机回归预测得到结果进行比较（图4.4.2和图4.4.3）．对蓝鱼得到的预测函数（核函数中选择的2 5.0000002σ=）是 ()()()()()()()()()()12335789101163.60123.28,172.68,236.90,186.13,145.70,109.91,265.79,278.76,227.47,64.44,y K x x K x x K x x K x x K x x K x x K x x K x x K x x K x x =-+-+-+-+-+ (4.4.14)对蓝蟹得到预测函数（核函数中选择的25.6σ=）为()()()()()()157910115.2083 4.9843, 2.1754,0.5785,0.3656,0.8640,0.6628,y K x x K x x K x x K x x K x x K x x =--+--+ (4.4.15)结果分析从图4.4.2和图4.4.3，我们清楚地发现，本文对于蓝蟹的多项式预测公式对原数据的拟合显然优于文献[11]的根式函数的预测结果．我们在实际问题中应该尝试使用不同次幂的回归多项式，以达到最佳的拟合．通过尝试我们发现3次多项式回归可能要更好点．同学们通过自己编程，体验研究的乐趣．对于蓝鱼模型和蓝蟹模型，我们得到的预测结果画在图4.4.5中．结果分析从图4.4.4和图4.4.5可以看出，支持向量机回归的方法得到的结果最好，对于本问题来说，多项式回归预测的方法不比文献[11]的方法好．但是，如果选择合适的多项式的次数，也许会得到较好的预测，希望有兴趣的同学试试．对于没有支持向量机理论和方法的大学生来说，基于最小二乘法的多项式回归还是比较合适的．当然，有兴趣的同学可以参看文献[9-10]学习支持向量机的理论和方法．研究性问题读者可以尝试选择合适的回归多项式的阶使得预测更合理，或者根据观察的数据散点图，选用你认为更好的函数类型进行拟合．能否依据所给数据采用微分方程建模方法求解预测问题，或者利用最近几次历史数据值或预测值，预测以后较近时段的数据．这些都是非常有意思的问题．你会从中体会到研究的乐趣．§4-5 随机模拟问题对于研究对象的数量关系过于复杂或提出的解释性（定性或定量）模型难以处理时，研究者很难得到一个能充分说明问题的符号分析模型，但又必须对研究对象的行为（随机依赖关系或者确定性关系）做出预报时，研究者可以在某种给定条件下进行多次重复的实验来收集数据，以获得这样的随机依赖关系．这种方法称为随机模拟方法[7,11]．前面对于变量之间的随机依赖关系的预报是直接利用给定数据，采用某种对回归函数的近似估计来实现的．但是，在没有这些数据情况下，我们只能采用模拟实验的方法．在许多实际问题中，具体地进行实验来获得所需要数据是不切实际的．比如，为了确定人类对某种药物的敏感性，我们可以用小白鼠或者猴子进行模拟试验；为了能够获得人体各个器官对失重环境的适应性，我们可以进行模拟太空失重环境；为了测试电梯的某种运行方式是否合理（如停偶数上层还是停奇数层），我们不能在各种运行方式下进行多次实验，这样对顾客多有惊扰．这里的几个例子，前两个是可以有替代的试验对象，后一个则没有．在这样的情况下，我们必须设计出能够模拟实际环境或者条件的理论上的模拟仿真实验，来分析研究对象的随机依赖关系或者确定性关系．这里介绍的前两个例子也是模拟，它们是一种真实环境的模拟．而后者是借助于计算机仿真的模拟，这种模拟方法通常称为蒙特卡洛（Monete Carlo ）方法．这里仅介绍这种方法．蒙特卡洛（Monete Carlo ）方法分为确定性行为模拟和随机行为模拟．我们分别举例说明．问题1：曲线下的面积计算－确定性问题问题描述我们要计算由曲线[]()(),,y f x x a b =∈与直线x a =、x b =以及x 轴所围成的曲边梯形的面积A [11]，如图4.5.1． 模型的建立所求的面积为()baf x dx ⎰(4.5.1)这个面积可以通过下面的分析给出求解的近似公式：在矩形[],;,a b Q M 中随机产生点(),P x y （通过产生随机数来获得,x y ），统计出落在曲线下方的随机点。

数理统计实验1Excel基本操作1.1 单元格操作1.1.1单元格的选取Excel启动后首先将自动选取第A列第1行的单元格即A1(或a1)作为活动格,我们可以用键盘或鼠标来选取其它单元格.用鼠标选取时,只需将鼠标移至希望选取的单元格上并单击即可.被选取的单元格将以反色显示.1.1.2选取单元格范围(矩形区域)可以按如下两种方式选取单元格范围.(1) 先选取范围的起始点(左上角),即用鼠标单击所需位置使其反色显示.然后按住鼠标左键不放,拖动鼠标指针至终点(右下角)位置,然后放开鼠标即可.(2) 先选取范围的起始点(左上角),即用鼠标单击所需位置使其反色显示.然后将鼠标指针移到终点(右下角)位置,先按下Shift键不放,而后点击鼠标左键.1.1.3选取特殊单元格在实际中,有时要选取的单元格由若干不相连的单元格范围组成的.此类有两种情况.第一种情况就是间断的单元格选取.选取方法就是先选取第一个单元格,然后按住[Ctrl]键,再依次选取其它单元格即可.第二种情况就是间断的单元格范围选取.选取方法就是先选取第一个单元格范围,然后按住[Ctrl]键,用鼠标拖拉的方式选取第二个单元格范围即可.1.1.4公式中的数值计算要输入计算公式,可先单击待输入公式的单元格,而后键入＝(等号),并接着键入公式,公式输入完毕后按Enter键即可确认.、如果单击了“编辑公式”按钮或“粘贴函数”按钮,Excel将自动插入一个等号.提示:(1) 通过先选定一个区域,再键入公式,然后按CTRL+ENTER 组合键,可以在区域内的所有单元格中输入同一公式.(2) 可以通过另一单元格复制公式,然后在目标区域内输入同一公式.公式就是在工作表中对数据进行分析的等式.它可以对工作表数值进行加法、减法与乘法等运算.公式可以引用同一工作表中的其它单元格、同一工作簿不同工作表中的单元格,或者其它工作簿的工作表中的单元格.下面的示例中将单元格B4 中的数值加上25,再除以单元格D5、E5 与F5 中数值的与.=(B4+25)/SUM(D5:F5)1.1.5公式中的语法公式语法也就就是公式中元素的结构或顺序.Excel 中的公式遵守一个特定的语法:最前面就是等号(＝),后面就是参与计算的元素(运算数)与运算符.每个运算数可以就是不改变的数值(常量数值)、单元格或区域引用、标志、名称,或工作表函数.在默认状态下,Excel 从等号(＝)开始,从左到右计算公式.可以通过修改公式语法来控制计算的顺序.例如,公式=5+2*3的结果为11,将 2 乘以3(结果就是6),然后再加上 5.因为Excel 先计算乘法再计算加法;可以使用圆括号来改变语法,圆括号内的内容将首先被计算.公式=(5+2)*3的结果为21,即先用5 加上2,再用其结果乘以 3.1.1.6单元格引用一个单元格中的数值或公式可以被另一个单元格引用.含有单元格引用公式的单元格称为从属单元格,它的值依赖于被引用单元格的值.只要被引用单元格做了修改,包含引用公式的单元格也就随之修改.例如,公式“=B15*5”将单元格B15 中的数值乘以 5.每当单元格B15 中的值修改时,公式都将重新计算.公式可以引用单元格组或单元格区域,还可以引用代表单元格或单元格区域的名称或标志.在默认状态下,Excel 使用A1 引用类型.这种类型用字母标志列(从A 到IV ,共256 列),用数字标志行(从 1 到65536).如果要引用单元格,请顺序输入列字母与行数字.例如,D50 引用了列 D 与行50 交叉处的单元格.如果要引用单元格区域,请输入区域左上角单元格的引用、冒号(:)与区域右下角单元格的引用.下面就是引用的示例.1.1.7工作表函数Excel 包含许多预定义的,或称内置的公式,它们被叫做函数.函数可以进行简单的或复杂的计算.工作表中常用的函数就是“SUM”函数,它被用来对单元格区域进行加法运算.虽然也可以通过创建公式来计算单元格中数值的总与,但就是“SUM”工作表函数还可以方便地计算多个单元格区域.函数的语法以函数名称开始,后面就是左圆括号、以逗号隔开的参数与右圆括号.如果函数以公式的形式出现,请在函数名称前面键入等号(＝).当生成包含函数的公式时,公式选项板将会提供相关的帮助.使用公式的步骤:A、单击需要输入公式的单元格.B、如果公式以函数的形式出现,请在编辑栏中单击“编辑公式”按钮 .C 、 单击“函数”下拉列表框 右端的下拉箭头.D 、 单击选定需要添加到公式中的函数.如果函数没有出现在列表中,请单击“其它函数”查瞧其它函数列表.E 、 输入参数.F 、 完成输入公式后,请按 ENTER 键.1.2 几种常见的统计函数1.2.1均值 Excel 计算平均数使用A VERAGE 函数,其格式如下:A VERAGE(参数1,参数2,…,参数30)范例:A VERAGE(12、6,13、4,11、9,12、8,13、0)=12、74如果要计算单元格中Ａ1到B20元素的平均数,可用 A VERAGE(A1:B20).1.2.2 标准差计算标准差可依据样本当作变量或总体当作变量来分别计算,根据样本计算的结果称作样本标准差,而依据总体计算的结果称作总体标准差.(1)样本标准差Excel 计算样本标准差采用无偏估计式,STDEV 函数格式如下:STDEV(参数1,参数2,…,参数30)范例:STDEV(3,5,6,4,6,7,5)＝1、35如果要计算单元格中Ａ1到B20元素的样本标准差,可用 STDEV(A1:B20).(2)总体标准差Excel 计算总体标准差采用有偏估计式STDEVP 函数,其格式如下:STDEVP(参数1,参数2,…,参数30)范例:STDEVP(3,5,6,4,6,7,5)＝1、251.2.3 方差方差为标准差的平方,在统计上亦分样本方差与总体方差.(1)样本方差S 2=1)(2--∑n x x iExcel 计算样本方差使用V AR 函数,格式如下:V AR(参数1,参数2,…,参数30)如果要计算单元格中Ａ1到B20元素的样本方差,可用 V AR(A1:B20).范例:V AR(3,5,6,4,6,7,5)＝1、81(2)总体方差S 2=n x x i ∑-2)(Excel计算总体方差使用V ARP函数,格式如下:V ARP(参数1,参数2,…,参数30)范例:V AR(3,5,6,4,6,7,5)＝1、551.2.4正态分布函数Excel计算正态分布时,使用NORMDIST函数,其格式如下:NORMDIST(变量,均值,标准差,累积)其中:变量(x):为分布要计算的x值;均值(μ):分布的均值;标准差(σ):分布的标准差;累积:若为TRUE,则为分布函数;若为FALSE,则为概率密度函数.范例:已知X服从正态分布,μ＝600,σ＝100,求P{X≤500}.输入公式＝NORMDIST(500,600,100,TRUE)得到的结果为0、158655,即P{X≤500}=0、158655.1.2.5正态分布函数的反函数Excel计算正态分布函数的反函数使用NORMINV函数,格式如下:NORMINV(下侧概率,均值,标准差)范例:已知概率P＝0、841345,均值μ＝360,标准差σ＝40,求NORMINV函数的值.输入公式＝NORMINV(0、841345,360,40)得到结果为400,即P{X≤400}=0、841345.注意:(1) NORMDIST函数的反函数NORMINV用于分布函数,而非概率密度函数,请务必注意;(2) Excel 提供了计算标准正态分布函数NORMSDIST(x),及标准正态分布的反函数NORMSINV(概率).Φ=P{X<2}.输入公式范例:已知Ｘ～Ｎ(0,1), 计算(2)=NORMSDIST(2)Φ=0、97725.得到0、97725,即(2)范例:输入公式=NORMSINV(0、97725) ,得到数值２.若求临界值uα(n),则使用公式＝NORMSINV(1-α).1.2.6t分布Excel计算t分布的值(查表值)采用TDIST函数,格式如下:TDIST(变量,自由度,侧数)其中:变量(t):为判断分布的数值;自由度(v ):以整数表明的自由度;侧数:指明分布为单侧或双侧:若为1,为单侧;若为2,为双侧.范例:设T 服从t (n-1)分布,样本数为25,求P (T >1、711).已知t ＝1、711,n =25,采用单侧,则T 分布的值:＝TDIST(1、711,24,1)得到0、05,即P (T >1、711)=0、05.若采用双侧,则T 分布的值:＝TDIST(1、711,24,2)得到0、1,即()1.7110.1P T >=. 1.2.7 t 分布的反函数Excel 使用TINV 函数得到t 分布的反函数,格式如下:TINV(双侧概率,自由度)范例:已知随机变量服从t (10)分布,置信度为0、05,求t 205.0(10).输入公式＝TINV(0、05,10)得到2、2281,即()2.22810.05P T >=.若求临界值t α(n ),则使用公式＝TINV(2*α, n ).范例:已知随机变量服从t (10)分布,置信度为0、05,求t 0、05 (10).输入公式＝TINV(0、1,10)得到1、812462,即t 0、05 (10)= 1、812462. 1.2.8 F 分布Excel 采用FDIST 函数计算F 分布的上侧概率1()F x -,格式如下:FDIST(变量,自由度1,自由度2)其中:变量(x ):判断函数的变量值;自由度1(1n ):代表第1个样本的自由度;自由度2(2n ):代表第2个样本的自由度.范例:设X 服从自由度1n =5,2n =15的F 分布,求P (X >2、9)的值.输入公式=FDIST(2、9,5,15)得到值为0、05,相当于临界值α.1.2.9 F 分布的反函数Excel 使用FINV 函数得到F 分布的反函数,即临界值12(,)F n n α,格式为:FINV(上侧概率,自由度1,自由度2)范例:已知随机变量X 服从F (9,9)分布,临界值α=0、05,求其上侧0、05分位点F 0、05(9,9).输入公式=FINV(0、05,9,9)得到值为3、178897,即F 0、05(9,9)= 3、178897.若求单侧百分位点F 0、025(9,9),F 0、975(9,9).可使用公式=FINV(0、025,9,9)=FINV(0、975,9,9)得到两个临界值4、025992与0、248386.若求临界值F α(n 1,n 2),则使用公式＝FINV(α, n 1,n 2).1.2.10 卡方分布Excel 使用CHIDIST 函数得到卡方分布的上侧概率1()F x -,其格式为:CHIDIST(数值,自由度)其中:数值(x ):要判断分布的数值;自由度(v ):指明自由度的数字.范例:若X 服从自由度v =12的卡方分布,求P (X >5、226)的值.输入公式＝CHIDIST(5、226,12)得到0、95,即1(5.226)F -=0、95或(5.226)F =0、05.1.2.11 卡方分布的反函数Excel 使用CHIINV 函数得到卡方分布的反函数,即临界值2()n αχ.格式为:CHIINV(上侧概率值α,自由度n )范例:下面的公式计算卡方分布的反函数:＝CHIINV(0、95,12)得到值为5、226,即20.95(12)χ=5、226.若求临界值2αχ(n),则使用公式＝CHIINV(α, n). 1.2.12 泊松分布计算泊松分布使用POISSON 函数,格式如下:POISSON(变量,参数,累计)其中:变量:表示事件发生的次数;参数:泊松分布的参数值;累计:若TRUE,为泊松分布函数值;若FALSE,则为泊松分布概率分布值. 范例:设Ｘ服从参数为４的泊松分布,计算P {X =6}及P {X ≤6}.输入公式=POISSON(6,4,FALSE)=POISSON(6,4,TRUE)得到概率0、104196与0、889326.在下面的实验中,还将碰到一些其它函数,例如:计算样本容量的函数COUNT ,开平方函数SQRT,与函数SUM ,等等.关于这些函数的具体用法,可以查瞧Excel 的关于函数的说明,不再赘述.2 区间估计实验计算置信区间的本质就是输入两个公式,分别计算置信下限与置信上限.当熟悉了数据输入方法及常见统计函数后,变得十分简单.2.1 单个正态总体均值与方差的区间估计:2.1.1σ2已知时μ的置信区间 置信区间为22x u x u αα⎛⎫-+ ⎝. 例1 随机从一批苗木中抽取16株,测得其高度(单位:m)为:1、14 1、10 1、13 1、15 1、20 1、12 1、17 1、19 1、15 1、12 1、14 1、20 1、23 1、11 1、14 1、16.设苗高服从正态分布,求总体均值μ的0、95的置信区间.已知σ =0、01(米). 步骤:(1)在一个矩形区域内输入观测数据,例如在矩形区域B3:G5内输入样本数据.(2)计算置信下限与置信上限.可以在数据区域B3:G5以外的任意两个单元格内分别输入如下两个表达式:=average(b3:g5)-normsinv(1-0、5*α)*σ/sqrt(count(b3:g5))=average(b3:g5)+normsinv(1-0、5*α)*σ/sqrt(count(b3:g5))上述第一个表达式计算置信下限,第二个表达式计算置信上限.其中,显著性水平α与标准差σ就是具体的数值而不就是符号.本例中,α =0、05, 0.01σ=,上述两个公式应实际输入为=average(b3:g5)-normsinv(0、975)*0、01/sqrt(count(b3:g5))=average(b3:g5)+normsinv(0、975)*0、01/sqrt(count(b3:g5))计算结果为(1、148225, 1、158025).2.1.2 σ2未知时μ的置信区间置信区间为22((x t n x t n αα⎛⎫--+- ⎝.例2 同例1,但σ未知.输入公式为:=average(b3:g5)-tinv(0、05,count(b:3:g5)-1)*stdev(b3:g5)/sqrt(count(b3:g5)) =average(b3:g5)-tinv(0、05,count(b:3:g5)-1)*stdev(b3:g5)/sqrt(count(b3:g5)) 计算结果为(1、133695, 1、172555).2.1.3μ未知时σ2的置信区间:置信区间为22 22122(1)(1),(1)(1)n nn ns sααχχ-⎛⎫⎪--⎪--⎪⎝⎭.例３从一批火箭推力装置中随机抽取10个进行试验,它们的燃烧时间(单位:s)如下:50、7 54、9 54、3 44、8 42、2 69、8 53、4 66、1 48、1 34、5试求总体方差2σ的0、9的置信区间(设总体为正态).操作步骤:(1)在单元格B3:C7分别输入样本数据;(2)在单元格C9中输入样本数或输入公式=COUNT(B3:C7);(3)在单元格C10中输入置信水平0、1.(4)计算样本方差:在单元格C11中输入公式=V AR(B3:C7)(5)计算两个查表值:在单元格C12中输入公式=CHIINV(C10/2,C9-1),在单元格C13中输入公式=CHIINV(1-C10/2,C9-1)(6)计算置信区间下限:在单元格C14中输入公式=(C9-1)*C11/C12(7)计算置信区间上限:在单元格C15中输入公式=(C9-1)*C11/C13.当然,读者可以在输入数据后,直接输入如下两个表达式计算两个置信限:=(count(b3:c7)-1)*var(b3:c7)/chiinv(0、1/2, count(b3:c7)-1)=(count(b3:c7)-1)*var(b3:c7)/chiinv(1-0、1/2, count(b3:c7)-1)2.2 两正态总体均值差与方差比的区间估计2.2.1 当σ12 = σ22 = σ2但未知时μ1-μ2的置信区间置信区间为 ()1212211(2)w x y t n n S n n α⎛⎫-±+-+ ⎪ ⎪⎝⎭.例４ 在甲,乙两地随机抽取同一品种小麦籽粒的样本,其容量分别为5与7,分析其蛋白质含量为甲:12、6 13、4 11、9 12、8 13、0乙:13、1 13、4 12、8 13、5 13、3 12、7 12、4蛋白质含量符合正态等方差条件,试估计甲,乙两地小麦蛋白质含量差μ１-μ２所在的范围.(取α＝0、05)实验步骤:(1)在A2:A6输入甲组数据,在B2:B8输入乙组数据;(2)在单元格B11输入公式＝A VERAGE(A2:A6),在单元格B12中输入公式=A VERAGE(B2:B8),分别计算出甲组与乙组样本均值.(3)分别在单元格C11与C12分别输入公式=V AR(A2:A6),=V AR(B2:B8),计算出两组样本的方差.(4)在单元格D11与D12分别输入公式=COUNT(A2:A6),=COUNT(B2:B8),计算各样本的容量大小.(5)将显著性水平0、05输入到单元格E11中.(6)分别在单元格B13与B14输入=B11-B12-TINV(0、025,10)*SQRT((4*C11+6*C12)/10)*SQRT(1/ 5+1/7)与=B11-B12+TINV(0、025,10)*SQRT((4*C11+6*C12)/10)*SQRT(1/ 5+1/7)计算出置信区间的下限与上限.2.2.2μ1与μ2未知时方差比σ２１/σ２２的置信区间置信区间为22 112221221212211,(1,1)(1,1)s ss F n n s F n nαα-⎛⎫⎪⎪----⎪⎝⎭.例５有两个化验员A、B,她们独立地对某种聚合物的含氯量用相同的方法各作了10次测定.其测定值的方差分别就是SA=0、5419,SB=0、6065.设σ2A与σ2B分别就是A、B所测量的数据总体(设为正态分布)的方差.求方差比σ2A/σ2B的0、95置信区间.操作步骤:(1)在单元格B2,B3输入样本数,C2,C3输入样本方差,D2输入置信度.(2)在B4与B5利用公式输入=C2/(C3*FINV(1-D2/2,B2-1,B3-1))与=C2/(C3*FINV(D2/2,B2-1,B3-1))计算出A组与B组的方差比的置信区间上限与下限.2.3 练习题1、已知某树种的树高服从正态分布,随机抽取了该树种的60株林木组成样本.样本中各林木的树高资料如下(单位:m)22、3, 21、2, 19、2, 16、6, 23、1, 23、9, 24、8, 26、4, 26、6, 24、8, 23、9, 23、2, 23、3, 21、4, 19、8, 18、3, 20、0, 21、5, 18、7, 22、4, 26、6, 23、9, 24、8, 18、8, 27、1,20、6, 25、0, 22、5, 23、5, 23、9, 25、3, 23、5, 22、6, 21、5, 20、6, 25、8, 24、0, 23、5, 22、6, 21、8, 20、8, 19、5, 20、9, 22、1, 22、7, 23、6, 24、5, 23、6, 21、0, 21、3,22、4,18、7, 21、3, 15、4, 22、9, 17、8, 21、7, 19、1, 20、3, 19、8试以0、95的可靠性,对于该林地上全部林木的平均高进行估计.2、从一批灯泡中随机抽取１０个进行测试,测得它们的寿命(单位:100h)为:50、7,54、9,54、3,44、8,42、2,69、8,53、4,66、1,48、1,34、5.试求总体方差的0、9的置信区间(设总体为正态).3、已知某种玉米的产量服从正态分布,现有种植该玉米的两个实验区,各分为10个小区,各小区的面积相同,在这两个实验区中,除第一实验区施以磷肥外,其它条件相同,两实验区的玉米产量(kg)如下:第一实验区: 62 57 65 60 63 58 57 60 60 58第二实验区: 56 59 56 57 60 58 57 55 57 55试求出施以磷肥的玉米产量均值与未施以磷肥的玉米产量均值之差的范围(α＝0、05) 3假设检验实验实验内容:单个总体均值的假设检验;两个总体均值差的假设检验;两个正态总体方差齐性的假设检验;拟合优度检验.实验目的与要求:(1)理解假设检验的统计思想,掌握假设检验的计算步骤;(2)掌握运用Excel进行假设检验的方法与操作步骤;(3)能够利用试验结果的信息,对所关心的事物作出合理的推断.3.1 单个正态总体均值μ的检验3.1.1 2已知时μ的U检验例1 外地一良种作物,其1000m2产量(单位:kg)服从Ｎ(800, 502),引入本地试种,收获时任取５块地,其1000m2产量分别就是800,850,780,900,820(kg),假定引种后1000m2产量Ｘ也服从正态分布,试问:=800kg 有无显著变化.(1)若方差未变,本地平均产量μ与原产地的平均产量μ０(2)本地平均产量μ就是否比原产地的平均产量μ=800kg高.０(3)本地平均产量μ就是否比原产地的平均产量μ=800kg低.０操作步骤:(1)先建一个如下图所示的工作表:(2)计算样本均值(平均产量),在单元格D5输入公式=A VERAGE(A3:E3);(3)在单元格D6输入样本数５;(4)在单元格D8输入U检验值计算公式=(D5-800)/(50/SQRT(D6);(5)在单元格D9输入U检验的临界值=NORMSINV(0、975);(6)根据算出的数值作出推论.本例中,Ｕ的检验值1、341641小于临界值1、959961,故接受原假设,即平均产量与原产地无显著差异.(7)注:在例1中,问题(2)要计算U检验的右侧临界值:在单元格D10输入U检验的上侧临界值=NORMSINV(0、95).问题(3)要计算U检验的下侧临界值,在单元格D11输入U检验下侧的临界值=NORMSINV(0、05).3.1.2σ2未知时的t检验例２某一引擎制造商新生产某一种引擎,将生产的引擎装入汽车内进行速度测试,得到行驶速度如下:250 238 265 242 248 258 255 236 245 261254 256 246 242 247 256 258 259 262 263该引擎制造商宣称引擎的平均速度高于250 km/h,请问样本数据在显著性水平为0、025时,就是否与她的声明抵触？操作步骤:(1)先建如图所示的工作表:(2)计算样本均值:在单元格D8输入公式=A VERAGE(A3:E6);(3)计算标准差:在单元格D9输入公式＝STDEV(A3:E6);(4)在单元格D10输入样本数20.(5)在单元格D11输入t检验值计算公式=(D8-250)/(D9/(SQRT(D10)),得到结果1、06087;(6)在单元格D12输入t检验上侧临界值计算公式＝TINV(0、05, D10-1)、欲检验假设H0:μ＝250;H１:μ>250.=2、093.由上面计算得到t检已知t统计量的自由度为(n-1)=20-1=19,拒绝域为t>t.0025验统计量的值1、06087落在接收域内,故接收原假设H0.3.2 两个正态总体参数的假设检验μ-μ的检验3.2.1当σ12 = σ22 = σ2但未知时12在此情况下,采用t检验.例试验及观测数据同11、2中的练习题3,试判别磷肥对玉米产量有无显著影响？欲检验假设H０:μ1=μ2;H１:μ1>μ2.操作步骤:(1)(2)(3)选定“t-检验:双样本等方差假设”.(4)选择“确定”.显示一个“t-检验:双样本等方差假设”对话框;(5)在“变量１的区域”输入Ａ2:Ａ11.(6)在“变量２的区域”输入Ｂ2:Ｂ11.(7)在“输出区域”输入D1,表示输出结果放置于D1向右方的单元格中.(8)在显著水平“α”框,输入0、05.(9)在“假设平均差”窗口输入0.(10)选择“确定”,计算结果如D1:F14显示.得到t值为3、03,“t单尾临界”值为1、734063.由于3、03>1、73,所以拒绝原假设,接收备择假设,即认为使用磷肥对提高玉米产量有显著影响.3.2.2σ２１与σ２２已知时12μ-μ的U检验例3 某班20人进行了数学测验,第１组与第２组测验结果如下:第１组: 91 88 76 98 94 92 90 87 100 69第２组: 90 91 80 92 92 94 98 78 86 91已知两组的总体方差分别就是57与53,取α =0、05,可否认为两组学生的成绩有差异？操作步骤:(1)建立如图所示工作表:(2)选取“工具”—“数据分析”;(3)选定“z-检验:双样本平均差检验”;(4)选择“确定”,显示一个“z-检验:双样本平均差检验”对话框;(5)在“变量1的区域”输入A2:A11;(6)在“变量2的区域”输入B2:B11;(7)在“输出区域”输入D1;(8)在显著水平“α”框,输入0、05;(9)在“假设平均差”窗口输入0;(10)在“变量1的方差”窗口输入57;(11)在“变量2的方差”窗口输入53;(12)选择“确定”,得到结果如图所示.计算结果得到z=-0、21106(即u统计量的值),其绝对值小于“z双尾临界”值1、959961,故接收原假设,表示无充分证据表明两组学生数学测验成绩有差异.3.2.3两个正态总体的方差齐性的Ｆ检验例５羊毛在处理前与后分别抽样分析其含脂率如下:处理前:0、19 0、18 0、21 0、30 0、41 0、12 0、27处理后:0、15 0、13 0、07 0、24 0、19 0、06 0、08 0、12问处理前后含脂率的标准差就是否有显著差异？欲检验假设H０:σ２１=σ２２; H１:σ２１≠σ２２.操作步骤如下:(1)建立如图所示工作表:(2)选取“工具”—“数据分析”; (3)选定“F-检验 双样本方差”.(4)选择“确定”,显示一个“F-检验:双样本方差”对话框; (5)在“变量１的区域”输入A2:A8. (6)在“变量２的区域”输入B2:B9. (7)在显著水平“α”框,输入0、025. (8)在“输出区域”框输入D1.(9)选择“确定”,得到结果如图所示.计算出F 值2、35049小于“F 单尾临界”值5、118579,且P(F<=f)=0、144119>0、025,故接收原假设,表示无理由怀疑两总体方差相等.4 拟合优度检验拟合优度检验使用统计量221()ki i i in np np χ=-=∑, (11、1) i i n np k 其中为实测频数，为理论频数，为分组数。

概率统计知识点汇总概率统计知识点汇总1.分类加法计数原理完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m i种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有m n种不同的方法，则完成这件事情，共有N = m+m F m 种不同的方法.2.分步乘法计数原理完成一件事情需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m i种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，，完成第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事情共有N = m x m x^x m种不同的方法.3•两个原理的区别分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法的种数•它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成.4.排列与排列数公式 (1) 排列与排列数所有不同、 排列的个数(2) 排列数公式A m = n (n — 1)( n — 2)…(n —计 1)=⑶排列数的性质①A n = n !； ②0!= 1. 5 •组合与组合数公式(1) 组合与组合数合成一组闽 所有不同 >人 > I 合I 组合的个数按照一定的顺序排成一列n !n —(2)组合数公式c m=常n n —1 n —2 …n —m+ 1 m!n!m! n —m !'(3)组合数的性质①C n = 1 ；②c m=C n ；③c m+c m 1= c n+1.6 •排列与组合问题的识别方法7.二项式定理⑴定理：(a+ b)n= C n a n+ C n a n_1b + ••• + C n a n- k b k+… +C n b n(n € N*).(2)通项：第k + 1 项为：T k +1 = C n a n" k b k.(3)二项式系数：二项展开式中各项的二项式系数为：c n* = 0,1,2,…，n).8.二项式系数的性质/对称性一与首末等距的两个二项式系数相等，即增减性一当O 号1时,二项式系数是递减的9 •概率与频率(1)在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事 件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A)=:为事件A出现的频率.(2)对于给定的随机事件 A ，在相同条件下，随着 试验次数的增加，事件 A 发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来 刻画随机事件A 发生的可能性大小，并把这个常 数称为随机事件A 的概率，记作P(A).的二项式系数最大 当/I 为奇数时匚.的二项式系数相等且星大与聂大值 ------- ——. F 当伪偶数时,10•事件的关系与运算11.理解事件中常见词语的含义：(1)A, B中至少有一个发生的事件为A U B;(2)A, B都发生的事件为AB ;(3)A, B都不发生的事件为AB ；(4)A, B恰有一个发生的事件为AB U AB；(5) A ,B至多一个发生的事件为A B U AB U AB.12.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0 < P(A) < 1.(2)必然事件的概率：P(E) = 1.(3)不可能事件的概率：P(F) = 0.(4)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A U B) = P(A + P(B).(5)对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)= 1 —P(B) •13•互斥事件与对立事件的区别与联系互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件.14 •基本事件的特点(1)任意两个基本事件是互斥的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.15.古典概型(1)定义：具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.②每个基本事件出现的可能性相等.(2 )古典概型的概率公式：P(A)=A包含的基本事件的个数基本事件的总数.16•几何概型(1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.(2 )几何概型的概率公式：P(A)=构成事件A的区域长度面积或体积试验的所构成的区域长度面积或体积.仃.条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A和B,在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用P AB 符号P( B A)来表示，其公式为P(B|A) = p A = n AB(2)条件概率具有的性质：①OW P(B|A) < 1;②如果B和C是两个互斥事件，则P(B U C|A)=P(B|A) + P(C|A).18.相互独立事件(1)对于事件A、B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A B是相互独立事件.⑵若A与B相互独立，则P(B|A) = P(B),P(AB) = P(B|A)P(A) = P(A)P(B).⑶若A与B相互独立，则A与6，~A与B，~A与6也都相互独立.⑷若P(AB)= P(A)P(B)，则A与B相互独立.19.离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X，Y, E n…表示•所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量.20.离散型随机变量的分布列及其性质(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为X1，X2，…,X i，…,X n，X取每一个值X i(i =1,2,…，n)的概率P(X = x i) = p i，则表称为离散型随机变量X的概率分布列.(2)离散型随机变量的分布列的性质：n①p >0(i = 1,2，…，n);②篙p = 1.21.常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，则其分布列为其中p= P(X= 1)称为成功概率.(2)超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件｛X = k｝发生的概率为P(Xk n—kC M C N —M ,, r ■■=k)= n, k= 0,1,2, •…m,其中m= min{MC Nn｝，且n < N, M < N, n , M , N€ N*，称分布列为超几何分布列.（3）二项分布①独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的.②在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P（X=k）= C n p k（i —p）n「k（k= 0,1,2，…，n），此时称随机变量X服从二项分布，记为X〜B（n ,p），并称p为成功概率.22.离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为<1>均值：称E(X) = X i p i + X2p2 ---------- F X i p i H - F X n p n为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.<2>方差：称D(X)=艺(X i —E(X))2p i为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根- D X为随机变量X 的标准差.<3>均值与方差的性质1E aX+ b = _______(a, b为常数).2___________ DaX+ b = ___________ <4>两点分布与二项分布的均值、方差23.正态曲线的特点(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交;(2)曲线是单峰的，它关于直线x = [1对称;1(3)曲线在x =卩处达到峰值 &(4)曲线与x轴之间的面积为1;(5)当b—定时，曲线随着卩的变化而沿x轴平移；(6)当卩一定时，曲线的形状由b确定.b越小，曲线越"瘦高"，表示总体的分布越集中；b越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.(7)正态分布的三个常用数据(不需记忆)①P( a— a<X< 卩+ b= 0.682 6;②P( a— 2 o< X w a+ 2 b = 0.954 4;③P( a— 3o<Xw a+ 3b = 0.997 4.24.简单随机抽样(1)定般地，设个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n w N)，且每次抽取时各个个体被抽到的机会都相等，就称这样的抽样方法为简单随机抽样.(2)常用方法：抽签法和随机数表法.25.系统抽样(1)步骤：①先将总体的N个个体编号；②根据样本容量n,当N是整数时，取分段间隔kN=n ；③在第i段用简单随机抽样确定第一个个体编号I(I < k)；④按照一定的规则抽取样本.(2)适用范围：适用于总体中的个体数较多时.26.分层抽样(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样.⑵适用范围：适用于总体由差异比较明显的几个部分组成时.27 •三种抽样方法的比较28 •作频率分布直方图的步骤(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)・(2)决定组距与组数.(3)将数据分组.(4)列频率分布表.(5)画频率分布直方图.29.频率分布折线图和总体密度曲线(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图. ⑵总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.30•茎叶图统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图，茎是指_________________ 的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数.31.样本的数字特征(1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数.(2)中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据叫做这组数据的中位数.这n 个数的平均数.⑷标准差与方差：设一组数据 X i , X 2, X 3,…,Xn 的平均数为X ，则这组数据标 准 差为S、、 1 ——— ——方差为 S 2= n （（X 1-X ）2+（X 2 — X ）2+・・・+ （X n — X ）2]32 •变量间的相关关系(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数 关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相 关关系是一种非确定性关系.(2)从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的 区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关， 点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的 相关关系为负相关.33 •两个变量的线性相关(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分⑶平均数：把a i + a 2 +…+ a n称为a i , a 2,…，a nJ X i - X 2+ X 2- X2+・・・+2X n 一 X ]布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线.⑵回归方程为』b x + a ,其中，a = y —bx .X{= J⑶通过求Q= (y i —bx i —a)2的最小值而得出回归直线的方法，即求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法.(4)相关系数：当r>0时，表明两个变量正相关；当r<0时，表明两个变量负相关.r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强.r的绝对值越接近于0,表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系，通常|r|大于0.75时, 认为两个变量有很强的线性相关性.34 •独立性检验假设有两个分类变量X 和Y ,它们的取值分别为 ｛x i , X 2｝和｛y i ，泌，其样本频数列联表（称为2X 2列联表）为：d 为样本容量）.2 n ad — beK 2 = a + b a + e b +d c +d （其中 n = a + b + e +。

排列组合：1．排列及计算公式．排列及计算公式从n 个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列；从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号用符号 p(n,m)表示. p(n,m)=n(n-1)(n-p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n 2)……(n 2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1). 2．组合及计算公式．组合及计算公式从n 个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合；从n 个不同元素中取出m(m m(m≤n)≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数.用符号用符号 c(n,m) 表示. c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m); 3．其他排列与组合公式．其他排列与组合公式从n 个元素中取出r 个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!. n 个元素被分成k 类，每类的个数分别是n1,n2,...nk 这n 个元素的全排列数为个元素的全排列数为 n!/(n1!*n2!*...*nk!). k 类元素,每类的个数无限,从中取出m 个元素的组合数为c(m+k-1,m). 排列（Pnm(n 为下标，m 为上标)）Pnm=n×（n-1）（n-m+1）；Pnm=n ！/（n-m ）！（注：！是阶乘符号）；Pnn （两个n 分别为上标和下标）分别为上标和下标） =n ！；0！=1；Pn1（n 为下标1为上标）=n 组合（Cnm(n 为下标，m 为上标)） Cnm=Pnm/Pmm Cnm=Pnm/Pmm ；；Cnm=n Cnm=n！！/m /m！（！（！（n-m n-m n-m）！；）！；）！；Cnn Cnn Cnn（两个（两个n 分别为上标和下标）分别为上标和下标） =1 =1 =1 ；；Cn1Cn1（（n 为下标1为上标）为上标）=n =n =n；；Cnm=Cnn-m排列定义 从n 个不同的元素中，取r 个不重复的元素，按次序排列，称为从n 个中取r 个的无重排列。

方差的计算公式方差是概率论中常用的一个统计量，用来衡量数据集中的离散程度。

它的计算公式是一种数学表达式，通过对数据集的每个数据点与均值之差进行平方并求和，再除以数据点的个数，以此得到方差的数值。

本文将介绍方差的计算公式，并提供一些示例来帮助读者更好地理解和应用方差的概念。

一、总体在概率论和统计学中，总体方差是用于描述总体数据分布离散程度的重要指标。

总体方差的计算公式如下：Var(X) = Σ [ (Xi - μ) ^ 2 ] / N其中，Var(X)表示总体方差，Xi表示数据集中的第i个观测值，μ表示总体均值，Σ表示求和符号，N表示数据集中的观测值个数。

可以看出，总体方差的计算公式是通过将每个数据点与总体均值之差的平方进行求和，并除以数据点的个数来得到。

这个公式反映了数据点与均值之间的差异程度，差异越大，方差值越大。

二、样本除了总体方差，统计学中还有样本方差的概念。

样本方差通常用来对从总体中选取的一部分样本数据进行分析。

样本方差的计算公式如下：Var(X) = Σ [ (Xi - X) ^ 2 ] / (n-1)其中，Var(X)表示样本方差，Xi表示样本中的第i个观测值，X表示样本平均值，Σ表示求和符号，n表示样本大小（样本观测值的个数）。

与总体方差的计算公式相比，样本方差的分母由总体大小N改为了样本大小n减去1。

这是因为样本方差的计算需要估计总体均值，而样本均值的计算中已经使用了一个自由度。

三、方差的应用示例为了更好地理解和应用方差的计算公式，下面举一个示例来说明。

假设我们有一个样本数据集，包含10个观测值：2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20。

我们首先计算样本均值：X = (2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20) / 10 = 11然后，我们可以使用样本方差的计算公式来计算方差：Var(X) = [(2 - 11) ^ 2 + (4 - 11) ^ 2 + (6 - 11) ^ 2 + (8 - 11) ^ 2 + (10 - 11) ^ 2 + (12 - 11) ^ 2 + (14 - 11) ^ 2 + (16 - 11) ^2 + (18 - 11) ^ 2 + (20 - 11) ^ 2] / (10 - 1)= (9 + 49 + 25 + 9 + 1 + 1 + 9 + 25 + 49 + 81) / 9= 28.11因此，这个样本数据集的方差为28.11。

9709统计学公式表样本加权平均数：\bar{x}=\frac{M_{1}f_{1}+M_{2}f_{2}+...+M_{k}f_{k}}{f_ {1}+f_{2}+...+f_{k}}=\frac{\sum_{i=1}^{k}{M_{i}f_{i}}} {n}总体加权平均数：\mu=\frac{M_{1}f_{1}+M_{2}f_{2}+...+M_{k}f_{k}}{f_{1}+ f_{2}+...+f_{k}}=\frac{\sum_{i=1}^{k}{M_{i}f_{i}}}{n}几何平均数： G=\sqrt[n]{x_{1}\cdotx_{2}...x_{n}}=\sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}x_{i}}深度理解几何平均数的含义：1、比如持有了一只股票4年，买入价100元，每年的收益率分别为4.5%，2.1%，25.5%，1.9%，这是该用算术平均数还是几何平均数来呢？我们先算出实际的收益是多少：每股实际收益=100(1+4.5%)(1+2.1%)(1+25.5%)(1+1.9%)-100=36.4457实际年利率为r则：100*[(1+r)^{4}-1)]=36.4457求出r=8.0787%我们再来看看算术平均数和几何平均数是多少：\bar{x}=(4.5+2.1+25.5+1.9)/4/100=0.085G=\sqrt[4]{1.045*1.021*1.255*1.019}-1=0.080787显然实际收益率是和用几何平均数算出来的是一样的，为什么会这样呢，因为算术平均数并没有考虑到利息的时间价值。

几何平均数也主要用于计算这种平均比率。

而且几何平均数<=算术平均数2、再换个角度来理解几何平均数：当n=2时，x_{1} =2，x_{2} =18，那么根据公式可得G=\sqrt[2]{2\times 18} =6，用二维图来表示就是一个长宽分别为18和2的长方形面积和边长为6的正方形面积相等。