第三章 假设检验

2
2
0
0
1
拒绝域{ X c }， c 0 n u 2． H 0 ：
0

H 1 ： 0 ( 0 已知) c u 0 拒绝域{ X c }， n H 1 ： 1 （< 0 ）
3． H 0 ： 0
( 0 , 1 已知)
0
注：1. α +β 一般不为 1。 2. 把在α =0.05 时拒绝 H 0 称为“显著”的 （实际情况“显著”异于 H 0 ）; 把在α =0.01 时拒绝 H 0 称为“高度显著”的。
1.5 假设检验的程序
（1）提出统计假设：零假设 H 0 和备择假设 H 1 （2）选取样本的统计量 T(检验统计量) （3）规定显著水平α （4）在显著水平α 下，根据统计量的分布将样本空间划分为两个 不相交的区域， 其中一个是接受假设的样本值全体组成的称为接受 域，反之为拒绝域（也称临界域） （5）根据样本观察值 x1 , x2 ,...xn ，计算统计量 T 的观测值 （6）作为判断：若统计量 T 的观测值落在拒绝域，则拒绝零假设
得出了截然相反的结论。 这是因为有个着眼点不同的问题。 当把 “厂 家断言正确”作为零假设时，我们是根据该厂以往的表现和信誉， 对其断言已有了很大的信任。 只有很不利于他的观察结果才能改变 我们的看法，因而一般难以拒绝这个断言。反之当把“厂家断言不 正确”作为零假设时，我们一开始就对该厂的产品抱怀疑态度，只 有很有利于该厂的结果， 才能改变我们的看法， 因此在所得观察数 据并非决定性的偏于一方时，我们的着眼点决定了所得的结果。
2． H 0 ： 0 H 1 ： 0
H 0 ： 0 H 0 ： 0 H 0 ： 0
H 1 ： 0 具有相同的拒绝域，做法完全一样 H 1 ： 0 H 1 ： 0 具有相同的拒绝域，做法完全一样
§2 在方差已知情况下正态总体均值μ 的检验 总体的分布为 N (, ) ,并设方差 已知 1． H 0 ： H 1 ： 1 ( , 已知，且 1 0 )
拒绝域{ X c }， c 0 4.
H 0 ： 0

n

n
u
H1 ： 0
u
拒绝域{ X c }， c 0 5. H 0 ： 0
H 1 ： 0 ,( 0 已知)

n
0
拒绝域{ | X 0 | c }， c
§3 在方差未知情况下正态总体均值μ 的检验 3.1 在实际问题中，方差已知的情况比较少见，更 多的情况是知道总体分布为 N ( , 2 ) 而方差 2 未 知。 H 0 ： 0 ,( 0 已知)，检验统计量为
T X 0 S/ n
～t(n-1)
2
已知 未知 已知 未知 已知 拒绝域
0 0
例如: 假定某厂家过去的声誉很好， 现要对它生产 的一批产品进行质量检测，以判定这批产品是否 合格。由于这个厂家过去的声誉很好，如果没有 充分的证据就轻易的判定这批产品不合格，可能 对厂家和商家两方面都不会有好处。因此，在这 种情况下应设置零假设为“这批产品合格” ，只有 在抽样检测中抽到相当多的次品时才能拒绝这个 假设。
1.4 两类错误，检验的水平与功效 在统计假设检验中，当提出了零假设 H 0 和备择假 设 H 1 以后，便要从总体中抽取样本，根据样本中 所含信息作出接受 H 0 还是拒绝 H 0 的判断，由于样 本的随机性，这样作出的判断就可能会犯错误。 例如，一批产品的废品率实际上只有 p=0.01,我们 要检验统计假设： H 0 ：p≤0.03 H 1 ：p>0.03。 就这批产品的真实情况而言，假设 H 0 是正确的， 但由于抽样的随机性，样本中有可能包含较多的 废品，而导致拒绝 H 0 的错误。 反过来，如果该批产品的真实废品率为 p=0.05,但 抽出的样本中有可能包含较少的废品，根据此样 本作检验便有可能导致接受 H 0 ，但抽出的样本中 有可能包含较少的废品，根据此样本作检验便有 可能导致接受 H 0 的错误。样本的随机性使得在统 计假设的检验中犯上述错误是不可避免的。
1.3 如何确定零假设 H 和备选假设 H 1 1.3． 1 在实际问题中， 若要决定新提出的方法 （新 材料，新工艺，新配方等）是否比原方法好，则 在为此而进行的假设检验中，往往将原方法不比 新方法差取为零假设 H 0 ，而将新方法优于原方法 取为备择假设 H 1 。或者说备择假设可能是我们真 正感兴趣的，接受备择假设可能意味着得到某种 特别意义的结论，或意味着采取某种重要决断， 因此对统计假设作判断的决策前，在处理 H 0 时总 是偏于保守，在没有充分证据时，不轻易拒绝 H ， 即没有充分的证据不能轻易接受 H 1
对于前者而言，实际 H 0 为真，而我们根据抽 样结果错误地拒绝了 H 0 ，我们称此错误为第一类 错误，犯第一类错误的可能性可由条件概率 α =P(拒绝 H 0 | H 0 为真) 来描述，称之为犯第一类错误的概率，或“弃真” 的概率。 但对后一种情况而言，实际上 H 0 不真（ H 1 为 真） ，但我们却错误地接受了 H 0 ， 这种错误我们称 之为第二类错误，犯第二类错误的概率为 β = P(接受 H 0 | H 0 不真)= P(接受 H | H 1 为真)， 或 称为“采伪”的概率。
又例如：要检验一种新的药品是否优于原来的药 品，如果原来的药品已经长期使用并被证明有效， 那么一种并不特别有效的新药投放市场不仅不会 给病人带来多少好处，反而可能造成一些不良效 果。因此在进行临床试验时通常取 零假设为： “新药不优于旧药” ， 相应的备择假设是“新药优于旧药” 。 只有当试验结果提供充分的证据证明新药的效果 显著的优于旧药时，才能拒绝零假设，接受备择 假设，即接受新药。
在统计学上，把统计假设称为“原假设”或“零 假设” H 0 ,假设的对立面称为对立假设（或备择假 设） H 1 。 例1. 1 为： H 0 ：p≤0.03 H 1 ：p>0.03； 例 1.2： H 0 ：p=1/2 H 1 ：p 1/2 注：当根据抽样结果而接受或拒绝一个假设时， 只是表明我们的一种判断。由于样本的随机性， 这样做出的判断就有可能犯错误。 例如：一批产品的废品率只有 0.01，因 为 0.01<0.03，故对这批产品而言， “p≤ 0.03” 的假设正确。 但由于抽样的随机性， 样本也可能包含较多的废品， 而导致拒绝 “p≤0.03” ，这就犯了错误。反过来，当 假设不成立时，也有可能被错误地接受 了。
在实际问题中，只提出一个假设，且统计检验的目的 仅仅是为了判别这个假设是否成立，并不同时研究其 他假设，此时直接取假设为零假设 H 0 即可。
下例说明交换零假设与备择假设可能会得出截然 相反的检验结论。 例 1.3：某厂家断言它所生产的小型电动机在正常 负载条件下平均电流不会超过 0.8A，随机抽取该 型号电动机 16 台，发现其平均电流为 0.92A， S 0.32 A ，假定这种电动机的工作电流 X 服从正 态分布，并取显著水平α =0.05,问：根据这一抽样 结果，能否否定厂家断言？ 分析： 随着问题提法的不同（把哪一个断言作为零假设的不同） ，
0
所做判断 接受 H 0 拒绝 H 0 真实情况 H 0 为真 正确，1-α 第一类错误α H 0 不真 第二类错误β 正确 1-β
α 与β 之间一般没有明确的解析关系。一个优良的假设检验准则应该使得 犯两类错误的概率均尽可能的小。但一般说来，这两类错误是对立的，
当样本容量给定时， 犯两类错误的概率不可能同时减少， 若减少其 中之一，另一个就会增加。如果要同时减少犯两类错误的概率，则 必须增加样本容量，也就是说要做更大规模的试验。
第三章 假设检验
§1．基本概念 1.1 假设检验的引入 统计假设（简称假设） ，实质是施加于一个或多个 总体的概率分布或其参数的假设。所作的假设可 以是正确的，也可以是不正确的。 假设检验：先对总体的分布函数形式或分布的某 些参数做出某些可能的假设，然后根据所得的样 本数据，对假设的正确性做出判断。 例 1.1：检验一批产品的废品率是否超过 0.03，把 “p≤0.03”作为一个假设。这批产品中抽样若干 个，当其中所含废品 X 较小时，认为假设正确， 或“接受”假设。反之，若 X 较大时，则认为假 设是不正确，或“拒绝”或“否定”假设。 例 1.2：判断一个硬币是否均匀，即投掷时出现正 面的概率是否为 1/2，把“p=1/2”作为一个假设， 将硬币投掷 100 次，以 X 记正面出现的次数，若 |p/100-1/2|较小，则接受假设，即“ p=1/2” ，否则 拒绝假设。
在统计学上，把犯第一类错误的概率称为检 验的水平或显著性水平，用α 表示，α 必须在原 假设 H 0 成立的条件下去计算。 第二类错误的概率β 必须在 H 0 不成立的条件 下计算，1-β 是“不犯第二类错误”的概率，称为 检验的“功效” 。 例 1.4： 设正态总体的方差 2 02 已知， 而均值 只 能取 0 或 1 （ 0 < 1 ）二者之一，设 X 1 , X 2 ,...X n 是来 自此总体的一个简单随机样本，检验假设： H ： 0 H 1 ： 1 .
1.2 判断“假设”的根据。
判断假设是接受或拒绝，是根据所谓的小概率原理。
小概率原理：小概率事件（或概率很小的事件） 在一次试验（或观察）中是几乎不可能发生的。 设有某个假设 H 0 需要检验，先假定 H 0 正确，在此 “假定”下，构造一个小概率事件 A(即在 H 0 正确 的条件下概率很小，P(A| H 0 )很小)，再根据问题给 出的条件，检验小概率事件 A 在一次试验中是否 发生。如果事件 A 居然发生了，则与小概率事件 几乎不发生相矛盾，这就不能不使人怀疑 H 0 的正 确性。因此很有可能要否定 H 0 ；如果 A 不发生， 这表明原命题成立在情理之中。