1989年全国高中数学联合竞赛试题及解答

第4届(1989)数学奥林匹克国家集训队选拔试题解答
佚名
【期刊名称】《中等数学》
【年(卷),期】1993(000)001
【摘要】1.边长为3/2,5^1/2/2,2^1/2的三角形纸片沿垂直于长度为3/2的边的方向折叠。

问重叠部分面积的最大值是多少? 解一不妨设△ABC中a=3/2,b=2^1/2,c=5^1/2/2。

如图,设BC 中点为D,AE⊥BC,且沿MN折叠时重叠部分面积取到最大值。

则易知,
【总页数】5页(P26-30)
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
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1989年全国高中数学联赛(10月15日上午8∶00—10∶00)一．选择题(本题满分30分，每小题5分)： 1．若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则复数 z=(cos B －sin A )+i (sin B －cos A ) 在复平面内所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．函数f (x )=arctan x +12arcsin x 的值域是( )A ．(－π，π)B ．[－34π，34π]C ．(－34π，34π)D ．[－12π，12π]3．对任意的函数y=f (x )，在同一个直角坐标系中，函数y=f (x －l )与函数y=f (－x +l )的图象恒( )A ．关于x 轴对称B ．关于直线x=l 对称C ．关于直线x=－l 对称D ．关于y 轴对称 4．以长方体8个顶点中任意3个为顶点的所有三角形中，锐角三角形的个数为( ) A ．0 B ．6 C ．8 D ．245．若M={z | z=t 1+t +i 1+tt，t ∈R ，t ≠－1，t ≠0}， N={z | z=2[cos(arcsin t )+i cos(arccos t )]，t ∈R ，|t |≤1}． 则M ∩N 中元素的个数为A ．0B ．1C ．2D ．46．集合M={u |u=12m +8n +4l ，其中m ，n ，l ∈Z } N={u |u=20p +16q +12r ，其中p ，q ，r ∈Z }的关系为A ．M=NB ．M ⊄N ，N ⊄MC ．M ⊂≠ND ．N ⊂≠M 三．填空题(本题满分30分，每小题5分)1．若log a 2<1，则a 的取值范围是 ．2．已知直线l ：2x +y=10，过点(－10，0)作直线l '⊥l ，则l '与l 的交点坐标为 ．3．设函数f 0(x )=|x |，f 1(x )=|f 0(x )－1|，f 2(x )= |f 1(x )－2|，则函数y =f 2(x )的图象与x 轴所围成图形中的封闭部分的面积是 .4．一个正数，若其小数部分、整数部分和其自身成等比数列，则该数为 ． 5．如果从数1，2，3，…，14中，按由小到大的顺序取出a 1，a 2，a 3，使同时满足 a 2－a 1≥3，与a 3－a 2≥3，那么，所有符合上述要求的不同取法有 种．6．当s 和t 取遍所有实数时，则 (s +5－3|cos t |)2+(s －2|sin t |)2 所能达到的最小值为 ．三．(本题满分20分)已知a 1，a 2，…，a n 是n 个正数，满足 a 1∙a 2∙…∙a n =1． 求证：(2+a 1)(2+a 2)…(2+a n )≥3n ． 四．(本题满分20分)已知正三棱锥S —ABC 的高SO=3，底面边长为6，过点A 向其所对侧面SBC 作垂线，垂足为O '，在AO '上取一点P ，使APPO '=8，求经过点P 且平行于底面的截面的面积． 五．(本题满分20分)已知：对任意的n ∈N *，有a n >0，且n Σj=1a 3j =(nΣj=1a j )2．求证：a n =n ．第二试 (上午10∶30—12∶30)一．(本题满分35分)已知 在ΔABC 中，AB >AC ，∠A 的一个外角的平分线交ΔABC 的外接圆于点E ，过E 作EF ⊥AB ，垂足为F ．求证 2AF=AB -AC ．二．(本题满分35分)已知x i ∈R (i=1，2，…，n ；n ≥2)，满足n Σi=1|x i|=1，nΣi=1x i=0，求证：⎪⎪⎪⎪⎪⎪nΣi=1x i i ≤12－ 12n．三．(本题满分35分)有n ×n （n ≥4)的一张空白方格表，在它的每一个方格内任意的填入+1与-1这两个数中的一个，现将表内n 个两两既不同行(横)又不同列(竖)的方格中的数的乘积称为一个基本项．试证明：按上述方式所填成的每一个方格表，它的全部基本项之和总能被4整除（即总能表示成4k 的形式，其中k ∈Z ）．A BC EF SB CAO1989年全国高中数学联赛解答第一试一．选择题(本题满分30分，每小题5分)： 1．若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则复数 z=(cos B －sin A )+i (sin B －cos A ) 在复平面内所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解：0°<A 、B <90°<A +B <180°．故90°>A >90°－B >0°，sin A >cos B ，cos A <sin B ． 故cos B －sin A <0，sin B －cos A >0．点Z 位于第二象限．选B 2．函数f (x )=arctan x +12arcsin x 的值域是( )A ．(－π，π)B ．[－34π，34π]C ．(－34π，34π)D ．[－12π，12π]解：因x ∈[－1，1]，故arctan x ∈[－π4，π4]，12arcsin x ∈[－π4，π4]，且f (－1)=－π2，f (1)= π2．选D3．对任意的函数y=f (x )，在同一个直角坐标系中，函数y=f (x －l )与函数y=f (－x +l )的图象恒( )A ．关于x 轴对称B ．关于直线x=l 对称C ．关于直线x=－l 对称D ．关于y 轴对称 解：令x －1=t ，则得f (t )=f (－t )，即f (t )关于t=0对称，即此二图象关于x=1对称．选B4．以长方体8个顶点中任意3个为顶点的所有三角形中，锐角三角形的个数为( ) A ．0 B ．6 C ．8 D ．24 解：以不相邻的4个顶点为顶点的四面体的8个面都是锐角三角形．其余的三角形都不是锐角三角形．选C ．5．若M={z | z=t 1+t +i 1+tt，t ∈R ，t ≠－1，t ≠0}， N={z | z=2[cos(arcsin t )+i cos(arccos t )]，t ∈R ，|t |≤1}． 则M ∩N 中元素的个数为A ．0B ．1C ．2D ．4解：M 的图象为双曲线xy=1(x ≠0，x ≠1)N 的图象为x 2+y 2=2(x ≥0)，二者无公共点．选A ．6．集合M={u |u=12m +8n +4l ，其中m ，n ，l ∈Z } N={u |u=20p +16q +12r ，其中p ，q ，r ∈Z }的关系为A ．M=NB ．M ⊄N ，N ⊄MC ．M ⊂≠ND ．N ⊂≠M解：u=12m +8n +4l=4(3m +2n +l )，由于3m +2n +l 可以取任意整数值，故M 表示所有4的倍数的集合．同理u=20p +16q +12r=4(5p +4q +3r )也表示全体4的倍数的集合．于是M=N ． 三．填空题(本题满分30分，每小题5分)1．若log a 2<1，则a 的取值范围是 ．解：若0<a <1，则log a 2<0，若a >1，则得a >2．故填(0，1)∪(2，+∞)2．已知直线l ：2x +y=10，过点(－10，0)作直线l '⊥l ，则l '与l 的交点坐标为 ． 解：直线l '方程为(x +10)－2y=0，解得交点为(2，6)．3．设函数f 0(x )=|x |，f 1(x )=|f 0(x )－1|，f 2(x )= |f 1(x )－2|，则函数y =f 2(x )的图象与x 轴所围成图形中的封闭部分的面积是 .解 图1是函数f 0(x )=|x |的图形，把此图形向下平行移动1个单位就得到函数f 0(x )=|x |－1的图形，作该图形的在x 轴下方的部分关于x 轴的对称图形得出图2，其中在x 轴上方的部分即是f 1(x )=|f 0(x )–1|的图象，再把该图象向下平行移动2个单位得到f 0(x )=|x |－2的图象，作该图象在x 轴下方的部分关于x 轴的对称图形得到图3，其中x 轴上方的部分即是f 2(x )= |f 1(x )–2|的图象。

Unit5 Topic2 SectionD 一、话题导学：（学习目标） 1. Learn some new words and phrases : useless, deal, elder, refuse, sadness, anyone, unfair, though, deal with, it’s normal to do sth. go mad, refuse to do sth. even though, not...ang longer=no longer 2. Revision: grammar and functions 3. Learn how to deal with unhappy feelings. Encourage students to face setbacks bravely and keep ina good mood. (1) Jeff almost went mad when his elder brother was killed in a car accident. (2) After a few months, Jeff began to understand it was useless to be angry. (3) Now he still misses his brother, but he doesn’t hate the driver ang longer. (4) He is feeling better now. 二、预习导纲： 1、单词互译与记忆 1) useless_________, 2) deal___________, 3) elder___________, 4) refuse__________, 5) sadness________, 6) anyone________, 7) unfair__________, 8) though_________ 2、短语互译与记忆 1）deal with 2）it’s normal to do sth 3）go mad 4）refuse to do sth.__________________ 5）虽然 _________________ 6）不再 ___________________________ 3、句子理解与熟读 1）No one can be happy all the time. 2）It’s normal to have these feelings. 3）He no longer stays in his room by himself. Instead, he goes to the movies or plays sports with his friends. 三、课堂导练：1、选词填空 go, use, old, someone, sadness1) English is very ____________, we must study it hard.2) Jim refuses _________ hiking with us, because he has other things to do. 3) I feel very _________ becauseI failed the English exam. 4) He is two years ________ than me, so he is my _________ brother. 5) Is there ________ at home?2. 单项选择。

1989年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案考生注意：这份试题共三道大题（24个小题），满分120分. 一．选择题（本题满分36分，共12个小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题选对得3分，不选或选错一律得0分）1．如果I={a,b,c,d,e},M={a,c,d},N={b,d,e},其中I 是全集，那么N M ⋂等于 （ A ）（A ）φ （B ）{d} （C ）{a,c} （D ）{b,e}2．与函数y=x 有相同图象的一个函数是 （ D ）（A ）2x y = （B ）xx y 2=（C ）.1a ,0a .a y x a log ≠>=其中 （D ）.1a ,0a .a log y x a ≠>=其中3．如果圆锥的底面半径为2，高为2，那么它的侧面积是（ C ） （A ）π34 （B ）π22 （C ）π32 （D ）π244．)]53arccos()54(cos[arcsin ---的值等于 （ A ） （A ）-1 （B ）257-（C ）257 （D ）510- 5．已知}a {n 是等比数列，如果,9a a a ,18a a a 432321-=++=++ 且n n n 21n S lim ,a a a S ∞→+++=那么 的值等于 （ B ）（A ）8 （B ）16 （C ）32 （D ）486．如果2sin ,325,51|cos |θπ<θ<π=θ那么的值等于 （ C ） （A ）510-（B ）510 （C ）515- （D ）5157．设复数z 满足关系式i 2|z |z +=+，那么z 等于 （ D ） （A ）i 43+- （B ）i 43- （C ）i 43-- （D ）i 43+8．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是 （ B ） （A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）5 9．已知椭圆的极坐标方程是,cos 235θ-=ρ那么它的短轴长是（C ）（A ）310（B ）5 （C ）52 （D ）32 10．如果双曲线136y 64x 22=-上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么点P 到它的右准线的距离是 （ D ） （A ）10 （B ）7732 （C ）72 （D ）53211．已知,x x 28)x (f 2-+=如果),x 2(f )x (g 2-=那么)x (g （ A ） （A ）在区间（-1，0）上是减函数 （B ）在区间（0，1）上是减函数 （C ）在区间（-2，0）上是增函数 （D ）在区间（0，2）上是增函数12．由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有 （ C ） （A ）60个 （B ）48个 （C ）36个 （D ）24个二．填空题（本题满分24分，共6个小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果.）13．方程2x cos 3x sin =-的解集是_________________答案：}Z k ,12)1k 2(x ,127k 2x |x {∈π+π+=π+π=或 或}Z k ,34)1(k x |x {k ∈π+π-+π=14．不等式4|x 3x |2>-的解集是____________________ 答案：}4x ,1x |x {>-<或15．函数1e 1e y x x +-=的反函数的定义域是_____________答案：（-1，1）16．已知,x a x a x a a )x 21(7722107++++=- 那么=+++721a a a ____答案：-217．已知A 和B 是两个命题，如果A 是B 的充分条件，那么B 是A 的_______条件;B A 是的______条件答案：必要，必要（注：仅答对一个结果的，只给2分）18．如图，已知圆柱的底面半径是3，高是4，A 、B 两点分别在两底面的圆周上，并且AB=5，那么直线AB 与轴O O '之间的距离等于________________ 答案：233 三．解答题（本题满分60分，共6个小题.）19．（本小题满分8分）证明：x2cos x cos xsin 22x tg 2x 3tg+=- 证：2x cos2x 3cos x sin 2x cos 2x 3cos 2x sin2x 3cos 2x cos 2x 3sin 2x cos 2x sin 2x 3cos 2x 3sin 2x tg 2x 3tg =-=-=-Bx2cos x cos xsin 2+=20．（本小题满分10分）如图，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD=.3π（Ⅰ）求证：顶点A 1在底面ABCD 的射影O 在∠BAD 的平分线上; （Ⅱ）求这个平行六面体的体积（Ⅰ）证：连结A 1O ，则A 1O ⊥底面ABCD 作OM ⊥AB 交AB 于M ，作ON ⊥AD 交AD 于N ，连结A 1M ，A 1N由三垂线定理得A 1M ⊥AB ，A 1N ⊥AD ∵∠A 1AM=∠A 1AN ， ∴Rt △A 1NA ≌Rt △A 1MA ∴A 1M= A 1N ∴OM=ON ∴点O 在∠BAD 的平分线上（Ⅱ）∵AM=AA 1,232133cos=⋅=π∴AO=AM .2234csc =π 又在职Rt △AOA 1中，A 1O 2=AA 12-AO 2=,29299=-∴A 1O=.223∴平行六面体的体积V=.23022345=⋅⋅21．（本小题满分10分）自点A （-3，3）发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2+y 2-4x-4y+7=0相切，求光线L 所在直线的方程 解：已知圆的标准方程是 （x-2)2+(y-2)2=1,D 1 C 1A 1B 1A YC它关于x 轴的对称圆的方程是 （x-2)2+(y+2)2=1, 设光线L 所在直线的方程是 y-3=k(x+3)(其中斜率k 待定）由题设知对称圆的圆心C '（2，-2）到这条直线的距离等于1，即.34k ,43k :,012k 25k 12:.k 1|5k 5|d 22-=-==++++=或解得整理得故所求的直线方程是),3x (343y ),3x (433y +-=-+-=-或 即3x+4y-3=0,或4x+3y+3=0. 22．（本小题满分12分）已知,1a ,0a ≠>试求使方程)a x (log )ak x (log 222a a -=-有解的k 的取值范围解：由对数函数的性质可知，原方程的解x 应满足⎪⎩⎪⎨⎧>->--=-)3(.0a x )2(,0ak x )1(,a x )ak x (22222 当（1），（2）同时成立时，（3）显然成立，因此只需解⎩⎨⎧>--=-)2(,0ak x )1(,a x )ak x (222 由（1）得)4()k 1(a kx 22+=当k=0时，由a>0知（4）无解，因而原方程无解 当k ≠0时，（4）的解是)5(.k2)k 1(1x 2+=把（5）代入（2），得.k k2k 12>+解得：.1k 01k <<-<<∞-或综合得，当k 在集合)1,0()1,(⋃--∞内取值时，原方程有解 23．（本小题满分10分）是否存在常数a,b,c 使得等式)c bn an (12)1n (n )1n (n 32212222+++=++⋅+⋅ 对一切自然数n 都成立？并证明你的结论解：假设存在a,b,c 使题设的等式成立，这时，n=1,2,3得.10c ,11b ,3a :.10c b 3a 9,44c b 3a 4,24c b a ===⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++解得 于是，对n=1,2,3下面等式成立：).10n 11n 3(12)1n (n )1n (n 32212222+++=++⋅+⋅ 记.)1n (n 3221S 222n ++⋅+⋅=设n=k 时上式成立，即),10k 11k 3(12)1k (k S 2k +++=那么222k 1k )2k )(1k ()10k 11k 3(12)1k (k )2k )(1k (S S ++++++=+++=+ 2)2k )(1k ()5k 3)(2k (12)1k (k ++++++=]10)1k (11)1k (3[12)2k )(1k ()24k 12k 5k 3(12)2k )(1k (22++++++=+++++=也就是说，等式对n=k+1也成立综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设的等式对一切自然数n 成立 24．（本小题满分10分）设f(x)是定义在区间),(+∞-∞上以2为周期的函数，对Z k ∈,用kI 表示区间],1k 2,1k 2(+-已知当0I x ∈时，f(x)=x 2.（1）求f(x)在k I 上的解析表达式;（2）对自然数k,求集合上有两个在使方程k k I ax )x (f |a {M ==不等的实根}解：（1）∵f(x)是以2为周期的函数， ∴当Z k ∈时，2k 也是f(x)的周期 又∵当k I x ∈时，0I )k 2x (∈-， ∴.)k 2x ()k 2x (f )x (f 2-=-=即对Z k ∈，当k I x ∈时，.)k 2x ()x (f 2-=（2）当Z k ∈且k I x ∈时，利用（1）的结论可得方程).k 8a (a k 16)a k 4(.0k 4)a k 4(x :,ax )k 2x (22222+=-+=∆=++-=-它的判别式是整理得上述方程在区间k I 上恰有两个不相等的实根的充要条件是a 满足⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+++≥++-+<->+].)k 8a (a a k 4[211k 2],)k 8a (a a k 4[211k 2,0)k 8a (a ⎪⎩⎪⎨⎧-≤++<+>+).3(,a 2)k 8a (a )2(,a 2)k 8a (a )1(,0)k 8a (a 化简得由（1）知a>0，或a<-8k.当a>0时：因2+a>2-a ，故从（2），（3） 可得,a 2)k 8a (a -≤+即1k 21a 0.2a ,1)1k 2(.0a 2,)a 2()k 8a (a 2+≤<⎩⎨⎧<≤+⎩⎨⎧>--≤+即即 当a ＜-8k 时：,0k 82a 2<-<+ 易知a 2)k 8a (a +<+无解， 综上所述，a 应满足1k 21a 0+≤<故所求集合}1k 21a 0|a {M k +≤<=。