度大庆实验中学高三第三次月考(文)
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2009-2010学年度大庆实验中学高三第三次月考
数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．若复数
i
i
a 213++（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数,则实数a 的值为
（ ）
A ．-6
B ．13
C ．
3
2
D ．13
2．已知条件p ：|4|6x -≤ ；条件q ：2
2
210(0)x x m m -+-≤> ，若p 是q 的充分不必
要条件，则m 的取值范围是
（ ）
A ．[21，＋∞]
B ．[9，＋∞]
C ．[19，＋∞]
D ．（0，＋∞）
3．已知图1是函数()y f x =的图象，则图2中的图象对应的函数可能是
（ ）
A ．(||)y f x =
B ．|()|y f x =
C ．(||)y f x =-
D ．(||)y f x =--
4．若等差数列{}n a 的前5项之和525S =，且23a =，则7a = （ ） A ．12 B ．13
C ．14
D ．15
5．已知cos()sin 6
3π
αα+
-=
，则7sin()6π
α-的值是
（ ）
A ．3
-
B ．
3
C ．23
-
D ．
23
6．已知命题p ：函数)2(log 25.0a x x y ++=的值域为R ，命题q ：函数x
a y )25(--=是
减函数。
若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则实数a 的取值范围是 （ ）
A ．{|1}a a ≤
B ．{|12}a a <<
C ．{|2}a a <
D ．{|12}a a a ≤≥或
7．如图，在棱长相等的四面体S -ABC 中，E 、F 分别是SC 、AB 的中点，则直线EF 与SA
所成的角为
（ ）
A ．90°
B ．60°
C ．45°
D ．30°
8．已知,l m 表示直线，γβα,,表示平面，下列条件中能推出结论的正确的是
（ ）
条件：①l m ⊥, l α⊥, m β⊥; ②α∥β, β∥γ; ③l α⊥, α∥β;④
l α⊥, m ⊥α。
结论：a: l β⊥ b: α ⊥β c: l ∥m d: α∥γ
A ．①⇒a,②⇒b,③⇒c,④⇒d
B ．①⇒b,②⇒d,③⇒a,④⇒c
C ．①⇒c,②⇒d,③⇒a,④⇒b
D ．①⇒d,②⇒b,③⇒a,④⇒c 9．已知非零向量,和BC
满足0=⋅+
21=， 则△ABC 为
（ ）
A ．等边三角形
B ．等腰非直角三角形
C ．非等腰三角形
D ．等腰直角三角形
10． 设O 为坐标原点，点M 坐标为)2,3(，若点(,)N x y 满足不等式组：
53,4
200
≤≤⎪⎪⎩⎪
⎪⎨
⎧≤+≤+≥≥s x y s y x y x 当 时，则ON OM ∙的最大值的变化范围是 （ ）
A ．[7，8]
B ．[7，9]
C ．[6，8]
D ．[7，15]
11．已知函数()f x 在R 上满足2
()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点
(1,(1))f 处的切线方程是
（ ）
A ．21y x =-
B ．y x =
C ．32y x =-
D ．23y x =-+
12．若1x 满足225,x x +=2x 满足(1)
2
22log 5x x -+=，则1x +2x ＝
（ ）
A ．
5
2
B ．3
C ．
7
2
D ．4
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且110020(),3,x
S xe dx S =⎰=则30S 为
14．已知函数1(0
1)x
y a a a -=>≠，的图象恒过定点A ，若点A 在直线
10(,0)mx ny m n +-=>上，则
11
m n
+的最小值为 ． 15．2009年北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆
在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和
30°，且第一排和最后一排的距离为米，则旗杆的高度为 米．
16．设直角三角形的两直角边的长分别为,a b ，斜边长为c ，斜边上的高为h ，则有
a b c h +<+ 成立，某同学通过类比得到如下四个结论：
①2222a b c h +>+；②3333a b c h +<+；③ 4444a b c h +>+；④5555
a b c h +<+． 其中正确结论的序号是 ；进一步得到的一般结论是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
）
17．（本小题满分10分）己知向量a (2sin
,1)22x x = ，b (cos ,1)22
x x
=+ ，函数12
()log f x =（a ·b ）．
（Ⅰ）求函数f （x ）的定义域和值域； （Ⅱ）求函数f （x ）的单调区间．
18．（本小题满分12分）某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～
1000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y （单位：万元）随投资收益x （单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投
资收益的20%．
（Ⅰ）若建立函数模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数模型的基本要
求；
（Ⅱ）现有两个奖励函数模型：（1）y ＝
2150
x
+；
（2）y ＝4lg x －3．试分析这两个函数模型是否符合公司要求？
19．（本小题满分12分）如图：在四棱锥P-ABCD 中，底面为正方形，PC 与底面ABCD 垂直（图
2为该四棱锥的主视图和侧视图，它们是腰长为6cm 的全等的等腰直角三角形． （Ⅰ）根据图2所给的主视图、侧视图画出相应的俯视图，并求出该俯视图所在的平面
图形的面积．
（Ⅱ）图3中，L 、E 均为棱PB 上的点，且
1=EP BE ，5=LP
BL
，M 、N 分别为棱P A 、PD 的中点，问在底面正方形的对角线AC 上是否存在一点F ，使EF //平面LMN ． 若存在，请具体求出CF 的长度；若不存在，请说明理由．
20．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，如果
2n
n
S S 为常数，则称数列{}n a 为“科比数列”．
（Ⅰ）已知等差数列{}n b 的首项为1，公差不为零，若{}n b 为“科比数列”，求{}n b 的
通项公式；
（Ⅱ）设数列{}n c 的各项都是正数，前n 项和为n S ，若333
32123n n c c c c S +++
+=对任
意n N *
∈ 都成立，试推断数列{}n c 是否为“科比数列”？并说明理由．
21．（本小题满分12分） 定义12,,,n x x x ⋅⋅⋅的“倒平均数”为
*12()n
n
n N x x x ∈++⋅⋅⋅，已
知数列前项的“倒平均数”为
1
24
n +．
（I ）记*()1
n
n a c n N n =
∈+，试比较与的大小；
（II ）是否存在实数
，使得当
时，2
()401
n
a f x x x n =-+-
≤+对任意恒
成立？若存在，求出最大的实数；若不存在，说明理由．
22．（本小题满分12分）已知函数111,()(0)2t
y x y y x x x
-=+=
=+>的最小值
恰好是方程3
2
0x ax bx c +++=的三个解，其中01t <<. （I ）求证:2
23a b =+
（II ）设12(,),(,)x M x N 是函数3
2
()f x x ax bx c =+++的两个极值点。
①若122
,3
x x -=
求函数()f x 的解析式；②求M N -的取值范围。
