高等数学第二章

第二章 第一节 导数的概念与性质A 组一、选择题1. 设函数f (x )可导，则=--→hx f h x f h )()3(lim【 】A. 3()f x 'B.1()3f x 'C. 3()f x '-D. 1()3f x '- 2. 设函数f (x )可导，则0(1)(1)lim 2x f f x x →--=【 】A. 2(1)f 'B. 1(1)2f ' C. 2(1)f '- D. 1(1)2f '-3. 函数x y =在0=x 处的导数【 】A. 不存在B. 1C. 0D. 1-4. 设函数f (x )可导，则0(2)()limh f x h f x h →+-=【 】A. 2()f x 'B. 1()2f x 'C. 2()f x '-D. 1()2f x '-5. 设y =sinx ，则y (7)|x=0=【 】 A. 1 B. 0 C. -1 D. 2n6. 设函数f (x )可导，则0(4)()lim2h f x h f x h→--=【 】A. -4()f x 'B. 2()f x 'C. -2()f x 'D. 4()f x '7.已知函数()f x 在0x x =的某邻域内有定义，则下列说法正确的是【 】 A. 若()f x 在0x x =连续, 则()f x 在0x x =可导B. 若()f x 在0x x =处有极限, 则()f x 在0x x =连续C. 若()f x 在0x x =连续, 则()f x 在0x x =可微D. 若()f x 在0x x =可导, 则()f x 在0x x =连续8. 设[]2()(0)sin lim 4x f x f x x →-=　，则(0)f '=【 】 A. 3 B. 4 C.43D. 不存在9.设()xf x e =，则0(1)(1)limx f x f x∆→+∆-=∆【 】A. 1B. eC. 2eD. 2e10.设函数()f x 在0x 可导且0()2'=f x ，则000()(2)lim→+--=h f x h f x h h【 】A. -2B. 1C. 6D. 3 12.设()x x x f ln =，且()20='x f ，则()0x f =（ ）。

例1 已知f ( 3) 2, 求
(1)
f ( 3 h) f ( 3) lim h0 2h
1 f [ 3 ( h)] f ( 3) 解 原式 lim ( ) 2 ( h) h 0
h x
1 f ( 3 x ) f ( 3 ) ( ) lim 2 x 0 x
2°导数的其它形式
f ( x0 x ) f ( x0 ) x x 0 x h lim f ( x0 h) f ( x0 ) h h 0 x x0 x f ( x ) f ( x0 ) lim . x x0 x x0
f ( x0 ) lim
3°在一点的导数是因变量 在点 x0处的变化率,
它反映了因变量随自变量的变化 而变化的 快慢程度.
运动质点的位置函数 s f (t ) 在 t0时刻的瞬时速度
f ( t 0 )
曲线 C : y f ( x ) 在 M 点处的 切线斜率
f ( x0 )
此外在经济学中, 边际成本率, 边际劳动生产率 和边际税率等，从数学角度看就是导数.
证 设
从而 故
在点 x 0处可导, 即
y f ( x0 ) ， 其中 x
x 0
函数 f ( x )在点 x0连续 .
x 1, 例9 讨论 f ( x ) x 1,
解
x 0
x0 x0
在 x 0处的可导性.
y
O x
f (0 ) lim ( x 1) 1 f (0 ) lim ( x 1) 1
h 0
∴
定理成立.
例2 讨论函数 f ( x ) x 在点x 0处的可导性.

（2）算比值： y f (x x) f (x) ．
x
x
（3）求极限： f (x) lim y lim f (x x) f (x) ．
x x0
x0
x
四、函数可导性与连续性的关系
定理 如果函数 y f (x) 在点 x0 处可导，则函数 y f (x) 在点 x0 处一定连续． 如果函数 f (x) 在点 x0 处连续，则函数 f (x) 在点 x0 处不一定可导．
第二章
导数与微分
导学
我们在解决实际问题时，除了需要确定变量之间的函数关系外，有时 还需要研究函数相对于自变量变化的快慢程度，即函数的变化率，以及当 自变量发生微小变化时函数的近似改变量，这两个问题就是我们本章所要 讨论的主要内容——导数与微分．
第一节
导数的概念
一、导数的定义
设某物体在数轴上做变速直线运动，运动方程为 s s(t) ，现在求该物体在 t0 时刻的瞬时速度 v(t0 ) ．
当
u
C （C
为常数）时，有
C v
Cv v2
．
二、反函数的求导法则
定理 2 如果函数 x f ( y) 在区间 I y 内单调、可导且 f ( y) 0 ，那么它的反函数 y f 1(x) 在
区间 Ix {x | x f ( y) ，y I y} 内也可导，且有
[ f 1(x)] 1 或 dy 1 ．
当时间 t 由 t0 变到 t0 t 时，物体的路程 s(t) 由 s(t0 ) 变到 s(t0 t) ，
路程的增量 s 为 s s(t0 +t) s(t0 ) ，
物体在
t0
到 t0
t
这段时间内的平均速度为
v
s t

dx
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注： 由导数的“微商”及一阶微分形式不变性,
(3) 通常把自变量x的增量x 称为自变量的 微分,记作 dx, 即 dx x. 什么意思？
例如： 已知 y x , 求 d y.
解 d y (x)x 1 x x, 由于 y x, 故得 d y d x x.
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上例表明:
自变量的增量就是自变量的微分：x d x
y A x o(x),
lim y x0 x
lim A o(x)
x0
x

A.
即函数 f ( x)在点 x0可导,且A f ( x0 ).
7
定理 函数 f ( x)在点x0可微 函数 f ( x)
在点 x0处可导,且 A f ( x0 ),即有 dy f ( x0 )x.
(2) 充分性 函数f ( x)在点x0可导,
y lim
x0 x

f ( x0 ),
即 y x

f ( x0 ) , ( x 0,
0)
从而 y f ( x0 ) x (x),
f ( x0 ) x o(x),
函数 f ( x)在点 x0可微, 且 f ( x0 ) A.
d(u v) du dv
d(uv) vdu udv
d
u v


vdu udv v2
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例 设 y ln( x e x2 ), 求dy.
解

y

1
x
2
xe ex
x
2
2
,

dy

1
x