第二章习题解答参考习题2-11．设f (x )=8 x，试按定义求 f (1) ．解2．设f1xf 1lim8 1x 8．f (1)= lim8x 0x x0x2bx c ，其中 a, b, c 为常数.按定义求 f (x ) ．f (x )= ax解f xf x x f x= limxx022a x xb x xc ax cbx limxx02 ax x a x2 b x2 ax b ．limxx03．证明(sin x ) = cos x ．证设 f x sin x ，则 f x x f x sin x x sin x 2 cosx x x sin222 cos xsinxf x x f x x2f x lim 2limx x x0x0sin xx2lim cos x cos x，2x2x0所以(sin x ) = cos x ．4．下列说法可否作为 f ( x )在 x 0可导的定义？f (x0 h ) f ( x 0h )（ 1）limh 存在；h 0解不能．因为从极限式中不能判断 f x0存在，也不能判断lim f ( xh ) f (x)存在．h0h例如 f x x 在x0 点不可导，但lim f (0h ) f (0 h)h hlim0h 0h h0h却存在．（ 2）lim f (x 0h)f (x)和lim f (x0h )f(x)存在且相等；h0h h 0h解可以．因为 lim f (x0h ) f ( x0 )f x0，hh0lim f ( x0h ) f ( x0 ) f ( x0h ) f ( x0)f x0，根据导数存在的充要h lim hh 0h0条件，可知 f x存在．5．求下列函数的导数：（ 1）y x 5；（2）y1；（3）x232（ 4）y log1x；（5）y x x；（6）3x 5解（1）y 5 x 5 1 5 x 4；y x37x ；y lg x ．（2）（3）（4）1131y x 22；x2 2 x x221522 x2 7x；y x 722x 777y11；1x ln 3x ln3（5）（6）2511512y x 32x66x 66；56x 1y．x ln 106．已知物体的运动规律为s t 3(米)，求这物体在 t2 (秒)时的速度．解因为 s t3， v ds3t 2，所以 t 2 时，v 2 3 2212 ．dt7．如果 f ( x )为偶函数，且 f (0)存在，证明 f (0)=0．证因为 f(0)=lim f x f 0，而 f ( x ) 为偶函数，故 f (x ) f ( x) ，x0x所以 f (0)limf x f0f xf 0，0lim f (0)x x x 0x所以 f (0)=0．8．抛物线y x 2在哪一点的切线平行于直线y 4 x 5 ？在哪一点的切线垂直于直线 2 x 6 y50 ？解由 y x2，可得 y 2 x ，若切点为x0 , x 02，则依题设 2 x 0 4 ，即 x0 2时，切线平行于直线11 ，即 x03y 4 x 5 ； 2 x0时，切线垂直于直线322 x 6 y 50；所以抛物线切线垂直于直线y x2 在点 2 , 4 的切线平行于直线y 4 x 5 ？在点3,9的242 x 6 y 50 ．9．在抛物线y x 2上取横坐标为x1 1 及 x2 3 的两点，作过这两点的割线，问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？解由题设可知 y 2 x，所取的两点为 1,1， 3, 9 ，连接两点的直线斜率为 k 4 ，依题设，应有 2 x 4 ，即 x 2 ，所以所求点为2, 4．10. 如果y f x在点4, 3处的切线过点0, 2 ，求 f4．解依题设，曲线在点4, 3处的切线为 y3f4x 4 ，满足 2 3 f404，从而f 41．411．讨论下列函数在x0 处的连续性与可导性：x21x0,（1）y3 x ；（2）ysin,x0 ,x0.解（ 1）因为lim 3 x0y0 ，所以 y 3 x在 x0 点连续，x03x1，所以 y3 x 在 x0 点不可导；而 limx lim2x 0xx 321（2）因为 limx 2 s in 1y 0 ，所以 yx sin x,x0, 在 x0 点连续，xx0 ,x0.211x sin12,x 0,又 limx0 ，所以 yx sinx 在 x0 点可导．lim x sinx 0 xxx0 ,x 0.12．设 f (x )=sin x , x 0在 x0 处可导，求 a, b 的值．axb , x 0解因为 f (x )=sin x , x0 处可导， axb , x在 x所以 lim f ( x)f0 ，且 ff，x 0又 limf ( x )0 ， limf ( x )b ， fb ，故 b0 ， f0 ，x 0x从而 f 0lim fxf 0 lim sin x1 ，xxxx 0flimf xf 0limaxa ，所以 a1 ．xxx 0x 0213．已知 f ( x)x , x 0，求 f (0)， f(0) 和 f (0)．x, x2f ( x)f 0x 2解因为 f ( x) x , x ，所以 f (0)limlim0 ，x, xxxx 0x 0f (0)f ( x)f 0 limx 1 ，所以 f(0) 不存在．limxxxx14．设函数 f ( x)=x 3 ,x 0 ，求 f (x ) ．3xx ,解 当 x 0 时， f ( x )3 x 2 ，当 x 0 时， f ( x)3 x 2 ，当 x0 时， f (0)limf xf 0limx 3 0 ，xxxx 0f (0)lim f xf 0limx 3 0 ，所以 f(0)0 ，xxxx 02 所以 f(x )=3 x , x 0 ．3 x 2 , x 015．设所给的函数可导，证明：（1）奇函数的导函数是偶函数；偶函数的导函数是奇函数；（2）周期函数的导函数仍是周期函数．证 （1）设 f x 为奇函数，则 fxfx ，而 ff xh f x，xlimhh 0fxlim fx hfxf x hf xhlimhhhf xhf xf x hfxx，limhlimhfhh 0所以 fx为偶函数；相似地，若 f x 为偶函数，则 fx f x，于是f xlimfxh fxfxhf xhlimhhh0lim f xhf xfx，所以 fx为奇函数．hh0（2）设 fx为周期函数，则存在 T ，使 f x Tf x，则fx Tf x Thf x Tf x hf xfx ，limhlimhhh所以 fx也是以 T 为周期的周期函数．16．设有一根细棒，取棒的一端作为原点，棒上任意点的坐标为x ．于是分布在区间 [0, x ] 上细棒的质量 m 是 x 的函数 mm ( x ) ．应怎样确定细棒在点 x 0 处的线密度（对于均匀细棒来说，单位长度细棒的质量叫这细棒的线密度）?解 设在 x 0 处的线密度为 x 0，给 x 0 以 x 的增量，则在区间 [ x 0 , x 0x ] 上细棒的平均线密度为m x 0x m x 0，x故x 0m x 0x m x 0mx 0 ．limxx 017．证明： 双曲线 xy a 2 上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于 2 a 2 ．222证由 xya 2可得 y a , x 0 ，于是 ya2 , x 0 ，若切点为x 0 ,a ，x 0xx则该点处的切线为ya 2a 2 xx 0 ，它与两坐标轴的交点分别为2 x 0 , 0，x 0x 02220, 2 a，所以所求三角形的面积为 S 12 x 02a2 a 2 ．x 02x 018．设函数 f (x ) 在 x 0 处可导，试讨论函数 | f (x ) | 在 x 0 处的可导性．解因为函数 f(x ) 在 x0 处可导，所以 limf ( x)f 0f0 存在，xx而 fx 0 limf ( x)fxx，故x（1）若f ( 0 )f ( x)f 0f0 可知：f ( x ) f，其中xxxl i mx f，x，从而 f ( x )此时 fxlim x flimx f，x 0xxxx 0因此 | f ( x) | 在 x 0 点的左导数为f 0，右导数为 f，所以 |f ( x) | 在 x0 处可导的充要条件是 f 00 ；（ 2）若 f (0)0 ，设 f (0)0 ，则 lim f ( x)f 00 ，由保号性定理，0 ，x当 x U 0,时， f x0 ，此时有 ff ( x)f 0f ( x )f 0x x 0limxlimxf，相似地，x 0x若 f (0)0 ，则 limf ( x)f 00 ，由保号性定理，0 ，当 xU 0,时，xf ( x)f 0f ( x )f 0f x0 ，此时有 fxx 0limxlimxf；xx 0总之，若 f ( x) 在 x 0处可导，则当 f (0)0 时， | f (x ) | 在 x 0 处可导；当f (0) 0时，| f (x ) | 在 x 0处可导的充要条件是 f 00 ．习题2-21．求下列函数的导数：（1） （3） （5）（7）y 3cos2 x ；（ 2） y 3 x4cos2 x ； （4） 2e y 3e4 x1 ；（ 6） y1；（ 8）xln xy4sin(3 t1) ；y( x 1) 5 ；yx；21x y(x 2x1)( x 1) 3 ；2ln x x 3（9） yx 3 e x sin x ；（ 10） y 2 ．3ln x x解（ 1） y3 sin 2 x 2 x3 sin2 x 2 6 sin2 x；（ 2） y 4 cos(3 t1) 3t 1 12 cos(3 t1) ；（ 3）（ 4）y 2e 3 x 3 x4 sin 2 x 2 x 6e 3 x 8 sin 2 x ；y5( x 1) 4 x1 5( x1)4 ；（ 5） （ 6）（ 7）y3e 4 x 4 x12e 4 x ；1 2x2 xxx 21y2 1；221 x1 21 xxln x1xln xxlnx 1yx；222xln xxln xxln x（ 8） y32x 1) 3( x 2222 x 2；2 x 1 ( x 1)( x1)( x 1) 5 x（ 9） y2x3 x3x 2xx sin xx cos x；3 x e sin x x e sin xx e cos x x e3sin x2 23ln x233 2 xx 3 xx2ln x xx x 9 x 4 ln x x42 （ 10）y3 x2 xx 2 223ln x3ln xx 22．证明：（ 1） (cot x)csc 2 x；（ ） (csc x )csc xcot x．2证（1）(cot x )cos x sin x sin x2cos x cos x csc2x ；sin x sin x（2）(csc x)1cos x1cos xcsc x cot x ．2sin x sin xsin x sin x3．证明：（ 1）(arccos x )1；（2）(arccot x)1．221x1 x证（1）设y arccos x ，则其反函数为 x cos y ， y2,2，由于 x sin y ，由反函数求导法则，arccos x111；sin y12y12cos x（2）设y arc cot x ，则其反函数为 x cot y ， y0,，由于 x csc 2y ，由反函数求导法则，arccos x111．csc212y12y cot x4．求下列函数在给定点处的导数：2（1）y 2 cos x 3 sin x ，求y xπ ；（2）y32x，求 f (2) ．4x3解（1）因为y 2 sin x 3 cos x ，所以y xπ4ππ522 sin3 cos；442212 x22 x，所以 y2 2 210 ．（2）因为y232x 223x3x33233 5．写出曲线y 2 x1与 x 轴交点处的切线方程．2 x解令 y0 ，得曲线 y 2 x1与 x 轴交点为1, 0和1, 0，2 x22而 y21，所以 y1 4 ，222 x所以所求切线有两条，方程分别为y 4 x 2 ， y 4 x2．6．求下列函数的导数：（ 1）y(2 x 23) 5；（2）y sin (5 2 x 2 ) ；（ 3） （ 5） （ 7）（ 9）y e 3 x 22 x 1 ；（4） y sin ( x 2 ) ；y cos 2 x ； （6） y a 2x 2 ；y arctane x ；（8） y ( arccos x ) 2 ； yln sin x ；（10） ylog a (x 31) ．解 （1） y5 (2 x 23) 4 (2 x 2 3)20 x (2 x 2 3)4；（ 2） ycos(5 2 x 2 ) (52 x 2 )4 x cos(5 2 x 2 ) ；（ 3） y e 3 x 23 x 26 x 2 e 3 x22 x 12 x 12 x 1；（ 4） y cos( x 2 ) ( x 2 ) 2 x cos( x2) ；（ 5） y 2 cos x cos x2 cos x sin xsin 2 x；（ 6） y1222 xx；2 a 2x 2a x2 a 2 x 2a 2x 21x（ 7） y2exe2 x；e x11 e（ 8）（ 9）y2(arccos x)(arccos x)2(arccos x)12 arccos x ；122x1 xy1 cos x cot x ；sin xxsin xsin12（ 10） y33 x．3 1) ln a ( x 1)( x 31) ln a ( x7．求下列函数的导数：（1）（3）（5）（7）（9）yarccos (1 2 x) ； （ 2） y y1ln x ； （4） y1ln xysin n x cos nx ； （ 6） yy e arctan x；（8） yy1 x 1 x ； （10）1 x1 xarcsin 1 ；x ln (xx 2a 2 ) ；1 sin2 x ； 1 sin 2 xln ln ( ln x) ；y arccot1 tan x ．2 2解（ 1） y121；(1 2 x )221 (12 x)x 1 x1 (12 x )（ 2）（ 3）y1 1 x 1x ；1x2x 222111xxx2x1 1ln x 1 lnx1x x2y22；1 ln xx 1 ln x12 x122122（ 4） yx2 x a ；2 2xa2xx22 2xaxaxa（ 5） yn sin n1xsin xcos nxsin n xsin nx nxn1cos x cos nxsin x sin nxn sin n 1 x cos n 1x；n sin x（ 6） y11 sin2 x1sin 2 x1 sin2 x2sin 2 x112 cos 2 x 1sin 2 x1 sin2 x 2 cos 2 x1 sin2 x1sin 2 x 22sin 2 x112 cos 2 x2 cos 2 x； 1 sin 2 x 1sin 2 x 1 sin 2 xcos 2 x 1sin 2 x（ 7） （ 8）（ 9）arctan xarctan xarctanx1 y ee1 xx1 ln ( ln x)1 1y x ) ln ( ln x) ln xln ( lnln xarctanxe；2 1 xx1；x ln x ln ( ln x)111 x1x1x112 1 x 2 1 x1 x2 1 x 2 1 xy21 x1x1 x 1 x21 x1 x 121x2；221 x 1 x1 x 1 x1 x 1 x（ 10）y11x41 2 x x1x2tan22sec2 122x2 tan24tan222xsec21．2x4tanx1223 cos28．设f ( x )1cos x ,x0，求 f x．ln (1 x )x cos x ,x0sin x,x0解当 x0 时， f (x )1cos x x sin x ,x0，1x2x x当 x 0 时，f(0)1cos x0lim 2 sin2lim sin x sin20 ，lim x x2xx0x0x02ln1x x cos x01f (0)lim ln1x cos x ln e 10 ，lim x xx0x0sin x ,x0所以 f00，从而 f(x )1cos x x sin x, x ．1x0 9．求函数y( sin x ) cos x 的导函数．解法 1因为y( sin x ) cos x e cos x ln sin x ，所以 y e cos x lnsin x cos x ln sin x sin xcos xsin x ln sin x cos xcosxsin xsin x sin x ln sin x2x ．cos xcossin x解法 2对数求导法，由 y( sin x) cos x，得 ln y cos x ln ( sin x ) ，两边同时对 x 求导，得ysin x ln sin x cos xcos x，y sin x所以 y sin x sin x ln sin x cos2x．cos xsin x10．设f(x )sin x ， (x )x3，求 f [(x )] ， f[(x )] ， { f [(x )]}．解 因为 f (x )sin x ， ( x) x 3 ，所以 f ( x)cos x ，(x ) 3 x2，所以 f [( x)] f 3 x 2 sin 3 x 2 ，f [( x )]cos( x )cos x 3，{ f [ ( x)]} sin x 3 cos x 3 x 3 3 x 2 cos x 3 .11．设 f ( x) 存在，求下列函数的导数：（ 1） f n (cos x ) ； （ 2） cos n [ f ( x)] ．解（1） nn 1(cos x)f (cos x )n 1f (cos x)nf nf(cos x ) f (cos x) cos xn sin xfn 1(cos x ) f (cos x ) ；（2） cos n [ f (x)]n cos n 1 [ f ( x)] cos [ f (x )]n cos n 1 [ f (x)] sin [ f ( x)] f xn 1[ f (x )] fx ．n sin [ f ( x)] cos12. 求曲线 f x 2 sin x sin2所有具有水平切线的点．x解 因为 fx2 cos x 2 sin x cos x ，令 fx0 ，得 cos x 1sin x0 ，于是 cos x 0 ，或 sin x1 ，推得 x k, k Z ，或 x 2k3Z ，2, k2所以所求的点为2 k, 3 ，2k3 1 ，其中 k Z ．,22习题2-31．求下列函数的二阶导数：（1）（3）ye3 x 5；（2） y 2x ln x ；（4） sinye t sin t；y tan x ；（5） yln( x4 x 2 ) ；（ ） y (1 x 2 ) arctan x．6解 （ 1） y 3e 3 x 5 ， y9e 3 x 5 ；（2） yetsin t e t cos t e t cos t sin t，yetsin te tsin t cos t2etcos tcos t ；2（3） y2 sin x cos x ln xsin 2 x 1ln xsin 2 xsin x ，xxsin 2 x2sin x cos xx sin2y ln x 2 cos 2 x xxx22 sin 2 x22 x ln xsin x ；x 2 cosx 2（4）（5）22 sec x sec x tan x2ysec x ， y2 sec x tan x ；112 x1y，x4 22 4x 24 2xx13xy4x 222 x；2423x（6） y2 x arctan x1 ， y2 arctan xx．21x2． y x 3 e x，求 y ( 5 )(0)．解设 u x 3 ， v e x，则 u3 x 2 ， u 6 x ， u6 ， u n 0, n 4 ； v ne x , n N ，代入莱布尼兹公式，得y ( 5 )u 5 v5 u 4 v 10 u v10 u v5u v 4uv 510 6e x10 6 xe x5 3 x 2e xx 3 e x ，所以(5 )60．y (0)3． yx 2 e 2 x ，求 y ( 20 ) ．解 设 ux 2 ， v e 2 x ， 则 u2 x ， u2 ， u n0,n 3 ； v n2 n e 2 x , n N，20181920代入莱布尼兹公式，得y ( 20 )C 20k u nkv kC 202C 201 C 200 u vu vuvk 0190 2 218 e 2 x C 201 2 x 219 e 2 x C 200 x 2 2 20 e 2 x2 20 e 2 x95 20 xx 2 ．4．试从dx1导出：（ 1）d 2 xy3；（2）d 3 x3( y ) 2y y．2( y ) d y 35dy yd y( y )解因为d x1，所以 d 2 x d 1 d 1 dx y 1y 3，d yy2dy ydx ydyy2yd yy3dydy dxd x3dyy 3dx3dydyy322yy y 3 yy13 yy y．6y5yy5．证明：函数 y C 1e xC 2 ex（ ,C 1 , C 2 是常数）满足关系式 y2y 0 ．解 因为 y C 1 e xC 2 ex，所以所以xxxx2x2xyC 1 eC 2eC 1eC 2 e， yC 1 e C 2 e，y2y2C 1e x 2C 2 ex2C 1 e x C 2 ex0 ．6. 求常数 的值，使得函数 ye x 满足方程 y5 y6 y．解 因为 ye x ，所以 y ex， y2ex，代入方程 y5 y6 y 0 ， 得256 e x0 ，因为 e x0,xR ，所以256，解得 1 6 ， 21 ．7. 设 fxsin xa ， g xb sin xc cos x ，求常数 b, c 的值，使得f 0g 0，且 f 0g0 .解 因为 fxsin x a， g xb sin xc cos x ，所以 f x cos x a， g xb cos xc sin x ,所以由 f 0g 0， f 0g 0，可得 c sin a ，且 bcos a ．8．求下列函数的 n 阶导数．（1） y x na 1 x n 1 a 2 x n 2a n 1 x a n （ a 1 , a 2 , a n 是常数）；（2） y xe x ；（3） ysin 2 x ； （4） yx 2 16．5 x解（1） yn 1n 1 a 1 xn 2n 3a n 1 ，nxn 2 a 2 xn 2n 3n 4a ，根据幂函数的导数公式特点：每求导一次，幂函数降一次幂，故y n n ! ．（2）y e x xe x e x x 1 ， y e x x 1 e x e x x 2，yxx2x xx 3 ，由此可见，每求一次导数，增加一个e x，e e e所以n xx n， n N；y e（3）y sin 2 x1cos 2 x11cos 2 x，222y 2 sin x cos x sin 2 x cos 2 x2，y 2 cos 2 x 2 cos 2 x22，y 2 2sin 2 x 2 2cos 2 x32，42 3cos 2 x23 cos 2 x4，y2所以n2n1 cos 2 x n， n N ．y2（4）因为y111，x 2 5 x6x3x2而1x32112x3，x3，x331123x34x3，1n可见，123n x n 11nx3n1x33n !，1n同理，123n x n11nx2n1x22n !，所以n n n1n1n 11．y 1 n ! x 3x 2 1 n !x3n 1xn 12习题2-41．求由下列方程所确定的隐函数的导数d y ：d x（1） x y e xy0 ； （2） 2 x 2 y xy 2 y 30 ；（3） e xyy ln xsin 2 x ；（ ） xya（ a 0 的常数）．4解（ 1）将方程两边同时对 x 求导，得dydydy ye xyxy，变形得：1；1ey x0 dx1xydx dxxe（2）将方程两边同时对 x 求导，得2dyy2dy2dy 0，2 2 xy xx 2 y3 ydxdx dx变形整理得：dy224 xy y 2；dx2 x 2 xy3 y（3）将方程两边同时对 x 求导，得e xyy xdydyln xy 2 cos 2 x ，dxdxx变形整理得：dy2 x cos 2 xyxy exy；dxx ln x 2xyx e（4）将方程两边同时对 x 求导，得11dy ，2 x2y dx变形整理得：dyy, x．dxx2．求曲线 x 2 y 52 xy0 在点 (1,1) 处的切线方程．解将方程两边同时对 x 求导，得： 2 x5 y 4 dy2 yx dy0 ，dx dx将 x1 ， y 1 代入，解得：dy1,10 ，dx所以曲线在点 (1,1) 处的切线方程为： y1 ．3．已知 y sinx cos( xy )0 ，求隐函数 yy x 在点 0, π的导数值．2解将方程两边同时对 x 求导，得：dyy cos xsin( x y ) dy ，sin x1dxdx将 x0 ， y2 代入，解得： dy1．dx0,222 4．求下列方程所确定的隐函数的二阶导数 d y ．dx 2（1） y tan( x y ) ； （2） y 1x e y ；（3） y lny xy ；（4） arctany ln x 2 y 2 .x解（1）将方程两边同时对 x 求导，得：dysec 2 ( xy ) 1dy，dxdx解得dycsc 2 ( xy ) ，dxd 2dy再求导，得：y2 csc( xy)csc( xy ) cot xy，21dxdx将 dy2csc 2( xy) 代入，整理得：d y2 csc 2 ( x y) cot3 xy ；dxdx 2（2）将方程两边同时对 x 求导，得：dye yx e y dy，dxdxe y dy1 xe ye ye yx e y dy解得：dyy，再求导，得： d 2 y dxdxe y 2y2，dx1xedx1xedy y22 y2 xe y2 y3 y将 e代入，整理化简得：d yeey2y 33；dx1 xedx12 yxe（3）将方程两边同时对 x 求导，得：dyln ydy 1 dy ， dxdxdx1 dy解得：dy1d 2 yy dx 2 ，，再求导，得： 2dxln y dxln y将 dyd 2 y13；1代入，整理化简得：2ydx ln ydx ln ydyxy2 x 2 ydy（4）将方程两边同时对 x 求导，得：1dx1 dx，y 2222y 21xxx1dy x yx y 1dy解得：dy x y，再求导，得：d 2 ydxdx，dxx ydx 22x y222将 dyx y代入，整理化简得：dy 2 xy.3dxxydx 2xy5．用对数求导法求下列函数的导数：（1） y(sinx) cos x ；（2） y(tan 2 x ) x；x x（3） y；（4） y (2 x 1) x (3 x 1) x 1 ．1 x解 （ 1）两边取自然对数，得： ln ycos x ln(sin x ) ，两边同时对 x 求导，得：1 dysin x ln sin xcos x cos x ,y dxsin x整理化简得：dy(sin x) cos xsin x ln sin xcos x cot x ；dx（2）两边取自然对数，得： ln y x ln(tan2 x ) ，两边同时对 x 求导，得：1dy ln(tan 2 x )xsec 2 2 x2tan 2 x ，y dx整理化简得：dy(tan 2 x) xln(tan 2 x)4 x ；dxsin 4 x（3）两边取自然对数，得： lny x lnx x ln xln1 x，1x两边同时对 x 求导，得：1dy ln x ln 1 xx 1 1 1 y dxxxx整理化简得：dyx ln x x1 1；dx1 x1 x（4）两边取自然对数， 得： ln yln(2 x1)1x1ln(3 x1)1 x1 ，ln 4 ln28两边同时对 x 求导，得：1 dy2 1 131)81， y dx 2 x 2 x 4(3 x x 1整理化简得：dy(2 x1) x(3 x1) x 12 1 1 31) 8 11dx2 x 2 x 4(3 x x 6．求下列参数方程所确定的函数的导数d y ： d x2 atxa cos btb sin atxt21 （ a 为常数）．（1）（ a , b 为常数）； （2）2ya sin btb cos ata (1 )ty1t2解（1）因为dxab sinbtab cosat ，dyab cosbtab sinat，dtdt所以d yab cos btab sin atcos btsin at；d xab sin btab cos atsinbtcos at2 a 1 t22 at 2t2（2）因为dx2 a 1 t，22dt1212ttdy2at 1 2a (1 2) 2 t4 atttdt221 t 21 2t所以dy1 2 t 2 t ．dxt 2 t 2 17．求曲线x tet1 在 t0 处的切线方程与法线方程．t 2 )ey (2 t t解 因为 dxe tte t ， dy2 2 t e t(2 t t 2 )e t ，dtdt所以dy2 t 2 ， dyt 02 ，又 x t 0 1, y t 0dx1 tdx故所求切线为： y2 x 1，法线为：y1 x 1 ． 28 ． 已 知曲 线 x2n在 ttm t0 时过原点，且在该点处的切线与ype t2e2 x3 y5 0 平行，求常数 m , n, p ．解 因为 dxm ，dyp e t ，故dyt2 tp e ，dtdtdx2t m由题设可知： x tn0 ， yt 0p2e0 ，dyt 0p 2 ，dxm3所以所求常数为： n0 ， p2e， m3e ．注：此题的书后答案有误．29．求下列参数方程所确定的函数的二阶导数 dy ：d x 2（1）x1 t 2；（2）xe t cos t ；y tt 3yte sin tx ln 12xf ( t )t；（4）（ f(t ) 存在且不为零）．（3）y tf ( t )f (t )yt arctan t（ 1）因为dx2 t ，dy，所以dy13 t 21 3t ， 解13t 2dt dtdx2 t2t221 322于是 d yd13t dt2t 21 3t；2dt2 t2dx2 t3dx4t（2）因为dxe tcos te tsin t ，dye t sin t e t cos t ，dtdt所以dye t sin te t cos tsin t cos t ，于是dxt cos t tsin tcos tsin te ed 2 yd sin tcos tdt cos tsin 2sin t2 1tcos t2dtcos tsin tdxcos tsin 2tcos ttsin tdxte e2；e tcos tsin t 311dx2tdy1dy12t1，1t（3）因为 dtt 2dt1t 2 ，所以dx2 t2 ，1 t 221221于是 d yt；22 t4 tdx1 t 2（4）因为dxf( t ) ，dyf ( t ) tf ( t )f (t ) tf (t )，所以dyt ，dtdtdx于是 d 2 y1．2f (t )dx10．将水注入深 8 米、上顶直径 8 米的正圆锥形容器中，注水速率为4 吨/分钟．当水深为 5 米时，其表面上升的速率为多少？解 如图所示，设在 t 时刻容器中水面的高度为h t（米），此时水面的半径为 rt（米），则依题意应有1 r 2t h t4 t ，而h tr t ， 384所以 1h 3 t4t ，两边同时对时间 t 求导，12可得1h2t dh4 ，当 h t5 时，可求得dh16 ， 4dt dt2516 所以当水深为 5 米时，其表面上升的速率为m m in ．2511．汽车 A 以 50 公里 / 小时的速度向西行驶，汽车 B 以 6 0 公里 / 小时的速度向北行驶，两辆车都朝着两条路的交叉口行驶． 当汽车 A 距离交叉路口 0.3 公里，汽车 B 距离交叉路口 0.4 公里时，两辆车以什么速率接近？解 如图所示，设在 t 时刻，汽车 A 距离交叉路口x t ，汽车 B 距离交叉路口 y t ，则两车之间的直线距离为 st x 2y 2t t ，两边同时对时间 t 求导，可得x tdxy dytdxdydsdtdt60 ，，依题意可知 50 ，dt2y 2dtdtx t t故当 x t0.3 ， y t0.4 时，ds 0.350 0.4 6078 ，即当汽车 A 距离交叉dt0.32 20.4路口 0.3 公里，汽车 B 距离交叉路口 0.4 公里时，两辆车以78 km / h 的速率接近．12．一个路灯安装在 1 5 英尺高的柱子上， 一个身高为6 英尺的人从柱子下以5 英尺/秒的速度沿直线走离柱子，当他距离柱子4 0 英尺时，他身影的顶端以多快的速率移动？解 如图所示，设在 t 时刻，此人离灯柱的水平距离为x t，身影的顶端离灯柱的水平距离为y t，则依题意有：dx，6y tx t5，515，可见y tx tdt y t3两边同时对时间 t 求导，得dy5dx25 ，dt3dt3所以他身影的顶端以25 feet / s 的速率移动，与他离灯柱的水平3距离无关，只与他的前进速度、身高、灯柱高有关．习题2-51．函数y x2，求当 x 1 ，而 x0.1 ， 0.01 时，y 与 d y 之差是多少？解当 x 1 ， x0.1 时，y20.21， d y 2 x x0.2 ，1.11所以y dy0.01；当x 1 ，x0.01时， y 1.01 210.0201， d y 2 x x0.02 ，所以y dy0.0001；2．求函数y x2x 在 x 3 处， x等于 0.1 ， 0.01时的增量与微分．解因为 y x 2x ，所以dy 2 x1x ，当 x 3 ， x0.1 时，2 3.1230.71， dy0.7；y 3.13当 x 3 ， x0.01 时，y 3.012 3.0120.0701， dy0.07 ．333．函数y x 3x ，求自变量x由 2变到 1.99时在 x 2 处的微分．解因为y3x ，所以 dy21x ，x 3 x当 x2， x0.01 时， dy3210.010.11 ．24．求下列函数的微分（1）（3）（5）y x 2 x 2 1 x3x 4；（ 2）3yx；（ 4）1 x2y3ln cos x；（ 6）y xe x2；y tan 2 (1x 2 ) ；y e ax sin bx ．23解（1）dy 1 4 x x 4 x dx ；x 2x 22x 2x 2x 2 2；（ 2） dy e dx xe dxe dx xe2 x dx e1 2 x dx22221 x dx xd 1 x1 x dx x2 x dx（ 3） dy1 xdx ；2221 2121 2xxx（ 4） dy2 tan(12) d tan(1 x22 tan(1x 222) d (12x )) sec (1x x )4 x tan(12) sec 22；x (1 x ) dx（ 5） dy 3 ln cos x ln 3dln cos x3 ln cos x ln 31 d cos xcos xln cos x3ln 3 tan xdx ；（ 6） dyaxax sin bxaxcos bx d bxaxa sin bxb cos bxdx ．e d e e5．将适当的函数填入下列括号内，使等式成立：（1） d( ) sintd t ；（ 2） d()（3） d ( )x；（ 4） d ( )d x1 x2（5） d ( ) x 2（ 6） d ()xe d x ；23 xd x ；secd x；x 2a 2ln xd x .x解（1）1 cost；（ ）1tan 3 x ；（ ） 1x 2；233（4） 1arctanx ；（5） 1e x ；（6） 1l n 2 x ．2aa 226．某扩音器的插头为圆柱形，其截面半径r 为 0.15 厘米，长度 L 为 4 厘米，为了提高它的导电性能，要在圆柱的侧面镀一层厚度为 0.001 厘米的铜，问每个插头约需要多少克纯铜？（铜的密度为8.9 克/ 立方厘米，3.1416 ）解因为圆柱形的扩音器插头的体积为Vr2L ，侧面镀层的体积约为VdV2 rLr ，当 r 0.15 ， r 0.001L4时， V32 3.1416 0.15 4 0.0013.7699210 ，，故所需铜的重量约为 m3.769921030.03355克．8.97．设有一凸透镜，镜面是半径为R 的球面，镜面的口径为 2h ，若 h 比 R 小h 2 得多，试证明透镜的厚度 D．2 R解如下图所示，镜面半径 R 、镜面口径 2h 、透镜厚度 D 之间有关系：h 222，化简得： h22RDD20 ，R DR2R4R 2 4 h 2h 得： DR R 12R2 2，若 h 比 R 小得多，则1 h 21h 2，22 R 2R222故DRR1hR R 1h h ．R 22 R 22 R8．利用微分求下列函数值的近似值（1）；（2）；（3）； （ 4） e 1.01 ；（ ）26 ；（ ） 3 ．996cos 59tan 46lg 1156解 （1） cos 59coscoscossin6013 18033180130.5151 ；2 2180（ 2） tan 46 tan 0tantan245141804sec18041 21801.0349；（ 3） lg 11 lg 10 1lg 10111.0434；10 ln 10（ 4） e1.01e1 0.01ee 0.01 2.7455；（ 5） 2625 1251 15.1 ；22512（6） 3 996310004310001000349.9867 ．39．当 | x | 较小时，证明下列近似公式：（ 1） sin x x ； （2） (1x )1x ； （ 3） ln(1 x ) x ．解 （1）设 fx sin x ，则 fxcos x ，当 | x | 较小时， fxsin xsin 0 cos 0 xx ，所以 sin x x ；（ 2）设 f x(1 x) ，则 fx1(1 x )当 | x | 较小时， f x(1 x ) f 1f 1 x1x ，所以 (1x )1x ；（3）设 f x ln(1 x) ，则 fx1，1x当 | x | 较小时， f xln(1 x ) f 1 f 1 x x ，所以 ln(1x )x ．习题2-61. 一飞机在离地面 2000 米的高度，以 200 公里 / 小时的速度飞临某目标之上空，以便进行航空摄影．试求飞机飞至该目标上方时摄影机转动的速度．解 如右图示意，A 为摄影目标，B 为其正上方的点，设 t 时刻飞机离 B 点的水平距离为 x t ，摄影机镜头 C 与 A 点连线与飞机的水平飞行方向成夹角，则co tx t ， xtx200000t ，两边同时对时间20003600t 求 导 ， 可 得 csc 2d1 dx t1， 即dt 2000 dt36d 1，当飞机飞至该目标上方时，，dtsin2362代入解得：d1 360 5rad / s ．dt36 22. 一架飞机着陆的路径如图 2-11 所示，并且满足下列条件：（ⅰ）降落点为原点， 飞机开始降落时水平距离为 l ，飞行高度为h ．（ⅱ）在整个降落过程中， 飞行员必须使飞机保持恒定的水平速度 v ．（ⅲ）垂直方向的加速度的绝对值不能超过常数 k （必须比重力加速度小很多） ．3图 2-11（ 1） 求一个三次多项式 P x2ax bxcx d ，通过在开始降落和着陆的点对P x 和 P x施加一定的条件限制，使它满足条件。
