经典的双曲线复习课件(修改)

相交于点M，且他们的斜率之积是
4 9
，求M点轨迹方程
课堂小结
1、双曲线的定义：平面内到两个定点F1,F2的距离差的绝对 值等于非零常数（小于丨F1F2丨）的点的轨迹为双曲线
标准方程：
x2 － y2 a2 b2
=1
(焦点在x轴)
y2 － x2 a2 b2
=1
(焦点在y轴)
a>0，b>0
2、求双曲线标准方程的方法：
x F2
(c,0)
双曲线标准方程的推导
x2 － y2 a2 c2－a2
=1
a, c均为常数，因此，令 b2 = c2－a2
F1
(a>0，b>0) x2 － y2 双曲线标准方程：a2 b2
=1
焦点在
x
轴
(-c,0)
(a>0，b>0)
y2 a2
－ x2 b2
=1
焦点在
y
轴
y
M (x, y)
x F2
(c,0)
•定点 F1、F2 叫做双曲线的焦点，
两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。
M
F1
F2
双曲线的定义
•平面内到两个定点 F1、F2 的距离的差的绝对值等于非零常数 （小于 F1F2 ）的点的轨迹叫做双曲线。
(1)平面内到两个定点 F1、F2 的距离的差等于非零常数 （小于 F1F2 ）的点的轨迹是什么？
双曲线的一支
方法二： 设双曲线方程为 mx 2 + ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱy2 = 1
分别代入M,N两点坐标
9m 4m
4n 1 n 1
m
3 7
n
5 7
得标准方程：

的距离为 4，则 n 的取值范围是 A．(－1,3) C．(0,3)
B．(－1， 3) D．(0， 3)
() A
解析 由题意得(m2＋n)(3m2－n)>0，解得－m2<n<3m2，又由该双曲线两焦点间 的距离为4，得m2＋n＋3m2－n＝4，即m2＝1，所以－1<n<3.
考向 1：定义的应用 到椭1圆、C(11的)设两椭个圆焦C点1 的的离距心离率的为差1的53，绝焦对点值在等于x 轴8，上则且曲长线轴C长2 的为标2准6，方若程曲为线_1x_62C_－_2 _上y9_2＝的__1点_．
c2＝a2＋b2
线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a； 线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b； a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长
基础三角形 如图，△AOB 中，|OA|＝a，|OC|=b，
|AB|＝__b__，|OB|＝c，tan∠AOB＝ba，△OF2D 中， |F2D|＝__b__.
‘注 意
| PF1 | | PF2 | 2a | F1F2 | 双曲线 | PF1 | | PF2 | 2a | F1F2 | 以F1、F2为端点的射线 | PF1 | | PF2 | 2a | F1F2 | 不存在
| PF1 | | PF2 | 2a | F1F2 | 双曲线的一支
Байду номын сангаас
因为双曲线过点 P(2,1)，所以a42－b12＝1，又 a2＋b2＝3，解得 a2＝2，b2＝1，所
以所求双曲线方程是x22－y2＝1．
(2) 经过点 P(3,2 7)，Q(－6 2，7)的双曲线的标准方程为___2y_52_－__7x_52_＝__1_____．

2
2
=λ(λ≠0).
(5)渐近线为y=±kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0).
(6)渐近线为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).
跟踪训练 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
5
（1）焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为3 ；ห้องสมุดไป่ตู้
跟踪训练
A.
1
4
双曲线x2-my2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则m等于
B.
1
2
C.2
D.4
（D）
二、求双曲线方程
例2
根据下列条件，求双曲线方程:
（1）双曲线 x
2
9

y2
1 有共同渐近线，且过点 ( 3, 2 3) ；
16
（2）与双曲线 x
2
16
解
y2
1 有公共焦点，且过点 (3 2 , 2) .
第三章
3.2
双曲线
3.2.2 双曲线的简单几何性质
学习目标
1.理解双曲线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、渐近线、离心率）.
2.能用双曲线的简单性质解决一些简单的问题
核心素养：数学运算、数学建模
新知学习
复习引入
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
M
M
F2
(2)焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程可设为
2
(3)与双曲线
2
2 +
2
−
2
2
2
−
=1(a>0,b>0).
2
2
=1 共焦点的双曲线方程可设为

,从
而
b2
a c .由
②
可
知
曲
线
为
黄 金 双 曲 线.
4.已知双曲线xa22by22 1a1,b0的焦距为2c,离心率为
e,若点1,0与1,0到直线xy1的距离之和s4c,则
ab
5
e的取值范围是______.
答案
:
5, 2
5
课时作业(五十二) 双曲线
一、选择题
1.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等,
3.双曲线的实轴长、虚轴长与焦距的和为8,则半焦距的取值
范围是( )
A.4 24,4 C. 424,2
B.4 24,2
D.4 24,2
答案:D
4.(2009
江西)设F1和F2为双曲线ax22
y2 b2
1(a0,b
0)的两个焦点,若F1,F2,P(0,2b)是正三角形的三个顶
点,则双曲线的离心率为（）
答案: x2 y2 1 3
解 析 :由 题 意 知 c2,2aDBDA532, a1,b 3,故 标 准 方 程 为 x2y21.
3
例4已知A(1,0),B(-2,0),动点M满足 ∠MBA=2∠MAB(∠MAB≠0).求动点M的轨迹E的方程.
点评:求点的轨迹方程,常用的方法是直接法,即根据 动点运动的条件得到几何量的等量关系,但一定要注 意变量的取值范围.
第五十二讲 双曲线
走进高考第一关 考点关
回归教材
1.双曲线的定义 我们把平面内到两定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数 (大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫做双曲线,定点F1,F2叫 做双曲线的焦点,两个焦点之间的距离叫做双曲线的焦距.数 学语言:||PF1|-|PF2||=2a(2a<|F1F2|). 说明:(1)当2a>|F1F2|时,无轨迹, 当2a=|F1F2|时,表示以F1,F2为端点的两条射线(包括端点).

9

｜PF1｜－｜PF2｜＝±2 a ＝±6，又｜PF 1｜＝5，则｜PF 2｜＝11.
6.
2
2
已知双曲线 C ： 2 － 2 ＝1( a ＞0， b ＞0)的焦距为4


线 C 的渐近线方程为
3 ，实轴长为4 2 ，则双曲
2 x ± y ＝0 .
⁠
[解析] 由题意知，2 c ＝4 3 ，2 a ＝4 2 ，则 b ＝ 2 − 2 ＝2，所以 C 的渐近线


C.
2 2
2
双曲线 － ＝1的渐近线方程是y＝± x
9
4
3
D. 等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2
2. [浙江高考]渐近线方程为 x ± y ＝0的双曲线的离心率是(
A.
2
2
B. 1
C. 2
C )
D. 2
[解析] 因为双曲线的渐近线方程为 x ± y ＝0，所以无论双曲线的焦点在 x 轴上还是
轴上.又离心率 e ＝

2 ，所以 ＝

2 ，所以 a ＝ 2 ，则 b 2＝ c 2－ a 2＝2，所以双曲
2
2
线 C 的标准方程为 － ＝1.
2
2
解法二
因为双曲线 C 的离心率 e ＝ 2 ，所以该双曲线为等轴双曲线，即 a ＝ b .又
双曲线 C 的焦点为(－2，0)和(2，0)，所以 c ＝2，且焦点在 x 轴上，所以 a 2＋ b 2＝
1
以｜ PF 1｜·｜ PF 2｜＝8，所以 △ ＝ ｜ PF 1｜·｜ PF 2｜·sin
2
1 2
解法二
60°＝2 3 .
2
2
由题意可得双曲线 C 的标准方程为 － ＝1，所以可得 b 2＝2，由双曲

研究它们之间的相互联系.明确a､b､c､e的几何意义及它们 的相互关系,简化解题过程.
x2 y 2 【典例3】双曲线 2 2 1(a 1, b 0)的焦距为2c, 直线l过 a b 点 a, 0 和 0, b 且点 1, 0 到直线l的距离与点 1, 0 到直线l 4 的距离之和s≥ c, 求双曲线的离心率e的取值范围. 5 4 [分析]用“距离之和s≥ c”这个条件列出只含有a和c的 5 c 不等式, 变形为“e ” ? 的不等式, 然后再解之. a
x y [解]直线l的方程为 1, 解bx ay ab 0, a b b(a 1) 由a 1, 得点 1, 0 到直线l的距离d1 . 2 2 a b b(a 1) 同理可得点 1, 0 到直线l的距离d 2 , a 2 b2 2ab 2ab s d1 d 2 2 2 c a b 4 2ab 4 又s≥ c, 得 ≥ c, 即5a 5 c 5 c 2 a 2 ≥2c 2 .
少运算量,提高解题速度与质量.在运用双曲线定义时,应
特别注意定义中的条件“差的绝对值”,弄清所求轨迹是 整条双曲线,还是双曲线的一支,若是一支,是哪一支,以确
保轨迹的纯粹性和完备性.
类型二 求双曲线的标准方程
解题准备 : 待定系数法求双曲线方程最常用的设法 x2 y2 1 与双曲线 2 2 1有共同渐近线的双曲线方程可设 a b x2 y2 为 2 2 t (t 0); a b b 2 若双曲线的渐近线方程为y x, 则双曲线方程可设 a x2 y2 为 2 2 t (t 0); a b x2 y 2 3 过两个已知点的双曲线方程可设为 1(mn 0); m n
线的双曲线方程求其标准方程,往往可以简化运算,但也应