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高三数学第一轮复习：双曲线的定义、性质及标准方程【本讲主要内容】双曲线的定义、性质及标准方程双曲线的定义及相关概念、双曲线的标准方程、双曲线的几何性质【知识掌握】【知识点精析】1. 双曲线的定义：（1）第一定义：平面内与两定点F1、F2的距离之差的绝对值是常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距。
（2）第二定义：平面内到一个定点F的距离与到一条定直线l的距离的比等于常数（e>1）的点的轨迹叫做双曲线，定点F为焦点，定直线l称为准线，常数e称为离心率。
说明：（1）若2a等于2c，则动点的轨迹是射线（即F1F2、F2F1的延长线）；（2）若2a大于2c，则动点轨迹不存在。
2. 双曲线的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0b,0a(1byax2222>>=-中心在原点，焦点在x轴上yaxba b2222100-=>>(,)中心在原点，焦点在y轴上图形几何性质X围x a≤-或x a≥y a≤-或y a≥对称性关于x轴、y轴、原点对称（原点为中心）顶点()()1200A a A a-，、，()()1200A a A a-，、，轴实轴长122A A a=，虚轴长122B B b=离心率ecae=>()1准线2212:,:a al x l xc c=-=2212:,:a al y l yc c=-=实轴、虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线，焦点在x 轴上，标准方程为()2220x y a a -=≠；焦点在y 轴上，标准方程为()2220y x a a -=≠。
其渐近线方程为y＝±x 。
等轴双曲线的离心率为e =4. 基础三角形：如图所示，△AOB 中，,,,tan b OA a AB b OB c AOB a===∠=。
5. 共渐近线的双曲线系方程：与双曲线x a y b22221-=（a>0，b>0）有相同渐近线的双曲线系可设为()22220x y a b λλ-=≠，若λ>0，则双曲线的焦点在x 轴上；若λ<0，则双曲线的焦点在y 轴上。
专题9.4 双曲线（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.考查双曲线的定义，求轨迹方程及焦点三角形，凸显数学运算、直观想象的核心素养．2.考查双曲线几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)，结合几何量的计算，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．3.考查直线与双曲线的位置关系，凸显逻辑推理、数学运算、数学应用的核心素养．【知识点展示】（一）双曲线的定义及标准方程1．双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线(1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；(3)这一定值一定要小于两定点的距离．2．双曲线的标准方程标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 图形（二）双曲线的几何性质 双曲线的几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 图形性质范围 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈Rx ∈R ，y ≤－a 或y ≥a对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0) A 1(0，－a )，A 2(0，a ) 渐近线y ＝±b axy ＝±a bx离心率 e ＝ca，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2 实虚轴线段A 1A 2叫作双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫作双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫作双曲线的实半轴长，b 叫作双曲线的虚半轴长．a 、b 、c 的关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)（三）常用结论 1.等轴双曲线及性质(1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程可写作：x 2－y 2＝λ(λ≠0)． (2)等轴双曲线⇔离心率e ＝2⇔两条渐近线y ＝±x 相互垂直． 2．双曲线中的几个常用结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .(2)若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a . (3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2a，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .(4)设P ，A ，B 是双曲线上的三个不同的点，其中A ，B 关于原点对称，直线P A ，PB 斜率存在且不为0，则直线P A 与PB 的斜率之积为b 2a2.(5)P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则S △PF 1F 2＝b 2·1tan θ2，其中θ为∠F 1PF 2.【常考题型剖析】题型一：双曲线的定义及其应用例1.（2020·浙江省高考真题）已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y =234x -|OP |=（ ）A ．222B 410C 7D 10【答案】D 【解析】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413bc a=-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P 还在函数234y x =-由()22210334y x x y x ⎧⎪⎨->-==⎪⎩，解得1333x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即13271044OP =+= 故选：D.例2.（2017·上海·高考真题）设双曲线22219x y b -=(0)b >的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若1||5PF =，则2||PF =________ 【答案】11【详解】由双曲线的方程2221(0)9x y b b -=>，可得3a =，根据双曲线的定义可知1226PF PF a -=±=±，又因为15PF =，所以2||11PF =. 【总结提升】1.双曲线定义的主要应用(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．2.用定义法求双曲线方程，应依据条件辨清是哪一支，还是全部曲线． 3．与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解．4．如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解． 题型二：双曲线的标准方程例3.（2021·北京高考真题）双曲线2222:1x y C a b -=过点2,3，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（ ） A ．2221x y -= B ．2213y x -=C ．22531x y -=D ．22126x y -=【答案】B 【分析】分析可得3b a =，再将点2,3代入双曲线的方程，求出a 的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c e a ==，则2c a =，223b c a a -=，则双曲线的方程为222213x y a a-=，将点2,3的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a =，故3b =因此，双曲线的方程为2213y x -=.故选：B例4. （2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的上、下焦点分别为()10,3F ，()20,3F -，P 是双曲线上一点且124PF PF -=，则双曲线的标准方程为（ ） A ．22145x y -=B ．22154x y -=C ．22145y x -=D ．22154y x -=【答案】C【分析】设双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b -=>>，由双曲线的定义知3c =，2a =，即可求出双曲线的标准方程.【详解】设双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b -=>>，半焦距为c ，则由题意可知3c =，24a =，即2a =，故222945b c a =-=-=，所以双曲线的标准方程为22145y x -=.故选：C ．例5.【多选题】（2020·海南·高考真题）已知曲线22:1C mx ny +=.（ ） A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m =n >0，则C n C ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为my x n=±- D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线 【答案】ACD【分析】结合选项进行逐项分析求解，0m n >>时表示椭圆，0m n =>时表示圆，0mn <时表示双曲线，0,0m n =>时表示两条直线.【详解】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n +=， 因为0m n >>，所以11m n<， 即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n+=， 此时曲线C 表示圆心在原点，半径为nn的圆，故B 不正确； 对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n +=， 此时曲线C 表示双曲线， 由220mx ny +=可得my x n=±-，故C 正确； 对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n=， ny n=±，此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确；故选：ACD. 【规律方法】1．求双曲线方程的思路(1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x 轴上或y 轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a ，b ，c 的方程组，解出a 2，b 2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)． (2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一是分类讨论，注意考虑要全面；二是注意巧设双曲线：①双曲线过两点可设为221(0)mx ny mn -=>，②与22221x y a b -=共渐近线的双曲线可设为2222(0)x y a bλλ-=≠，（3）等轴双曲线可设为22(0)x y λλ-=≠等，均为待定系数法求标准方程.2．利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤如下：(1)定位置：根据条件判定双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，不能确定时应分类讨论．(2)设方程：根据焦点位置，设方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，焦点不定时，亦可设为mx 2＋ny 2＝1(m ·n <0)；(3)寻关系：根据已知条件列出关于a 、b (或m 、n )的方程组；(4)得方程：解方程组，将a 、b 、c (或m 、n )的值代入所设方程即为所求． 3．双曲线方程的几种形式：(1)双曲线的一般方程：当ABC ≠0时，方程Ax 2＋By 2＝C可以变形为x 2C A ＋y 2C B＝1，由此可以看出方程Ax 2＋By 2＝C 表示双曲线的充要条件是ABC ≠0，且A ，B 异号．此时称方程Ax 2＋By 2＝C 为双曲线的一般方程．利用一般方程求双曲线的标准方程时，可以将其设为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，将其化为标准方程，即x 21A ＋y 21B＝1.因此，当A >0时，表示焦点在x 轴上的双曲线；当B >0时，表示焦点在y 轴上的双曲线．(2)共焦点的双曲线系方程：与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共焦点的双曲线的方程为x 2a 2＋λ－y 2b 2－λ＝1(a >0，b >0)；与双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共焦点的双曲线的方程为y 2a 2＋λ－x 2b 2－λ＝1(a >0，b >0)．题型三：双曲线的实际应用例6.（2023·全国·高三专题练习）江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在x 轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是（ ）A ．221169x y -=B ．2214x y -=C ．22189x y -=D ．22143x y -=【答案】D【分析】由已知得双曲线的焦点在x 轴上，设该双曲线的方程为()222210,0x y a b a b -=>>，代入建立方程组，求解即可得双曲线的标准方程．【详解】由题意可知该双曲线的焦点在x 轴上，实轴长为4，点()4,3在该双曲线上．设该双曲线的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则222224,431,a a b =⎧⎪⎨-=⎪⎩解得2a =，3b =，故该双曲线的标准方程是22143x y -=．故选：D.例7.（2021·长丰北城衡安学校高二月考（理））如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐⋅金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线2222:x y C a b-=1(a >0，b >0)的右支与y 轴及平行于x 轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN 绕y 轴旋转一周103239，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为（ ）A ．2B ．3πC ．3D ．4π【分析】103239，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍， 可设5339(2),()M m N m ， 代入方程，即可解得23,3a a == 3，从而得解. 【详解】103239，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍， 可设5339(2),()M m N m 代入双曲线方程可得 22222225134331,1m m a b a b -=-= ， 即22222213251312,14m m a b a b-=-=，作差可得2273124a =，解得23,3a a ==，所以杯身最细处的周长为23π . 故选：C 【总结提升】解答实际应用问题时，要注意先将实际问题数学化，条件中有两定点，某点与这两定点的距离存在某种联系，解题时先画出图形，分析其关系，看是否与椭圆、双曲线的定义有关，再确定解题思路、步骤． 题型四 已知双曲线的方程，研究其几何性质例8.（2018·浙江·高考真题）双曲线221 3x y -=的焦点坐标是（ ）A ．()2,0-，)2,0B ．()2,0-，()2,0C ．(0,2-，(2D ．()0,2-，()0,2【分析】根据双曲线方程确定焦点位置，再根据222c a b =+求焦点坐标.【详解】因为双曲线方程为2213x y -=，所以焦点坐标可设为(,0)c ±，因为222314,2c a b c =+=+==，所以焦点坐标为(20)，选B.例9.（2021·全国高考真题（文））双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________． 5【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解. 【详解】由已知，22543c a b ++，所以双曲线的右焦点为(3,0)， 所以右焦点(3,0)到直线280x y +-=225512==+ 5例10.（2020·北京·高考真题）已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________． 【答案】 ()3,0 3【分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线C 的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.【详解】在双曲线C 中，6a =，3b =，则223c a b =+=，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0， 双曲线C 的渐近线方程为22y x =±，即20x y ±=， 所以，双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为23312=+. 故答案为：()3,0；3.例11.（2021·全国·高考真题（理））已知双曲线22:1(0)x C y m m -=>30x my +=，则C 的焦距为_________． 【答案】4【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出,a b 的关系，再结合双曲线中22,a b 对应关系，联立求解m ，再由关系式求得c ，即可求解.【详解】由渐近线方程30x my +=化简得3y x m=-，即3b a m =，同时平方得2223b a m =，又双曲线中22,1a m b ==，故231m m=，解得3,0m m ==（舍去），2223142c a b c =+=+=⇒=，故焦距24c =. 故答案为：4.例12.（2021·全国·高考真题）若双曲线22221x y a b -=的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________.【答案】3y x =±【分析】根据离心率得出2c a =，结合222+=a b c 得出,a b 关系，即可求出双曲线的渐近线方程. 【详解】解：由题可知，离心率2ce a ==，即2c a =， 又22224a b c a +==，即223b a =，则3ba=， 故此双曲线的渐近线方程为3y x =±. 故答案为：3y x =±. 【总结提升】1.已知双曲线方程讨论其几何性质，应先将方程化为标准形式，找出对应的a 、b ，利用c 2＝a 2＋b 2求出c ，再按定义找出其焦点、焦距、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．2．画双曲线图形，要先画双曲线的两条渐近线(即以2a 、2b 为两邻边的矩形对角线)和两个顶点，然后根据双曲线的变化趋势，就可画出双曲线的草图．3．双曲线的标准方程中对a 、b 的要求只是a ＞0，b ＞0易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同． 若a ＞b ＞0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)； 若a ＝b ＞0，则双曲线的离心率e ＝2； 若0＜a ＜b ，则双曲线的离心率e ＞ 2.4．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a 、b 、c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.5．等轴双曲线的离心率与渐近线关系双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)． 6．双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b 7．渐近线与离心率()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线的斜率为2222221b b c a e a a a-===-可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．8.与双曲线有关的范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接转化求解．(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系，如借助双曲线上点的坐标范围，方程中Δ≥0等来解决．题型五 由双曲线的性质求双曲线的方程例11. （2022·天津·高考真题）已知抛物线21245,,y x F F =分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点1F ，与双曲线的渐近线交于点A ，若124F F A π∠=，则双曲线的标准方程为（ ）A ．22110x y -=B ．22116y x -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=【答案】C【分析】由已知可得出c 的值，求出点A 的坐标，分析可得112AF F F =，由此可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】抛物线245y x =的准线方程为5x =-，则5c =，则()15,0F -、()25,0F ，不妨设点A 为第二象限内的点，联立b y x a x c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，可得x c bc y a =-⎧⎪⎨=⎪⎩，即点,bc A c a ⎫⎛- ⎪⎝⎭，因为112AF F F ⊥且124F F A π∠=，则12F F A △为等腰直角三角形，且112AF F F =，即2=bc c a ，可得2ba=， 所以，22225ba c c ab ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得125a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，因此，双曲线的标准方程为2214y x -=.故选：C.例12.（2021·北京·高考真题）若双曲线2222:1x y C a b -=离心率为2，过点2,3，则该双曲线的方程为（ ）A ．2221x y -= B ．2213y x -=C ．22531x y -=D ．22126x y -=【答案】B【分析】分析可得3b a =，再将点()2,3代入双曲线的方程，求出a 的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c e a ==，则2c a =，223b c a a =-=，则双曲线的方程为222213x y a a-=，将点()2,3的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a =，故3b =，因此，双曲线的方程为2213y x -=.故选：B例13.（2018·天津高考真题（文））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d +=则双曲线的方程为( )A ．22139x y -=B ．22193x y -=C ．221412x y -=D ．221124x y -=【答案】A 【解析】设双曲线的右焦点坐标为(),0F c （c >0），则A B x x c ==，由22221c y a b-=可得：2b y a =±，不妨设：22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，据此可得：22122bc b bc b d c a b --==+，22222bc b bc b d c a b++==+， 则12226bcd d b c+===，则23,9b b ==， 双曲线的离心率：2229112c b e a a a ==+=+=， 据此可得：23a =，则双曲线的方程为22139x y -=.本题选择A 选项. 【规律总结】1.由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法，同样需要经历“定位→定式→定量”三个步骤．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)，从而直接求得．2．根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程．渐近线为y ＝n m x 的双曲线方程可设为：x 2m 2－y 2n 2＝λ(λ≠0)；如果两条渐近线的方程为Ax ±By ＝0，那么双曲线的方程可设为A 2x 2－B 2y 2＝m (m ≠0)；与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．题型六 求双曲线的离心率(或范围)例13.（2019·全国·高考真题（文））设F 为双曲线C ：22221x y a b -=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为（ ） A 2B 3C ．2 D 5【答案】A【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率． 【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==，||,2c PA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心||2cOA =．,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．2e ∴=，故选A ．例14.（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·高三开学考试）双曲线2222:1x y C a b -=（0a >，0b >）的左顶点为A ，右焦点为F ，过点A 的直线交双曲线C 于另一点B ，当BF AF ⊥时满足2AF BF >，则双曲线离心率e 的取值范围是（ ） A ．12e << B ．312e <<C ．322e << D ．331e +<<【答案】B 【分析】设双曲线半焦距c ，再根据给定条件求出|BF |长，列出不等式即可得解. 【详解】设双曲线半焦距为c ，因BF AF ⊥，则由22221x c x ya b =⎧⎪⎨-=⎪⎩得2||||b y B a F ==，而AF a c =+， 于是得22b a c a +>⋅，即222c a a c a-+>⋅，整理得23a c >，从而有32c e a =<，又1e >，所以双曲线离心率e 的取值范围是312e <<. 故选：B例15.（2022·浙江·高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F ，过F 且斜率为4b a的直线交双曲线于点()11,A x y ，交双曲线的渐近线于点()22,B x y 且120x x <<．若||3||FB FA =，则双曲线的离心率是_________． 【答案】364【分析】联立直线AB 和渐近线2:bl y x a=方程，可求出点B ，再根据||3||FB FA =可求得点A ，最后根据点A 在双曲线上，即可解出离心率．【详解】过F 且斜率为4ba 的直线:()4b AB y xc a =+，渐近线2:b l y x a=，联立()4b y x c a b y xa ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得,33c bc B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由||3||FB FA =，得5,,99c bc A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭而点A 在双曲线上，于是2222222518181c b c a a b -=，解得：228124c a =，所以离心率36e 4=. 故答案为：364．例16.（2020·全国·高考真题（文））设双曲线C ：22221x y a b -= (a >0，b >0)的一条渐近线为y 2，则C 的离心率为_________． 【答案】3【分析】根据已知可得2ba=，结合双曲线中,,a b c 的关系，即可求解. 【详解】由双曲线方程22221x y a b -=可得其焦点在x 轴上，因为其一条渐近线为2y x =，所以2b a =，2213c be a a==+=.故答案为：3 1.在解析几何中，求“范围”问题，一般可从以下几个方面考虑：①与已知范围联系，通过求值域或解不等式来完成；②通过判别式Δ求解；③利用点在双曲线内部形成的不等关系求解；④利用解析式的结构特点，如a ，a ，|a |等非负性求解．2.求双曲线离心率的取值范围，关键是根据题目条件得到不等关系，并想办法转化为关于a ，b ，c 的不等关 系，结合c 2＝a 2＋b 2和ca ＝e 得到关于e 的不等式，然后求解．在建立不等式求e 时，经常用到的结论：双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为c －a .双曲线的离心率常以双曲线的渐近线为载体进行命题，注意二者参数之间的转化．3.与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略(1)双曲线的离心率e ＝c a是一个比值，故只需根据条件得到关于a ，b ，c 的一个关系式，利用b 2＝c 2－a 2消去b ，然后变形成关于e 的关系式，并且需注意e ＞1.(2)双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的渐近线是令22220x y a b-=，即得两渐近线方程x a ±y b ＝0.(3)渐近线的斜率也是一个比值，可类比离心率的求法解答．注意应用21c b e a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭题型七：与双曲线有关的综合问题例17.（2022·江西·丰城九中高三开学考试（文））已知12,F F 分别为双曲线22:1412x y C -=的左､右焦点，E 为双曲线C 的右顶点.过2F 的直线与双曲线C 的右支交于,A B 两点（其中点A 在第一象限），设,M N 分别为1212,AF F BF F 的内心，则ME NE -的取值范围是（ ）A ．4343,∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．4343⎛ ⎝⎭C ．3333⎛ ⎝⎭D ．55⎛ ⎝⎭【答案】B【分析】由内心的性质，可知M ，N 的横坐标都是a ，得到MN ⊥x 轴，设直线AB 的倾斜角为θ，有22,22-∠=∠=EF M EF N πθθ，将ME NE -表示为θ的三角函数，结合正切函数的性质可求得范围.【详解】设1212,,AF AF F F 上的切点分别为H ､I ､J ， 则1122||||,,===AH AI F H F J F J F I .由122AF AF a -=，得()()12||||2+-+=AH HF AI IF a ， ∴122-=HF IF a ，即122-=JF JF a .设内心M 的横坐标为0x ，由JM x ⊥轴得点J 的横坐标也为0x ，则()()002c x c x a +--=， 得0x a =，则E 为直线JM 与x 轴的交点，即J 与E 重合. 同理可得12BF F △的内心在直线JM 上， 设直线AB 的领斜角为θ，则22,22-∠=∠=EF M EF N πθθ，||||()tan()tan22--=---ME NE c a c a πθθcos sin 2cos 222()()()sin tan sin cos 22⎛⎫ ⎪=-⋅-=-=-⎪ ⎪⎝⎭c a c a c a θθθθθθθ， 当2πθ=时，||||0ME NE -=； 当2πθ≠时，由题知，2,4,3===ba c a， 因为A ，B 两点在双曲线的右支上， ∴233ππθ<<，且2πθ≠，所以tan 3θ<-或tan 3θ>， ∴3133tan 3θ-<<且10tan θ≠， ∴44343||||,00,tan 33⎛⎫⎛⎫-=∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ME NE θ，综上所述，44343||||,tan 33⎛⎫-=∈- ⎪⎝⎭ME NE θ. 故选：B.例18.（2018·全国·高考真题（理））已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M、N .若OMN 为直角三角形，则|MN |=（ ） A ．32B ．3C ．3D ．4【答案】B【详解】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到30FON ︒∠=，根据直角三角形的条件，可以确定直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为60︒，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得33(3,3),(,)22M N -，利用两点间距离公式求得MN 的值.详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为33±，且右焦点为(2,0)F ， 从而得到30FON ︒∠=，所以直线MN 的倾斜角为60︒或120︒， 根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒， 可以得出直线MN 的方程为3(2)y x =-， 分别与两条渐近线33y x =和33y x =-联立， 求得33(3,3),(,)22M N -，所以2233(3)(3)322MN =-++=，故选B.例19.（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点F 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点重合，若两曲线相交于M ，N 两点，且线段MN 的中点是点F ，则该双曲线的离心率等于______. 【答案】21+【分析】利用抛物线的性质，得到M 的坐标，再带入到双曲线方程中，即可求解. 【详解】由题意知： ,2,2pc p c -=-∴= ∴抛物线方程为：224,y px cx =-=-M 在抛物线上，所以(,2),M c c -M 在双曲线上，222241,c c a b ∴-=2224224,60c a c a c a b =-∴-+=2322e ∴=±，又()1,e ∈+∞，2 1.e ∴=+故答案为：21+例20.（2020·全国·高考真题（理））已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________. 【答案】2【分析】根据双曲线的几何性质可知，2b BF a=，AF c a =-，即可根据斜率列出等式求解即可．【详解】联立2222222{1x cx y a b c b a =-==+，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，所以2b BF a =.依题可得，3BF AF =，AF c a =-，即()2223bc a a c a a c a -==--，变形得3c a a +=，2c a =, 因此，双曲线C 的离心率为2. 故答案为：2．例21. （2022·全国·高考真题（理））若双曲线2221(0)x y m m-=>的渐近线与圆22430x y y +-+=相切，则m =_________． 【答案】33【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．【详解】解：双曲线()22210x y m m-=>的渐近线为y x m =±，即0x my ±=，不妨取0x my +=，圆22430x y y +-+=，即()2221x y +-=，所以圆心为()0,2，半径1r =，依题意圆心()0,2到渐近线0x my +=的距离2211m d m==+，解得33m =或33m =-（舍去）． 故答案为：33．例22. （2022·全国·高三专题练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>43F 且斜率为0k >的直线交C 的两支于,A B 两点．若||3||FA FB =，则k =________________． 【答案】33【分析】由题意设双曲线的方程为22223113x y a a -=，直线为1x y c k =-，即1433x y a k =-，联立方程，设()()1122,,,A x y B x y ，由||3||FA FB =，得123y y =，由根与系数的关系求解即可 【详解】因为22224316,33c a c a b a ==+=， 所以22313b a =，双曲线的方程为22223113x y a a -=，设过左焦点F 且斜率为0k >的直线为1x y c k =-，即1433x y a k =-， 与双曲线222231131433x y a a x y ak ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩联立得2221310431693033y ay a k k ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭， 设()()1122,,,A x y B x y ，则()()221212221043169,31333133ak a k y y y y k k +=⋅=--，因为||3||FA FB =， 所以123y y =，所以()()222222210431694,331333133ak a k y y k k ==--，消去2y 得()222221696433169163133a k a k k ⨯⨯⨯=-， 化简得2121133k =-，即213k =， 因为0k >， 所以33k =， 故答案为：33例23．（2022·广东·广州市真光中学高三开学考试）设1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x ya b a bΓ-=>>的左、右两焦点，过点2F 的直线:0l x my t --=（,R m t ∈）与Γ的右支交于M ，N 两点，Γ过点(2,3)-，且它的7(1)求双曲线Γ的方程；(2)当121MF F F =时，求实数m 的值；(3)设点M 关于坐标原点O 的对称点为P ，当2212MF F N =时，求PMN 面积S 的值. 【答案】(1)2213y x -=； (2)1515m =±； (3)9354. 【分析】（1）根据点在双曲线上及两点距离列方程组求双曲线参数，即可得方程；（2）由点在直线上求得2t =，根据1F 到直线:20l x my --=与等腰三角形12F MF 底边2MF 上的高相等，列方程求参数m ；（3）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，联立双曲线与直线方程，应用韦达定理得1221213m y y m +=-，122913y y m =--，由向量的数量关系可得2135m =，根据对称点、三角形面积公式1222OMN S S y y ==-求PMN 面积. （1）由Γ过点(2,3)-，且它的虚轴的端点与焦点的距离为7，所以()222224917a b b a b ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩，即2213a b ⎧=⎨=⎩， 则所求的双曲线Γ的方程为2213y x -=. （2）因为直线:0l x my t --=过点2(2,0)F ，所以2t =，由121MF F F =得：等腰三角形12F MF 底边2MF 上的高的大小为22112()152MF MF --=， 又1F 到直线:20l x my --=的距离等于等腰三角形12F MF 底边上的高，则2202151m ---=+， 即2115m =，则1515m =±. （3）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由221320y x x my ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩得：22(31)1290m y my -++=， 则1221213m y y m +=-，122913y y m=--，又2212MF F N =，即212y y =-， 则121213m y m -=-，2129213y m =-，即22122()13m m =-2913m-，则2135m =， 又M 关于坐标原点O 的对称点为P ，则2121212222()4OMN S S y y y y y y ==-=+-222221*********()4()1313134m m m m m +=--==---. 则所求的PMN 面积为9354. 【总结提升】 双曲线的综合问题常常涉及双曲线的离心率、渐近线、范围与性质，与圆、椭圆、抛物线、向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力．(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解．(2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解．。
第6讲双曲线最新考纲考向预测1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质.2.通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想.命题趋势主要侧重双曲线的方程以及以双曲线方程为载体，研究参数a，b，c及与渐近线有关的问题，其中离心率和渐近线是重点．以选择题、填空题为主，难度为中低档.核心素养数学运算、直观想象1．双曲线的定义条件结论1 结论2平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2M点的轨迹为双曲线F1，F2为双曲线的焦点|F1F2|为双曲线的焦距||MF1|－|MF2||＝2a2a<|F1F2|2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点 A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)A 1(0，－a )，A 2(0，a )渐近线 y ＝±b a xy ＝±a b x离心率e ＝ca ，e ∈(1，＋∞)实、虚轴 线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a ，b ，c 的关系 c 2＝a 2＋b 2(c ＞a ＞0，c ＞b ＞0)3.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y ＝±x ，离心率为e ＝2.常用结论1．双曲线中的几个常用结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .(2)若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b2a ，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .(4)设P ，A ，B 是双曲线上的三个不同的点，其中A ，B 关于原点对称，直线P A ，PB 斜率存在且不为0，则直线P A 与PB 的斜率之积为b2a2.2．巧设双曲线方程(1)与双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为x2a2－y2b2＝t (t ≠0)． (2)过已知两个点的双曲线方程可设为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)． 常见误区1．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0. (1)当2a <|F 1F 2|时，P 点的轨迹是双曲线． (2)当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是两条射线．(3)当2a >|F 1F 2|时，P 点不存在．2．双曲线的标准方程的两种形式的区分要结合x 2，y 2前的系数的正负． 3．关于双曲线离心率的取值范围问题，不要忘记双曲线离心率的取值范围是(1，＋∞)．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F 1(0，4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线．( )(2)椭圆的离心率e ∈(0，1)，双曲线的离心率e ∈(1，＋∞)．( ) (3)方程x2m －y2n ＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( ) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√2．已知双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，其右焦点为F 2(23，0)，则双曲线C 的方程为( )A.x23－y29＝1 B.x29－y23＝1 C.x24－y212＝1D.x212－y24＝1解析：选 A.因为双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，其右焦点为F 2(23，0)，所以⎩⎨⎧c a ＝2，c ＝23，解得a ＝3.又c 2＝a 2＋b 2，且b >0，所以b ＝c2－a2＝12－3＝3.所以双曲线C 的方程为x23－y29＝1.故选A.3．(多选)已知F 1，F 2分别是双曲线C ：y 2－x 2＝1的上、下焦点，点P 是其中一条渐近线上的一点，且以线段F 1F 2为直径的圆经过点P ，则( )A ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±xB ．以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1C ．点P 的横坐标为±1D ．△PF 1F 2的面积为2解析：选ACD.等轴双曲线C ：y 2－x 2＝1的渐近线方程为y ＝±x ，故A 正确；由双曲线的方程可知|F 1F 2|＝22，所以以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝2，故B 错误；点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝2上，不妨设点P (x 0，y 0)在直线y ＝x 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x20＋y 20＝2，y 0＝x 0，解得|x 0|＝1，则点P 的横坐标为±1，故C 正确；由上述分析可得△PF 1F 2的面积为12×22×1＝2，故D 正确．故选ACD.4．已知方程x2m ＋2－y2m ＋5＝1表示双曲线，则m 的取值范围是________． 解析：因为该方程表示双曲线，所以(m ＋2)(m ＋5)>0，即m >－2或m <－5，即m 的取值范围为(－∞，－5)∪(－2，＋∞)．答案：(－∞，－5)∪(－2，＋∞)5．(易错题)P 是双曲线x216－y281＝1上任意一点，F 1，F 2分别是它的左、右焦点，且|PF 1|＝9，则|PF 2|＝________．解析：由题意知a ＝4，b ＝9，c ＝a2＋b2＝97，由于|PF 1|＝9<a ＋c ＝4＋97，故点P 只能在左支上，所以|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝8， 所以|PF 2|＝|PF 1|＋8＝17. 答案：17双曲线的定义(1)(2020·河南非凡联盟4月联考)已知双曲线C ：x2a2－y29＝1(a ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，一条渐近线与直线4x ＋3y ＝0垂直，点M 在C 上，且|MF 2|＝6，则|MF 1|＝( )A ．2或14B ．2C ．14D ．2或10(2)(2020·高考全国卷Ⅰ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2－y23＝1的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且|OP |＝2，则△PF 1F 2的面积为( )A.72 B ．3 C.52D ．2【解析】 (1)由题意知3a ＝34，故a ＝4，则c ＝5.由|MF 2|＝6＜a ＋c ＝9，知点M 在C 的右支上，由双曲线的定义知|MF 1|－|MF 2|＝2a ＝8，所以|MF 1|＝14.(2)设F 1，F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，则由题意可知F 1(－2，0)，F 2(2，0)，又|OP |＝2，所以|OP |＝|OF 1|＝|OF 2|，所以△PF 1F 2是直角三角形，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝16.不妨令点P 在双曲线C 的右支上，则有|PF 1|－|PF 2|＝2，两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝4，又|PF 1|2＋|PF 2|2＝16，所以|PF 1|·|PF 2|＝6，则S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×6＝3，故选B.【答案】 (1)C (2)B双曲线定义的应用(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立|PF 1|与|PF 2|的关系．[提醒] 在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．1．(2020·高考全国卷Ⅲ)设双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为5.P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P .若△PF 1F 2的面积为4，则a ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选A.通解：设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，P 为双曲线右支上一点，则S △PF 1F 2＝12mn ＝4，m －n ＝2a ，m 2＋n 2＝4c 2，又e ＝ca ＝5，所以a ＝1，选A.优解：由题意得，S △PF 1F 2＝b2tan 45°＝4，得b 2＝4，又c2a2＝5，c 2＝b 2＋a 2，所以a ＝1.2．已知双曲线C ：x216－y2b2＝1(b >0)，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，过F 2的直线l 分别交双曲线C 的左、右支于点A ，B ，且|AF 1|＝|BF 1|，则|AB |＝( )A ．4B ．8C ．16D ．32解析：选 C.由双曲线的定义知|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|BF 1|－|BF 2|＝2a ，由于|AF 1|＝|BF 1|，所以两式相加可得|AF 2|－|BF 2|＝4a ，而|AB |＝|AF 2|－|BF 2|，所以|AB |＝4a ，由双曲线方程知a ＝4，所以|AB |＝16，故选C.双曲线的标准方程(1)(2020·合肥调研)已知双曲线的渐近线方程为y ＝±22x ，实轴长为4，则该双曲线的方程为( )A.x24－y22＝1B.x24－y28＝1或y24－x28＝1C.x24－y28＝1D.x24－y22＝1或y24－x28＝1(2)(多选)(2020·新高考卷Ⅰ)已知曲线C：mx2＋ny2＝1.() A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m＝n>0，则C是圆，其半径为nC．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±－m n xD．若m＝0，n>0，则C是两条直线【解析】(1)因为双曲线的渐近线方程为y＝±22x，a＝2，所以当焦点在x轴上时，ba ＝22，所以b＝2，所以双曲线的方程为x24－y22＝1；当焦点在y轴上时，ab＝22，所以b＝22，所以双曲线的方程为y24－x28＝1.综上所述，该双曲线的方程为x24－y2 2＝1或y24－x28＝1，故选D.(2)对于选项A，因为m＞n＞0，所以0＜1m＜1n，方程mx2＋ny2＝1可变形为x21m＋y21n＝1，所以该方程表示焦点在y轴上的椭圆，正确；对于选项B，因为m＝n＞0，所以方程mx2＋ny2＝1可变形为x2＋y2＝1n，该方程表示半径为1n的圆，错误；对于选项C，因为mn＜0，所以该方程表示双曲线，令mx2＋ny2＝0⇒y＝±－mn x，正确；对于选项D，因为m＝0，n＞0，所以方程mx2＋ny2＝1变形为ny2＝1⇒y＝±1n，该方程表示两条直线，正确．综上选ACD.【答案】 (1)D (2)ACD求双曲线标准方程的方法(1)定义法根据双曲线的定义确定a 2，b 2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程，常用的关系有：①c 2＝a 2＋b 2；②双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a . (2)待定系数法 一般步骤1．已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1，C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A ．x 2－y28＝1 B.x28－y 2＝1 C ．x 2－y28＝1(x ≤－1)D ．x 2－y28＝1(x ≥1)解析：选C.设动圆M 的半径为r ，由动圆M 同时与圆C 1和圆C 2相外切，得|MC 1|＝1＋r ，|MC 2|＝3＋r ，|MC 2|－|MC 1|＝2<6，所以点M 的轨迹是以点C 1(－3，0)和C 2(3，0)为焦点的双曲线的左支，且2a ＝2，a ＝1，c ＝3，则b 2＝c 2－a 2＝8，所以点M 的轨迹方程为x 2－y28＝1(x ≤－1)．2．经过点P (3，27)，Q (－62，7)的双曲线的标准方程为( )A.x225－y275＝1 B.y225－x275＝1 C.x22－y27＝1D.y22－x27＝1解析：选B.设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，因为所求双曲线经过点P (3，27)，Q (－62，7)，所以⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－175，n ＝125.故所求双曲线标准方程为y225－x275＝1.故选B 项．3．若双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，且经过点(4，3)，则双曲线的标准方程为________．解析：方法一：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ， 所以可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)． 因为双曲线过点(4，3)，所以λ＝16－4×(3)2＝4， 所以双曲线的标准方程为x24－y 2＝1.方法二：因为渐近线y ＝12x 过点(4，2)，而3<2，所以点(4，3)在渐近线y ＝12x 的下方，在y ＝－12x 的上方(如图)． 所以双曲线的焦点在x 轴上，故可设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)． 由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12，16a2－3b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝4，b2＝1，所以双曲线的标准方程为x24－y 2＝1. 答案：x24－y 2＝1双曲线的几何性质角度一 双曲线的渐近线问题(2020·湖南长沙明德中学月考)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 为双曲线上一点，若cos ∠F 1MF 2＝14，|MF 1|＝2|MF 2|，则此双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±33x C ．y ＝±xD ．y ＝±2x【解析】 由题意，得|MF 1|－|MF 2|＝2a ， 又|MF 1|＝2|MF 2|，所以|MF 1|＝4a ，|MF 2|＝2a ，所以cos ∠F 1MF 2＝16a2＋4a2－4c22×4a×2a ＝14，化简得c 2＝4a 2，即a 2＋b 2＝4a 2，所以b 2＝3a 2，又a >0，b >0，所以ba ＝3，所以此双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，故选A. 【答案】 A求双曲线渐近线的方法求双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)或y2a2－x2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令x2a2－y2b2＝0，得y ＝±b a x 或令y2a2－x2b2＝0，得y ＝±ab x .反之，已知渐近线方程为y ＝±b a x ，可设双曲线方程为x2a2－y2b2＝λ(a >0，b >0，λ≠0)．[说明] 两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于x 轴，y 轴对称．角度二 双曲线的离心率问题(1)(多选)已知双曲线M ：x2a2－y2b2＝1(a >b >0)的焦距为4，两条渐近线的夹角为60°，则下列说法正确的是( )A ．M 的离心率为233 B ．M 的标准方程为x 2－y23＝1 C ．M 的渐近线方程为y ＝±33x D ．直线x ＋y －2＝0经过M 的一个焦点(2)(2020·高考全国卷Ⅰ)已知F 为双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若AB 的斜率为3，则C 的离心率为________．【解析】 (1)依题意，a 2＋b 2＝4，因为两条渐近线的夹角为60°，a >b >0，所以渐近线的倾斜角为30°与150°，所以b a ＝33，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，所以ACD 正确，B 错误．故选ACD.(2)设B (c ，y B )，因为B 为双曲线C ：x2a2－y2b2＝1上的点，所以c2a2－y2B b 2＝1，所以y 2B＝b4a2.因为AB 的斜率为3，所以y B ＝b2a ，b2a c －a＝3，所以b 2＝3ac －3a 2，所以c 2－a 2＝3ac －3a 2，所以c 2－3ac ＋2a 2＝0，解得c ＝a (舍去)或c ＝2a ，所以C 的离心率e ＝ca ＝2.【答案】 (1)ACD (2)2(1)求双曲线的离心率或其取值范围的方法①求a ，b ，c 的值，由c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2直接求e .②列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．(2)双曲线的渐近线的斜率k 与离心率e 的关系：k ＝ba ＝c2－a2a ＝c2a2－1＝e2－1.1．由点(1，2)是双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)上一点，则其离心率的取值范围是( )A ．(1，5) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52 C ．(5，＋∞)D.⎝⎛⎭⎪⎫52，＋∞解析：选C.由点(1，2)是双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)上一点，得1a2－4b2＝1，即b2a2＝b 2＋4，所以e ＝ca ＝1＋b2a2＝b2＋5>5，所以e >5.2．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线x2a2－y2b2＝12(a ＞0，b ＞0)的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±33x B ．y ＝±22x C ．y ＝±xD ．y ＝±23x解析：选 A.依题意椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)与双曲线x2a2－y2b2＝12(a >0，b >0)即x2a22－y2b22＝1(a >0，b >0)的焦点相同，可得a 2－b 2＝12a 2＋12b 2，即a 2＝3b 2，所以b a ＝33，可得b 2a2＝33，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b 2a 2x ＝±33x .3．(多选)(2020·山东滨洲期末)已知双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，则能使双曲线C 的方程为x216－y29＝1的条件是( )A ．双曲线的离心率为54B ．双曲线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫5，94C ．双曲线的渐近线方程为3x ±4y ＝0D ．双曲线的实轴长为4解析：选ABC.由题意可得焦点在x 轴上，且c ＝5，A 选项，若双曲线的离心率为54，则a ＝4，所以b 2＝c 2－a 2＝9，此时双曲线的方程为x216－y29＝1，故A 正确；B 选项，若双曲线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫5，94，则⎩⎪⎨⎪⎧25a2－8116b2＝1，a2＋b2＝25，得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝16，b2＝9，此时双曲线的方程为x216－y29＝1，故B 正确；C 选项，若双曲线的渐近线方程为3x ±4y ＝0，可设双曲线的方程为x216－y29＝m (m >0)，所以c 2＝16m ＋9m ＝25，解得m ＝1，所以此时双曲线的方程为x216－y29＝1，故C 正确；D 选项，若双曲线的实轴长为4，则a ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝21，此时双曲线的方程为x24－y221＝1，故D 错误．故选ABC.高考新声音系列6 高考新成员——多项选择题多项选择题，又称多选题，是一种正确选项数目多于一个的选择题题型．若考生选出了一个或几个正确选项，但没有选出全部的，给3分，选错一个就不得分．在做多选题时，每一个选项都可能是满足题意的，所以需要逐一计算验证，出现拿不准的选项，可以采用保守策略，此项不选，以免造成错选得0分．多项选择题，依据其考查内容有下列几类．类型一 概念辨析型概念辨析型多项选择题就是利用相关概念、定义、性质等逐项进行辨析，解读此类题目的关键如下：(1)明概念，巧借选项所给信息，正确理解概念，明确辨析点；(2)辨问题，结合概念的内含和外延，对题中所述概念再进一步深层次辨析； (3)定选项，利用概念对选项作选择，也可借助反例法、特值法求解．(多选)(2020·新高考卷Ⅰ)已知曲线C ：mx 2＋ny 2＝1.( ) A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m ＝n >0，则C 是圆，其半径为nC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y ＝± －mn xD ．若m ＝0，n >0，则C 是两条直线【解析】 对于选项A ，因为m ＞n ＞0，所以0＜1m ＜1n ，方程mx 2＋ny 2＝1可变形为x21m＋y21n＝1，所以该方程表示焦点在y 轴上的椭圆，正确；对于选项B ，因为m ＝n ＞0，所以方程mx 2＋ny 2＝1可变形为x 2＋y 2＝1n ，该方程表示半径为1n 的圆，错误；对于选项C ，因为mn ＜0，所以该方程表示双曲线，令mx 2＋ny 2＝0⇒y ＝±－mn x ，正确；对于选项D ，因为m ＝0，n ＞0，所以方程mx 2＋ny 2＝1变形为ny 2＝1⇒y ＝±1n ，该方程表示两条直线，正确．综上选ACD.【答案】ACD类型二运算求解型运算求解型问题就是根据题中已知条件，通过运算求得结果，然后进行判断的问题，此类问题实质就是一个定量的分析问题．其解题关键如下：(1)定问题，即根据选项明确所求解的问题，建立相应的求解目标；(2)析条件，即分析题中与所求目标相关的条件，确定计算所需的基本量，如圆锥曲线方程中的参数、数列中的通项公式和项数、三角函数中的角等；(3)求数值，即通过目标建立相关问题的模型，然后利用相应的数学知识求解相关数值；(4)定选项，根据所求解的结果判断选项的正误，从而得到正确的结果．(多选)设椭圆C：x22＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是() A．|PF1|＋|PF2|＝22B．离心率e＝6 2C．△PF1F2面积的最大值为2D．以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－2＝0相切【解析】对于A选项，由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a＝22，所以A选项正确．对于B选项，由椭圆C可知a＝2，b＝1，c＝1，所以e＝ca ＝12＝22，所以B选项不正确．对于C选项，|F1F2|＝2c＝2，当P为椭圆短轴端点时，△PF1F2的面积取得最大值为12·2c·b＝c·b＝1，所以C选项错误．对于D选项，线段F1F2为直径的圆的圆心为(0，0)，半径为c＝1，圆心到直线x＋y－2＝0的距离为2＝1，也即圆心到直线的距离等于半径，所以以线段F1F2为直2径的圆与直线x＋y－2＝0相切，所以D选项正确．综上所述，结论正确的为AD.【答案】AD类型三逻辑推理型逻辑推理型多项选择题就是根据已知条件，利用相关的定理、性质等逐项进行推理论证的多项选择．解决此类问题的关键如下：(1)判断类型，即判断选项涉及的数学问题类型，确定数学模块归属；(2)确定依据，即根据选项确定解决此类问题的模块理论依据，如不等式的性质、空间线面关系的判定定理、函数的性质等；(3)逻辑推理，即利用相关的定理、推理、性质等对选项进行逐项判断，然后选出正确选项．(多选)已知m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列说法正确的是()A．若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥nB．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥βC．若m∥n，n⊂α，α∥β，m⊄β，则m∥βD．若m∥n，n⊥α，α⊥β，则m∥β【解析】对于A，若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n或m，n异面或m，n相交，所以A错误．对于B，若m∥n，m⊥α，则n⊥α.又n⊥β，所以α∥β，所以B正确．对于C，若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α.又α∥β，m⊄β，所以m∥β，所以C 正确．对于D，若m∥n，n⊥α，则m⊥α.又α⊥β，所以m∥β或m⊂β，所以D错误．故选BC.【答案】BC类型四数据分析型数据分析就是根据统计图表，提取相关数据，并根据数据的特征以及变化进行分析判断，从而得到相关结论．解题关键如下：(1)提取数据，即根据选项研究的问题，从统计图表中读取相应的数据；(2)分析数据，即分析提取数据的特征，如变化率、变化趋势、最值等，根据选项研究的问题进行简单分析；(3)确定选项，即根据数据分析的结果逐项判断选项的正误，从而得到正确结果．(多选)(2021·武汉部分学校高三起点质检)2020年7月，有关部门发布在疫情防控常态化条件下推进电影院恢复开放的通知，规定低风险地区电影院在各项防控措施有效落实到位的前提下，可有序恢复开放营业．一批影院恢复开放后，统计其连续14天的相关数据得到如图所示的统计图．其中，日期编号为1的那天是周一，票房指电影院门票销售金额，观影人次相当于门票销售数量．由统计图可以看出，这连续14天内()A．周末日均票房和观影人次高于非周末B．电影院票房，第二周相对于第一周同期呈上升趋势C．观影人次在第一周的统计中逐日增长量大致相同D．每天的平均单场门票价格都高于20元【解析】由题意，根据统计图可得当编号为6，7，13，14时，电影院门票销售金额分别为3 022万元，3 238万元，3 736万元，4 842万元，观影人次分别为121.5万人次，132万人次，140.2万人次，177.8万人次，票房和观影人次高于非周末，所以A是正确的；根据统计图可得电影院票房第二周相对于第一周同期呈上升趋势，所以B是正确的；根据统计图可得第一周的观影人次逐日增长量(单位：万人次)分别为5.1，5.8，3.5，45，45.6，10.5，所以观影人次在第一周的统计中逐日增长量有明显差别，所以C不正确；由统计图可得第4天的平均单场门票价格为56930.9≈18.414(元)＜20元，所以D不正确．故选AB.【答案】AB类型五综合型综合型多选题就是同一道选择题中，定量、定性问题都出现，此类问题既需要利用相关理论进行逻辑推理，又必须根据条件进行定量分析，所以思考量比较大．解决此类问题的基本思路是先分类，再逐项进行检验．其解题步骤如下：(1)合理分类：即根据选项研究的问题类型进行合理分类，将其分为定性型问题(如空间中的线面关系、函数的性质的判断等)与定量型问题(如求角、距离、面积、体积等)两大类．(2)逐类判断：即对归类后的问题进行逐类分析，对于定性型问题，可利用相关的定理、性质等进行逻辑推理，进而判断正误；对于定量型问题，如几何体的体积、平面图形的面积、圆锥曲线的离心率等的求解，可根据已知条件代入求值，进而判断正误．(3)确定选项：即根据判断结果得到正确选项．(多选)(2020·山东烟台高二期末)已知F1，F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，A为左顶点，P为双曲线右支上一点．若|PF1|＝2|PF2|，且△PF1F2的最小内角为30°，则()A．双曲线的离心率为3B．双曲线的渐近线方程为y＝±2xC．∠P AF2＝45°D．直线x＋2y－2＝0与双曲线有两个公共点【解析】A．因为|PF1|＝2|PF2|，|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.又因为2c ＞2a ，4a ＞2a ，所以∠PF 1F 2＝30°，所以cos ∠PF 1F 2＝16a2＋4c2－4a22·4a·2c ＝32，所以c ＝3a ，所以e ＝3，故结论正确；B ．e 2＝c2a2＝a2＋b2a2＝3，所以b2a2＝2，所以ba ＝±2，所以渐近线方程为y ＝±2x ，故结论正确；C ．因为2c ＝23a ，所以|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2， 所以∠PF 2F 1＝90°，又因为|AF 2|＝c ＋a ＝(3＋1)a ，|PF 2|＝2a ，所以|AF 2|≠|PF 2|，所以∠P AF 2≠45°，所以结论不成立；D ．因为⎩⎨⎧x ＋2y －2＝0，x2a2－y22a2＝1，所以2(2－2y )2－y 2＝2a 2，所以7y 2－16y ＋8－2a 2＝0，所以Δ＝162－4×7×(8－2a 2)＝32＋56a 2＞0，所以直线x ＋2y －2＝0与双曲线有两个公共点，所以结论正确．故选ABD. 【答案】 ABD[A 级 基础练]1．(2020·武汉部分学校质量检测)已知双曲线E ：x216－y2m2＝1的离心率为54，则双曲线E 的焦距为( )A ．4B ．5C ．8D ．10解析：选D.因为a ＝4，离心率e ＝c a ＝54，所以c ＝5，所以双曲线的焦距2c ＝10，选D.2．(2020·广东广州增城区调研)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线互相垂直，焦距为62，则该双曲线的实轴长为( )A ．3B ．6C ．9D ．12解析：选 B.因为双曲线的两条渐近线互相垂直，所以－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝－1.又因为焦距为62，故2c ＝62，结合a 2＋b 2＝c 2，解得a ＝3，b ＝3，c ＝32，故实轴长2a ＝6.故选B.3．(2020·高考天津卷)设双曲线C 的方程为x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)，过抛物线y 2＝4x 的焦点和点(0，b )的直线为l .若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为( )A.x24－y24＝1 B ．x 2－y24＝1 C.x24－y 2＝1D ．x 2－y 2＝1解析：选 D.由题知y 2＝4x 的焦点坐标为(1，0)，则过焦点和点(0，b )的直线方程为x ＋y b ＝1，而x2a2－y2b2＝1的渐近线方程为x a ＋y b ＝0和x a －yb ＝0，由l 与一条渐近线平行，与一条渐近线垂直，得a ＝1，b ＝1，故选D.4．(多选)已知双曲线C 上的点到点(2，0)和(－2，0)的距离之差的绝对值为2，则下列结论正确的是( )A ．双曲线C 的标准方程为x 2－y23＝1 B ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x C ．双曲线C 的焦点到渐近线的距离为3 D ．圆x 2＋y 2＝4与双曲线C 恰有2个公共点解析：选AC.根据双曲线的定义得c ＝2，2a ＝2，所以a ＝1，b ＝c2－a2＝4－1＝3，所以双曲线C的标准方程为x2－y23＝1，A正确．由双曲线C的方程为x2－y23＝1，得双曲线C的渐近线方程为y＝±3x，B错误．双曲线C的一个焦点坐标为(2，0)，则其到渐近线的距离d＝|±23|1＋3＝3，C正确．圆x2＋y2＝4的圆心为原点，半径为2，而双曲线的实轴端点坐标为(±1，0)，所以圆与双曲线的公共点有4个，D错误．故选AC.5．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作圆x2＋y2＝a2的切线，交双曲线右支于点M.若∠F1MF2＝45°，则双曲线的渐近线方程为()A．y＝±2x B．y＝±3xC．y＝±x D．y＝±2x解析：选A.如图，作OA⊥F1M于点A，F2B⊥F1M于点B.因为F1M与圆x2＋y2＝a2相切，∠F1MF2＝45°，所以|OA|＝a，|F2B|＝|BM|＝2a，|F2M|＝22a，|F1B|＝2b.又点M在双曲线上，所以|F1M|－|F2M|＝2a＋2b－22a＝2a，整理得b＝2a.所以ba＝2.所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x.故选A.6．(2020·高考全国卷Ⅲ)设双曲线C：x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)的一条渐近线为y＝2x，则C的离心率为________．解析：由双曲线的一条渐近线为y＝2x可知，ba＝2，即b＝2a.在双曲线中，c2＝a2＋b2，所以c2＝3a2，所以e＝ca＝3.答案：37．已知点P为双曲线x216－y29＝1右支上一点，点F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，M为△PF1F2的内心，若S△PMF1＝S△PMF2＋8，则△MF1F2的面积为________．解析：由题意知a＝4，b＝3，则c＝5，设△PF1F2内切圆的半径为R，因为S△PMF1＝S△PMF2＋8，所以12(|PF1|－|PF2|)R＝8，即aR＝8，所以R＝2，所以S△MF1F2＝12×2c×R＝10.答案：108．如图，F1和F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为________．解析：设F1F2＝2c，连接AF1，因为△F2AB是等边三角形，且F1F2是⊙O的直径，所以∠AF2F1＝30°，∠F1AF2＝90°，所以|AF1|＝c，|AF2|＝3c，2a＝3c－c，e＝ca＝23－1＝3＋1.答案：3＋19．已知椭圆D：x250＋y225＝1与圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．解：椭圆D的两个焦点坐标为(－5，0)，(5，0)，因而双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.设双曲线G的方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，所以渐近线方程为bx±ay＝0且a2＋b2＝25，又圆心M (0，5)到两条渐近线的距离为3. 所以|5a|b2＋a2＝3，得a ＝3，b ＝4，所以双曲线G 的方程为x29－y216＝1. 10．已知双曲线Γ：x 2－y2b2＝1(b >0)．(1)若Γ的一条渐近线方程为y ＝2x ，求Γ的方程；(2)设F 1，F 2是Γ的两个焦点，P 为Γ上一点，且PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2的面积为9，求b 的值．解：(1)因为双曲线Γ：x 2－y2b2＝1(b >0)的一条渐近线方程为y ＝2x ，所以ba ＝2，所以b ＝2.因此Γ的方程为x 2－y24＝1.(2)由双曲线定义可得||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2. 又PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2的面积为9，所以|PF 1||PF 2|＝18，且|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，所以4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝40，故c 2＝10，所以b 2＝10－1＝9，因此b ＝3.[B 级 综合练]11．(多选)已知抛物线y 2＝4x 的准线过双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F ，且与双曲线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，且△AOB 的面积为32，则( )A ．C 的方程为x214－y234＝1B ．C 的两条渐近线的夹角为60° C ．点F 到C 的渐近线的距离为3D ．C 的离心率为2解析：选ABD.由题意易知，抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，所以双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 的坐标为(－1，0)，c ＝1，从而b 2＝1－a 2.把x ＝－1，b 2＝1－a 2代入x2a2－y2b2＝1，整理得y ＝±1－a2a ，所以|AB |＝2（1－a2）a ，S △AOB ＝12×|AB |×c ＝12×2（1－a2）a ×1＝32，得a ＝12，所以双曲线C 的方程为x214－y234＝1，故A正确；C 的渐近线方程为y ＝±3x ，所以两条渐近线的夹角为60°，故B 正确；F (－1，0)到y ＝±3x 的距离d ＝32，故C 错误；C 的离心率e ＝ca ＝2，故D 正确．12．已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点．若MF1→·MF2→<0，则y 0的取值范围是________．解析：由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3， 设F 1(－3，0)，F 2(3，0)，则MF1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF2→＝(3－x 0，－y 0)．因为MF1→·MF2→<0， 所以(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20<0， 即x 20－3＋y 20<0.因为点M (x 0，y 0)在双曲线C 上， 所以x202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20，所以2＋2y 20－3＋y 20<0，所以－33<y 0<33. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 13．已知双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点．(1)求双曲线的方程；(2)过双曲线右焦点F 2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求|AB |.解：(1)因为双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点，所以⎩⎨⎧c a ＝3，a ＝3，解得c ＝3，b ＝6， 所以双曲线的方程为x23－y26＝1.(2)双曲线x23－y26＝1的右焦点为F 2(3，0)，所以经过双曲线右焦点F 2且倾斜角为30°的直线的方程为y ＝33(x －3)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧x23－y26＝1，y ＝33（x －3），得5x 2＋6x －27＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－65，x 1x 2＝－275. 所以|AB |＝1＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－652－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－275＝1635. 14．设A ，B 分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为3.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM→＋ON →＝tOD →(O 为坐标原点)，求t 的值及点D 的坐标．解：(1)由题意知a ＝23，因为一条渐近线为y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，所以由焦点到渐近线的距离为3，得|bc|b2＋a2＝3.又因为c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝3， 所以双曲线的方程为x212－y23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)(x 0>0)，则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0. 将直线方程y ＝33x －2代入双曲线方程x212－y23＝1得x 2－163x ＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝33(x 1＋x 2)－4＝12.所以⎩⎪⎨⎪⎧x0y0＝433，x2012－y 203＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x0＝43，y0＝3.所以t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．[C 级 创新练]15．一种画双曲线的工具如图所示，长杆OB 通过O 处的铰链与固定好的短杆OA 连接，取一条定长的细绳，一端固定在点A ，另一端固定在点B ，套上铅笔(如图所示)．作图时，使铅笔紧贴长杆OB ，拉紧绳子，移动笔尖M (长杆OB 绕O 转动)，画出的曲线即双曲线的一部分．若|OA |＝10，|OB |＝12，细绳长为8，则所得双曲线的离心率为( )A.65B.54C.32D.52解析：选 D.设|MB |＝t ，则由题意，可得|MO |＝12－t ，|MA |＝8－t ，有|MO |－|MA |＝4<|AO |＝10，由双曲线的定义可得动点M 的轨迹为双曲线的一支，且双曲线的焦距2c ＝10，实轴长2a ＝4，即c ＝5，a ＝2，所以e ＝c a ＝52.故选D.16．已知一簇双曲线E n ：x 2－y 2＝n19(n ∈N *，且n ≤19)，设直线x ＝2与E n 在第一象限内的交点为A n ，点A n 在E n 的两条渐近线上的射影分别为B n ，C n .记△A n B n C n 的面积为a n ，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 19＝________．解析：因为双曲线的方程为x 2－y 2＝n19(n ∈N *且n ≤19)，所以其渐近线方程为y ＝±x ，设点A n (2，y n )，则4－y 2n ＝n19(n ∈N *，且n ≤19)．记A n (2，y n )到两条渐近线的距离分别为d 1，d 2，则S △A n B n C n ＝12d 1d 2＝12×|2＋yn|2×|2－yn|2＝|4－y2n |4＝n194＝n 4×19，故a n ＝n 4×19，因此{a n }为等差数列，故a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 19＝14×19×19＋14×19×19×182＝52.答案：52。
