七年级
第一讲 有理数（一）
一、【能力训练点】
1、 正负数，数轴，相反数，有理数等概念。
2、 有理数的两种分类：
3、 有理数的本质定义，能表成
m
（ n 0,m, n 互质）。
n
4、 性质：① 顺序性（可比较大小）；
② 四则运算的封闭性（0不作除数）；
③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。
5、绝对值的意义与性质：
- a （a 0）
① |a| ' ）
a （a 0）
、【典型例题解析】 1
.如果m 是大于1的有理数，那么 m —定小于它的（
）
A.相反数
B.倒数
C. 绝对值
D.平方
K
5.设三个互不相等的有理数，既可表示为
1, a b,a 的形式式，又可表示为
0, —，b 的形式，求
a
2006
, 2007
a b 。
②非负性(|a| 0, a 2 0)
③非负数的性质:
i ）非负数的和仍为非负数。 ii ）几个非负数的和为 0,则他们都为0。
2. 已知两数a
b 互为相反数，
c 、
d 互为倒数，x 的绝对值是 2 ,求
2 2006
x (a b cd)x (a b)
(cd)2007 的值。
3.如果在数轴上表示 a 、b 两上实数点的位置，
如下图所示,
A. 2a
B. 2a
C.0
D. 2b
那么|a b| |a b |化简的结果等于（）
“
6 h *
4.有3个有理数a,b,c ，两两不等，那么 中有几个负数?
ax 3 bx 2 cx 1的值是多少?
7.若 a, b,c 为整数，且 | a b |2007 | c a |2007 1 ,试求 |c a |
第二讲有理数（二）
」、【能力训练点】： 1、 绝对值的几何意义
①|a| |a 0|表示数a 对应的点到原点的距离。② |a b|表示数a 、b 对应的两点间的距离。
2、 利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值。 二、【典型例题解析】： 1 ?若 2 a 0,化简 |a 2| |a 2|
2
3.若 | x 5| |x 2| 7，求x 的取值范围。
4.已知 f (x) | x 1| |x 2| |x 3| L |x 2002 |求f （x ）的最小值。
5?若 | a b 1| 与(a
2
b 1）互为相反数，求3a 2b 1的值。
6.三个有理数a,b,c 的积为负数，和为正数，且X
|ab| |be| |ac| ab be ac
| a b | | b c| 的值。
?试化简|x 1| |x 2|
6.如果abc 0，求回凹凹的值。
a b c
7. x 是什么样的有理数时
|(x 2) (x 4)| |x 2| |x 4|等式成立?
第三讲有理数（三）
【能力训练点】 1、 运算的分级与运算顺序； 2、 有理数的加、减、乘、除及乘方运算的法则。 3、 巧算的一般性技巧： 4、综合运用有理数的知识解有关问题。
二、【典型例题解析】 :
2 1 ?计算：0.7 1 —
3 6.6 2.2 7
0.7 — 3.3 -
11 7 3 11 8
①凑整（凑0）； ②巧用分配律 ③去、添括号法则； ④裂项法
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
1 1 1 ,
2. (1 丄 1 L —) (—_ 1 L
—) (1 L —) (- — L
2 3 1996 2 3 4 1997 2
3 1997
2 3 4
1 1996 3.计算：S n 2
2 1 32 1 42 1 22 1 32 1 42 1
n 2 1 n 2 1
1 2 3 4 n
4.
比较〈2 4 3 16 L
歹与2的大小。
第四讲代数式(一)
-、【能力训练点】： (1)列代数式；
(3)代数式的求值(整体代入法) 二、【典型例题解析】： 1. 求代数式的值：
(1)已知2a b 5，求代数式2(2a b) 3(a b)的值。 a b a b 2a b
2 2
(2)已知x 2y 5的值是7,求代数式3x 6y 4的值。
(3)已知
1 1
3，求2a 2b ab 的值。
b a
a b 2ab
(4)已知：当x 1时，代数式Px 3 qx 1的值为2007，求当x 1时，代数式Px 3 qx 1的值。
(5)已知等式(2A 7B)x (3A 8B) 8x 10对一切x 都成立，求 A 、B 的值。
1 5.计算(1)-
4 1 1 1 28 70 130
1 208
2 99 101
(2)代数式的意义;
(6)已知(1 x)2(1 x) a bx ex 2 dx 3，求 abed 的值。
(7)当多项式m 2 m 1 0时，求多项式m 3 2m 2 2006的值。
7. 已知ab 1，比较M N 的大小。
8.已知x 2 x 1 0 ,求x 3 2x 1的值。
2.
已知多项式 2y 5x 2 9xy 2 3x 3nxy 2
my 7经合并后，不含有 y 的项，求2m n 的值。
3.当50 (2a 3b)2达到最大值时，求1 4a 2
2
9b 的值。
4.若a,b,e 互异，且
---- ，求x y Z 的值。
e a
_ 2 2
5.已知 m mn 15, mn n
2 9
6，求3m mn 2n 的值。
6.已知abe
1, 求
a a
b a 1
be b 1
的值。
ae e 1
第五讲一元一次方程（一）
一、【能力训练点】：
1、等式的性质。
2、一元一次方程的定义及求解步骤。
1
1
4.已知x 1是方程一mx 3x —的解，求代数式（m 2 7m 9）2007的值。
2 2
x
9.已知 —
y z
K ，求K 的值。
x y
10. a 355,b
44
4 ,c
533，比较a,b,c 的大小。 11.已知2a 2
3a 5
0，求 4a 4 12a 3 9a 2 10 的值。
3、一元一次方程的解的理解与应用。
4、一元一次方程解的情况讨论。
二、【典型例题解析】： 1.能否从（a 2）x b 3；得到x
，为什么？反之，能否从
a 2
为什么？
得到(a 2)x b 3， a 2
2.若关于x 的方程
2kx m 3
x nk 2
，无论K 为何值时，它的解总是 x 1，求m 、n 的值。
6
3.若(3x 1)5
a 5x 5 a 4x 4 L
a-i x a °。求 a 5
a 4
a
3
a
2
a 1 a 的值。
5. 关于x的方程（2 k 1）x 6的解是正整数，求整数K 的值。
6.关于x的一元一次方程（m2 1）x2（m 1）x 8 0求代数式200（m x）（x 2m） m的值。
7.解方程丄——L ------------------------------- x-------- 2006
1 2 2 3 3 4 2006 2007
8. 当a满足什么条件时，关于x的方程|x 2| |x 5| a，①有一解；②有无数解；③无解。
第六讲一元一次方程（2）
一、【能力训练点】：
1、列方程应用题的一般步骤。
2、禾U用一元一次方程解决社会关注的热点问题（如经济问题、禾U润问题、增长率问题）
二、【典型例题解析】
1. 要配制浓度为20%勺硫酸溶液100千克，今有98%勺浓硫酸和10%勺硫酸，问这两种硫酸分别应各取
多少千克？
2?一项工程由师傅来做需8天完成，由徒弟做需16天完成，现由师徒同时做了4天，后因师傅有事离开，余下的全由徒弟来做，问徒弟做这项工程共花了几天？
第2讲几何变换——旋转 典型例题 【例1】C是线段AE上的点，以AC、CE为边在线段AE的同侧作等边三角形ABC、CDE， △是等设AD的中点是M，BE的中点是N，连结MN、MC、NC，求证：CMN 边三角形．Array【例2】如图，两个正方形ABCD和AKLM有一个公共点A．求证：这两个正方形的中心以 及线段BM，DK的中点是某正方形的顶点． L
【例3】 已知：如图，ABC △、CDE △、EHK △都在等边三角形，且A 、D 、K 共线， AD DK =．求证：HBD △也是等边三角形． 【例4】 ABC △是等边三角形，P 是AB 边的中点，Q 是AC 边的中点，R 为BC 边的中点， M 为RC 上任意一点，且PMS △是等边三角形，S 与Q 在PM 的同侧，求证： RM QS =． E C H D B A Q ? S M P C B A R
【例5】 ABCD 是正方形，P 是ABCD 内一点，1PA =，3PB = ，PD =求正方形ABCD 的面积． 【例6】 P 是等边三角形ABC 内的一点，6PA =，8PB =，10PC =．求ABC △的边长． D
【例7】 设O 是等边ABC △内一点，已知115AOB ?∠=，125BOC ?∠=，求以线段OA 、OB 、 OC 为边所构成的三角形的各内角大小． 【例8】 如图，在ABC △中，90ACB ?∠=，AC BC =，P 是ABC △内一点，3PA =，1PB =， 2PC =，求BPC ∠． A P C
如图，已知ABC △中，90A =，AB AC =，D 为BC 上一点，求证：2222BD DC AD +=． 【例9】 如图，在等腰直角ABC △中，90ACB ?∠=，CA CB =，P 、Q 在斜边AB 上，且 45PCQ ?∠=，求证：222PQ AP BQ =+． A D C B A Q B C P
七年级 第一讲 有理数（一） 一、【能力训练点】 1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。 2、有理数的两种分类： 3、有理数的本质定义，能表成 m n （0,,n m n ≠互质）。 4、性质：① 顺序性（可比较大小）； ② 四则运算的封闭性（0不作除数）； ③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。 5、绝对值的意义与性质： ① (0)||(0) a a a a a ≥?=? -≤? ② 非负性 2 (||0,0)a a ≥≥ ③ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。 二、【典型例题解析】： 1． 如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 2.已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求 22006 ()( )()x a b c d x a b c d -+++++-的值。 3.如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（ ） A.2a B.2a - C.0 D.2b 4.有3个有理数a,b,c ，两两不等，那么,, a b b c c a b c c a a b ------中有几个负数？ 5.设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为0， b a ，b 的形式，求20062007a b +。
6.三个有理数,,a b c 的积为负数，和为正数，且||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac = +++++则321ax bx cx +++的值是多少？ 7.若,,a b c 为整数，且2007 2007||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。 第二讲 有理数（二） 一、【能力训练点】： 1、绝对值的几何意义 ① |||0|a a =-表示数a 对应的点到原点的距离。② ||a b -表示数a 、b 对应的两点间的距离。 2、利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值。 二、【典型例题解析】： 1．若20a -≤≤，化简|2||2|a a ++- 2．试化简|1||2|x x +-- 3.若|5||2|7x x ++-=，求x 的取值范围。 4.已知()|1||2||3||2002|f x x x x x =-+-+-++-求()f x 的最小值。 5．若|1|a b ++与2 (1)a b -+互为相反数，求321a b +-的值。
初中数学奥林匹克竞赛方法与试题大全
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初中数学奥林匹克竞赛教程
初中数学竞赛大纲（修订稿） 数学竞赛对于开发学生智力，开拓视野，促进教学改革，提高教学水平，发现和培养数学人才都有着积极的作用。目前我国中学生数学竞赛日趋规范化和正规化，为了使全国数学竞赛活动健康、持久地开展，应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求，特制定《初中数学竞赛大纲（修订稿）》以适应当前形势的需要。 本大纲是在国家教委制定的九年义务教育制“初中数学教学大纲”精神的基础上制定的。《教学大纲》在教学目的一栏中指出：“要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性。”具体作法是：“对学有余力的学生，要通过课外活动或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学才能”，“要重视能力的培养……，着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力”。 《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的要求。除教学大纲所列内容外，本大纲补充列出以下内容。这些课外讲授的内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻“少而精”的原则，处理好普及与提高的关系，这样才能加强基础，不断提高。 1、实数 十进制整数及表示方法。整除性，被2、3、4、5、8、9、11等数整除的判定。 素数和合数，最大公约数与最小公倍数。 奇数和偶数，奇偶性分析。 带余除法和利用余数分类。 完全平方数。 因数分解的表示法，约数个数的计算。 有理数的表示法，有理数四则运算的封闭性。 2、代数式 综合除法、余式定理。 拆项、添项、配方、待定系数法。 部分分式。 对称式和轮换对称式。 3、恒等式与恒等变形 恒等式，恒等变形。 整式、分式、根式的恒等变形。 恒等式的证明。 4、方程和不等式 含字母系数的一元一次、二次方程的解法。一元二次方程根的分布。 含绝对值的一元一次、二次方程的解法。
数学竞赛平面几何重要知识点 梅涅劳斯定理： 设D 、E 、F 分别是ABC ?三边（或其延长线）上的三点，则D 、E 、F 三点共线的充要条件是1=??EA CE FC BF DB AD 。 斯德瓦特定理：设P 是ABC ?的边BC 边上的任一点，则 BC PC BP AP BC AB PC AC BP ??+?=?+?222 西摩松定理： 设P 是ABC ?外接圆上任一点，过P 向ABC ?的三边分别作垂线，设垂足为D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线。
6、共角定理：设ABC ?和C B A '''?中有一个角相等或互补（不妨设A=A '）则 C A B A AC AB S S C B A ABC ' '?''?='''?? 与圆有关的重要定理 4.四点共圆的主要判定定理 （1）若∠1=∠2，则A 、B 、C 、D 四点共圆； （2）若∠EAB=∠BCD ，则A 、B 、C 、D 四点共圆； （3）若PA ?PC=PB ?PD ，则A 、B 、C 、D 四点共圆； 三角形的五心 三角形的三条中线共点，三条角平分线共点，三条高线共点，三条中垂线共点。三角形的垂心、重心、外心共线（欧拉线），并且重心把连结垂心和外心的线段分成2∶1的两段。三角形的外心和内心的距离)2(r R R d -=。此公式称为欧拉式，由此还得到r R 2≥。当且仅当△ABC 为正三角形时,d=0,此时R=2r.其中R 和r 分别是三角形外接圆半径和内切圆半径。 与△的一边及另两边的延长线均相切的圆称为△的旁切圆，旁切圆的圆心称为旁心。
重要例题 例1.设M 是任意ABC ?的边BC 上的中点，在AB 、AC 上分别取点E 、F,连EF 与AM 交于N ，求证：)(21AF AC AE AB AN AM +=（1978年辽宁省中学数学竞赛） 例 2. 已知点O 在ABC ?内部，022=++OC OB OA .OCB ABC ??与的面积之比为_________________. 例3. 如图①，P 为△ABC 内一点，连接P A 、PB 、PC ，在△P AB 、△PBC 和△P AC 中，如果存在一个三角形与△ABC 相似，那么就称P 为△ABC 的自相似点． ⑴如图②，已知Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ACB ＞∠A ，CD 是AB 上的中线，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，试说明E 是△ABC 的自相似点． ⑵在△ABC 中，∠A ＜∠B ＜∠C ． ①如图③，利用尺规作出△ABC 的自相似点P （写出作法并保留作图痕迹）； ②若△ABC 的内心P 是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．
初一数学竞赛讲座 第11讲染色和赋值 染色方法和赋值方法是解答数学竞赛问题的两种常用的方法。就其本质而言, 染色方法是一种对题目所研究的对象进行分类的一种形象化的方法。而凡是能用染色方法来解的题, 一般地都可以用赋值方法来解, 只需将染成某一种颜色的对象换成赋于其某一数值就行了。赋值方法的适用范围要更广泛一些, 我们可将题目所研究的对象赋于适当的数值, 然后利用这些数值的大小、正负、奇偶以及相互之间运算结果等来进行推证。 一、染色法 将问题中的对象适当进行染色, 有利于我们观察、分析对象之间的关系。像国际象棋的棋盘那样, 我们可以把被研究的对象染上不同的颜色, 许多隐藏的关系会变得明朗, 再通过对染色图形的处理达到对原问题的解决, 这种解题方法称为染色法。常见的染色方式有：点染色、线段染色、小方格染色和对区域染色。 例1用15个“T”字形纸片和1个“田”字形纸片（如下图所示）, 能否覆盖一个8×8的棋盘？ 解：如下图, 将 8×8的棋盘染成黑白相间的形状。如果15个“T”字形纸片和1个“田”字形纸片能够覆盖一个8×8的棋盘, 那么它们覆盖住的白格数和黑格数都应该是32个, 但是每个“T”字形纸片只能覆盖1个或3个白格, 而1和3都是奇数, 因此15个“T”字形纸片覆盖的白格数是一个奇数；又每个“田”字形纸片一定覆盖2个白格, 从而15个“T”字形纸片与1个“田”字形纸片所覆盖的白格数是奇数, 这与32是偶数矛盾, 因此, 用它们不能覆盖整个棋盘。 例2如左下图, 把正方体分割成27个相等的小正方体, 在中心的那个小正方体中有一只甲虫, 甲虫能从每个小正方体走到与这个正方体相邻的6个小正方体中的任何一个中去。如果要求甲虫只能走到每个小正方体一次, 那么甲虫能走遍所有的正方体吗？
2003年第15届“五羊杯”初中数学竞赛初一试题 一、选择题(4选l 型，每小题选对得5分，否则得0分．本大题满分50分) 1．2003和3002的最大公约数是 ( ) A. 1 B. 7 C. 11 D ．13 2．(16+1．63×2．87-125×0．115+O ．0163×963)÷ 0．11= ( ) A 20 B. 26 C. 200 D ．以上答案都不对 3．(721 +343-271-187)÷(1521 +743-473-38 7) ( ) A 2151 B.3115 C.5631 D ．以上答案都不对 4．已知(3A+2B)：(7A+5B)=13:31，那么(13A+12B)：(17A+15B)= ( ) A ．5：4 B.4：5 C ．9：7 D ．7：9 5．设A=55×1010×2020×3030× 4040×5050，把A 用10进制表示，A 的末尾的零的个数是 ( ) A.260 B.205 C. 200 D ．175 6．中国首位航天员杨利伟乘神舟5号飞船，在约400公里高空绕地球14圈，飞行约21小时，成功返回，圆了中华民族千年飞天梦．假定地球是球体，半径约6400公里，不计升空和降落，杨利伟飞行距离和速度分别是 ( ) A ．60万公里和9．7公里／秒 B.61万公里和8．3公里／秒 C. 60万公里和7．9公里／秒 D ．61万公里和7．8公里／秒 7．图中可数出的三角形个数为 ( ) A ．60 B. 52 C 48 D.42 8．小龙用10元购买两种邮票：“羊城地铁”每张O ．80元，“珠江新桥”每张1．50元．每种至少购1张，多购不限．不同的购买方法种数为 ( ) A ．33 B. 34 C.32 D ．30 9．不超过300，既和12互质，又和50不互质的自然数个数为 ( ) A ．60 B. 20 C ．15 D ．10 10．用重1克、3克、9克、27克、81克、243克和728克(注意：不是729克)的砝码各1个，在天平上分别称量重200克、500克、1000克的物体A ，B ，C ，可以准确称量的是( )(注：砝码可以放在天平的2个盘) A ．A B ．B C A 和B D ．A ，B 和C 二、填空题(每小题答对得5分，否则得0分．本大题满分共50分) 11．设A=1+3+5+…+2003，则A 的末位数字是 12．以下算式中，每个汉字代表1个数字，不同的汉字代表不同的数字，已知“神”=3，那么被乘数是 13．如图，圆周上均匀地钉了9枚钉子，钉尖朝上，用橡皮筋套住其中的3枚，可套 得一个三角形．所有可以套出来的三角形中，不同形状的共有 种． 14．3个边长2厘米的正方形如图，甲的中心在乙的一个顶点上，乙的中 心在丙的一个 顶点上，甲与丙不重叠．则甲乙丙总共覆盖的面积是 平方厘米． 15．化简： 16．图中△ABC，△BCD，△CDA 的面积分别为49，27和14平方米， 则△AOD 的面积为 平方米． 神舟五号飞天 × 神 飞天神舟五号
第一讲 注意添加平行线证题 在同一平面,不相交的两条直线叫平行线.平行线是初中平面几何最基本的,也是非常重要的图形.在证明某些平面几何问题时,若能依据证题的需要,添加恰当的平行线,则能使证明顺畅、简洁. 添加平行线证题,一般有如下四种情况. 1 为了改变角的位置 大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,错角相等,同旁角互补.利用这些 性质,常可通过添加平行线,将某些角的位置改变,以满足求解的需要. 例1 设P 、Q 为线段BC 上两点,且BP ＝CQ ,A 为BC 外一动点(如图1).当点A 运动到使 ∠BAP ＝∠CAQ 时,△ABC 是什么三角形？试证明你的结论. 答： 当点A 运动到使∠BAP ＝∠CAQ 时,△ABC 为等腰三角形. 证明：如图1,分别过点P 、B 作AC 、AQ 的平行线得交点D .连结DA . 在△DBP ＝∠AQC 中,显然 ∠DBP ＝∠AQC ,∠DPB ＝∠C . 由BP ＝CQ ,可知 △DBP ≌△AQC . 有DP ＝AC ,∠BDP ＝∠QAC . 于是,DA ∥BP ,∠BAP ＝∠BDP . 则A 、D 、B 、P 四点共圆,且四边形ADBP 为等腰梯形.故AB ＝DP . 所以AB ＝AC . 这里,通过作平行线,将∠QAC “平推”到∠BDP 的位置.由于A 、D 、B 、P 四点共圆,使证明很顺畅. 例2 如图2,四边形ABCD 为平行四边形,∠BAF ＝∠BCE .求证：∠EBA ＝∠ADE . 证明：如图2,分别过点A 、B 作ED 、EC 的平行线,得交点P ,连PE . 由AB CD ,易知△PBA ≌△ECD .有PA ＝ED ,PB ＝EC . ∥＝ A D B P Q 图1 P E D G A B F C 图2
倍数约数 【知识精读】 1两个整数A和B（B≠0），如果B能整除A（记作B｜A），那么A叫做B的倍数，B 叫做A的约数。例如3｜15，15是3的倍数，3是15的约数。 2因为0除以非0的任何数都得0，所以0被非0整数整除。0是任何非0整数的倍数，非0整数都是0的约数。如0是7的倍数，7是0的约数。 3整数A（A≠0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0，±A，±2A，……都是A的倍数，例如5的倍数有±5，±10，……。 4整数A（A≠0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括±1和±A。例如6的约数是±1，±2，±3，±6。 5通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。 6公约数只有1的两个正整数叫做互质数（例如15与28互质）。 7在有余数的除法中， 被除数＝除数×商数＋余数若用字母表示可记作： A＝BQ＋R，当A，B，Q，R都是整数且B≠0时，A－R能被B整除 例如23＝3×7＋2则23－2能被3整除。 【分类解析】 例1写出下列各正整数的正约数，并统计其个数，从中总结出规律加以 应用：2，22，23，24，3，32，33，34，2×3，22×3，22×32。 解：列表如下
其规律是：设A＝a m b n(a，b是质数,m，n是正整数) 那么合数A的正约数的个是（m+1）(n+1) 例如求360的正约数的个数 解：分解质因数：360＝23×32×5， 360的正约数的个数是（3＋1）×（2＋1）×（1＋1）＝24（个） 例2用分解质因数的方法求24，90最大公约数和最小公倍数 解：∵24＝23×3，90＝2×32×5 ∴最大公约数是2×3，记作（24，90）＝6 最小公倍数是23×32×5＝360，记作[24,90]=360 例3己知32，44除以正整数N有相同的余数2，求N 解：∵32－2，44－2都能被N整除，∴N是30，42的公约数 ∵（30，42）＝6，而6的正约数有1，2，3，6 经检验1和2不合题意，∴N＝6，3 例4一个数被10余9，被9除余8，被8除余7，求适合条件的最小正整数 分析：依题意如果所求的数加上1，则能同时被10，9，8整除,所以所求的数是10，9，8的最小公倍数减去1。 解：∵[10,9,8]=360, ∴所以所求的数是359 【实战模拟】 1，12的正约数有_________,16的所有约数是_________________ 2，分解质因数300＝_________,300的正约数的个数是_________ 3，用分解质因数的方法求20和250的最大公约数与最小公倍数。 4，一个三位数能被7，9，11整除，这个三位数是_________ 5，能同时被3，5，11整除的最小四位数是_______最大三位数是________
新人教版八年级数学竞赛教程附练习汇总（共15套） 1、用提公因式法把多项式进行因式分解 【知识精读】 如果多项式的各项有公因式,根据乘法分配律的逆运算,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式。 提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是： （1）当多项式有相同字母时,取相同字母的最低次幂。 （2）系数和各项系数的最大公约数,公因式可以是数、单项式,也可以是多项式。 下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解析】 1. 把下列各式因式分解 （1）-+--+++a x abx acx ax m m m m 2 2 13 （2）a a b a b a ab b a ()()()-+---3 2 2 22 分析：（1）若多项式的第一项系数是负数,一般要提出“－”号,使括号内的第一项系数是正数,在提出“－”号后,多项式的各项都要变号。 解：-+--=--+++++a x abx acx ax ax ax bx c x m m m m m 2 2 1323() （2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式,如：当n 为自然数时,()()()()a b b a a b b a n n n n -=--=----222121；,是在因式分解过程中常用的因式变 换。 解：a a b a b a ab b a ()()()-+---3 2 2 22
) 243)((] 2)(2))[(() (2)(2)(222 223b b ab a b a a b b a a b a b a a b a ab b a a b a a ++--=+-+--=-+-+-= 2. 利用提公因式法简化计算过程 例：计算1368 987 521136898745613689872681368987123? +?+?+? 分析：算式中每一项都含有987 1368 ,可以把它看成公因式提取出来,再算出结果。 解：原式)521456268123(1368987 +++?= =?=987 1368 1368987 3. 在多项式恒等变形中的应用 例：不解方程组23 532x y x y +=-=-?? ? ,求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值。 分析：不要求解方程组,我们可以把2x y +和53x y -看成整体,它们的值分别是3和-2, 观察代数式,发现每一项都含有2x y +,利用提公因式法把代数式恒等变形,化为含有2x y +和53x y -的式子,即可求出结果。 解：()()()()()()()223322233253x y x y x x y x y x y x x y x y +-++=+-+=+- 把2x y +和53x y -分别为3和-2带入上式,求得代数式的值是-6。 4. 在代数证明题中的应用 例：证明：对于任意自然数n,32322 2n n n n ++-+-一定是10的倍数。 分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形,接着只需证明每一项都是10的倍数即可。 3 23233222 222n n n n n n n n ++++-+-=+-- =+-+=?-?33122110352 22n n n n ()() Θ对任意自然数n,103?n 和52?n 都是10的倍数。 ∴-+-++3 2322 2n n n n 一定是10的倍数 5、中考点拨： 例1。因式分解322x x x ()()--- 解：322x x x ()()---
2017 年上初一数学竞赛试题 （ 考试时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题（每题3分，共24分） 1、若m 是有理数，则m m -一定是（ ） A ．零 B ．非负数 C ．正数 D ．负数 720 =1） （ ． 8） A.只能是1 B.除1以外还有1个 C.共有3个 D.共有4个 二、填空题（每题3分，共18分） 9．观察下列等式：111122? =-，222233 ?=-，33 3344?=-，……则第n 个等式为____________ ． 10.点A 、B 、C 在同一条数轴上，其中点A 、B 表示的数分别为﹣3、1，若BC=2，则AC 等于__________. 11、小方利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表： 密 封 线 学校： 班级： 姓名： 考
那么，当输入数据为8时，输出的数据为 ． 12、现对某商品降价20 销售量要比按原价销售时增加的百分数为13. 填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m 的值是 ． 14.已知231x y =-?? =?是二元一次方程组1 1 ax by bx ay +=??+=?的解,则()()a b a b +-的值是 . 18.（619.(620.（8c,d 互 （1）某用户1月份共交水费65元，问1月份用水多少吨？ （2）若该用户水表有故障，每次用水只有60%记入用水量，这样在2月份交水费43.2元，该用户2月份实际应 交水费多少元？ 22.（10分）有铅笔、圆珠笔、钢笔三种学习用品。若购买铅笔3支、圆珠笔7支、钢笔1支共需35元，若购买铅笔4支、圆珠笔10支、钢笔1支共需42元。现购买铅笔、圆珠笔、钢笔各1支共需多少元？
数学初中竞赛大题训练：几何专题 1．阅读理解： 如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”．证明“四点共圆”判定定理有：1、若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆；2、若平面上四点连成的四边形对角互补，那么这四点共圆．例：如图1，若∠ADB＝∠ACB，则A，B，C，D四点共圆；或若∠ADC+∠ABC＝180°，则A，B，C，D四点共圆． （1）如图1，已知∠ADB＝∠ACB＝60°，∠BAD＝65°，则∠ACD＝55°； （2）如图2，若D为等腰Rt△ABC的边BC上一点，且DE⊥AD，BE⊥AB，AD＝2，求AE 的长； （3）如图3，正方形ABCD的边长为4，等边△EFG内接于此正方形，且E，F，G分别在边AB，AD，BC上，若AE＝3，求EF的长． 解：（1）∵∠ADB＝∠ACB＝60°， ∴A，B，C，D四点共圆， ∴∠ACD＝∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD＝180°﹣60°﹣65°＝55°， 故答案为：55°； （2）在线段CA取一点F，使得CF＝CD，如图2所示： ∵∠C＝90°，CF＝CD，AC＝CB， ∴AF＝DB，∠CFD＝∠CDF＝45°， ∴∠AFD＝135°， ∵BE⊥AB，∠ABC＝45°， ∴∠ABE＝90°，∠DBE＝135°， ∴∠AFD＝∠DBE， ∵AD⊥DE，
∴∠ADE＝90°， ∵∠FAD+∠ADC＝90°，∠ADC+∠BDE＝90°， ∴∠FAD＝∠BDE， 在△ADF和△DEB中，， ∴△ADF≌△DEB（ASA）， ∴AD＝DE， ∵∠ADE＝90°， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴AE＝AD＝2； （3）作EK⊥FG于K，则K是FG的中点，连接AK，BK，如图3所示：∴∠EKG＝∠EBG＝∠EKF＝∠EAF＝90°， ∴E、K、G、B和E、K、F、A分别四点共圆， ∴∠KBE＝∠EGK＝60°，∠EAK＝∠EFK＝60°， ∴△ABK是等边三角形， ∴AB＝AK＝KB＝4，作KM⊥AB，则M为AB的中点， ∴KM＝AK?sin60°＝2， ∵AE＝3，AM＝AB＝2， ∴ME＝3﹣2＝1， ∴EK＝＝＝， ∴EF＝＝＝．
七年级数学竞赛题
E D C B A 七年级数学能力测试 班级 姓名 分数 一、细心选一选 (本题有10个小题, 每小题3分, 共30分) 1．将长dm 15的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，不同的截法有（ ） A. 5种 B. 6种 C. 7种 D. 8种 2.下列钟点是在电子表上显示出来的，其中不能看作轴对称的图是 （ ） 3. 右上图所示的五角星是用螺栓将两端打有孔的5根木条连接构成的图形，它的形状不稳定。如果 在木条交叉点打孔加装螺栓的办法使其形状稳定，那么至少需要添加螺栓 ( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3个 D. 4 个 4．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AC 、BC 上的点，若△ADB ≌△EDB ≌△EDC ，则 ∠C 的度数为（ ） A. 15° B. 20° C. 25° D. 30° 5．六一儿童节期间，小丁、小李、小聪去“杭州乐园”的概率分别为14 、13 、1 2 .假定三 人的行动 相互之间没有影响，那么这段时间内三人中至少有1人去“杭州乐园”的概率为 （ ）
（ ） （ ） A. 124 B. 19 C. 34 D. 2324 6．有一块试验地形状为等边三角形ABC （内角均为60度），现管理员甲从点A 出发， 沿AB →BC →CA 的方向走了一圈回到顶点A 处。管理员乙从BC 边上的一点D 出发，沿DC →CA →AB →BD 的方向走了一圈回到出发点D 处，则甲、乙两位管理员从出发到回到原处在途中身体 （ ） A ．甲、乙都转过1800 B ．甲、乙都转过3600 C ．甲转过1200 ，乙转过1800 D ．甲转过2400 ，乙转过3600 7．要使)q x )(2px x (2-++的乘积中不含2x 项，则p 与q 的关系是 ( ) A ．互为倒数 B.互为相反数 C.相等 D.关系不能确定 8. 如图，两个轮子绕轮子的中心旋转，旋转停止时，每个轮子上方的箭头各指着轮子上的一个数字， 若左右两图轮子上方的箭头指着的数字分别为a ， b ，数对（a ，b ）所有可能的个数为n ，其中 a + b 恰为偶数的不同个数为m ，则 n m 等于 A ．21 B ．6 1 C ．125 D ．4 3 9.如果2b a =-，2 1 c a =-，那么bc ac ab c b a 222---++等于 ( ) A. 413 B.813 C.2 13 D.不能确定 10. 若方程组???=+=-9.30531332b a b a 的解是? ??==2.13 .8b a ，则方程组???=-++=--+9.30)1(5)2(313)1(3)2(2y x y x 的解是 A ．???==2.23.6y x B ．???==2 .13 .8y x C ．???==2.23.10y x D ．???==2.03.10y x 二、耐心填一填 (本题有8个小题, 每小题3分, 共24分) 11. 计算222 2 111 1 (1)(1)(1)(1)2342006- --- ＝ . 乙 甲 C A D
第1页（共1页）一、1.A 2.C 3.B 4.D 5.B 6.D 二、7.-18.30°9.3或-110.221 三、11.（1）19×11=12×?è??19-111；………………………………………………………………………………5分（2）1()2n -1()2n +1；12×?è?? 12n -1-12n +1；…………………………………………………………………………………………………………10分 （3）a 1+a 2+a 3+…+a 100=12×?è??1-13+12×?è??13-15+12×?è??15-17+12×?è??17-19+?+12×?è?? 1199-1201=12×?è?? 1-13+13-15+15-17+17-19+?+1199-1201……………………………………………15分=12×?è??1-1201=12×200201=100201.…………………………………………………………………………………………………20分四、12.（1）130°.…………………………………………………………………………………………………5分 （2）∠APC =∠α+∠β. 理由：过点P 作PE ∥AB ，交AC 于点E .……………………………………………………………10分因为AB ∥CD ， 所以AB ∥PE ∥CD . 所以∠α=∠APE ， ∠β=∠CPE .所以∠APC =∠APE +∠CPE =∠α+∠β.…………………………………………………………15分 （3）当点P 在BD 延长线上时， ∠APC =∠α-∠β；……………………………………………………20分当点P 在DB 延长线上时， ∠APC =∠β-∠α.……………………………………………………25分五、13.（1）根据题意，得t =?è??120-12050×550+5×2+12050≈6.3()h .答：三人都到达B 地所需时间约为6.3h.………………………………………………………………5分 （2）有，设甲从A 地出发将乙载到点D 行驶x 千米，放下乙后骑摩托车返回，此时丙已经从A 地出发步行至点E ，继续前行后与甲在点F 处相遇，甲骑摩托车带丙径直驶向B,恰好与乙同时到达. …………………………………………………………………………………………………………10分 根据题意，得2?x -x 50?550+5+120-x 50=120-x 5.…………………………………………………………15分解得x ≈101.5.…………………………………………………………………………………………20分则所用总时间为t =101.550+120-101.55≈5.7()h .答：有，方案如下:甲从A 地出发载乙，同时丙步行前往B 地，甲载乙行驶101.5千米后放下乙，乙步行前往B 地，并甲骑摩托车返回，与一直步行的丙相遇.随后甲骑摩托车载丙径直驶向B 地，恰好与步行的乙同时到达，所需时间为5.7h.………………………………………………………………………25分
人教版九年级数学竞赛专题：平面几何的定值问题（含答案） 【例1】 如图，已知P 为正方形ABCD 的外接圆的劣弧上任意一点.求证：为定值. AD ⌒ PA PC PB P A B C D 【例2】 如图，AB 为⊙O 的一固定直径，它把⊙O 分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C 作弦 CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，当点C 在上半圆（不包括A ，B 两点）上移动时，点P （ ） A.到CD 的距离保持不变 B.位置不变 C.等分 D.随C 点的移动而移动 DB ⌒ A
【例3】 如图，定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆上滑动，M 是ST 的中点，P 是S 对AB 作垂 线的垂足.求证：不管ST 滑到什么位置，∠SPM 是一定角. B 【例4】 如图，扇形OAB 的半径OA =3，圆心角∠AOB =90°.点C 是上异于A ，B 的动点，过点C AB ⌒ 作CD ⊥OA 于点D ，作CE ⊥OB 于点E .连接DE ，点G ，H 在线段DE 上，且DG =GH =HE .（1）求证：四边形OGCH 是平行四边形； （2）当点C 在上运动时，在CD ，CG ，DG 中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段AB ⌒ 的长度； （3）求证：CD 2+3CH 2是定值. B O A C E H G D 【例5】 如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点M 在x 轴的正半轴上，⊙M 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C ，D 两点，且C 为弧AE 的中点，AE 交y 轴于G 点.若点A 的坐标为（-2，0），AE =8.
初中数学竞赛 几何专题：点共线问题（含答案） 1. 锐角三角形ABC 中，45BAC ∠=?，BE 、CF 是两条高，H 为ABC △的垂心，M 、K 分别是BC 、 AH 的中点.证明：MK 、EF 和OH 共点，这里O 为ABC △的外心. 解析 如图，由条件45BAE ∠=?，可知AEB △和AFC △都是等腰直角三角形，而O 为AB 、BC 的中垂线上的点，故EO AB ⊥，FO AC ⊥，于是EO CF ∥，FO BE ∥，从而四边形EOFH 为平行四边形.故EF 与OH 的交点为EF 的中点. 另一方面，M 、K 为BC 、AH 的中点，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知 12EM MF BC ==，1 2 EK KF AH ==.即四边形EKFM 为菱形，所以EF 与KM 的交点亦是EF 的中点. 从而命题获证. 2. 四边形SPNM 与PFET 都是正方形，且点S 、P 、T 共线，点N 、P 、F 共线，连结MT 、SE ， 点S 在MT 上的射影是点A ，点T 在SE 上的射影是点B ，求证：点A 、P 、B 共线. 解析 设AB 与ST 交于点P '，又设ATS α∠=，TSE β∠=.于是由180ASB ATB ∠+∠=?，有 tan cot ASB ATB S SP AS BS P T S AT BT αβ'?===?'?△△ MS ST MS SP ST TE TE PT = ?== ， 即点P 与点P '重合. 3. 在矩形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上分别取异于顶点的K 、L 、M 、N ，已知KL MN ∥.证明KM 与LN 的交点O 在矩形的对角线BD 上. 解析 连结OB 、OD . B M N A S P T F E D M C N O L A K B
初中数学奥林匹克竞赛教程
初中数学竞赛大纲（修订稿） 数学竞赛对于开发学生智力，开拓视野，促进教学改革，提高教学水平，发现和培养数学人才都有着积极的作用。目前我国中学生数学竞赛日趋规范化和正规化，为了使全国数学竞赛活动健康、持久地开展，应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求，特制定《初中数学竞赛大纲（修订稿）》以适应当前形势的需要。 本大纲是在国家教委制定的九年义务教育制“初中数学教学大纲”精神的基础上制定的。《教学大纲》在教学目的一栏中指出：“要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性。”具体作法是：“对学有余力的学生，要通过课外活动或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学才能”，“要重视能力的培养……，着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力”。 《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的要求。除教学大纲所列内容外，本大纲补充列出以下内容。这些课外讲授的内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻“少而精”的原则，处理好普及与提高的关系，这样才能加强基础，不断提高。 1、实数 十进制整数及表示方法。整除性，被2、3、4、5、8、9、11等数整除的判定。 素数和合数，最大公约数与最小公倍数。 奇数和偶数，奇偶性分析。 带余除法和利用余数分类。 完全平方数。 因数分解的表示法，约数个数的计算。 有理数的表示法，有理数四则运算的封闭性。 2、代数式 综合除法、余式定理。 拆项、添项、配方、待定系数法。 部分分式。 对称式和轮换对称式。 3、恒等式与恒等变形 恒等式，恒等变形。 整式、分式、根式的恒等变形。 恒等式的证明。 4、方程和不等式 含字母系数的一元一次、二次方程的解法。一元二次方程根的分布。 含绝对值的一元一次、二次方程的解法。 含字母系数的一元一次不等式的解法，一元一次不等式的解法。 含绝对值的一元一次不等式。
初一数学奥林匹克竞赛题（含答案） 初一奥数题一 甲多开支100元，三年后负债600元．求每人每年收入多少？ S的末四位数字的和是多少？ 4．一个人以3千米/小时的速度上坡，以6千米/小时的速度下坡，行程12千米 共用了3小时20分钟，试求上坡与下坡的路程． 5．求和： 6．证明：质数p除以30所得的余数一定不是合数． 8．若两个整数x，y使x2+xy+y2能被9整除，证明：x和y能被3整除． 9．如图1－95所示．在四边形ABCD中，对角线AC，BD的中点为M，N，MN的延长线与AB边交于P点．求证：△PCD的面积等于四边形ABCD的面积的一半．解答： 所以x=5000(元)． 所以S的末四位数字的和为1＋9＋9＋5=24． 3．因为
a-b≥0，即a≥b．即当b ≥a＞0或b≤a＜0时，等式成立． 4．设上坡路程为x千米，下坡路程为y千米．依题意则 有 由②有2x+y=20，③ 由①有y=12-x．将之代入③得 2x+12-x=20． 所以x=8(千米)，于是y=4(千米)． 5．第n项为 所以 6．设p=30q＋r，0≤r＜30．因为p为质数，故r≠0，即0＜r＜30．假设r 为合数，由于r＜30，所以r的最小质约数只可能为2，3，5．再由p=30q＋r 知，当r的最小质约数为2，3，5时，p不是质数，矛盾．所以，r一定不是合数． 7．设
由①式得(2p-1)(2q-1)=mpq，即 (4-m)pq+1=2(p+q)． 可知m＜4．由①，m＞0，且为整数，所以m=1，2，3．下面分别研究p，q． (1)若m=1时，有 解得p=1，q=1，与已知不符，舍去． (2)若m=2时，有 因为2p-1=2q或2q-1=2p都是不可能的，故m=2时无解． (3)若m=3时，有 解之得 故 p＋q=8． 8．因为x2+xy+y2=(x-y)2+3xy．由题设，9｜(x2+xy＋y2)，所以3｜(x2＋xy ＋y2)，从而3｜(x-y)2．因为3是质数，故3｜(x-y)．进而9｜(x-y)2．由上式又可知，9｜3xy，故3｜xy．所以3｜x或3｜y．若3｜x，结合3(x-y)，便得3｜y；若3｜y，同理可得，3｜x． 9．连结AN，CN，如图1－103所示．因为N是BD的中点，所以
第18章 整数几何 ABC △，第三条高的长数，求这条高之长的所有可能值． 解析 由面积知，三条高的倒数可组成三角形三边，这是它们的全部条件． 设第三条高为h ，则 解得1515 45 h <<，h 可取4、5、6、7这四个值． ABC △3AB n x =+，2BC n x =+，CA n x =+，且BC 边上的高AD 的长为n ，其中n 为正整数，且01x <≤，问：满足上述条件的三角形有几个？ 解析 注意AB 为ABC △之最长边，故90B ∠，而z 可正可负． 由2y z n x +=+，及()()()2 2 223242y z n x n x n x x -=+-+=+?，得4y z x -=，32 n y x = +，由勾股定理，知()2 22332n x n n x ?? ++=+ ??? ，展开得12n x =，由01x <≤及n 为正整数，知 1n =，2，…，12，这样的三角形有12个． ，其中一条直角边不超过20，其外接圆半径与内切圆半径之比为52∶，求此三角形周长的最大值． 解析 设该直角三角形直角边长为a 、b ，斜边为c ，则外接圆半径2 c R = ，内切圆半径2 a b c r +-= ，不妨设20a ≤． 由条件知 5 2 c a b c =+-，557a b c +=，平方，得()() 222225249a b ab a b ++=+，即 ()2212250a b ab +-=， ()()34430a b a b --=， 于是3a k =，4b k =，5c k =，或4a k =，3b k =，5c k =，周长为12k ，k 为正整数．k 的最大值为6，此时各边为18、24、30，周长最大值为72． ABC △，60A ∠=?，7BC =，其他两边长均为整数，求ABC △的面积． 解析 设AB x =，AC y =，则由余弦定理，有 2249x y xy +-=． 由条件x y ≠，不妨设x y <，则AB 为ABC △之最小边，x 只能取值1、2、3、4、5、6，分别代入，发现当3x =或5时，8y =，其余情形均无整数解． 于是1 sin 602 ABC S xy = ?=△． P ，求经过P 且长为整数的弦的条数． 解析 如图，O 半径为15，9OP =，过P 的弦ST 长为整数，APB 为直径，6AP =，24PB =，则144SP TP PA PB ?=?=，因此 24ST SP TP =+≥．