初1数学竞赛教程含例题练习及答案⑹ (3)

初中一年级数学竞赛第1试试题一、选择题(每小题5分，共50分) 1·－20011的负倒数是( )· A ．－20011 B ．2001 C·－2001 D ．20011 2．下列运算中，正确的一个是( )． A ．(－2)3=－6 B ．-(－3)2=－9 C ．23×23=29D ．－23÷(－2)=4 3．若|m|>m ，则m 的取值范围是( )． A ． m≥0 B m≤O C．m>0 D ．m<O4．如图，∠AOD 是直角，∠AOB=∠BOC=∠COD．在图中所有的角中,45°的角有( )． A ． O 个 B ．1个 C ．2个 D ．3个5．当x=32时，代数式1+3x 的值是－32的( )． A ．绝对值 B ．倒数 C ．相反数 D ．倒数的相反数6．珠穆朗玛峰峰顶比吐鲁番盆地底部高9003 m ．已知，珠穆朗玛峰海拔高度是8848 m ，则吐鲁番盆地的海拔高度是( )．A ．－155 mB ．155 mC ．－17851 mD ．17851 m 7．下面四个命题中．正确的命题是( )． A ．两个不同的整数之间必定有一个正数 B ．两个不同的整数之间必定有一个整数 C ．两个不同的整数之间必定有一个有理数 D ．两个不同的整数之间必定有一个负数8．如图，在一个正方形的四个顶点处，按逆时针方向各写了一个数：2，0，O ，1．然后取各边中点，并在各中点处写上其所在边两端点处的两个数的平均值．这四个中点构成一个新的正方形，又在这个新的正方形四边中点处写上其所在边两个端点处的两个数的平均值．连续这样做到第10个正方形，则图上写出的所有数的和是( )． A ．30 B ．27 C ．20 D ．109．If ma m b 3-nand n a b mare similar terms ，then the value of(m —n)200lis( )．(英汉小字典：similar terms 同类项；value 值．) A ．O B ．1 C ．－1 D ．－3200l10．若k 为整数，则使得方程(k －1999)x=2001—2000x 的解也是整数的k 值有( )．A ．4个B ．8个C ．12个D ．16个 二、A 组填空题(每小题5分，共50分) 11．计算：19197676767676191919 =12．若|x+y －1|与|x —y+3|互为相反数．则(x+y)2001=13．已知5是关于x 的方程3mx+4n=0的解，那么n/m=14．将2001表示为若干个(多于1个)连续正奇数的和，考虑所有不同的表示方法．将每种表示方法中的最大的奇数取出来归于一组，则这组数中最大的数是 ．15．为使某项工程提前20天完成任务，需将原定的工作效率提高25%．则原计划完成这项工程需要 天．16．如图，△ABC 的面积等于12平方厘米．D 是AB 边的中点．E 为AC边上一点，且AE=2EC ．0为DC 与BE 的交点．若△DBO 的面积为a 平方厘米，△CEO 的面积为b 平方厘米．则a －b= 平方厘米． 17．已知a<O ，且|a|≤a，则|2x －6|—|x －2|的最小值是 ．18．If the equation m(x －1)=2001－n(x －2)for x has infinite roots ，then m 2001+n2001=(英汉小字典：equation 方程；infinite roots 无数个根．)19．若进货价降低8％而售出价不变，那么利润(按进货价而定)可由目前的p ％增加到(p+10)％，则原来的利润是20．修建一所房子有一系列工作要做，其中某些工作要在其他一些工作完成之后才能进行．表1列出修建一所房子的每项工作的前面的工作和完成该工作所需的时间．问修建该房子最快的时间是 天． 表l21．一个整数与5之差的绝对值大于1999而小于2001，则这个整数是22．在所有各位数字之和等于34，且能被11整除的四位数中最大的一个是 ，最小的一个是 ．23．平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为 个，最多为 个 24．We have the following numbers ：2954,1936,1727,712,59，the maximum number among them is ，the minimum number is (英汉小字典：number 数；maximum 最大的；minimum 最小的．)25．有两种蠓虫，一个是疾病的媒介，记为A ；另一种却是有益的花粉传播者，记为B ．现有A 、B 两种蠓虫各6只，它们的触角和翼的长度列如表2： 表21A 2，6只B 种蠓虫的平均翼长、触角长分别为B1和B2．问|A 1－B 1|+|A 2－B 2|等于 ．对于一只新捕捉到的蠓虫，记其翼长和触角长分别为x 和y ．如果|x —A 1|+|y —A 2|>|x —B 1|+|y —B 2|，则认为它是A 种蠓虫，否则认为是B 种蠓虫．现知，x=1．80，y=1．24，则可认为该蠓虫是 种蠓虫．初一第1试参考答案。

初一数学竞赛讲座第1讲数论的方法技巧（上）数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。

数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。

因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。

任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。

”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。

数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。

主要的结论有：1．带余除法：若a，b是两个整数，b＞0，则存在两个整数q，r，使得a=bq+r （0≤r＜b），且q，r是唯一的。

特别地，如果r=0，那么a=bq。

这时，a被b整除，记作b|a，也称b是a 的约数，a是b的倍数。

2．若a|c，b|c，且a，b互质，则ab|c。

3．唯一分解定理：每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即其中p1＜p2＜…＜p k为质数，a1，a2，…，a k为自然数，并且这种表示是唯一的。

（1）式称为n的质因数分解或标准分解。

4．约数个数定理：设n的标准分解式为（1），则它的正约数个数为：d（n）=（a1+1）（a2+1）…（a k+1）。

5．整数集的离散性：n与n+1之间不再有其他整数。

因此，不等式x＜y与x≤y-1是等价的。

下面，我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解。

一、利用整数的各种表示法对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决。

这些常用的形式有：1．十进制表示形式：n=a n10n+a n-110n-1+…+a0；2．带余形式：a=bq+r；4．2的乘方与奇数之积式：n=2m t，其中t为奇数。

例1 红、黄、白和蓝色卡片各1张，每张上写有1个数字，小明将这4张卡片如下图放置，使它们构成1个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差。

全国初中数学联合数学竞赛试题第一试一．选择题1．已知abc ≠0，且a+b+c =0, 则代数式222abcbccaab++的值是（ ）(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 02．已知p,q 均为质数，且满足5p 2+3q=59，则以p+3,1-p+q,2p+q-4为边长的三角形是（ ） (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 等腰三角形3． 一个三角形的边长分别为a,a,b ，另一个三角形的边长分别为b,b,a ，其中a>b ，若两个三角形的最小内角相等，则a b的值等于（ ）(A) 2(B)2(C) 2(D) 24．过点P(-1,3)作直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5，这样的直线可以作（ ） (A) 4条 (B) 3条 (C) 2条 (D) 1条 5．已知b 2-4ac 是一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的一个实数根，则ab 的取值范围为（ ） (A) 18ab ≥(B) 18ab ≤(C) 14ab ≥(D) 14ab ≤6．如图，在2×3矩形方格纸上，各个小正方形的顶点称为格点，则以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为（ ）(A) 24 (B) 38 (C) 46(D) 50DACB二．填空题 1．计算++= .2．如图ABCD 是边长为a 的正方形，以D 为圆心，DA 为半径的圆弧与以BC 为直径的半圆交于另一点P ，延长AP 交BC 于点N ，则B N N C= .3．实数a,b 满足a 3+b 3+3ab=1,，则a+b= .4．设m 是不能表示为三个合数之和的最大整数，则m= .第二试一． 已知方程x 2-6x-4n 2-32n=0的根都是整数，求整数n 的值。

二．（A ） 已知如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC, 以两腰AB,CD 为一边分别向两边作正方形ABGE 和DCHF ，设线段AD 的垂直平分线l 交线段EF 于点M ，EP ⊥l 于P ，FQ ⊥l 于Q 。

【最新整理，下载后即可编辑】中国教育学会中学数学教学专业委员会全国初中数学竞赛试题一、选择题(共5小题，每小题6分，共30分.)1 (甲).如果实数纠b, C在数轴上的位置如图所示，那么代数式>∕7-∖a + b I +√(c-6∕p + ∖b + c∖可以化简为( ).h a QC(A) 2c-a(B) 2a-2b(C) -" (D) n1(乙).如果t∕=-2 + √2 ,那么1 + —的值为( )•2+——3+ “(A) -√2(B) √2(C) 2 (D) 2√2 2(甲).如果正比例函数V- axα ≠ 0)与反比例函数y-~ (b ≠())X 的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为(一3, -2),那么另一个交点的坐标为( )•(A) (2, 3) (B) (3, -2) (C) (-2, 3) (D) (3,2)2(乙).在平面直角坐标系XOy中，满足不等式Λ-+y≤2x+27的整数点坐标(％y)的个数为( ).(A) 1() (B) 9 (C) 7 (D) 5 3(甲).如果α, b为给定的实数,且l<a<b ,那么1, 4 + 1, 2a+b t a+b+ ∖这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是( )•（A ） 1 （D ）；43 （乙）.如图，四边形ABCD 中，AC 9角线,二 5,则仞的长为（）.4 （甲）.小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币. 玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的“倍”；小玲对小倩说: “你若给我G 元，我的钱数将是你的2倍”，其中“为正整数，则 G 的可能值的个数是（）.4（乙）.如果关于X 的方程χh∣ = Xp, q 是正整数）的正根小于3,那么这样的方程的个数是（）.5 （甲）.一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1, 2, 3,4, 5, 6.掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数宇之和除以4的 余数分别是0,1, 2, 3的概率为Po, Pi ，P v P 3,则Po' Pl ，P V P3中最 大的是（）.'AEC 是等边三角形.ZADC = 30。

初一数学竞赛讲座第2讲数论的方法技巧（下）四、反证法反证法即首先对命题的结论作出相反的假设, 并从此假设出发, 经过正确的推理, 导出矛盾的结果, 这就否定了作为推理出发点的假设, 从而肯定了原结论是正确的。

反证法的过程可简述为以下三个步骤：1．反设：假设所要证明的结论不成立, 而其反面成立；2．归谬：由“反设”出发, 通过正确的推理, 导出矛盾——与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾；3．结论：因为推理正确, 产生矛盾的原因在于“反设”的谬误, 既然结论的反面不成立, 从而肯定了结论成立。

运用反证法的关键在于导致矛盾。

在数论中, 不少问题是通过奇偶分析或同余等方法引出矛盾的。

解：如果存在这样的三位数, 那么就有100a+10b+c=（10a+b）+（10b+c）+（10a+c）。

上式可化简为 80a=b+c, 而这显然是不可能的, 因为a≥1, b≤9, c≤9。

这表明所找的数是不存在的。

说明：在证明不存在性的问题时, 常用反证法：先假设存在, 即至少有一个元素, 它符合命题中所述的一切要求, 然后从这个存在的元素出发, 进行推理, 直到产生矛盾。

例 2 将某个17位数的数字的排列顺序颠倒, 再将得到的数与原来的数相加。

试说明, 得到的和中至少有一个数字是偶数。

解：假设得到的和中没有一个数字是偶数, 即全是奇数。

在如下式所示的加法算式中, 末一列数字的和d+a为奇数, 从而第一列也是如此, 因此第二列数字的和b+c≤9。

将已知数的前两位数字a, b与末两位数字c, d去掉, 所得的13位数仍具有“将它的数字颠倒, 得到的数与它相加, 和的数字都是奇数”这一性质。

照此进行, 每次去掉首末各两位数字, 最后得到一位数, 它与自身相加是偶数, 矛盾。

故和的数字中必有偶数。

说明：显然结论对（4k+1）位数也成立。

但对其他位数的数不一定成立。

如12+21, 506+605等。

例3 有一个魔术钱币机, 当塞入1枚1分硬币时, 退出1枚1角和1枚5分的硬币；当塞入1枚5分硬币时, 退出4枚1角硬币；当塞入1枚1角硬币时, 退出3枚1分硬币。

中学数学教学专业委员会 全国初中数学竞赛试题题 号 一 二 三总 分1～5 6～10 11 12 13 14 得 分 评卷人 复查人答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．设71a =-，则代数式32312612a a a +--的值为( ).（A ）24 （B ）25 （C ）4710+ （D ）4712+ 2．对于任意实数a b c d ，，，，定义有序实数对a b （，）与c d （，）之间的运算“△”为：（a b ，）△（c d ，）＝（ac bd ad bc ++，）．如果对于任意实数u v ，， 都有（u v ，）△（x y ，）＝（u v ，），那么（x y ，）为( ).（A ）（0，1） （B ）（1，0） （C ）（﹣1，0） （D ）（0，-1）3．若1x >，0y >，且满足3y y xxy x x y==，，则x y +的值为( ).（A ）1 （B ）2 （C ）92 （D ）1124．点D E ，分别在△ABC 的边AB AC ，上，BE CD ，相交于点F ，设1234BDF BCF CEF EADF S S S S S S S S ∆∆∆====四边形，，，，则13S S 与24S S 的大小关系为( ).（A ）1324S S S S < （B ）1324S S S S = （C ）1324S S S S > （D ）不能确定 5．设3333111112399S =++++，则4S 的整数部分等于( ). （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．若关于x 的方程2(2)(4)0x x x m --+=有三个根，且这三个根恰好可 以作为一个三角形的三条边的长，则m 的取值范围是 .7．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数的概率是 .8．如图，点A B ，为直线y x =上的两点，过A B ，两点分别作y 轴的平行线交双曲线1y x=（x ＞0）于C D ，两点. 若2BD AC =，则224OC OD - 的值为 .9．若112y x x =-+-的最大值为a ，最小值为b ，则22a b +的值为 .10．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为35，正方形CDEF 内接于△ABC ，且其边长为12，则△ABC 的周长为 .三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程（第8题）（第10题）20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值.12．如图，点H 为△ABC 的垂心，以AB 为直径的⊙1O 和△BCH 的外接圆⊙2O 相交于点D ，延长AD 交CH 于点P ，求证：点P 为CH 的中点.13．如图，点A 为y 轴正半轴上一点，A B ，两点关于x 轴对称，过点A 任作直线交抛物线223y x =于P ，Q 两点. （1）求证：∠ABP =∠ABQ ；（2）若点A 的坐标为（0，1），且∠PBQ =60º，试求所有满足条件的直线PQ 的函数解析式.14．如图，△ABC 中，60BAC ∠=︒，2AB AC =．点P 在△ABC 内，且352PA PB PC ===，，，求△ABC 的面积．（第13题）（第12题）中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题 1．A解：因为71a =-， 17a +=， 262a a =-， 所以322312612362126261261260662126024.a a a a a a a a a a a +--=-+---=--+=---+=（）（）（）2．B解：依定义的运算法则，有ux vy u vx uy v +=⎧⎨+=⎩，，即(1)0(1)0u x vy v x uy -+=⎧⎨-+=⎩，对任何实数u v ，都成立. 由于实数u v ，的任意性，得（x y ，）=（1，0）．3．C解：由题设可知1y y x -=，于是341y y x yx x -==，所以 411y -=， 故12y =，从而4x =．于是92x y +=．4．C解：如图，连接DE ，设1D E FS S ∆'=，则1423S S EF S BF S '==，从而有1324S S S S '=．因为11S S '>，所以1324S S S S >．5．A解：当2 3 99k =，，，时，因为（第14题）（第4题）()()()32111112111k k k k k k k ⎡⎤<=-⎢⎥-+-⎣⎦， 所以 3331111115111239922991004S ⎛⎫<=++++<+-< ⎪⨯⎝⎭. 于是有445S <<，故4S 的整数部分等于4．二、填空题 6．3＜m ≤4解：易知2x =是方程的一个根，设方程的另外两个根为12 x x ，，则124x x +=，12x x m =．显然1242x x +=>，所以122x x -<， 164m ∆=-≥0，即()2121242x x x x +-<，164m ∆=-≥0，所以1642m -<， 164m ∆=-≥0，解之得 3＜m ≤4.7．19解： 在36对可能出现的结果中，有4对：（1，4），（2，3），（2，3），（4，1）的和为5，所以朝上的面两数字之和为5的概率是41369=. 8．6解：如图，设点C 的坐标为a b （，），点D 的坐标为c d （，）,则点A 的坐标为a a （，），点B 的坐标为.c c （，） 因为点C D ，在双曲线1y x=上，所以11ab cd ==，． 由于AC a b =-，BD c d =-， 又因为2BD AC =，于是22222242c d a b c cd d a ab b -=--+=-+，（），所以 22224826a b c d ab cd +-+=-=（）（），即224OC OD -=6.9．32（第8题）解：由1x -≥0，且12x -≥0，得12≤x ≤1．22213113122()2222416y x x x =+-+-=+--+． 由于13124<<，所以当34x =时，2y 取到最大值1，故1a =． 当12x =或1时，2y 取到最小值12，故22b =．所以，2232a b +=． 10．84解：如图，设BC ＝a ，AC ＝b ，则22235a b +=＝1225． ①又Rt △AFE ∽Rt △ACB ，所以F E A FC B A C=，即1212b a b-=，故 12()a b ab +=． ② 由①②得2222122524a b a b a b a b +=++=++（）（），解得a ＋b ＝49（另一个解－25舍去），所以493584a b c ++=+=．三、解答题11．解：设方程20x ax b ++=的两个根为αβ，，其中αβ，为整数，且α≤β，则方程20x cx a ++=的两根为11αβ++，，由题意得()()11a a αβαβ+=-++=，，两式相加得 2210αβαβ+++=， 即 (2)(2)3αβ++=，所以 2123αβ+=⎧⎨+=⎩，； 或232 1.αβ+=-⎧⎨+=-⎩，（第10题）解得 11αβ=-⎧⎨=⎩，； 或53.αβ=-⎧⎨=-⎩，又因为[11]a b c αβαβαβ=-+==-+++（），，（）（），所以 012a b c ==-=-，，；或者815a b c ===，，， 故3a b c ++=-，或29.12．证明：如图，延长AP 交⊙2O 于点Q ， 连接 AH BD QB QC QH ，，，，.因为AB 为⊙1O 的直径， 所以∠ADB =∠BDQ =90°， 故BQ 为⊙2O 的直径. 于是CQ BC BH HQ ⊥⊥，.又因为点H 为△ABC 的垂心，所以.AH BC BH AC ⊥⊥，所以AH ∥CQ ，AC ∥HQ ，四边形ACQH 为平行四边形. 所以点P 为CH 的中点.13．解：（1）如图，分别过点P Q ，　作y 轴的垂线，垂足分别为C D ，　. 设点A 的坐标为（0，t ），则点B 的坐标为（0，-t ）. 设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+,并设P Q ，的坐标分别为 P P x y （，）,Q Q x y （，）.由223y kx t y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，， 得 2203x kx t --=，于是 32P Q x x t =-，即 23P Q t x x =-.（第12题）（第13题）于是222323P P Q Qx t y t BC BD y t x t ++==++22222()333.222()333P P Q P P Q P Q Q P Q Q Q P x x x x x x x x x x x x x x --===--- 又因为P Q x PC QD x =-，所以BC PCBD QD=. 因为∠BCP =∠90BDQ =︒，所以△BCP ∽△BDQ ， 故∠ABP =∠ABQ .（2）解法一 设PC a =，DQ b =，不妨设a ≥b >0，由（1）可知∠ABP =∠30ABQ =︒，BC =3a ，BD =3b ，所以 AC =32a -，AD =23b -.因为PC ∥DQ ，所以△ACP ∽△ADQ . 于是PC ACDQ AD=，即3223a a b b -=-， 所以3a b ab +=．由（1）中32P Q x x t =-，即32ab -=-，所以33322ab a b =+=，，于是可求得2 3.a b == 将32b =代入223y x =，得到点Q 的坐标（32，12）.再将点Q 的坐标代入1y kx =+，求得3.3k =- 所以直线PQ 的函数解析式为313y x =-+. 根据对称性知，所求直线PQ 的函数解析式为313y x =-+，或313y x =+. 解法二 设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+,其中1t =. 由（1）可知，∠ABP =∠30ABQ =︒，所以2BQ DQ =.故 222(1)Q Q Q x x y =++.将223Q Q y x =代入上式，平方并整理得 4241590Q Q x x -+=，即22(43)(3)0Q Q x x --=.所以 32Q x =或 3. 又由 (1)得3322P Q x x t =-=-，32P Q x x k +=. 若32Q x =，代入上式得 3P x =-， 从而 23()33P Q k x x =+=-.同理，若3Q x =， 可得32P x =-， 从而 23()33P Q k x x =+=.所以，直线PQ 的函数解析式为313y x =-+，或313y x =+. 14．解：如图，作△ABQ ，使得QAB PAC ABQ ACP ∠=∠∠=∠，，则△ABQ ∽△ACP . 由于2AB AC =，所以相似比为2. 于是22324AQ AP BQ CP ====，．60QAP QAB BAP PAC BAP BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒.由:2:1AQ AP =知，90APQ ∠=︒，于是33PQ AP ==．所以 22225BP BQ PQ ==+，从而90BQP ∠=︒． 于是222()2883AB PQ AP BQ =++=+ .故 213673s i n 60282ABC S AB AC AB ∆+=⋅︒==．（第14题）。

数学竞赛试题及答案初中试题一：代数问题题目：如果\( a \)和\( b \)是两个连续的自然数，且\( a^2 + b^2= 45 \)，求\( a \)和\( b \)的值。

解答：设\( a \)为较小的自然数，那么\( b = a + 1 \)。

根据题意，我们有：\[ a^2 + (a + 1)^2 = 45 \]\[ a^2 + a^2 + 2a + 1 = 45 \]\[ 2a^2 + 2a - 44 = 0 \]\[ a^2 + a - 22 = 0 \]分解因式得：\[ (a + 11)(a - 2) = 0 \]因此，\( a = -11 \)或\( a = 2 \)。

由于\( a \)是自然数，所以\( a = 2 \)，\( b = 3 \)。

试题二：几何问题题目：在一个直角三角形中，直角边的长度分别为3厘米和4厘米，求斜边的长度。

解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边\( c \)可以通过以下公式计算：\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]其中\( a \)和\( b \)是直角边的长度。

代入数值：\[ c = \sqrt{3^2 + 4^2} \]\[ c = \sqrt{9 + 16} \]\[ c = \sqrt{25} \]\[ c = 5 \]所以斜边的长度是5厘米。

试题三：数列问题题目：一个等差数列的前三项分别是2，5，8，求这个数列的第10项。

解答：等差数列的通项公式是：\[ a_n = a_1 + (n - 1)d \]其中\( a_n \)是第\( n \)项，\( a_1 \)是首项，\( d \)是公差。

已知首项\( a_1 = 2 \)，公差\( d = 5 - 2 = 3 \)。

代入公式求第10项：\[ a_{10} = 2 + (10 - 1) \times 3 \]\[ a_{10} = 2 + 9 \times 3 \]\[ a_{10} = 2 + 27 \]\[ a_{10} = 29 \]所以这个数列的第10项是29。

初一上数学竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. -1C. 1D. 22. 如果一个数的平方等于它本身，那么这个数可能是：A. 0B. 1C. -1D. 23. 一个数的绝对值是它本身，这个数是：A. 正数B. 负数C. 0D. 正数或04. 以下哪个选项不是有理数？A. πB. √2C. 0.3333...D. -35. 如果一个数的立方等于它本身，那么这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 2二、填空题（每题2分，共10分）6. 一个数的相反数是它自身的数是______。

7. 如果一个数的绝对值是5，那么这个数是______或______。

8. 一个数的平方根是它自身的数是______或______。

9. 一个数的立方根是它自身的数是______。

10. 如果一个数的倒数是它自身，那么这个数是______。

三、解答题（每题5分，共20分）11. 计算下列表达式的值：(-2)^3 + 4 × (-1)^2。

12. 解方程：2x - 5 = 3x + 1。

13. 一个数列的前三项为1, 3, 6，这个数列的第四项是多少？14. 一个长方形的长是宽的两倍，如果它的周长是24厘米，求它的长和宽。

四、应用题（每题10分，共20分）15. 一个班级有40名学生，其中男生比女生多10人，问这个班级有多少男生和女生？16. 一个水果店有苹果和橙子，苹果的价格是每斤5元，橙子的价格是每斤3元。

如果一个顾客购买了10斤苹果和15斤橙子，总共花费了105元，求苹果和橙子各买了多少斤？五、证明题（每题15分，共15分）17. 证明：对于任意正整数n，(1 + 2 + 3 + ... + n) = n(n + 1) / 2。

初一上数学竞赛试题答案一、选择题1. C2. B3. D4. A5. B二、填空题6. 07. 5，-58. 0，19. 110. 1，-1三、解答题11. (-2)^3 + 4 × (-1)^2 = -8 + 4 = -412. 2x - 5 = 3x + 1 → x = -613. 第四项为：1 + 3 = 4，3 + 6 = 9，6 + 9 = 1514. 设宽为x，则长为2x，周长为2(x + 2x) = 24，解得x = 4，长为8厘米，宽为4厘米。

人教版 初一数学上册 竞赛专题：方程的解与解方程（含答案）[例1]　已知关于x 的方程3[x －2(x －)]＝4x 和－＝1有相同的解，那3a 312x a +158x -么这个解是______．(北京市“迎春杯”竞赛试题)[例2]　已知a 是任意有理数，在下面各说法中(1)方程ax ＝0的解是x ＝1 (2)方程ax ＝a 的解是x ＝1(3)方程ax ＝1的解是x ＝(4)方程|a |x ＝a 的解是x ＝±11a结论正确的个数是( )．A ．0B ．1C ．2D ．3(江苏省竞赛试题)[例3]　a 为何值时，方程＋a ＝－(x －12)有无数多个解？无解？3x 2x 16[例4]　如果a ，b 为定值时，关于x 的方程＝2＋，无论k 为何值时，它的23kx a +6x bk -根总是1，求a ，b 的值．(2013年全国初中数学竞赛预赛试题)[例5]　已知p ，q 都是质数，并且以x 为未知数的一元一次方程px ＋5q ＝97的解是1，求代数式p 2－q 的值．(北京市“迎春杯”竞赛试题)[例6]　(1)在日历中(如图①)，任意圈出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个为a ，则用含a 的代数式表示这三个数(从小到大排列)分别是______．(2)现将连续自然数1至2004按图中的方式排成一个长方形阵列，用一个正方形框出16个数(如图②)．①图中框出的这16个数的和是______；②在右图中，要使一个正方形框出的16个数之和等于2000，2004，是否可能？若不可能，试说明理由；若有可能，请求出该正方形框出的16个数中的最小数和最大数．2003200419971999200020012002…… (36)37383940414219962930313233343522232425262728151617181920218910111213141234567图②(湖北省黄冈市中考试题)能力训练A 级1．若关于x 的方程(k －2)x |k －1|＋5k ＝0是一元一次方程，则k ＝______；若关于x 的方程(k ＋2)x 2＋4kx －5k ＝0是一元一次方程，则方程的解x ＝______．2．方程x －[x －(x －)]＝(x －)的解是______．34143731637(广西赛区选拔赛试题)3．若有理数x ，y 满足(x ＋y －2)2＋|x ＋2y |＝0，则x 2＋y 3＝______．(“希望杯”邀请赛试题)4．若关于x 的方程a (2x ＋b )＝12x ＋5有无数个解，则a ＝______，b ＝______．(“希望杯”邀请赛试题)5．已知关于x 的方程9x －3＝kx ＝14有整数解，那么满足条件的所有整数k ＝______．(“五羊杯”竞赛试题)6．下列判断中正确的是( )．A ．方程2x －3＝1与方程x (2x －3)＝x 同解B ．方程2x －3＝1与方程x (2x －3)＝x 没有相同的解C ．方程x (2x －3)＝x 的解都是方程2x －3＝1的解D ．方程2x －3＝1的解都是方程x (2x －3)＝x 的解7．方程＋＋…＋＝1995的解是( )．12x ⨯23x ⨯19951996x ⨯A ．1995 B ．1996 C ．1997 D ．19988．若关于x 的方程＝0的解是非负数，则b 的取值范围是()．21x b x --A ．b ＞0B ．b ≥0C ．b ≠2D ．b ≥0且b ≠2(黑龙江省竞赛试题)9．关于x 的方程a (x －a )＋b (x ＋b )＝0有无穷多个解，则( )．A ．a ＋b ＝0B ．a －b ＝0C ．ab ＝0D ．＝0a b10．已知关于x 的一次方程(3a ＋8b )x ＋7＝0无解，则ab 是( )．A ．正数 B ．非正数 C ．负数 D ．非负数(“希望杯”邀请赛试题)11．若关于x 的方程kx －12＝3x ＋3k 有整数解，且k 为整数，求符合条件的k 值．(北京市“迎春杯”训练题)12．已知关于x 的方程＋a ＝x －(x －6)，当a 取何值时，(1)方程无解？(2)方程有3x ||2a 16无穷多解？(重庆市竞赛试题)B 级1．已知方程2(x ＋1)＝3(x －1)的解为a ＋2，则方程2[2(x ＋3)－3(x －a )]＝3a 的解为______．2．已知关于x 的方程＝的解是x ＝2，其中a ≠0且b ≠0，则代数式－的2a x -33bx -b a a b 值是______．3．若k 为整数，则使得方程(k －1999)x ＝2001－2000x 的解也是整数的k 值有______个．(“希望杯”邀请赛试题)4．如果＋＋＋…＋＝，那么n ＝______．12161121(1)n n +20032004(江苏省竞赛试题)5．用※表示一种运算，它的含义是A ※B ＝＋，如果2※1＝，那么1A B +(1)(1)x A B ++533※4＝______．(“希望杯”竞赛试题)6．如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是______克．第6题图(河北省中考试题)7．有四个关于x 的方程①x －2＝－1②(x －2)＋(x －1)＝－1＋(x －1)③x ＝0④x －2＋＝－1＋11x -11x -其中同解的两个方程是( )．A ．①与②B ．①与③C ．①与④D ．②与④8．已知a 是不为0的整数，并且关于x 的方程ax ＝2a 3－3a 2－5a ＋4有整数解，则a 的值共有( )．A ．1个B ．3个C ．6个D ．9个(“希望杯”邀请赛试题)9．(1)当a 取符合na ＋3≠0的任意数时，式子的值都是一个定值，其中m －n ＝6，23ma na -+求m ，n 的值．(北京市“迎春杯”竞赛试题)(2)已知无论x 取什么值，式子必为同一定值，求的值．35ax bx ++a b b+(“华罗庚杯”香港中学竞赛试题)10．甲队原有96人，现调出16人到乙队，调出后，甲队人数是乙队人数的k (k 是不等于1的正整数)倍还多6人，问乙队原有多少人？(上海市竞赛试题)11．下图的数阵是由77个偶数排成：第11题图 (142144146148150152154)30323436384042161820222426282468101214用一平行四边形框出四个数(如图中示例)．(1)小颖说四个数的和是436，你能求出这四个数吗？(2)小明说四个数的和是326，你能求出这四个数吗？参考答案例1 提示：两方程的解分别为x ＝a 和x ＝，由题意知a ＝，27282727221a -2727221a -得a ＝.从而可以得到x ＝a ＝×＝.27827272782728例2 A 提示：当a ＝0时，各题结论都不正确.例3 提示：原方程化为0x ＝6a －12（1）当6a －12＝0，即a ＝2时，原方程有无数个解.（2）当6a －12≠0，即a≠2时，原方程无解．例4 原方程整理可得：(4x ＋b)k ＝12＋x －a ． ∵ 无论k 为何值时，它的根总是1． ∴ x ＝1且k 的系数为0．∴ 4＋b ＝0，13－2a ＝0．∴ ，．132a =4b =例5 提示：把x ＝1代入方程px ＋5q ＝97，得p ＋5q ＝97，故p 与5q 之中必有一个数是偶数（1）若p ＝2，则5q ＝95，q ＝19，；215p q -=-（2）若5q 是偶数，则q ＝2，p ＝87，而87不是质数，与题设矛盾，舍去；因此．215p q -=-例5 （1）a －7，a ，a ＋7； （2）①44×8＝352；②设框出的16个数中最小的一 个数为a ，则这16个数组成的正方形方框如右图所示，因为框中每两个关于正方形的中心对称的数之和都等于2a ＋24，所以这16个数之和为8×（2a ＋24）＝16a ＋192．当16a ＋192＝2000时，a ＝113；当16a ＋192＝2004时，a ＝113.25．∵a 为自然数，∴ a ＝113.25不合题意，则框出的16个数之和不可能等于2004，由长方形阵列的排列可知，a 只能在1，2，3，4列，则a 被7整除的余数只能是1，2，3，4．因为113＝16×7＋1，所以，这16个数之和等于2000是可能的．这时，方框涨最小的数是113，最大的数是113＋24＝137．A 级1．0；2．x ＝0 3．8 4．6；54565．10；26；8；－8 提示：，能被17整除，则，或179x k=-9k -91k -=±917k -=±6．D 7．B 提示：原方程化为111111199522319951996x ⎛⎫-+-++-= ⎪⎝⎭8．D 9．A10．B11．原方程的解为 ，31221333k x k k +==+-- 显然 k －3＝±1，±3，±7，±21，a a ＋1a ＋2a ＋3a ＋7a ＋8a ＋9a ＋10a ＋14a ＋15a ＋16a ＋17a ＋21a ＋22a ＋23a ＋24即 k ＝4，2，6，0，－4，10，24，－18．12．提示：原方程化为()()121a x a -=-（1）当a ＝－1时，方程无解；（2）当a ＝1时，方程有无穷多解．B 级1．10.5 2． 提示：当x ＝2时，代入得． 712-34b a =3．16提示：为整数，2001＝1×3×23×29，故k 可取±1，±3，±23，±29，20011x k =+±3×23，±3×29，±23×29，±22001共16个值．4．2003 提示：()()11111111126121122334451n n n n ++++=++++++⨯⨯⨯⨯+ ＝，得．1111111120031122334112004n n n -+-+-++-=-=++ 1112004n =+5．提示：，解得 x ＝8．1935()()152********x =+=+++※6．207．A8．C9．（1）取a ＝0，则；取a ＝1，则，2233ma na -=-+2233m n -=-+ 得 ，又，解得，．()()32230m n -++=6m n -=125m =185n =- （2）令x ＝0，则；令x ＝1，则，3355ma na +=+3355m n +=+ 得，即，故．()()5335a b +=+35a b =381155a b a b b +=+=+=10．设乙队原有x 人，则80＝k(x ＋16)＋6，解得．7416kx k-=∵x 必须为正整数且k≠1，∴ ，，得出k ＝2或37，7416x N k=-∈＋74k 只有当k ＝2时，x ＝21人．11．（1）能，这四个数分别是100，102，116，118． （2）不能．。

数学竞赛初赛试题及答案详解试题一：代数基础题题目：若\( a \)，\( b \)，\( c \)是实数，且满足\( a^2 + b^2 + c^2 = 1 \)，求证：\( a^4 + b^4 + c^4 \leq 1 \)。

解答：首先，我们可以利用平方和不等式，即对于任意实数\( x \)和\( y \)，有\( (x+y)^2 \geq 4xy \)。

将\( x = a^2 \)和\( y = b^2 \)代入，得到：\[ (a^2 + b^2)^2 \geq 4a^2b^2 \]\[ 1 - c^2 \geq 4a^2b^2 \]\[ 1 \geq c^2 + 4a^2b^2 \]由于\( a^2 + b^2 + c^2 = 1 \)，我们可以得出：\[ a^4 + b^4 \leq 1 - c^2 \]类似地，我们可以证明：\[ a^4 + c^4 \leq 1 - b^2 \]\[ b^4 + c^4 \leq 1 - a^2 \]将这三个不等式相加，我们得到：\[ 2(a^4 + b^4 + c^4) \leq 3 - (a^2 + b^2 + c^2) \]\[ 2(a^4 + b^4 + c^4) \leq 2 \]\[ a^4 + b^4 + c^4 \leq 1 \]证明完毕。

试题二：几何问题题目：在直角三角形ABC中，∠C是直角，若AB=5，AC=3，求BC的长度。

解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。

设BC的长度为\( x \)，则有：\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]\[ 5^2 = 3^2 + x^2 \]\[ 25 = 9 + x^2 \]\[ x^2 = 16 \]\[ x = 4 \]所以，BC的长度为4。

试题三：组合问题题目：有5个不同的球和3个不同的盒子，将这些球放入盒子中，每个盒子至少放一个球，有多少种不同的放法？解答：首先，我们需要将5个球分成3组，每组至少一个球。

初一数学上竞赛试题及答案【试题一】题目：若a, b, c是正整数，且满足a + b + c = 30，a > b > c，求所有可能的(a, b, c)组合。

【答案】解答：首先，我们知道a, b, c是正整数，且a > b > c。

由于a + b + c = 30，我们可以从c = 1开始尝试，逐渐增加c的值，同时减少a 和b的值，直到满足a > b > c的条件。

1. 当c = 1时，b = 29 - a，此时a的最大值为28，但a不能等于28，因为a > b，所以a的最大值为27，此时b = 2。

2. 当c = 2时，b = 28 - a，此时a的最大值为26，但a不能等于26，所以a的最大值为25，此时b = 3。

3. 以此类推，我们可以找到所有满足条件的组合。

最终，所有可能的(a, b, c)组合为：(27, 2, 1), (26, 4, 1), (25, 3, 2), (24, 6, 1), (23, 5, 2), (22, 8, 1), (21, 7, 2), (20, 10, 1), (19, 9, 2), (18, 12, 1), (17, 11, 2), (16, 14, 1), (15, 13, 2)。

【试题二】题目：一个圆的半径为r，求圆的面积。

【答案】解答：圆的面积公式为 \( A = \pi r^2 \)，其中A是面积，r是半径。

【试题三】题目：若一个数的平方根是4，求这个数。

【答案】解答：如果一个数的平方根是4，那么这个数就是 \( 4^2 \)，即16。

【试题四】题目：一个班级有40名学生，其中男生人数是女生人数的2倍，求男生和女生各有多少人。

【答案】解答：设女生人数为x，男生人数为2x。

根据题意，我们有x + 2x = 40，解这个方程得到x = 20。

所以，女生有20人，男生有40 - 20 = 20人。

【试题五】题目：一个数列的前三项分别为1, 2, 3，从第四项开始，每一项都是前三项的和。

初一数学竞赛讲座第5讲与年号有关的竞赛题在数学竞赛中,常可以看到某些题目中出现了当年的年号,这类题我们称之为“年号题”，这类题趣味性强,时间性强,引起了参加竞赛的少年朋友很大的兴趣，“年号题”一般可分成两类,一类是题目的条件中出现了当年的年号,另一类是题目答案中出现了当年的年号，下面我们分别举例说明这两类问题的解法，一、题目条件中出现年号的问题1．题目在编制和解答中巧妙地运用了该年年号的数字特征,如年号数值的质因数分解式、是否质数、它的数的整除性等等，例1 将19到80的两位数顺次排成数A＝19202122…7980，问：这个数A 能否被1980整除？解：由于1980=99×20,因此要考察A能否被1980整除,只需要考察A能否被99和20整除就行了，能被20整除是显然的，因为99除100的任何次方所得的余数都是1,所以A＝19×10061+20×10060+…+79×100+80除以99的余数与B=19+20+…+79+80=99×31除以99的余数相同，因为99|B,所以99|A，于是A能被1980整除，例2 用S（n）表示自然数n的各位数字之和,又n+S（n）=1999,求自然数n，11x+2y＝89，注意到x是奇数且x,y都是一位整数,不难求得x=7,y=6,从而n=1976，例3 在3×3的九宫格中,填上 9个不同的自然数,使得每行三数相乘,每列三数相乘所得的6个乘积都等于P，试确定P能取1996,1997, 1998,1999,2000,2001这6个数中的哪些值，解：所填的9个数应为P的9个不同约数,又P不能填入九宫格内,故P的不同约数的个数应不小于10，1996=22×499,有6个约数；1997和1999是质数,各有2个约数；1998=2×33×37,有16个约数；2000=24×53,有20个约数；2001=3×23×29,有8个约数，显然P不能取1996,1997,1999和2001，当P=1998和2000时,有下图的填法（填法不唯一）,故P可取1998和2000，例4 有1999块边长为1的正方块,求满足下述条件的有盖箱子的尺寸：（1）长、宽、高均大于1；（2）将正方块放入箱子中时,能合上盖子,并且使空隙最小；（3）在保证（1）（2）的前提下,使箱子的表面积最小，解：由于1999是质数且2000=24×53,故空隙最小的箱子的体积应是2000， 表面积最小的箱子应是各边长相差尽量小的长方体，将2000分解成三个尽量接近的三个数的乘积是：2000＝10×10×20,所以表面积最小的箱子的长、宽、高应为10,10,20，2．题目中的年号数是可以换成任意的自然数n 的,它只不过是编制时仅仅用具体的年号数来代替n ，对于这种情况要善于透过表面看本质,做过后要将特殊推广到一般，例5若两个不相等的自然数的倒数的和的一半等于19991,求这两个自然数， 解：设这两个自然数为x,y,且x ＞y ，比较①②两式,取n=1999,有2x=1999×2000,2y=1999+1,于是x=1999000,y=1000，例6 有一张1949×2000的长方形方格纸,方格边长为1，问：这个长方形的一条对角线穿过多少个方格？解：由于1949与2000是互质数,故对角线在长方形内不经过任何一个格点， 对角线与纵向的1950条线有1950个交点,与横向的2001条线有2001个交点，去掉重复计算的对角线两个端点,它与纵横线共有1950+2001-2=3949（个）交点,交点间有3948条线段,即对角线穿过3948个小方格，例7 有两个容器A 和B,A 中装有1升水,B 是空的，先将容器A 中的水的21倒入容器B,然后将容器B 中的水的31倒入容器A,再将容器A 中的水的41倒入容器B …如此继续,这样倒了1999次以后,A 中还有水多少升？解：设a n 和b n 分别表示倒了n 次以后A 中和B 中水的升数,显然a n +b n =1， 列表观察如下：说明：如果求倒了2000次以后,A 中还剩多少水,那么可进一步计算如下：例8 从自然数列1,2,3,4,…中依次划去3的倍数和4的倍数,保留5的倍数（例如15,20都不划去）,将剩下的数依次写成数列A1＝1,A2＝2,A3＝5,A4=7,…求A2000，解：3,4,5的最小公倍数是60,在连续的60个自然数中,3的倍数有60÷3=20（个）,4的倍数有60÷4=15（个）,12的倍数有60÷12=5（个）,15的倍数有60÷15=4（个）, 20的倍数有60÷20=3（个）,60的倍数有1个，于是由容斥原理得到,连续60个自然数中,按题设要求划去各数后还剩下60-（20+15）+（5+4+3）-1=36（个），2000÷36=55……20，因为在1～34中可以剩下20个数,所以剩下的第2000个数是A2000=60×55+34＝3334，二、题目答案中出现年号的题这类问题和一般的数学题没有什么区别,都要运用数字运算的规律和特征,借助逻辑推理求得问题的解决，例9 将我家门牌号码倒置着看是一个四位数,它比原来的号码大7875,我家门牌号码是多少？解：倒置后仍有意义的数有0,1,6,8,9，设门牌号码正着看是于是门牌号码为1986，例10 有一个小于2000的四位数,它恰好含有14个因数,其中有一个质因数的末位数字是1,求这个四位数，解：因为14=2×7,所以这个四位数的质因数分解式为因为46=4096＞2000,所以P2≤3，故P1的末位数为1，若P2=3,则m=P1×36≥11×36＞2000,舍去，故P2=2，若P1=11,则m=64×11=704,不是四位数，若P1≥41,则m≥64×41＞2000,与题设不符，当P1=31时,m=64×31=1984，这是本题的唯一解，例11 在20世纪的最后10年中,恰有一年年号的不同约数的个数比1990的约数个数少2,求该年号所有不同正约数的积，解：用T （A ）表示A 的不同约数个数，1990=2×5×199,T （1990）=（1+1）×（1+1）×（1×1）=8；1991＝11×181,T （1991）=（1+1）×（1+1）=4；1992＝23×3×83,T （1992）=（3+1）×（1+1）×（1×1）=16； 1993是质数,T （1993）=2；1994＝2×997,T （1994）=（1+1）×（1+1）=4；1995＝3×5×7×9,T （1995）=（1+1）×（1+1）×（1+1）×（1+1）=16； 1996＝22×499,T （1996）＝（2+1）×（1+1）＝6，故所求年号数为1996,其所有不同正约数之积为1×2×22×499×（2×499）×1996＝19962，例12 平面上有1001个点,如果每两点连一条线段,并把中点染成红色,那么平面上至少有多少个红点？解：在所有点中,找出距离最大的两点A 和B,分别以A,B 为圆心,以AB 的长度的一半为半径作两个圆，对余下的999个点中的任一点P,因为，《AB AP 2121所以AP 的中点在⊙A 内,或在圆周上，又因为余下的999个点是不同的的点,它们与A 的中点也互不相同,所以在⊙A （含圆周）中至少有999个红点,这999个红点与AB 的中点不重叠，同理,在⊙B 中也至少有999个红点，再加上 AB 的中点,平面上至少有2×999+1=1999（个）红色的点，练习5 ，2．2001个棱长为1厘米的正方体可以垒成多少种不同长方体？3．梯形的上底、下底及两腰的长分别是1,9,8,8，这个梯形的四个角的大小分别是多少？4．将四位数的数字顺序重新排列后,可以得到一些新的四位数，现有一个四位数M,它比新数中的最大数小7983,比新数中的最小数大99,求这个四位数，5．有一个四位数N,它小于3000,且满足下列条件：（1）N 中含有两个质因数3,且只含有两个质因数3；（2）N —1中含有两个质因数2,且只含有两个质因数2；（3）N 和N —1都不含质因数5；（4）N 的十位数字比个位数字小1，求这个四位数，6．设P 和q 为自然数,已知132411323131211-+-+-=Λq p ,判断P 是否是1999的倍数，7．自1986开始写下一串数字：1 9 8 6 4 7 5 2 8 2 7 9 6…其中前四个数字后的每一个数字等于它前面四个数字之和的末位数字，问：在这一串数字中会不会出现连续四个数,恰好是1,9,9,8？8．规定一种运算“～”,a ～b 表示两个数a 和b 的差（大减小），例如：5～3=2,7～10=3,6～6=0，已知x1,x2,…,x2000,是1,2,…,2000的一个排列,求（x1～1）+（x2～2）+…+（x2000～2000）的最大值，练习5答案：2．4种，解：2001=3×23×29=1×69×29=1×23×87＝1×3×667，3．60°,60°,120°,120°，解：如右图,将梯形分割成一个平行四边形和一个三角形,显然这个三角形是等边三角形,它的每个角都是60°,从而梯形的各个角分别为60°,60°,120°,120°，4．1998，由上式知,a=9,d=1,b-c=1，这个四位数等于这个四位数是1998，5．1989，知，d≠5且d≠1,从而d可能为3,7或9,于是c可能等于2,6或8a+b-1是9的倍数，若a=2,则b=8,此时N=2889,N-1=2888是8的倍数,与（2）矛盾，若a=1,则b=0或9,此时N=1089或1989，当N＝1089时,N是27的倍数与（1）矛盾，经验算,仅1989符合题意，所以这个四位数是1989，6．是，在等式的两边同时乘以1332！＝1×2×3× (1332)由于1999是质数,且1332＜1999,故在1332！中没有一个大于1的约数能整除1999,因此只有P能被1999整除，7．不会，解：将这串数按奇偶性写出来是：1986偶奇奇偶偶偶奇奇偶……容易看出,其中每连续五个数字中有两奇三偶,而且三个偶数是连在一起的,故在这一串数字中不会出现连续四个数,恰好是1,9,9,8，8．2000000，解：每一个（x n～n）变成普通减法后是将x n和n中较大的一个减较小的一个,故在x1,x2,…,x2000,1,2,…,2000这2×2000个数中有2000个是被减数,有2000个是减数,我们要使上式的结果最大,就应该使较大的数成为被减数,较小的数成为减数，于是在每一个（x n～n）中,大于999的两个数不能排在一起,小于999的两个数也不能排在一起，取x1=2000,x2=1999,…,x2000=1就可以得到这个最大值：2×[（2000-1）+（1999-2）+…+（1001-1000]＝2×[（2000-1000）+（1999-999）+…+（1001-1）]。

初中一年级数学竞赛第1试试题一、选择题:（每题1分，共15分）1．若a是有理数,则12345ma a a a a--+-+一定不是( )A．正整数． B．负整数．C．负分数．D．零．2.1993-{1993-[1993-(1992-1993)]}的值等于 ( ) A．-1995．B．1991．C．1995．D．1993．3．若a＜b，则(a-b)|a-b|等于 ( )A．(a-b)2．B．b2-a2．C．a2-b2．D．-(a-b)2．4.若n是正整数,并且有理数a,b满足a+1b=0,则必有( )A.a n+21nb⎛⎫⎪⎝⎭=0; B.a2n+211nb+⎛⎫⎪⎝⎭=0; C.a2n+31nb⎛⎫⎪⎝⎭=0; D.a2n+1+211nb+⎛⎫⎪⎝⎭=0.5.如果有理数a,b满足11a b+=0,则下列说法中不正确的一个是( )A．a与b的和是0． B．a与b的差是正数．C．a与b的积是负数． D．a除以b，得到的商是-1．6.甲的6张卡片上分别写有-4,-1,-2.5,-0.01,-334,-15,乙的6张卡片上分别写有-5,-1,0.1,-0.001,-8,-1212,则乙的卡片上的最小数a与甲的卡片上的最大数b的比ab的值等于( ) A．1250．B．0．C．0.1．D．800．7．a是有理数，则在下列说法中正确的一个是( )A．-a是负数．B．a2是正数．C．-|a2|是负数．D．(a-1993)2+0.001是正数．8.-19191919019019001900 93939393093093009300--的值等于( )A.-3;B.-1931; C.-1; .D.-13.9．在下列条件中，能使ab＜b成立的是( )A．b＞0，a＞0．B．b＜0，a＜0．C．b＞0，a＜0．D．b＜0，a=0．10.若a=3.143.123.13-⎛⎫÷⎪⎝⎭,b=2.142.122.13⎛⎫÷⎪-⎝⎭,c=1.14( 1.12)1.13⎛⎫÷-⎪⎝⎭,则a,b,c的大小关系是( ) A．a＞b＞c．B．a＞c＞b．C．b＞c＞a．D．c＞b＞a．11．有理数a、b小于零，并且使(a-b)3＜0，则( )A.11a b<; B.-a<-b; C.丨a 丨>丨b 丨; D.a 2>b 4. 12．M 表示a 与b 的和的平方，N 表示a 与b 的平方的和，则当a=7，b=-5时，M-N 的值为 ( ) A ．-28．B ．70．C ．42．D ．0．13.有理数111,25,8恰是下列三个方程的根: 211012113124x x x -++-=-,3(2y+1)=2(1+y)+3(y+3),112(1)(1)223z z z ⎡⎤--=-⎢⎥⎣⎦,则x zy x-的值为 ( ) A.-17140; B.-34780; C.71220; D.14255. 14．图22是中国古代著名的“杨辉三角形”的示意图．图中填入的所有数的总和等于( )A ．126．B ．127．C ．128．D ．129．15．在自然数：1，2，3，4，5，…中，前15个质数之和的负倒数等于( ) A.-1328; B.-1329; C.-1337; D.-1340.二、填空题（每题1分，共15分）1．若a ＞0，在-a 与a 之间恰有1993个整数，则a 的取值范围是______．2．如果相邻的两个正整数的平方差等于999，则这两个正整数的积等于______．3.(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)----------------------=_________. 4．一辆公共汽车由起点站到终点站（这两站在内）共途经8个车站。

初中一年级数学竞赛第1试试题一、选择题:1．（－1）－（－9）－（－9）－（－6）的值是 ( )A．－25. B．7. C．5 . D．232．方程19x－96=96－19x的解是( )A.0;B.4819; C.19219; D.9619.3．如果a＜0，则a与它的相反数的差的绝对值是( )A．0 B．a. C．－2a D．2a4．如果一个方程的解都能满足另一个方程，那么，这两个方程 ( ) A．是同解方程.B．不是同解方程.C．是同一个方程.D．可能不是同解方程5．a、b为有理数，在数轴上如图1所示，则( )A.1a<1<1b; B.1a<1b<1; C.1b<1a<1; D.1<1b<1a.6．如果x＜－2，那么|1－|1＋x||等于( )A．－2－x. B．2＋x. C．x. D．－x7．线段AB=1996厘米，P、Q是线段AB上的两个点，线段AQ=1200厘米，线段BP=1050厘米，则线段PQ= ( )A．254厘米B．150厘米. C．127厘米 D．871厘米8.,αβ都是钝角,甲,乙,丙,丁计算1()6αβ+的结果依次为500,260,720,900,其中确有正确的结果,那么算得结果正确者是( ) A．甲B．乙C．丙D．丁9．如果a＞b，且c＜0，那么在下面不等式中:(1)a+c>b+c;(2)ac>bc;(3)a bc c->-;(4)ac2><bc2.成立的个数是( )A．1. B．2. C．3 . D．410.如果5237a a->-,2+c>2,那么( )A．a－c＞a＋c B．c－a＞c＋a. C．ac＞－ac D．3a＞2a 二、A组填空题1．（－1）2＋（－2）3＋（－3）4＋（－4）5=______．2．多项式3x 2＋5x －2与另一个多项式的和是x 2－2x ＋4，那么，这“另一个多项式”是______．3．若a 、b 互为相反数，c 、d 互为负倒数，则（a ＋b ）1996＋（cd ）323______．4．如图2△ABC 的面积是1平方厘米，DC=2BD ，AE=3ED ， 则△ACE 的面积是______平方厘米．5．设自然数中两两不等的三个合数之和的最小值是m ， 则m 的负倒数等于______． 6.一个角α与500角之和的17等于650角的余角,则α=______. 7.不等式2(1)411515x x -+->--的解是______________. 8.x,y,z 满足方程组2383202x y y z x z -=⎧⎪+=⎨⎪-=-⎩,则xyz=________.9.已知关于x 的方程3a-x=2x+3的解是4,则(-a)2-2a=_________. 10．用一队卡车运一批货物，若每辆卡车装7吨货物，则尚余10吨货物装不完；若每辆卡车装8吨货物，则最后一辆卡车只装3吨货物就装完了这批货物，那么，这批货物共有______吨．二、B 组填空题1.计算:2211109344401(0.5)[(2)2]24144433⎛⎫-⨯+÷-÷⨯--- ⎪⎝⎭=_____. 2.方程7110.2510.0240.0180.012x x x --+=-的根是______. 3．一个四位数能被9整除，去掉末位数字后所得的三位数恰是4的倍数，则这样的四位数中最大的一个的末位数字是______．4．在－44，－43，－42，…，1995，1996这一串连续的整数中，前100个连续整数的和 等于______．5．如图3，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、 BD 分为四个部分，△AOB 的面积是1平方千米，△BOC 的面 积是2平方千米，△COD 的面积是3平方千米，公园陆地的 总面积是6.92平方千米，那么人工湖的面积是______平方千米．答案·提示一、选择题提示：1．（－1）－（－9）－（－9）－（－6）=23，选D．2．解，移项得19x＋19x=96＋96,合并，得2×19x=2×96,3．a的相反数为－a，所以a与它的相反数的差的绝对值是|a－（－a）|=|－2a|=－2a（其中a＜0），选C．4．当另一个方程的解也都满足第一个方程时，这两个方程才是同解方程，因此排除B．但另一个方程的解不都满足第一个方程时，它们不是同解方程，所以排除A、C，因此选D．6．∵x＜－2∴|1－|1＋x||=|1＋1＋x|=－2－x，选A．7．由图4可见:PQ=AQ＋PB－AB=1200＋1050－1996=254（厘米），选A．8．90°＜α＜180°，90°＜β＜180°,∴180°＜α＋β＜360°9．已知a＞b，c＜0，a＋c＞b＋c，显然成立．由2+c＞2知c＞0，所以-c＜c，两边加a得a－c＜a＋c，所以排除A．由a＜0，c＞0知ac＜0，－ac＞0，显然ac＜－ac排除C．3a＜2a排除D，因此应选B．事实上，因为a＜0，所以－a＞0．因此－a＞a,两边同加上c,即可得c－a＞c＋a．二、A组填空题提示：1．(－1)2＋(－2)3＋(－3)4＋(－4)5=1＋（－8）＋81＋（－1024）=－9502．(x2－2x＋4)－(3x2＋5x－2)=－2x2－7x＋63．因为a、b互为相反数，所以a＋b=0，c、d互为负倒数，所以cd=－1．因此 (a＋b)1996＋(cd)323=0＋(－1)=－14．由于S△ABC=1，DC=2BD．又因为 AE=3ED5．三个两两不等的合数之和的最小值应是三解得a=125°．7．原不等式可为去分母得－6（x－1）－（－4x－1）＞15,－2x＞8，∴x＜－4．8．由2x－3y=8及3y＋2z=0，相加得2x＋2z=8，即x＋z=4与x－z=－2联立．解得 x=1，z=3．代入第二个方程求得y=－2，所以 xyz=1·（－2）·3=－67x＋10=8（x－1）＋3,解得 x=15（辆）所以，这批货物共有7×15＋10=115（吨）三、B组填空题提示：4．这前100个连续整数是－44，－43，…，－1，0，1，2，…43，44，45，46，…54，55，其中前89个整数之和（－44）＋（－43）＋…＋0＋…＋43＋44=0后11个数之和是45＋46＋47＋48＋49＋50＋51＋52＋53＋54＋55=550所以，所给一串连续整数中，前100个连续整数的和等于550．5．由△AOB，△BOC的底边AO、OC共线，由B到AC的距离是这两个三角形的共同的高线．因此 S四边形ABCD=1＋2＋3＋1.5=7.5（平方千米）由于公园陆地面积是6.92平方千米，所以人工湖面积是7.5－6.92=0.58（平方千米）。

2023数学竞赛初赛试题及答案试题一：代数问题题目：解方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \)，其中 \( a = 2 \)，\( b= -3 \)，\( c = 1 \)。

解答：首先计算判别式 \( \Delta = b^2 - 4ac \)。

代入给定的值，得到 \( \Delta = (-3)^2 - 4 \times 2 \times 1 = 9 - 8 = 1 \)。

由于 \( \Delta > 0 \)，方程有两个不同的实根。

根据求根公式，根为 \( x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \)。

代入数值，得到\( x = \frac{3 \pm 1}{4} \)，即 \( x_1 = 1 \) 和 \( x_2 =\frac{1}{2} \)。

试题二：几何问题题目：在一个直角三角形中，斜边长为 \( c \)，直角边长分别为\( a \) 和 \( b \)。

如果 \( a = 5 \) 且 \( b = 12 \)，求斜边\( c \) 的长度。

解答：根据勾股定理，\( c^2 = a^2 + b^2 \)。

代入数值，得到\( c^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \)。

因此，\( c =\sqrt{169} = 13 \)。

试题三：数列问题题目：一个等差数列的首项 \( a_1 = 3 \)，公差 \( d = 2 \)。

求第 10 项 \( a_{10} \) 的值。

解答：等差数列的通项公式为 \( a_n = a_1 + (n - 1)d \)。

代入\( n = 10 \)，\( a_1 = 3 \) 和 \( d = 2 \)，得到 \( a_{10} =3 + (10 - 1) \times 2 = 3 + 9 \times 2 = 3 + 18 = 21 \)。

试题四：概率问题题目：一个袋子里有 5 个红球和 3 个蓝球。

初一数学竞赛第1试试题一、选择题（每小题4分，共40分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在下面的表格内。

（A）相反数（B）倒数（C）绝对值（D）平方2、式子去括号后是( A )（A）（B）（C）（D）3、图1中有8个完全相同的直角三角形，则图中矩形的个数是( B )（A）5 （B）6 （C）7 （D）84、已知，记的个位数字是，十位数字是，则的值是( C )（A）3 （B）7 （C）13 （D）155、有理数的大小关系如图2所示，则下列式子中一定成立的是( D )（A）＞0 （B）＜（C）（D）＞6、某动物园有老虎和狮子，老虎的数量是狮子的2倍。

每只老虎每天吃肉4.5千克，每只狮子每天吃肉3.5千克，那么该动物园的虎、狮平均每天吃肉( B )（A）（B）（C）（D）7、如图3所示，凸四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O点。

若三角形 AOD的面积是2，三角形COD的面积是1，三角形COB的面积是4，则四边形ABCD的面积是( B )（A）16 （B）15 （C）14 （D）138、若-1＜＜＜0，则下列式子中正确的是( D )（A）＜（B）＜（C）＜（D）＞9、下列4个图形中，轴对称图形有( D )（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个10、若为有理数，且，则( A )（A）-8 （B）-16 （C）8 （D）16二、A组填空题:（每小题4分，共40分。

含两个空的小题，每个空2分。

）11、2003年10月15日9时9分50秒，我国“神舟”五号载人飞船准确进入预定轨道。

16日5时59分，返回舱与推进舱分离，向地面返回。

其间飞船绕地球飞行了60万千米。

“神舟”五号载人飞船共巡天飞行了秒，飞船的平均速度是千米/秒。

（答案取整数）12、计算：。

13、某地上半年降雨量如图4所示，那么在该地25平方千米的范围内，上半年平均每月降雨立方米。

（用科学记数法表示）14、已知都是整数，且。

初一数学竞赛讲座第3讲 奇偶分析我们知道，全体自然数按被2除的余数不同可以划分为奇数与偶数两大类。

被2除余1的属于一类，被2整除的属于另一类。

前一类中的数叫做奇数，后一类中的数叫做偶数。

关于奇偶数有一些特殊性质，比如，奇数≠偶数，奇数个奇数之和是奇数等。

灵活、巧妙、有意识地利用这些性质，加上正确的分析推理，可以解决许多复杂而有趣的问题。

用奇偶数性质解题的方法称为奇偶分析，善于运用奇偶分析，往往有意想不到的效果。

例1 右表中有15个数，选出5个数，使它们的和等于30，你能做到吗？为什么？分析与解：如果一个一个去找、去试、去算，那就太费事了。

因为无论你选择哪5个数，它们的和总不等于30，而且你还不敢马上断言这是做不到的。

最简单的方法是利用奇偶数的性质来解，因为奇数个奇数之和仍是奇数，表中15个数全是奇数，所以要想从中找出5个使它们的和为偶数，是不可能的。

例2 小华买了一本共有96张练习纸的练习本，并依次将它的各面编号（即由第1面一直编到第192面）。

小丽从该练习本中撕下其中25张纸，并将写在它们上面的50个编号相加。

试问，小丽所加得的和数能否为2000？解：不能。

由于每一张上的两数之和都为奇数，而25个奇数之和为奇数，故不可能为2000。

说明：“相邻两个自然数的和一定是奇数”，这条性质几乎是显然的，但在解题过程中，能有意识地运用它却不容易做到，这要靠同学们多练习、多总结。

例3 有98个孩子，每人胸前有一个号码，号码从1到98各不相同。

试问：能否将这些孩子排成若干排，使每排中都有一个孩子的号码数等于同排中其余孩子号码数的和？并说明理由。

解：不能。

如果可以按要求排成，每排中都有一个孩子的号码数等于同排中其余孩子号码数的和，那么每一排中各号码数之和都是某一个孩子号码数的2倍，是个偶数。

所以这98个号码数的总和是个偶数，但是这98个数的总和为1+2+…+98=99×49，是个奇数，矛盾！所以不能按要求排成。

2019-2020 年初中数学比赛初赛试题（一，含详解）一、选择题（共8 小题，每题 5 分，共 40 分）1．要使方程组3x 2 y a的解是一对异号的数，则 a 的取值范围是（）2x 3 y2（A）4a3（ B）a4（ C）a 3 （D）a3或a4 3332．一块含有30AB＝ 8cm,里面空心DEF 的各边与ABC 的对应边平行，且各对应边的距离都是1cm,那么DEF 的周长是（）(A)5cm(B)6cm(C)( 6 3 )cm(D) (3 3 )cm3．将长为15cm 的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，则不一样的截法有( )(A)5 种 (B) 6种 (C)7种 (D)8种4．作抛物线 A 对于x轴对称的抛物线B，再将抛物线 B 向左平移 2 个单位，向上平移 1 个单位，获得的抛物线 C 的函数分析式是y2( x1)21，则抛物线 A 所对应的函数表达式是 ()(A)y 23)22 ( x(C)y 21)22( x(B)y 2( x 3) 22(D)y2( x 3 )2 25．书架上有两套相同的教材，每套分上、下两册，在这四册教材中随机抽取两册，恰巧组成一套教材的概率是( )(A)2111(B)3(C)(D)3266．如图，一枚棋子放在七边形ABCDEFG的极点处，现顺时针方向挪动这枚棋子10 次，挪动规则是：第k次挨次挪动k 个极点。

如第一次挪动 1 个极点，棋子停在极点 B 处，第二次挪动 2 个极点，棋子停在极点D。

依这样的规则，在这10 次挪动的过程中，棋子不行能分为两停到的极点是()(A)C,E,F (B)C,E,G (C)C,E(D)E,F.7．一元二次方程ax 2bx c0( a0 )中，若a ,b都是偶数，C是奇数，则这个方程() (A)有整数根 (B) 没有整数根 (C) 没有有理数根 (D) 没有实数根8．以下图的暗影部分由方格纸上 3 个小方格构成，我们称这样的图案为L 形，那么在由4 5 个小方格构成的方格纸上能够画出不一样地点的L 形图案个数是( )(A)16 (B) 32(C) 48 (D) 64二、填空题：( 共有 6 个小题，每题 5 分，满分30 分)9．已知直角三角形的两直角边长分别为3cm,4cm，那么以两直角边为直径的两圆公共弦的长为cm.10．将一组数据按由小到大 ( 或由大到小 ) 的次序摆列，处于最中间地点的数 ( 当数据的个数是奇数时 ) ，或最中间两个数据的均匀数 ( 当数据的个数是偶数时 ) 叫做这组数据的中位数，现有一组数据共 100 个数，此中有 15 个数在中位数和均匀数之间，假如这组数据的中位数和均匀数都不在这100 个数中，那么这组数据中小于均匀数的数据占这100 个数据的百分比是11 ．ABC 中， a , b, c 分别是A, B, C 的对边，已知a10 ,b3 2 ,C3 2 ，则bsinB c sinC 的值是等于。

初一数学竞赛讲座第6讲 图形与面积一、直线图形的面积在小学数学中我们学习了几种简单图形的面积计算方法,数学竞赛中的面积问题不但具有直观性,而且变换精巧,妙趣横生,对开发智力、发展能力非常有益，图形的面积是图形所占平面部分的大小的度量，它有如下两条性质：1．两个可以完全重合的图形的面积相等；2．图形被分成若干部分时,各部分面积之和等于图形的面积，对图形面积的计算,一些主要的面积公式应当熟记，如：正方形面积=边长×边长；矩形面积=长×宽；平行四边形面积=底×高； 三角形面积=底×高÷2；梯形面积=（上底+下底）×高÷2，此外,以下事实也非常有用,它对提高解题速度非常有益，1．等腰三角形底边上的高线平分三角形面积；2．三角形一边上的中线平分这个三角形的面积；3．平行四边形的对角线平分它的面积；4．等底等高的两个三角形面积相等，解决图形面积的主要方法有：1．观察图形,分析图形,找出图形中所包含的基本图形；2．对某些图形,在保持其面积不变的条件下改变其形状或位置（叫做等积变形）；3．作出适当的辅助线,铺路搭桥,沟通联系；4．把图形进行割补（叫做割补法），例1 你会用几种不同的方法把一个三角形的面积平均分成4等份吗？解：最容易想到的是将△ABC 的底边4等分,如左下图构成4个小三角形,面积都为原来的三 角形面积的41， 另外,先将三角形△ABC 的面积2等分（如右上图）,即取BC 的中点D,连接AD,则S △ABD =S △ADC ,然后再将这两个小三角形分别2等分,分得的4个小三角形各 自的面积为原来大三角形面积的41，还 有许多方法,如下面的三种，请你再想出几种不同的方法，例2 右图中每个小方格面积都是1cm 2,那么六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？分析：解决这类问题常用割补法,把图形分成几个简单的容易求出面积的图形,分别求出面积，也可以求出六边形外空白处的面积,从总面积中减去空白处的面积,就是六边形的面积，解法1：把六边形分成6块：△ABC,△AGF,△PEF,△EKD,△CDH 和正方形GHKP ，用S 表示三角形面积,如用S △ABC 表示△ABC 的面积，故六边形ABCDEF 的面积等于6+2+1+21+4+9=)(21222cm 说明：当某些图形的面积不容易直接计算时,可以把这个图形分成几个部分,计算各部分的面积,然后相加,也就是说,可以化整为零，解法2：先求出大正方形MNRQ 的面积为6×6=36（cm 2），说明：当某些图形的面积不易直接计算时,可以先求出一个比它更大的图形的面积,再减去比原图形多的那些（个）图形的面积,也就是说,先多算一点,再把多算的部分减去，解法3：六边形面积等于S △ABC +S 梯形ACDF -S △DEF =6×2×21+（3+6）×4×21-3×1×21=6+18-121=)(21222cm 说明：“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”,从不同的角度去观察同一个图形,会对图形产生不同的认识，一种新的认识的产生往往会伴随着一种新的解法，做题时多想一想,解法就会多起来,这对锻炼我们的观察能力与思考能力大有益处，例3 如下图所示,BD,CF 将长方形ABCD 分成4块,△DEF 的面积是4cm 2,△CED 的面积是6cm 2，问：四边形ABEF 的面积是多少平方厘米？解：如下图,连结BF ，则△BDF 与△CFD 面积相等,减去共同的部分△DEF,可得△BEF 与△CED 面积相等,等于6cm2，四边形ABEF的面积等于S△ABD-S△DEF=S△BDC-S△DEF=S△BCE+S△CDE-S△DEF=9+6-4=11（cm2），问：两块红色图形的面积和与两块蓝色图形的面积和,哪个大？分析：只需比较△ACE与△BDF面积的大小，因为△ACE与△BDF的高相等（都是CD）,所以只需比较两个三角形的底AE与BF的大小，因为△ACE与△BDF高相等,所以S△ACE＞S△BDF，减去中间空白的小四边形面积,推知两块红色图形的面积和大于两块蓝色图形的面积和，例5在四边形ABCD中（见左下图）,线段BC长6cm,∠ABC为直角,∠BCD为135°,而且点A到边CD的垂线段AE的长为12cm,线段ED的长为5cm,求四边形ABCD的面积，解：延长AB,DC相交于F（见右上图）,则∠BCF=45°,∠FBC=90°,从而∠BFC=45°，因为∠BFC=∠BCF,所以BF=BC=6（cm），在Rt△AEF中,∠AFE=45°,所以∠FAE=90°-45°=45°,从而EF=AE=12（cm），故S四边形ABCD=S△ADF-S△BCF=102-18=84（cm2），说明：如果一个图形的面积不易直接求出来,可根据图形的特征和题设条件的特点,添补适当的图形,使它成为一个新的易求出面积的图形,然后利用新图形面积减去所添补图形的面积,求出原图形面积，这种利用“补形法”求图形面积的问题在国内外初中、小学数学竞赛中已屡见不鲜，例6正六边形ABCDEF的面积是6cm2,M,N,P分别是所在边的中点（如上图），问：三角形MNP的面积是多少平方厘米？解法1：如左下图,将正六边形分成6个面积为正1cm 2的正三角形,将另外三个面积为1cm 2的正三角形分别拼在边BC,DE,AF 外面,得到一个大的正三角形XYZ,其面积是9cm 2，这时,M,N,P 分别是边ZX,YZ,Xy 的中点,推知解法2：如右上图,将正六边形分成6个面积为1cm 2的正三角形,再取它们各边的中点将每个正三角形分为4个面积为41的小正三角形，于是正六边形ABCDEF 被分成了24个面积为41的小正三角形，因为△MNP 由9个面积为41的小正三角形所组成,所以S △MNP =41×9=2.25（cm 2） 二、圆与组合图形以上我们讨论了有关直线图形面积计算的种种方法，现在我们继续讨论涉及圆的面积计算，1．圆的周长与面积计算圆的周长与面积,有的直接利用公式计算,有的需要经过观察分析后灵活运用公式计算，主要公式有：（1）圆的周长=π×直径=2π×半径,即C=πd=2πr ；（2）中心角为n °的弧的长度=n ×π×（半径）÷180,即1=180r n π （3）圆的面积=π×（半径）2,即S=πr 2；（4）中心角为n °的扇形面积=n ×π×（半径）2÷360,即lr r n S 213602==π 例7 右图是三个半圆（单位：cm ）,其阴影部分的周长是多少？解：由图可知,阴影部分是由三个直径不同的半圆周所围成,所以其周长为说明：实际上,该图形中两个小半圆的直径之和等于大半圆的直径,因而它们的周长也正好等于大半圆的半圆周，推而广之,若n 个小圆的直径之和等于大圆的直径,即：d1+d2+d3+…+dn=D, 那么这些小圆的周长之和也等于大圆的周长,即πd1+πd2+πd3+…+πdn=π（d1+d2+d3+…+dn ）=πD ，例8某开发区的大标语牌上,要画出如下图所示（图形阴影部分）的三种标点符号：句号、逗号、问号，已知大圆半径为R,小圆半径为r,且R=2r，若均匀用料,则哪一个标点符号的油漆用得多？哪一个标点符号的油漆用得少？分析：在均匀用料的情形下,油漆用量多少问题可转化为阴影部分的面积大小问题，现在涉及到的基本图形是圆,弄清阴影部分如何由大小圆分割、组合而成,是解该题的关键点和突破口，解：因为S句号=S大圆-S小圆=πR2-πr2=π（2r）2-πr2=3πr2说明：留意我们的日常生活,不同于课本的“非常规”问题随处可见,如何把“非常规”问题转化为或近似地转化为“常规”数学问题,需要细心观察、积极思考,考察转化的可能性和转化的途径，像上例那样,认真分析图形的特征和课本图形的基本关系,进一步探讨能否由基本图形分割而成、组合而成，2．圆与组合图形在日常生活中,除了经常遇到直线型（如矩形、正方形、三角形、梯形等）以及曲线型（如圆、扇形等）的面积外,还经常遇到不同形状图形叠加而成的组合图形的面积问题，组合图形的面积计算,可以根据几何图形的特征,通过分割、割补、平移、翻折、对称、旋转等方法,化复杂为简单,变组合图形为基本图形的加减组合，例9下图中,ABCD是边长为a的正方形,分别以AB,BC,CD,DA为直径画半圆，求这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积，解：图中阴影部分是由四个半圆的重叠部分构成的,这四个半圆的直径围成一个正方形，显然,这四个半圆的面积之和大于正方形的面积,两者的差就是阴影部分的面积，因此,我们就得到以下的算式：说明：此例除了用上面的解法外,还可以采用列方程解应用题的方法来解，如题图,设x和y分别表示相应部分的面积,由图看出例10如左下图所示,平行四边形的长边是6cm,短边是3cm,高是2.6cm,求图中阴影部分的面积，分析：本题的图形比较复杂,我们可以先计算阴影部分的一半（见右上图），我们的目标是把图形分解成若干基本图形的组合或叠合，本题中的基本图形就是大、小两种扇形,以及平行四边形，仔细观察后得出结论：右上图中的阴影部分等于说明：求一个不规则图形的面积,要设法找出它与规则图形面积的关系,化不规则为规则，例11求右图中阴影部分的面积（单位：cm），分析与解：本题可以采用一般方法,也就是分别计算两块阴影部分面积,再加起来,但不如整体考虑好，我们可以运用翻折的方法,将左上角一块阴影部分（弓形）翻折到半圆的右上角（以下图中虚线为折痕）,把两块阴影部分合在一起,组成一个梯形（如右图所示）,这样计算就很容易，本题也可看做将左上角的弓形绕圆心旋转90°,到达右上角,得到同样的一个梯形，说明：当某些图形的面积不易直接计算时,可以把这个图形的各个部分适当拼接成一个易于直接计算的图形，也就是说,可以化零为整，上述解法运用翻折（或旋转）的方法达到了化零为整的目的，例12已知右图中正方形的面积是12cm2,求图中里外两个圆的面积，分析：计算圆面积,要知道半径，先考虑内圆面积，内圆的直径与正方形的边长相等,但正方形的边长是未知的，根据已知正方形的面积是12cm 2,可以推出内圆直径的平方为12cm 2,再求内圆面积就不难了，外圆的直径是正方形的对角线,设外圆半径为R,则正方形面积等于由一条对角线分成的两个等腰直角三角形的面积之和，再由正方形面积=2R ×R ÷2×2=2R 2,2R 2=12,便可求出外圆面积，解：设内圆半径为r,由正方形面积为12cm 2,正方形边长为2r,得（2r ）2=12,r 2=3，内圆面积为πr 2=3.14×3=9.42（cm 2），正方形面积=2个等腰直角三角形面积=122)221(22==⨯⨯⨯R R R , 得R 2=6,外圆面积为πR 2=3.14×6=18.84（cm 2），练习61．如右图所示,正方形的面积是50cm 2,三角形ABC 两条直角边中,长边是短边的2.5倍,求三角形ABC 的面积，2．如右下图所示,长方形ABCD 中,AB=24cm,BC=36cm,E 是BC 的中点,F,G 分别是AB,CD 的4等分点,H 为AD 上任意一点，求阴影部分面积，3．在右图的4×7的方格纸板上画有如阴影所示的“6”字,阴影边缘是线段或圆孤，问：阴影面积占纸板面积的几分之几？4．在右下图中,六边形ABCDEF 的面积是54,AP=2PF,CQ=2BQ,求阴影四边形CEPQ 的 面积，5．在右图中,涂阴影部分的小正六角星形面积是16cm 2，问：大正六角星形面积是多少平方厘米？6．一个周长是56cm 的大长方形,按右面 图1与图2所示那样,划分为4个小长方形，在图1中小长方形面积的比是A ∶B=1∶2,B ∶C=1∶2，而在图2中相应的比例是A'∶B'=1∶3,B'∶C'=1∶3，又知,长方形D'的宽减去D 的宽所得到的差,与D'的长减去D 的长所得到的差之 比为1∶3，求大长方形的面积，7．有两张正方形纸,它们的边长都是整厘米数,大的一张的面积比小的一张多44cm 2，大、小正方形纸的边长分别是少？8．用面积为1,2,3,4的4张长方形纸片拼成如右图所示的一个大长方形，问：图中阴影部分面积是多少？练习6答案：1．10cm 2解：画两条辅助线如左下图，根据条件可知,正方形面积是长 方形ABCD 面积的2.5倍，从而ABCD 的面积是50÷2.5＝20（cm 2），所以△ABC 的面积是20÷2=10（cm 2）2．324cm 2，解：连结BH ，△BEH 的面积为)(21624)236(212cm =⨯÷⨯ 把△BHF 和△DHG 结合起来考虑, 这两个三角形的底BF ,DG 相等,且都等于 长方形宽的41,它们的高AH 与DH 之和正好是长方形的长,所以这两个三角形的面积 之和是AD BF DH AH BF DH DG AH BF ⨯⨯=+⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯21)(212121=21×41× 24×36=108)(2cm ，图中阴影部分的面积为 216+108=324（cm 2），非阴影共6个, 也有6个,刚好拼成6个小正方形，因此阴影部分有28-6-3=19（个）小正方形，4．31，解：如右图,将正六边形ABCDEF 等分为54个小正三角形，根据平行四边形对角线平分平行四边形面积,采用数小三角形的办法来计算面积，S △PEF ＝3,S △CDE ＝9,S 四边形ABQp ＝11，上述三块面积之和为 3+9+11=23， 因此,阴影四边形CEPQ 面积为54-23=31，5．48cm 2，解：如下页右上图,阴影部分小正六角星形可分成12个与三角形OPN 全等（能完全重叠在一起）的小三角形，三角形OPN 的面积是)(3412162cm =，正三角形OPM 面积是由3个与三角形OPN 全等的三角形组成，所以,正三角形 OPM 的面积等于由于大正六角星形由12个与正三角形OPM 全等的三角形组成,所以大正六角星形的面积是4×12=48（cm 2），6．160cm 2，解：设大长方形的宽为xcm ,则长为（28-x ）cm ，因为D 宽=x 32,D ′宽=x 43,D 长=)28(54x - ,D ′长=)28(109x -, 所以D ′宽-D 宽=12x ,D ′长- D 长=)28(101x -， 由题设可知28-8=20,从而大长方形的面积为8×20=160（cm2），7．12cm,10cm，解：把两张正方形纸重叠在一起,且把右边多出的一块拼到上面,成为一个长方形,如右图，这个长方形的面积是44cm2,它的长正好是两个正方形的边长的和,它的宽正好是两个正方形的边长的差，因为两个整数的和与它们的差是同奇或同偶,而44又只能分解成下面的三种形式：44＝1×44＝2×22＝4×11,所以,两个正方形的边长的厘米数的和与差只能是22与2，于是,两个正方形的边长分别是（22+2）÷2＝12（cm）, 12-2＝10（cm），解：大长方形面积为1+2+3+4=10，如右图那样延长RA和SB，矩形ABPR面积是上部阴影三角形面积的2倍，矩形ABSQ面积是下部阴影三角形面积的2倍，所以矩形RQSP的面积是阴影部分面积的2倍，。