学科：奥数
教学内容：一元一次方程
【内容综述】
一元一次方程是最简单的方程，它是进一步学习方程、不等式和函数的基础，许多方程都是通过变形后转化为一元一次方程来解的。本期主要介绍一些解一元一次方程的基本方法和技巧。
只含有一个未知数（又称为一元），且其次数是1的方程叫做一元一次方程，任何一个一元一次方程总可以化为的形式，这是一元一次方程的标准形式（最简形式）。
解一元一次方程的一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项，化为最简形式；（5）方程两边同除以未知数的系数，得出方程的解。
【要点讲解】
§1 含参量的一元一次方程
含有参变量的方程在求解时往往需分类讨论，关于的方程。
因为未注明，所以它的解有下面三种情况：
（1）当时，方程有唯一解；
（2）当时，方程的解为任意数；
（3）当，时，方程无解。
★例1解关于χ的方程。
思路这是含参量的一元一次方程，需分类讨论。
解：把原方程变形为
即
当，即且时，方程有唯一解；
当且，即且时，方程无解；
当且，即时，方程的解为任意数。
★★例2若a，b，c是正数，解方程。
解法一：原方程两边乘以abc，得到方程
,
移项合并同类项得
即
由，，知
,
即。
解法2：对原方程左端的每一项减去1，得
即
∵由，，知
∴
∴
说明通过细心观察方程的自身特点，巧妙地分析为3个，为3个，使原方程易于求解。
★★例3k为何正数时，方程的解是正数？
思路当方程有唯一解时，此解的正负可由a，b的取值确定：
（1）若b=0时，方程的解是零；反之，若方程的解是零，b=0成立。
（2）若时，则方程的解是正数；反之，若方程的解是正数，则成立。
（3）若时，则方程的解是负数；反之，若方程的解是负数，则成立。
解：按未知数χ整理方程得
要使方程的解为正数，需要
不等式的左端
因为，所以只要或时上式大于零，所以当或时，原方程的解是正数，因此或，即为所求。
§2 含有绝对值符号的一次方程
解含有绝对值符号的一次方程时，可利用绝对值的定义脱去绝对值符号，转化为普通的一元一次方程。其关键是需分情况脱去绝对值符号。
★★★例4若关于χ的方程无解，只有一个解，有两个解，则m，n，k的大小关系是（）
（A）；（B）；
（C）；（D）；
思路对于方程，
当时，此时方程无解；
当时，此时方程的解为；
当时，此时方程的解为或。
解：无解，则
有一个解，则
有两个解，则。
所以，成立，选择（A）。
例5解关于χ的方程
（1）；
（2）。
思路解含有绝对值符号的方程的关键是去绝对值符号，这可用“零点分段法”，即令，，分别得到χ=-2，χ=3，用-2，3将数轴分成三段：χ≥3，-2＜χ＜3，χ≤-2然后在每一段上去掉绝对值符号再求解。
解：（1）当χ≤-2时，原方程化为
解得χ=-2；
当-2＜χ＜3时，原方程化为
即5=5，所以-2＜χ＜3是原方程的解。
当χ≥3时，原方程化为
解得χ=3。
综合以上得，原方程的解为-2≤χ≤3。
（2）当χ＜2时，原方程化为
即
由知，若a>1时，解为；
当2≤χ≤3时，原方程化为
即若a=1时，解为2≤χ≤3；
当a>3时，原方程化为
即
由知，若a>1时，解为。
综合以上得；当a>1时，解为；当a=1时，解为2≤χ≤3；当a<1时，无解。
说明由绝对值符号内代数式值为零解出分类“零点”；在每种情况下求得的解必须在分类条件内；对含字母的方程需要进行讨论。
★★★★例6求关于χ的方程的所有解的和。
思路此方程有两层绝对值符号，先由，利用绝对值的定义，去掉外层的绝对值符号，使得方程转化为只含有一个绝对值符号的方程，然后再去掉里层的绝对值符号求解。
解：由原方程得
即
∴，，，，
故
§3 含有高斯函数符号的一次方程
高斯函数表示不超过的最大整数，如，，，解含高斯符号的方程的基本方法是，利用定义脱去方括号符号，转化为普通一元一次方程求解。
★★★★例7求方程的所有根的和。
解：设（t为整数。）
则,
因为
即,
t=-2, -3
对应的为,。从而原方程所有根的和
★★★★★例8设n是自然数，表示不超过的最大整数，解方程
思路因，由是n自然数，知n与n+1中必为一奇一偶，所以是整数。因是整数，2，3，4，5，…，n都是整数，所以由=
解：原方程变形为
合并同类项得
即
A级
★1．若方程与方程是同解方程，则的值为（）
（A）4；（B）-4；
（C）8；（D）-8。
★★2．方程的解是（）
（A）1996；（B）1997；（C）1998；（D）1999。
★★★3．是关于χ的一元一次方程，且χ有惟一解，则χ=______________。
★★★4．如果表示不超过χ的最大整数，那么方程
的解χ=____________。
★★★5．已知方程，当取何值时，方程无解？当取何值时，方程有无穷多个解？当取3时，方程的解是多少？若方程的解是-2，那么的值是多大？
B级
★★★6．已知方程有一个负根而且没有正根，那么的a取值范围是
__________。
★★★7．如果关于χ的方程有无穷多个解，那么参数a的值满足条件__________。
★★★★8．若a>0, b<0，则方程的解是什么？
